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设y=y(x)是由方程e^x+y=sin(xy)确定的隐函数,求y‘
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e^x+y=sin(xy)两边同时对x进行求导,得：e^x+y'=cos(xy)*(y+xy')∴[xcos(xy)-1]y'=e^x-ycos(xy)∴y'=[e^x-ycos(xy)]/[xcos(xy)-1]
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e^x+1=cos(xy)(y+xy')y'=(e^x+1)/cos(xy)x-y/x
扫描下载二维码y′=（x2+2x+1）ex．
分析：根据函数的解析式，利用导数的乘法法则，运算求得结果．解答：解：∵函数y=（x2+1）ex，∴y′=（x2+1）′ex+（x2+1）（ex）′=2x•ex+（x2+1）ex=（x2+2x+1）ex，故答案为 y′=（x2+2x+1）ex．点评：本题主要考查导数的乘法法则的应用，求函数的导数，属于基础题．
练习册系列答案
科目：高中数学
函数y=a1-x2+1+x+1-x（a∈R），设t=1+x+1-x（2≤t≤2）．（1）试把y表示成关于t的函数m（t）；（2）记函数m（t）的最大值为g（a），求g（a）；（3）当a≥-2时，试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a的值．
科目：高中数学
函数y=2&x2+1的值域是[2，+∞）．
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命题p：?α∈R，sin（π-α）=cosα；命题q：函数y=lg(x2+1+x)为奇函数．现有如下结论：①p是假命题；&&②￢p是真命题；&&③p∧q是假命题；&&④￢p∨q是真命题．其中结论说法错误的序号为①②③．
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由方程ysin&x-cos(x-y)=0确定y是x的隐函数，求y
来源:互联网 时间: 22:55:47
&&为了解决用户可能碰到关于"由方程ysin&x-cos(x-y)=0确定y是x的隐函数，求y"相关的问题，突袭网经过收集整理为用户提供相关的解决办法，请注意，解决办法仅供参考，不代表本网同意其意见,如有任何问题请与本网联系。"由方程ysin&x-cos(x-y)=0确定y是x的隐函数，求y"相关的详细问题如下:极限与微分计算===突袭网收集的解决方案如下===解决方案1：等式左右两端对x求导:d(ysin x-cos(x-y))/dx=d0/dxdy/dx*sinx+y*cosx-dcos(x-y)/d(x-y)*d(x-y)/dx=0y'sinx+ycosx+sin(x-y)(1-dy/dx)=0y'sinx+ycosx+sin(x-y)-y'sin(x-y)=0y'(sinx-sin(x-y))=-ycosx-sin(x-y)y'=-(ycosx+sin(x-y))/(sinx-sin(x-y))答：sin(x+y)+e^y=x 两边同时对x求导： cos(x+y)*(1+y')+e^y*y'=1 [cos(x+y)+e^y]*y'=1-cos(x+y) ∴y'=[1-cos(x+y)]/[cos(x+y)+e^y] 望采纳答：将原方程两边微分得d[xe^y+sin(xy)]=0→e^ydx+xe^ydy+cos(xy)(ydx+xdy)=0→移项 [xe^y+xcos(xy)]dy=-[e^y+ycos(xy)]dx整理→dy/dx=-[e^y+ycos(xy)]/[xe^y+xcos(xy)]. 这种方法是最快最不易出错的.答： 答：求由方程确定的隐函数y的导数y':cos(xy)=sin(x-y)答：题目写的不清楚啊！是不是这样的？ 答：e^x-e^y=sin(xy) 两边对x求导，把y看成复合函数： e^x-y'e^y=cos(xy)(xy)' e^x-y'e^y=cos(xy)(y+xy') e^x-ycos(xy)=y'[e^y+xcos(xy)] y'=[e^x-ycos(xy)]/[e^y+xcos(xy)] 故dy=[e^x-ycos(xy)]/[e^y+xcos(xy)]dx答：x-y+1/2siny=0 两边对x求导得 1-y'+1/2cosy*y'=0 y'=2/(2-cosy) y''=dy'/dx =(dy'/dy)*(dy/dx) =[-2/(2-cosy)²]*siny*2/(2-cosy) =-4siny/(2-cosy)³答：在方程中令x=0可得，0＝lney(0)+1，从而可得，y（0）=e2将方程两边对x求导数，得：cos(xy)(y+xy′)＝1x+e?y′y将x=0，y（0）=e2代入，有e2＝1e?y′(0)e2，、即：y′（0）=e-e4答：这个要用到复合函数的求导： y=sin(x+y) y'=cos(x+y)(1+y') y'=cos(x+y）+y'cos(x+y) y'=cos(x+y)/[1-cos(x+y)] y''={-sin(x+y)(1+y')*[1-cos(x+y)]-cos(x+y)*sin(x+y)(1+y')}/[1-cos(x+y)]^2 =(1+y'){-sin(x+y)[1-cos(x+y)]-cos(x+y)*sin(x+y)}...答：h=ezplot('sin(2^0.5*y)-0.5*sin(0.5*2^0.5*(x-y)).*sin(0.5*2^0.5*(x+y))=0',[-2.23,2.23 0 1]); x1=get(h,'XData'); y1=get(h,'YData'); x=linspace(-2.23,2.23,100); y=interp1(x1,y1,x); hold on plot(x,y,'r') 使用ezplot函数来实现吧。先...为您准备的相关内容:
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第三讲：导数与微分的计算方法、洛比塔法则
第三讲： 第三讲：导数与微分的计算方法1 导数与微分的四则运算 2 复合函数的导数和微分 3 隐函数的导数 4 对数求导法 5 参数方程所确定函数的导数 6 n阶导数 阶导数1 四则运算 （一）和、差、积、商的求导法则定理 如果函数u( x), v( x)在点x处可导 则它 , 们的和、 ) 们的和、差、积、商(分母不为零 在点x处也 , 可导 并且(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x)
v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x)
u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)推论(1) [∑ fi ( x)]′ = ∑ fi′( x);i =1 i =1nn(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);′ (3) [∏ fi ( x)]′ = f1 ( x) f2( x)L fn( x)n i =1′ +L+ f1( x) f2( x)L fn( x) = ∑ ∏ fi′( x) fk ( x);i =1k=1 k≠i n n（二）例题分析例1 求 y = x3
2x2 + sin x 的导数 . 解y ′ = 3x 2
4 x + cos x .Q y = 2 sin x
ln x例2 求 y = sin 2x
ln x 的导数 . 解y ′ = 2 cos x
ln x + 2 sin x
ln x 1 + 2 sin x
x 1 = 2 cos 2 x ln x + sin 2 x . x例3 求 y = tan x 的导数 . 解y ′ = (tan x )′ = ( sin x )′ cos x(sin x )′ cos x
sin x (cos x )′ = cos 2 x 1 cos 2 x + sin 2 x = = sec 2 x = cos 2 x cos 2 x即 (tan x)′ = sec2 x.同理可得(cot x)′ =
csc2 x.例4 求 y = sec x 的导数 . 解1 y ′ = (sec x )′ = ( )′ cos x
(cos x )′ sin x = sec x tan x . = = 2 2 cos x cos x同理可得(csc x)′ =
csc x cot x.例5 解求 y = sinh x 的导数.1 x 1 x x x ′ = (sinh x )′ = [ (e
e )]′ = ( e + e ) = cosh x . y 2 2(tanh x)′ = 1 cosh2 x同理可得 (cosh x)′ = sinh x例6x&0
x, , 求f ′( x). 设 f ( x) =
ln(1 + x), x ≥ 0解 当x & 0时, f ′( x ) = 1, 时当x & 0时, 时f ′( x ) = limln(1 + x + h)
ln(1 + x ) h→ 0 h1 h ) = lim ln(1 + h→ 0 h 1+ x 1 , = 1+ x当x = 0时, 时f ′ ( 0) = limh→ 0(0 + h)
ln(1 + 0) = 1, hln[1 + (0 + h)]
ln(1 + 0) = 1, f +′ (0) = lim+ h→ 0 h∴ f ′( 0 ) = 1 . 1,
1 ∴f 1 + x ,
x≤0 x&0 .（三）小结注意: 注意 [u( x )
v ( x )]′ ≠ u′( x ) + v ′( x );u( x ) u ′( x ) [ ]′ ≠ . v( x ) v ′( x )分段函数求导时 分界点导数用左右导数求. 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求 求导时2 反函数、复合函数的导数 反函数、定理 如果函数x = ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、且′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ′( x)反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数例1 求函数 y = arcsin x 的导数 .π π 解 Q x = sin y在 I y ∈ (
, )内单调、可导 , 内单调、 2 2且 (sin y )′ = cos y & 0,∴ 在 I x ∈ (1,1)内有 1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1
sin y 1 x同理可得(arccos x)′ = 1 1 x2.1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x1 ( arccot x)′ =
. 2 1+ x例2求函数 y = log a x 的导数 .内单调、 解 Q x = a y在I y ∈ ( ∞ ,+∞ )内单调、可导 ,且 (a y )′ = a y ln a ≠ 0,∴ 在I x ∈ (0,+∞ )内有 ,1 1 1 . = (log a x )′ = y = y x ln a (a )′ a ln a1 特别地 (ln x )′ = . x二、复合函数的求导法则定理 如果函数u = ( x)在点 x0可导, 而y = f (u)在点u0 = ( x0 )可导, 则复合函数 y = f [( x)]在点 x0可导, 且其导数为 dy ′ x= x0 = f ′(u )
( x0 ). 0 dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推广 设 y = f ( u), u =
( v ), v = ψ ( x ),则复合函数 y = f { [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv =
. dx du dv dx例3 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解Q y = ln u, u = sin x .dy dy du 1 cos x = cot x ∴ =
cos x = dx du dx u sin x例4 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 解dy = 10( x 2 + 1) 9
( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9
2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .x 2 a2 x 2 a
x + arcsin 的导数 . 例5 求函数 y = 2 2 a ( a & 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2
x 2 )′ + ( arcsin )′2 2 a1 2 1 x2 a2 a
= + 2 2 2 2 a x 2 a2
x2 .x2 + 1 例6 求函数 y = ln 3 ( x & 2) 的导数 . x21 1 2 解 Q y = ln( x + 1)
2), 2 3 1 1 1 x 1 ∴ y′ =
2 x +1 3( x
2) x + 1 3( x
2)例7 解求函数 y = esin 1 xsin1 x的导数 .1 sin 1 1 1 ′ = e (sin )′ = e x
( )′ y x x x 1 1 sin x 1 = 2e
cos . x x三、小结反函数的求导法则（注意成立条件） 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 注意函数的复合过程 合理分解正确使用链 导法） 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数 或常 已能求导的函数 可分解成基本初等函数,或常 可分解成基本初等函数 数与基本初等函数的和、 数与基本初等函数的和、差、积、商.四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式 常数和基本初等函数的导数公式( C )′ = 0 (sin x )′ = cos x (tan x )′ = sec 2 x (sec x )′ = sec x tan x( x
1 (cos x )′ =
sin x (cot x )′ =
csc 2 x (csc x )′ =
csc x cot x(e x )′ = e x 1 (ln x )′ = x(a x )′ = a x ln a 1 (log a x )′ = x ln a(arcsin x )′ =121 x 1 (arctan x )′ = 1 + x21
x2 1 ′= ( arc cot x ) 1 + x2(arccos x )′ = 12.函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、 函数的和 可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数) （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′, （2）(cu)′ = cu′ ( C 是常数)′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u′v
uv ′ (v ≠ 0). （3）( uv ) 2v v隐函数的导数 对数求导法 参数方程所确定函数的导数一、隐函数的导数定义: 定义: 由方程所确定的函数 y = y( x)称为隐函数.y = f ( x ) 形式称为显函数 .F ( x, y) = 0 y = f ( x ) 隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导例1 求由方程 xy
e x + e y = 0所确定的隐函数dy dy y的导数 , dx dx解x=0.方程两边对x 方程两边对 求导, dy dy y + x
ex + ey =0 dx dxdy e x
y 解得 , = y dx x + edy ∴ dxx=0由原方程知 x = 0, y = 0,= 1.ex
y = x+eyx=0 y=0例2 设曲线 C的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过C上3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C在该点的法 2 2 线通过原点 .解 方程两边对 求导, 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′ 方程两边对xy
x2 ∴ y′ 3 3 = 2 =
1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y
) 即 x + y
3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y
即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 23 3 ( , ) 2 2例3 设 x 4
xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 求导得 方程两边对x4 x 3
xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0代入 x = 0, y = 1得y′x=0 y =1(1)1 = ; 4将方程 (1)两边再对 x求导得12 x 2
xy′′ + 12 y 2 ( y′ )2 + 4 y 3 y′′ = 0代入 x = 0, y = 1, y ′x=0 y =11 = 得 y ′′ 4x=0 y =1=1 . 16二、对数求导法( x + 1)3 x
1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e方法: 方法: 先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. 方法求出导数 --------对数求导法 对数求导法 适用范围: 适用范围:y= xsin x.多个函数相乘和幂指函 数 u( x )v( x)的情形 .( x + 1)3 x
1 例4 设 y = , 求y′ . 2 x ( x + 4) e解 等式两边取对数得1 ln y = ln( x + 1) + ln( x
2 ln( x + 4)
x 3 上式两边对 x求导得y′ 1 1 2 = +
1 y x + 1 3( x
1) x + 4( x + 1)3 x
1 1 1 2 [ ∴ y′ = +
1] 2 x x + 1 3( x
1) x + 4 ( x + 4) e例5 设 y = x sin x ( x & 0), 求y′. 解 等式两边取对数得 ln y = sin x
ln x上式两边对x 上式两边对 求导得1 1 y ′ = cos x
ln x + sin x
y x1 ∴ y ′ = y(cos x
ln x + sin x
) x sin x sin x ) = x (cos x
ln x + x一般地f ( x) = u( x)v( x) (u( x) & 0)Q ln f ( x) = v( x)
lnu( x)d 1 d f ( x) 又Q ln f ( x) =
dx f ( x) dxd ∴ f ′( x) = f ( x)
ln f ( x) dx∴ f ′( x) = u( x)v( x)v( x)u′( x) [v′( x)
lnu( x) + ] u( x)三、由参数方程所确定的函数的导数 x = (t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系,
y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确 定的函数 x = 2t , x 例如
消去参数 t t= 2 y = t , 2 2 x 2 x 1 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导
x = ( t ) 在方程
y = ψ( t )设函数 x =
( t )具有单调连续的反函数 t =
( x ),1∴ y = ψ [ 1 ( x )]再设函数 x =
( t ), y = ψ ( t )都可导, 且 ( t ) ≠ 0,由复合函数及反函数的求导法则得dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) =
= dx dt dx dt dx
′( t ) dtdy dy dt 即 = dx dx dt
x = ( t ) 若函数
y = ψ( t )d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ′( t ) dx dxψ ′′( t ) ′( t )
ψ ′( t ) ′′( t ) 1 =
′( t )d 2 y ψ′′(t )′(t ) ψ′(t )′′(t ) . 即 = 2 3 dx ′ (t )π
sin t ) 例6 求摆线
在t = 处的切线 2
cos t ) 方程 .解dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a
cos t dt π sin dy 2 = 1. ∴ = π t= π dx 2 1
cos 2当 t = 时, x = a (
1), y = a . 2 2所求切线方程为ππy
1) 2即 y = x + a( 2
) 2ππx = a cos 3 t
例8 求由方程
表示的函数的二阶导数 . 3
y = a sin t dy dy dt 3a sin 2 t cos t = = =
tan t 解 2 dx dx 3a cos t (
sin t ) dt′
sec2 t d y d dy (
tan t ) = = ( ) = 2 3 ′
3a cos 2 t sin t dx dx dx ( a cos t )2sec 4 t = 3a sin t五、小结隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 对数求导法: 对方程两边取对数 按隐函数的求 导法则求导; 导法则求导 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;思考题 x =
(t ) ψ ′( t ) ( ′( t ) ≠ 0) 设 ，由 y ′ = x
y = ψ (t ) ψ ′′(t ) (t 可知 y ′′ = ，对吗？ 对吗？ x
′ ′( t )思考题解答不对． 不对．d dy′x dt
ψ ′( t )
′ 1 y′′ = ( y′ ) =
x x dx dt dx
6 高阶导数定义f 如果函数 ( x)的导数f ′( x)在点x处可导,即 f ′( x + x)
f ′( x) ( f ′( x))′ = lim x→0 x , ( 存在 则称 f ′( x))′为函数f ( x)在点x处的二阶导数.记作d 2 y d 2 f ( x) f ′′( x), y′′, 2 或 . 2 dx dxd3 y . 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′( x), y′′′, 3 dx4 d y ( 4) ( 4) 三阶导数的导数称为四阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数 f ( x), y , . 4 dx一般地 函数f ( x)的n
1阶导数的导数称为 ,函数f ( x)的n阶导数, 记作d n y d n f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数相应地 , f ( x )称为零阶导数 ; f ′( x )称为一阶导数 .二、 高阶导数求法举例由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1 设 y = arctan x , 求f ′′(0), f ′′′(0). 解y′ = 1 1+ x2 y ′′ = ( 1
2x ′ = ) 2 1+ x (1 + x 2 ) 2 2x 2( 3 x 2
1) y ′′′ = ( )′ = 2 2 (1 + x ) (1 + x 2 ) 3
2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2x=02( 3 x 2
1) = 0; f ′′′(0) = (1 + x 2 ) 3x=0=
2.例2设 y = x (α ∈ R ), 求yα( n).解 y ′ = αx α 1y ′′ = (αx α 1 )′ = α(α
2 y ′′′ = (α(α
2 )′ = α(α
3LLy ( n ) = α( α
n + 1) x α
n ( n ≥ 1)若 α 为自然数 n, 则y(n)= ( x ) = n! ,n (n)y( n + 1)= ( n! )′ = 0.注意: 阶导数时,求出 阶后,不要急于合并 阶导数时 求出1-3或 阶后 不要急于合并, 注意:求n阶导数时 求出 或4阶后 不要急于合并 分析结果的规律性,写出 阶导数.(数学归纳法证明 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明) 写出 阶导数 数学归纳法证明 例3 设 y = ln(1 + x ), 求y ( n ) . 1 1 y ′′ =
解 y′ = 1+ x (1 + x ) 22! y ′′′ = (1 + x ) 3 y(4)3! = (1 + x ) 4LL (n) n 1 ( n
1)! y = ( 1) (1 + x ) n( n ≥ 1, 0! = 1)例4设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2
) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2
) = sin( x + 3
π ) 2 2 LL π (n) y = sin( x + n
) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n
) 21 (5) , 求y . 2 x 1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = (
x 1 2 x 1 x +1例7 设 y =∴y(5)1
1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[
6 6 ( x + 1) ( x
1)例8 设 y = sin 6 x + cos 6 x , 求y ( n ) .2 3 2 3 解 y = (sin x ) + (cos x )= (sin x + cos x )(sin x
sin x cos x + cos x )2 2 4 2 2 4= (sin 2 x + cos 2 x ) 2
3 sin 2 x cos 2 x3 2 3 1
cos 4 x = 1
sin 2 x= 1
4 4 2 5 3 = + cos 4 x 8 8 3 n π (n) ∴ y =
cos(4 x + n
). 8 2思考题g′( x ) 连续，且 f ( x ) = ( x
a )2 g ( x ) ， 连续， 设求 f ′′(a ) .思考题解答Q g ( x ) 可导′( x ) = 2( x
a ) g ( x ) + ( x
a )2 g′( x ) ∴fQ g ′′( x ) 不一定存在故用定义求 f ′′(a )f ′( x )
f ′( a ) f ′′(a ) = lim f ′(a) = 0 x →a xa f ′( x ) = lim = lim[2 g ( x ) + ( x
a ) g′( x )] = 2 g ( a ) x →a x
a x→a0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞定义 如果当 → a(或x → ∞)时,两个函数f ( x) x与F( x)都趋于零或都趋于无穷 ,那末极限 大 f ( x) 0 ∞ lim 称为 或 型未定式. x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)tan x 0 ,( ) 例如, x→0 例如 lim → x 0 ln sin ax ∞ lim ,( ) x→0 ln sin bx → ∞定理 设 1)当x → 0时 函数 f ( x) 及 F( x) 都趋于零 ( , ; (2) 在a 点的某领域内 点a 本身可以除外), f ′( x) (及 F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim ( ); 存在 或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) . 那末lim = lim x→a F( x) x→a F′( x)定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.当x → ∞时,以及x → a, x → ∞时,该法则仍然成立.证 定义辅助函数 f ( x ), f1 ( x ) =
0, x≠a x=a ,
F ( x ), F1 ( x ) =
0, x≠a x=a ,在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,则有f ( x ) f ( x )
f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x )
F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , Q lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )例1 解tan x . 求 lim x→0 → x0 ( ) 0(tan x )′ sec2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→0 → ( x )′ 1x3
3 x + 2 . 例2 求 lim 3 2 x →1 x
x + 10 ( ) 03 x2
3 6x 3 解 原式 = lim 2 = lim = . x →1 3 x
1 x →1 6 x
2 2π例3 求 lim 2x → +∞ arctan x 1 x .0 ( ) 01
2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x
2 x ln sin ax ∞ ( ) . 例4 求 lim ∞ x→0 ln sin bx →a cos ax
sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx
sin ax x → 0 cos axtan x . 例5 求 lim π x → tan 3 x2∞ ( ) ∞sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→2 21
6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π
2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x2 26 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x2注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解tan x
x . 求 lim 2 x → 0 x tan xsec 2 x
x = lim 原式 = lim 2 3 x →0 x →0 3x x tan x 1 2 sec 2 x tan x 1 = lim = lim = . x →0 6x 3 x →0 x 30 二、
∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法0 0∞关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 关键: 的类型 ( 0 ), ( ∞ ) .0∞1. 0
∞ 型1 1 步骤: 步骤 0
. 0 ∞ 求 lim x
2e x . ( 0 ∞ ) 例7 x → +∞→ +∞ex ex e = lim = lim = +∞ . 解 原式 = lim x → +∞ 2 x → +∞ 2 x → +∞ 2 xx2. ∞
∞ 型1 1 00 步骤: 步骤 ∞
. 0 0 0 01 1 例8 求 lim(
). x → 0 sin x x解( ∞∞ )x
sin x 原式 = lim x → 0 x
cos x = lim = 0. x → 0 sin x + x cos x3. 0 ,1 , ∞ 型0 0∞步骤: 步骤 00 0
取对数 ∞ 1
ln∞ 0 ∞ x x →0例9 解求 lim+ x .( 00 )x ln x原式 = lim+ ex →0=ex →0+ lim1 x 1 x2=ex →0+lim x ln x=eln x x →0+ 1 x lim= e 0 = 1.例10 解求 lim xx →11 1 x.( 1∞ )=e .=eln x x →11 x lim原式 = lim ex →1x →01 ln x 1 x1 ln x=e1 lim x x → 1 1= e 1 .例11 求 lim+ (cot x )( ∞0 )1 ln(cot x ) ln x解 取对数得 (cot x )1 ln x1 1
2 1 Q lim+
ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x x = 1, = lim+ ∴ 原式 = e 1 . x → 0 cos x
sin x,注意：洛必达法则的使用条件． 注意：洛必达法则的使用条件．x + cos x 例12 求 lim . x →∞ x1
sin x = lim (1
sin x ). 解 原式 = lim x →∞ x →∞ 1 极限不存在 洛必达法则失效。 洛必达法则失效。 1 原式 = lim (1 + cos x ) = 1. x →∞ x三、小结洛必达法则∞
∞型f g= 1 g 1 f 1 g1 f00 ,1∞ , ∞0 型0 型 0 ∞ 型 ∞令y = f g 取对数0 ∞ 型f g= f 1g
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