九年级 圆_百度文库
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垂径定理,圆周角与圆心角的关系
圆目 录一． 圆的定义及相关概念 二． 垂经定理及其推论 三． 圆周角与圆心角 四． 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 五． 圆内接四边形 六． 会用切线 , 能证切线 七． 切线长定理 八． 三角形的内切圆 九． 了解弦切角与圆幂定理（选学） 十． 圆与圆的位置关系 十一． 圆的有关计算 十二． 圆的基础综合测试 十三． 圆的终极综合测试1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点 2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点 3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图：2考点 4： 三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外 ? d＞r；②点在圆上 ? d=r；③点在圆内 ? d＜r；【典型例题】例 1 在SABC 中， ACB=90°,AC=2,BC=4， 是 AB 边上的中线， ∠ CM 以点 C 为圆心， 以 5 为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 AMBC例 2．已知，如图，CD 是直径， ?EOD ? 84? ，AE 交⊙O 于 B，且 AB=OC，求∠A 的度数。 E B D O C A3例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 3cm， 最大为 8cm， 则这圆的半径是 _________cm。 例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是多 少？例 5 如图,⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm, ?CEA ? 30? ， 求 CD 的长． CA? OEB D例 6.已知：⊙O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的长分别为 2 , 3 ，求 ?BAC 的度数．4【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ A．三点确定一个圆 ） B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ A．1 个 B．2 ） C．3 个 ） C．3 个 ） D．无数个 D．无数个 ）4．三角形的外接圆的个数为（ A．1 个 B．25．下列说法中，正确的个数为（①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个 圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 )6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是(A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为 6cm,P 为线段 OA 的中点,若点 P 在⊙O 上,则 OA 的长( A.等于 6cm B.等于 12cm； C.小于 6cm )D.大于 12cm8.如图,⊙O 的直径为 10cm,弦 AB 为 8cm,P 是弦 AB 上一点,若 OP 的长为整数, 则满足条 件的点 P 有( A.2 个 ) B.3 个 C.4 个 D.5 个 )9.如图,A 是半径为 5 的⊙O 内一点,且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有( A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条AO AOP B510.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图 中作出它的一条半径． （要求保留作图痕迹）11.如图，已知在 ?ABC 中， ?A ? 90? ，AB=3cm，AC=4cm，以点 A 为圆心，AC 长为半径 画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长．CAB D12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB＝16cm，拱高 CD＝4cm，那么拱形的半径是＿ ＿m。C A D13、 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。 14、如图，点 P 是半径为 5 的⊙O 内一点，且 OP＝3，在过点 P 的所有的⊙O 的弦中，弦 长为整数的弦的条数为＿＿。BO P615.思考题 如图所示,已知⊙O 的半径为 10cm， 是直径 AB 上一点,弦 CD 过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B P 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求 AE-BF 的值.C E ? O P F DAB7【作业】日期姓名完成时间____成绩1、在半径为 2 的圆中，弦长等于 2 3 的弦的弦心距为2. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120?,则⊙O的半径= __, BC=___.3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm，⊙O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_________；? 最长弦长为_______． 4. 如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30?,OF=3, 则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .D F A O B C5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= 6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD是 形; ⑵若OD=3,半径 r ? 5 ,则AB= _cm, AC= ___ _____cm7.如图 7，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°，则 CD 的长为_________．CO A D C BE AO D B(5)(6)(7)8二．垂径定理及其推论【考点速览】考点 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论 1： ①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤． ③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论 2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： ① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对 的劣弧． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1 如图 AB、CD 是⊙O 的弦，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 ?AMN ? ?CNM ． 求证：AB=CD． A M ? O B C N D9例 2 已知，不过圆心的直线 l 交⊙O 于 C、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥ l 于 E，BF⊥ l 于 F。求证：CE=DF．BB O A EC H D F?O E C A?AO?BlHF DlECHD Fl问题一图 1问题一图 2问题一图 3例 3 如图所示，⊙O 的直径 AB＝15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑 动（点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合） ，且 CE⊥CD 交 AB 于 E，DF⊥CD 交 AB 于 F。 （1）求证：AE＝BF （2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证 明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。 BF E A C Om D10例 4 如图，在⊙O 内，弦 CD 与直径 AB 交成 45 角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P，且⊙O 半径为 1，试问： PC ? PD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.2 20DA CP。 O .B【考点速练】1.已知⊙O 的半径为 2cm，弦 AB 长 2 3cm ，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离 为（ ）. A．1cm B.2cm C. 2cm D. 3cm cm3． 如图 1， 的半径为 6cm， CD 为两弦， AB⊥CD， ⊙O AB、 且 垂足为点 E， CE=3cm， 若 DE=7cm， 则 AB 的长为（ ） A．10cm B.8cm C. 4 2cm D. 8 2cm4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所 对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A．0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5．如图 2，同心圆中，大圆的弦交 AB 于 C、D 若 AB=4，CD=2，圆心 O 到 AB 的距离等于 1， 那么两个同心圆的半径之比为（ ） A．3:2 B. 5 :2 C. 5 : 2 D.5:4116.等腰三角形腰长为 4cm,底角为 30 ? ,则外接圆直径为（ ） A．2cm B.4cm C.6cm D.8cm C A B ? O A C ? O D BED 图2 7.如图,⊙O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 长的取值范围是 图1 .8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.CO A P BADB9.如图，直径为 1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分） ，水面的宽度 AB 为 800mm，求 水的最大深度 CD．O A C D800B10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，以 C 为圆心，CA 为半径作圆交 斜边 AB 于 D，则 AD 的长为 。 C A D 图 B1211.已知:如图,在⊙O 中,弦 AB 的长是半径 OA 的 3 倍,C 为弧 AB 的中点,AB、OC 相交于 点 M.试判断四边形 OACB 的形状,并说明理由.C B O M A12.如图所示，在⊙O 中，弦 AB⊥AC，弦 BD⊥BA，AC、BD 交直径 MN 于 E、F.求证：ME=NF. M A E ? O F B N CD13.（思考题）如图， ?o1 与 ?o2 交于点 A，B，过 A 的直线分别交 ?o1 ， ?o2 于 M,N，C 为 MN 的中点，P 为 O1O2 的中点，求证：PA=PC. M C A NO1P BO213【作业】日期姓名完成时间成绩. cm. .1.已知⊙O 的直径 AB=10cm，弦 CD⊥AB，垂足为 M。且 OM=3cm，则 CD=2． 是半径为 5cm 的⊙O 内的一点， D0=3cm， D 且 则过点 D 的所有弦中， 最小的弦 AB= 3.若圆的半径为 2cm， 圆中一条弦长为 2 3 cm， 则此弦所对应弓形的弓高是 4.已知⊙O 的弦 AB=2cm,圆心到 AB 的距离为 n,则⊙O 的半径 R= 为 . ⊙O 的面积为 .，⊙O 的周长5．在⊙O 中，弦 AB=10cm，C 为劣孤 AB 的中点，OC 交 AB 于 D，CD=1cm，则⊙O 的半径 是 .6．⊙O 中，AB、CD 是弦，且 AB∥CD，且 AB=8cm，CD=6cm，⊙O 的半径为 5cm，连接 AD、 BC，则梯形 ABCD 的面积等于 .7．如图，⊙O 的半径为 4cm，弦 AB、CD 交于 E 点，AC=BC，OF⊥CD 于 F，OF=2cm，则∠ BED= . C A E ? O F BD8．已知⊙O 的半径为 10cm，弦 MN∥EF，且 MN=12cm，EF=16cm，则弦 MN 和 EF 之间的距 离为 .14三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点 1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点 215定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． Eg: 如下三图，请证明。考点 3 4. 推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 ? 的圆周角所对的弦是直径． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题 例 1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有。①②③④⑤⑥例 2：如图，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.16B A C OO A C B．例 3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=例４：如图１， AB 是⊙O 的直径，点 C，D，E 都在⊙O 上，若∠C ? ∠D ? ∠E ，则 ∠A ? ∠B ? ? ． CCOAOE（例１）BEG F D 例２D例 5： 如图 2， ⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G ，?EOD ? 40 ， ?D F 则 C??．例 6：已知：如图，AD?是⊙O?的直径，∠ABC=?30?°，则∠CAD=_______．D _ C _ O _ B _ A _COA B?_ ...例 7：已知⊙O 中， ?C ? 30 ， AB ? 2 cm ，则⊙O 的半径为cm ．例 8 已知：如图所示， ?ABC 是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径 BD 交 AC 于 E，AF⊥BD A17于 F，延长 AF 交 BC 于 G．求证： AB ? BG ? BC2考点练习 1.如图，已知 ?ACB 是⊙O 的圆周角， ?ACB ? 50? ，则圆心角 ?AOB 是（ A． 40? B. 50? C. 80? D. 100?）A OD PBC2.已知：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧⌒上不同于点 C 的任意一 CD 点，则∠BPC 的度数是（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° ）3.△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ A． 2 3 B． 3 3 C． 3 D．3 ）4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ A．30° B．150° C．30°或 150° D．60°5.如图所示，AB 是⊙ 的直径，AD＝DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与∠ O BCE 相等的 角有（ ）18A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个E D CAOB6.下列命题中，正确的是（）?①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③ 90 的圆周角 所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 7.如图，⊙ 是等边三角形 ABC 的外接圆，⊙ 的半径为 2， O O 则等边三角形 ABC 的边长为（ ） A． 3 B． 5 C． 2 3 D． 2 5 B O C8.如图， ABC 内接于⊙O， BAC=120°， =AC， 为 ⊙O 的直径， =6， BC＝ △ ∠ AB BD AD 则。65?A （第 9 题） 9.如图 9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器，它的监控角度 是 65 ．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视 ．．． 器 台。 10.如图，量角器外沿上有 A 、 B 两点，它们的读数分别是 70° 、40° ，则∠ 的度数 1 为 。 C ° x ° B A O P O 11.如图, AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点 P 在线段 OB 上运动.设 ∠ACP=x，则 x 的取值范围是 . 12.如图所示，小华从一个圆形场地的 A 点出发，沿着与半径 OA 夹角为 α 的方向行走，走到场地边缘 B 后，再沿着与半径?19OB 夹角为 α 的方向折向行走。 按照这种方式， 小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上， 此时∠AOE＝56°，则 α 的度数是 .13.如图，已知 A、B、C、D 是⊙O 上的四个点，AB＝BC，BD 交 AC 于点 E，连接 CD、 AD． （1）求证：DB 平分∠ADC； （2）若 BE＝3，ED＝6，求 AB 的长．14.如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB ? CD 于点 E．连接 AC、OC、 BC． （1）求证： ? ACO= ? BCD． （2）若 EB= 8cm ，CD= 24cm ，求⊙O 的直径．O E C B D A15.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过 A、 C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。 （1）求证：AC＝AE；20（2）求△ACD 外接圆的半径。 A ECDB16.已知：如图等边 △ ABC 内接于⊙O，点 P 是劣弧 BC 上的一点（端点除外） ，延长 BP 至 D ，使 BD ? AP ，连结 CD ． （1）若 AP 过圆心 O ，如图①，请你判断 △PDC 是什么三角形？并说明理由． （2）若 AP 不过圆心 O ，如图②， △PDC 又是什么三角形？为什么？ A?AO B P 图① D C BO C P 图②D四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理21【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1．如图所示，点 O 是∠EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于 A、B 和 C、D，求证：AB=CD． E B A P O 22 1 2 O O O O C例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。 求证：PA=PC。例 3．如图所示，在 ?ABC 中，∠A= 72 ? ，⊙O 截 ?ABC 的三条边长所得的三条弦等长， 求∠BOC. A?O B C例 4．如图，⊙O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=DE．求证：AC=AE．C B23O?A例 5．如图所示，已知在⊙O 中，弦 AB=CB，∠ABC= 120 ? ，OD⊥AB 于 D，OE⊥BC 于 E． 求证： ?ODE 是等边三角形．O ? A D B E C综合练习一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ）24A、相等的圆心角所对的弧相等 C、相等的弦所对的弦心距相等B、相等的弧所对的圆心角相等 D、弦心距相等，则弦相等 ）2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是 50 ? ，∠OBC= 40 ? ，那么∠OAC 等于（ A、 15 ? B、 20 ? B C ? O 图 A C、 25 ?D、 30 ?3． 为⊙O 内一点， P 已知 OP=1cm， 的半径 r=2cm， ⊙O 则过 P 点弦中， 最短的弦长为 （ A、1cm B、 3 cm C、 2 3 cm D、4cm）4．在⊙O 中，AB 与 CD 为两平行弦，AB ? CD，AB、CD 所对圆心角分别为 120?,60? ，若 ⊙O 的半径为 6，则 AB、CD 两弦相距（ A、3 B、6 ） C、 3 ? 1 D、 3 3 ? 35.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的⊙O 分别交 AB、AC 于点 D、E。 （1）试说明△ODE 的形状； （2）如图 2，若∠A=60?，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。A D EA D ECBOBOC6如图，△ABC 是等边三角形，⊙O 过点 B，C，且与 BA、CA 的延长线分别交于点 D、E.弦 DF∥AC，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G. （1）求证：△BEF 是等边三角形；25（2）BA=4，CG=2，求 BF 的长.E A ? O BDF C G7 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。 求证：AE=BF=CD。【作业】日期A． 2 2 B．4姓名?完成时间C． 2 3成绩）. D．5 ）.1.如图 1， ?ABC 内接于⊙ O ， ?C ? 45 ，AB ? 4 则⊙ O 的半径为（2.如图 2，在⊙ O 中，点 C 是 AB 的中点， ?A ? 40? ，则 ?BOC 等于（26A． 40?B． 50?C． 70?D． 80?如图 1如图 23. 如 图 3 ， A 、 B 、 C 、 D 是 ⊙ O 上 四 点 ， 且 D 是 AB 的 中 点 ， CD 交 OB 于 E ，?AOB ? 100? , ?OBC ? 55? ， ?OEC =数是 .度.4.如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， ?D ? 130? ，则 ?BAC 的度5.如图 5， 是半圆 O 的直径， 是 BC 的中点， 交弦 BC 于点 D， AB E OE 已知 BC=8cm,DE=2cm， 则 AD 的长为 cm.如图 3如图 4如图 56．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO⊥AB，D 是 CO 的中点，DE∥AB．求证:EC=2EAC E A D O B五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。27圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例 1 （1）已知圆内接四边形 ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形 ABCD 中，如图所示，AB、BC、CD、AD 的度数之比为 1:2:3:4,求 ∠A、∠B、∠C、∠D 的度数． A B? OCDPD 例 2 四边形 ABCD 内接于⊙O， P 在 CD 的延长线上， AP∥BD． 点 且 求证： ? BC ? AB ? ADBA28?O D CP例 3 如图所示， ?ABC 是等边三角形，D 是 BC 上任一点．求证：DB+DC=DA． AO ? C DB例4 AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF， 求证： FC ? FA ? FD ? FE29例5如图所示，在 ?ABC 中，AB=AC，过 A 点的直线与 ?ABC 的外接圆交于 E，与 BC A2 2 的延长线交于 D．求证： AD ? AC ? AD ? ED? O B CE D【考点速练】1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． ． ．2． 已知四边形 ABCD 内接于⊙O， 则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7， 且最大的内角为3． 如右图， 已知四边形 ABCD 内接于⊙O， AE⊥CD 于 E， 若∠ABC= 130 ? ， 则∠DAE= A30B4．已知圆内接四边形 ABCD 的∠A、∠B、∠C 的外角度数比为 2:3:4， 则∠A= 5．圆内接梯形是 ，∠B= ． ．梯形，圆内接平行四边形是6．若 E 是圆内接四边形 ABCD 的边 BA 的延长线上一点，BD=CD，∠EAD= 55 ? ，则∠ BDC= ． 。7． 四边形 ABCD 内接于圆， ∠A、 的度数之比是 5:4， 比∠D 大 30 ? ， ∠C ∠B 则∠A= ∠D= ．8．圆内接四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C 的度数比是 2：3：6,则∠D 的度数是（ A、 67 .5? B、 135 ? C、 112 .5? D、 110 ?）9．如图 1 所示，圆的内接四边形 ABCD，DA、CB 延长线交于 P，AC 和 BD 交于 Q，则图中 相似三角形有（ A、1 对 ） B、2 对 C、3 对 D、4 对 ）10．如果圆的半径是 15，那么它的内接正方形的边长等于（ A、 15 2 B、 15 3 C、15 3 2）D、15 2 211．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ A、有一个角为 60 ? 的平行四边形 C、矩形 A、 120 ? B、 80 ?B、菱形 D、直角梯形 ） C、 60 ? D、 40 ? ） D、m=n= 180 ? D A ? O C12． 如图 2， 四边形 ABCD 是圆的内接四边形， 如果 BCD 的度数为 240 ? ， 那么∠C 等于 （13．若四边形 ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则（ A、5m=4n B、4m=5n B C Q A P C、m+n=9B D 14．如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3 ，点 C图 2 D 分别是劣弧 AB 与优 与点 图1 弧 ADB 上任一点（点 C、D 均不与 A、B 重合）. (1)求 ?ACB ； (2)求三角形 ABD 的最大面积． D31O A B15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC，点 D 为劣弧 BC 上一动点（不与 B、 A、C 重合） ，直线 AD 与 BC 交于 E 点，连结 BD、DC. （1）求证:BD?DC=DE?DA； （2）若将 D 改为优弧 BAC 上一动点（不与 B、A、C 重合） ，其他条件均不改变， 则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论. A AO BE C D B C【作业】日期A、圆上 B、圆内姓名完成时间C、圆外成绩）1．过四边形 ABCD 顶点 A、B、C 作一个圆，若∠B+∠D ? 180 ? ，则 D 点在（ D、不能确定 ）2．如图 1，若 AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（32A、5 对B、6 对C、7 对D、8 对3．如图 2，已知 ?ABC 的外角∠BCD 的平分线 CE 交 ?ABC 的外接圆于 E，则 ?ABE 是 （ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形4．如图 3，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且 AE⊥CD，若∠B= 120 ? ， 则∠DAE 为（ A、 60 ? C A ） B、 30 ? A C、 50 ? C E D D、 70 ? A B ? O C 图2 E 图3 DD 图1BB5．已知：如图所示，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 直径，若∠DAC= 60 ? ，BC= AD=5．求 AC 的长． A7 3， 3B? O CD六．会用切线，能证切线考点速览： 考点 1 直线与圆的位置关系33图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系0d&r相离1d=r相切2d&r相交考点 2 切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 符号语言 O ∵ OA⊥ l 于 A， OA 为半径 ∴ l 为⊙O 的切线A l考点 3 判断直线是圆的切线的方法： ①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。 ②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点 4 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 （请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题： 例 1.如图，△ABC 内接于⊙O， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD＝ ∠ABC，判断直线 AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。A D COB34例 2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，⊙O 的半径为 5cm，AB 与⊙O 相切吗？为什么?OA例 3.如图,PA、PB 是⊙O 的切线，切点为 A、B，C 是⊙O 上一点，若∠P＝40 ， 求∠C 的度数。。BA P O CB例 4．如图所示，Rt?ABC 中，?C ? 90 ? ，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于 D，E 为 BC 中点。 A 求证：DE 是⊙O 的切线． D O?CEB例 5． （2010 深圳）如图 10，以点 M（－1,0）为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交于点 A、B、 C、D，直线 y＝－ 3 5 3 x－ 与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F． 3 3（1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长； 分） （3 （2）如图 11，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP:PH＝3:2，求 cos∠QHC 的值； 分） （335（3）如图 12，点 K 为线段 EC 上一动点（不与 E、C 重合） ，连接 BK 交⊙M 于点 T， 弦 AT 交 x 轴于点 N．是否存在一个常数 a，始终满足 MN?MK＝a，如果存在， 请求出 a 的值；如果不存在，请说明理由． 分） （3 y B P M H Q y B K E Cy BEC HMO Dx A FECO D x ANMO D A FxH图 10图 11图 12中考链接 1.如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心 O，且与小圆相交于点 A，与大圆 相交于点 B，小圆的切线 AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分∠ACB. 试判断 BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。36C DO A B2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90。 ，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆 与 AC、AB 分别交于点 D、E，且∠CBD= ∠A， 判断 BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。C D O EAB3. (2009 深圳)如图， 是⊙O 的直径，AB=10， 切⊙O 于点 C， AB DC AD⊥DC， 垂足为 D， AD 交⊙O 于点 E。 （1）求证：AC 平分∠BAD；373 （2）若 sin∠BEC= ，求 DC 的长。 5D E1C 0 BA3 24． （2008 深圳）如图，点 D 是⊙O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上，且 AB＝ AD＝AO． （1）求证：BD 是⊙O 的切线． （2）若点 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F，且△BEF 的面积为 8， cos∠ BFA＝2 ，求△ACF 的面积． 3B E F D A O C图8课堂速练（1） 1． 判断 ①垂直于半径的直线是圆的切线。????????????（ ）38②过半径外端的直线是圆的切线。????????????（ ） ③与圆有公共点的直线是圆的切线。???????????（ ） ④圆的切线垂直于半径。????????????????（ ） 。 2． 如图，AC 切⊙O 于点 A，∠BAC＝37 ，则∠AOB 的度数为（ ） 。 。 。 。 A. 64 B. 74 C. 83 D. 84 3. 如图，AB 与⊙O 相切于 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C， 。 连接 BC，若∠A＝36 ．则∠C＝______ 。 4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=30 ．过点 A 作⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 D，则∠CAD＝_______BCO B A COO CABDA。5．如图，AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，∠BAC＝50 ，∠ACD=______ 6．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于 B，CO 交⊙O 于点 D，AD 的延长线交 BC 于 。 E，若∠C=25 ．求∠A 的度数．CA OD CA O D EBB7． （2006 深圳）如图 10-1，在平面直角坐标系 xoy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上， ⊙ M39AE 交 x 轴于 A、B 两点， y 轴于 C、D 两点， C 为弧 AE 的中点， 交 y 轴于 G 点， 交 且若点 A 的坐标为（－2，0） AE ? 8 ， (1)求点 C 的坐标. (2)连结 MG、BC ，求证： MG ∥ BC (3)如图 10-2，过点 D 作⊙ M 的切线，交 x 轴于点 P .动点 F 在⊙ M 的圆周上运动时，OF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. PFy C G A O M B x ED图10－1y C G EpAOFDMB x图10 －2七．切线长定理40考点速览： 考点 1 切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点 之间的距离，可以度量． 考点 2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B 两点， ①PA=PB 考点 3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． ②PO 平分 ?APB ． A A A ? O C A B D A A P A经典例题： 例 1 已知 PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C 三点，若 PO=13 M， ?PED 的周长为 24 M，41求：①⊙O 的半径；②若 ?APB ? 40? ， ?EOD 的度数． A E C P D B ?O例2如图， ⊙O分别切 ?ABC 的三边 AB、 CA 于点 D、 F， BC ? a, AC ? b, AB ? c ． BC、 E、 若（1）求 AD、BE、CF 的长； （2）当 ?C ? 90? ，求内切圆半径 r． A A D F ?O BD ?O BFECCE例 3．如图，一圆内切四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为？42例 4 如图甲，直线 y ? ?3 x ? 3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C ?m, n? 是第 4二象限内任意一点，以点 C 为圆心与圆与 x 轴相切于点 E，与直线 AB 相切于点 F. （1）当四边形 OBCE 是矩形时，求点 C 的坐标； （2）如图乙，若⊙C 与 y 轴相切于点 D，求⊙C 的半径 r； （3）求 m 与 n 之间的函数关系式； （4）在⊙C 的移动过程中，能否使 ?OEF 是等边三角形（只回答“能”或“不能” ）？考点速练 1： A43D BF O ?1．如图，⊙O 是 ?ABC 的内切圆，D、E、F 为切点，?A : ?B : ?C ? 4 : 3 : 2 ，则 ?DEF ? ?FEC ?．．2． 直角三角形的两条直角边为 5 M、 M， 12 则此直角三角形的外接圆半径为 内切圆半径为 M． A E ? O D BM，3．如图，直线 AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于点 E、F、G，且 AB∥CD，若 OB=6 M，OC=8 M，则 ?BOC ? 的半径= M，BE+CG= M． ，⊙OB B FC G B 4．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，AB 交 OP 于点 M ，若 OM ? 2cm, AB ? PB ，则⊙O 的半径是 M． A ? M O B B P B考点速练（2）441．如图，在 Rt ?ABC 中， ?C ? 90?, AC ? 3, BC ? 4 ，以 BC 边上一点 O 为圆心作⊙O 与 AB 相切于 E，与 AC 相切于 C，又⊙O 与 BC 的另一个交点 D，则线段 BD 的长 ．2．如图， ?ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 直径，过 C 点的切线交直径 AB 的延长线于 P，?BAC ? 25? ，则 ?P ?B D E ?O A．C ? OABP题1C题24、 （广西）PA、PB 是⊙O 切线，A、B 切点，∠APB＝78 ，点 C 是⊙O 上异于 A、B 任一点， 那么∠ACB＝＿＿＿＿＿。05、 （山西）若直角三角形斜边长为 10cm，其内切圆半径为 2cm，则它的周长为_______。6、 （贵阳）如图，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠ACB＝90 ，且 AB＝13，AC＝12，则图中阴 影部分的面积是（ A、 30 ? ? ） C、 30 ? 3? D、 30 ? 4? B、 30 ? 2?07．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的．8.如图 1，AB 是⊙O 的直径，直线 MN 切半圆于 C，AM⊥MN，BN⊥MN，若 AM= a ，BN= b ，45则 AB=. ，9．如图 2，AB 是⊙O 的直径，延长 AB 到 D，使 BD=OB，DC 切⊙O 于 C，则∠D= ∠ACD= ，若半径为 r ，AC= ． ． C C N A ? O B D10．经过圆的直径两端点的切线必互相 MA? O 图1B 图211.如图，在 ?ABC ， ?C ? 90? , AC ? 8, AB ? 10，点 P 在 AC 上，AP=2，若⊙ O 的圆心 在线段 BP 上，且⊙ O 与 AB、AC 都相切，则⊙ O 的半径是（ A．1 B． 5 4 C． 127）.4D． 912.如图，四边形 ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰 AB 为直径的⊙O 与腰 CD 相切于 E， 若此圆半径为 6 M，梯形 ABCD 的周长为 38 M，求梯形的上、下底 AD、BC 的长． A ? O B B D BEC46八．三角形内切圆考点速览 考点 1 概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形． 概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多 边形． 考点 2 三角形外接圆与内切圆比较： 名称 确定方法 图形 性质 （1）OA=OB=OC；外心（三角形 三角形三边 外接圆的圆 心） 中垂线的交 点（2）外心不一定在三角 形的内部． （1）到三边的距离相等；内心（三角形 三角形三条 （2）OA、OB、OC 分别平 内切圆的圆 心） 角平分线的 分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 交点 （3）内心在三角形内部． 考点 3 求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为 r ?Aa?b?c . 2cO BbE CaD2、一般三角形 ①已知三边，求△ABC 内切圆⊙O 的半径 r.A F B O D E C2 S? r? a?b?c（海伦公式 S△＝ s(s ? a)(s ? b)(s ? c)a?b?c ， 其中 s= ) 247经典例题：例 1．阅读材料：如图（1） ，△ABC 的周长为 L，内切圆 O 的半径为 r，连结 OA，OB，△ ABC 被划分为三个小三角形，用 S△ABC 表示△ABC 的面积． ∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA 又∵S△OAB = ∴S△ABC =1 1 1 AB?r，S△OBC = BC?r，S△OCA = AC?r 2 2 2 1 1 1 = AB?r+ BC?r+ CA?r 2 2 21 L?r（可作为三角形内切圆半径公式） 2（1）理解与应用：利用公式计算边长分为 5，12，13 的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）?且 面积为 S，各边长分别为 a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个 n 边形（n 为不小于 3 的整数）存在内切圆，且面积为 S， 各边长分别为 a1，a2，a3，?an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由） ．48例 2．如图，△ABC 中，∠A=m°． （1）如图（1） ，当 O 是△ABC 的内心时，求∠BOC 的度数； （2）如图（2） ，当 O 是△ABC 的外心时，求∠BOC 的度数； （3）如图（3） ，当 O 是高线 BD 与 CE 的交点时，求∠BOC 的度数．例 3．如图，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切 AC，BC，AB 于 D，E，F， 求 Rt△ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离．49考点速练 1： 1．如图 1，⊙O 内切于△ABC，切点为 D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结 OE， OF，DE，DF，那么∠EDF 等于（ ） A．40° B．55° C．65° D．70°图1图2图32．如图 2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D，E，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= （ ） A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图 3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．下列命题正确的是（ ） A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ） A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5506．如图，在△ABC 中，AB=AC，内切圆 O 与边 BC，AC，AB 分别切于 D，E，F． （1）求证：BF=CE； （2）若∠C=30°，CE=2 3 ，求 AC 的长．7．如图，⊙I 切△ABC 的边分别为 D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M 是弧 DEF 上的动点 （与 D，E 不重合） ，∠DMF 的大小一定吗？若一定，求出∠DMF 的大小；若不一定，请 说明理由．51考点速练 2 1．如图，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形，?然后作这个正方形的内切圆，又在这 个内切圆中作内接正方形，依此作到第 n 个内切圆，它的半径是（ ） A． （2 n ）R 2B． （1 n ）R 2C． （1 n－1 ） R 2D． （2 n－1 ） R 22．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交 BC 于点 D，AC=4，?DC=1， 则⊙O 的半径等于（ ） A．4 5B．5 4C．3 4D．5 63．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边 BC，AC，AB 切于 D，E，F，?如果 AF=2，BD=7， CE=4． （1）求△ABC 的三边长； （2）如果 P 为弧 DF 上一点，过 P 作⊙O 的切线，交 AB 于 M，交 BC 于 N，求△BMN 的 周长．524．如图，⊙O 与四边形 ABCD 的各边依次切于 M，N，G，H． （1）猜想 AB+CD 与 AD+BC 有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形 ABCD 增加条件 AD∥BC 而成为梯形，梯形的中位线长为 m，其他条件不 变，试用 m 表示梯形的周长．5、思考题（选作） ： 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 2a． （1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； （2）根据计算结果，要求圆环的面积，?只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面 积； （3）将条件中的“正三角形”改为“正方形” “正六边形” ，你能得出怎样的结论？ （4）已知正 n 边形的边长为 2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．53九．了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】 考点 1 1. 弦切角的概念： 顶点在圆上， 一边和圆相交， 另一边和圆相 切的角叫做弦切角。 注意：弦切角必须具备三个条件： （1）顶点 在圆上（切点）（2）一边和圆相切， ， （3）一边 和圆相交（弦） ，三者缺一不可。 2. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 3. 弦切角定理的推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个 弦切角也相等。 考点 2 圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及 它们推论统一归纳的结果。 1、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 2、相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项。 3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项。 4、切割线定理的推论（或称割线定理） ： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。54典型例题： 例 1. 如图，经过⊙O 上的点 T 的切线和弦 AB 的延长线相交于点 C。 求证：∠ATC＝∠TBCE TO A B C例 2. 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm， 求⊙O 的半径。O B P A55例 3. AB 是半圆 O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于 D，连结 AD，若 AD＝15，3 sinC ? ，求 BC 的长。 5? ? 9 4 ED ? BD ，DE 的延长线与 BA 的延长线交于 P，若 CD ? , sin C ? ,求PA 的长 5 5例 4. 已知：如图，AB 为⊙O 直径，BC 为⊙O 切线，B 为切点，AC 交⊙O 于 D，C D E1 2 3PAOB56课堂速练： 一. 选择题。 1. 如图 1 所示，⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于点 E，AC 和 DB 的延长线交于点 P，下列结论中成立的是（ ） A. PC?CA＝PB?BD C. CE?CD＝BE?BA B. CE?AE＝BE?DE D. PB?PD＝PC?PA2. 如图 2 所示，AB 切⊙O 于 B 点，BE 是⊙O 的直径，D C ，则 切线 AD 与 BE 延长线交于 C 点，若 C ? 3 E（ ） A. B 3 EC ?E C. A E BB ? B. A C DD ? D. C B BA ?3. PT 切⊙O 于 T，PB 为经过圆心的割线交⊙O 于 A 点（PB&PA） ，若 P 4 P?， T ， A2 ? 则 c ?T ） o B 等于（ s P A.4 5B.1 2C.1 8D.3 44. 如图 3， 为⊙O 的弦， AB⊥OP 于 D， 为圆 O 的切线， AB 且 PA A 为切点， A 8， 3 ，则 PA 等于（ Bc O c ?mD m ? ）A.25 cm 3B.20 cm 3c C. 5 mc D. 8 m5. 如图 4 所示，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，CD⊥AB 于 D，CD＝1，E 是 AC 上任意一点，且∠EDC＝∠FDC，以下结 论正确的是（ ）?（1） E ? F （2）∠E 与∠F 互补， （3）DE?DF 是变量， C C， （4）DE?DF＝1， （5）∠F＝∠ECD A. （1） （3） B. （3） （2） （5） C. （2） （4） D. （4） （5）? ?57二. 填空题。 1. 在直径为 2 的圆外有一点 P 到圆的最近点的距离为 3， 则从 P 点所引圆的切线长是___________。 2. 如图 5 所示，AD 切⊙O 于 D 点，ABC 为割线，AD＝24，AB＝18， ? 0 A9，则⊙O 半径为____________。 ??3. 已知在 R A 中， ? 9，D 是 AC 上一点，以 CD 为直径作⊙O 切 AB 边于 E t B ?C C0 ?? 点，AE＝2，AD＝1，则 SA C ? ___________。 ?BA4 c， Bc 4. PA 切圆于 A 点， PBC 是过圆心的割线， 交圆于 B、 两点，P ? 2m P 2 ， C ?m则圆的半径等于__________cm。 三. 解答题及证明题。 1. 如图所示，已知 AD 是⊙O 的切线，D 是切点，ABC 是⊙O 的割线，DE⊥AO 于 E。 求证：∠AEB＝∠ACO582. 已知：如图所示，AB 为半圆的直径，C、D 为半圆弧上的两点，若 C ? D D B ，DC 与 BA 的延长线交于 P，若 AP：CP＝3：4， S D ?65 ，求 AP 的长。 ? B 1 A? ?3. 如图所示，AB 切⊙O 于 A，AC 经过圆心 O 交圆于点 D，BC 交圆于点 M、N，且使 MB＝ MN＝NC，若 AB＝2，求⊙O 的半径。594. 如图所示，已知⊙O 中弦 AB//CD，BG 切⊙O 于 B，交 CD 延长线于点 G，P 是 CD 上一 点，PA、PB 分别交 CD 于 E、F 两点。 求证：EF?FG＝FD?FC?5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，M 是 AB 上一点，MP⊥AB 交⊙O 于 N，PD 是⊙O 的割线交 ⊙O 于 C、D。 2 求证：PC?PD＋MA?MB＝PM60十．圆与圆位置的关系考点速览： 1 圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 d） 外离 外切 相交 内切O1 O2内含O1 O2图形 公共 点 d、r、 R 的关 系 外公 切线 内公 切线O1O2O1O2O1O20个1个2个1个0个d ?R?rd ?R?rR?r ?d ?R?rd ? R?rd ? R?r2条 2条2条 1条2条 0条1条 0条0条 0条2．有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁外公切线 3．相交两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4．相切两圆的性质 定理：相切两圆的连心线经过切点内公切线61经典例题： 例 1、如图，已知⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A、B 两点，P 是⊙ O1 上一点，PB 的延长线交⊙ O2 于点 C，PA 交⊙ O2 于点 D，CD 的延长线交⊙ O1 于为 N. （1）过点 A 作 AE//CN 交⊙ O1 于点 E.求证：PA=PE. （2）连接 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长. B C P? O2D A?O1O1EN例2 如图，在 ?ABC 中， ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 2 ，圆A的半径为1，若点O在BC 边上运动（与点B、C不重合） ，设 BO ? x, ?AOC 的面积为y. （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当圆⊙O与⊙A相切时，求 ?AOC 的面积.ABOC62经典得不能再经典的练习 一．选择 1.已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 020=7cm，则两圆的位置关系为 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2.已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是 （ ） A． 0 ? d ? 1 B． d ? 5 C． 0 ? d ? 1 或 d ? 5 D． 0 ≤ d ? 1 或 d ? 5 3.大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含 4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A．相交 B．外离 C．内切 D．内含5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm，圆心距为 6cm，则这两圆的位置 关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 6.外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A．11 B．7 C．4 D．3 7.已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 1 和 4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距 O1O2 的 取值范围在数轴上表示正确的是0 1 2 3 4 5 A．0 1 2 3 4 5 B．0 1 2 3 4 5 C．0 1 2 3 4 5 D． ）8.若两圆的半径分别是 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm，则这两个圆的位置关系是（ A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离9.若 ⊙O1 与 ⊙O2 相切，且 O1O2 ? 5 ， ⊙O1 的半径 r1 ? 2 ，则 ⊙O2 的半径 r2 是（ A． 3 B． 5 C． 7 D． 3 或 7 ））10.已知 ⊙O1 与 ⊙O2 外切，它们的半径分别为 2 和 3，则圆心距 O1O2 的长是（ A． O1O2 =1 B． O1O2 ＝5 C．１＜ O1O2 ＜５ D． O1O2 ＞５ 11.已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆的位置关系是 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切12.如图，把⊙O1 向右平移 8 个单位长度得⊙O2，两圆相交于 A.B， 且 O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是 A.4π -8 B. 8π -1663C.16π -16 D. 16π -32 13．若两圆的直径分别是 2cm 和 10cm，圆心距为 8cm，则这两个圆的位置关系是 （ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 14.如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm，弦 AB 与小圆相 切于点 C，则 AB 的长为（ ） ? A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm O A 15.如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB 切小圆于 P，两圆 的半径分别为 6，3，则图中阴影部分的面积是（ ） A． 9 3 ? ? C． 9 3 ? 3? B． 6 3 ? ? D． 6 3 ? 2? A O B C BP16．若相交两圆的半径分别为 1 和 2，则此两圆的圆心距可能是 （ ） ． A．1 B．2 C．3 D．4 17.图中圆与圆之间不同的位置关系有 （ ） A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 18．已知 ⊙O1 的半径为 3cm， ⊙O2 的半径为 4cm，两圆的圆心距 O1O2 为 7cm，则 ⊙O1 与 ⊙O2 的位置关系是 ．二．填空 19.已知两圆的半径分别是 2 和 3，圆心距为 6，那么这两圆的位置关系是.20.已知相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm ，公共弦长为 6cm ，则这两个圆的圆心距是 ______________． 21.已知 ⊙O1 的半径为 3cm， ⊙O2 的半径为 4cm，两圆的圆心距 O1O2 为 7cm，则 ⊙O1 与⊙O2 的位置关系是．22.已知 ⊙O1 和 ⊙O2 的半径分别是一元二次方程 ? x ?1?? x ? 2? ? 0 的两根， O1O2 ? 2， 且 则 ⊙O1 和 ⊙O2 的位置关系是 ．6423.如图， ⊙A ， ⊙B 的半径分别为 1cm，2cm，圆心 距 AB 为 5cm．如果 ⊙A 由图示位置沿直线 AB 向右 平 移 3cm ， 则 此 时 该 圆 与 ⊙B 的 位 置 关 系 是 _____________． 24.已知相切两圆的半径分别为 5cm 和 4cm ，这两个圆的圆心距 是 ． 25.已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3cm 和 2cm， O1O2 ? 1cm， 且 则⊙O1 和⊙O2 的位置关系 为 ．26．已知 △ ABC 的三边分别是 a，b，c ，两圆的半径 r ? a，r2 ? b ，圆心距 d ? c ，则 1 这两个圆的位置关系是 ．27． 如图， 正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点， E 为圆心. EC 为半径的半圆与以 A 以 AB 为半径的圆弧外切，则 sin ?EAB 的值为 为圆心， D C EA （27）B65三．解答 28.如图，在平面直角坐标系中，点 O1 的坐标为 (?4， ，以点 O1 为圆心，8 为半径的圆 0) 与 x 轴交于 A，B 两点，过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60°的角，且交 y 轴于 C 点， 以点 O2 (13， 为圆心的圆与 x 轴相切于点 D ． 5) （1）求直线 l 的解析式； （2）将 ⊙O2 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移，当 ⊙O2 第一次与 ⊙O1 外切时，求⊙O2 平移的时间．y l60°O2 O1 O B D x AC （第 28 题）66强化训练： 1．已知两个同心圆如图所示，其中大圆的半径为 7，小圆半径为 5，大圆的弦 AD 与小 圆交于点 B、C，则 AB?BD 的值是 。 2．如图，两个同心圆，点 A 在大圆 上， 是小圆的割线， AB? ABC 若 AC=8， 则圆环的面积是（ ） A． 4? 。 B． 8? C． 12? D． 16? A A E O B C D C B D O3．若两圆的半径分别为 R 和 r，其圆心距为 5，且 R 2 ? r 2 ? 8R ? 2r ? 17 ? 0 ，则两圆的 位置关系是 。 4．两圆的半径分别为 4 和 5，圆心距为 5，则这两圆的 公切线共有 条。 A 5．如图，⊙O1 与相交于点 A、B，且 AO1，AO2 分别 是两圆的切线，A 是切点。若⊙O1 的半径 r1 ? 3 M，⊙ O2 的半径 r2 ? 4 M，则弦 AB= M。 O1 B B O26．已知⊙O1 与⊙O2 的半径长分别为方程 x 2 ? 9 x ? 14 ? 0 的两根。若圆心距 O1O2 的 长为 5，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系为 。 7．如图，两圆相交于 A、B 两点，AC、AD 分别为两圆的直 径，若连结 BC、BD，则∠CBD 是（ ） 。 A．钝角 B．平角 C．锐角 D．直角 AD B C 8．已知两圆内切，一个圆的半径是 3，圆心距是 2，那么另 一个圆的半径是（ ） 。 A．1 B．5 C．2 或 3 D．1 或 5 9．已知⊙O 和⊙O′外切于点 C，它们的半径分别为 R、r，AB 为两圆的外公切线，切 点为 A、B 则公切线的长 AB 等于（ ） 。 A． 4 Rr B． Rr2C． 2 RrD． 2Rr10．已知⊙O1 和⊙O2 的半径是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根，两圆心的坐标分别为（2，－ 1）（－1，3） ， ，则两圆的位置关系是（ ） 。 A．相交 B．外离 C．外切D．内切67十一.圆的有关计算考点速览：【例题经典】 有关弧长公式的应用 例 1 如图，Rt△ABC 的斜边 AB=35，AC=21，点 O 在 AB 边 上，OB=20，一个以 O 为圆心的圆，分别切两直角边边 BC、 AC 于 D、E 两点，求弧 DE 的长度．有关阴影部分面积的求法 例 2 如图所示，等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB ? 4 ， O 是 AB 的中点，以 O 为圆心 的半圆分别与两腰相切于 D 、 E ．求圆中阴影部分的面积．C D EA? OB68求曲面上最短距离 例 3 如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥， ? 一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它 爬行的最短路线长是（ ） A．2 ? 求圆锥的侧面积 例 4 如图 10， 这是一个由圆柱体材料加工而成的零件， 它是以圆柱体的上底面为底面， ? 在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB=12cm，高 BC=8cm，求这个零件的表面积． （结果保留根号） B．4 2 C．4 3 D．5方案设计 例 5.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是： 在一块边长为 16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆， 使得扇形围成圆锥的侧面时， 圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于 是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二． （两个方案的图中，圆与正 方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行， 请说明理由． B A B A?1 O C方案一?2 O D C方案二D69【考点速练】 一、基础训练 1．已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 2cm，则扇形的弧长是_______cm，扇形的面积是 ________cm2． 2．如图 1，两个同心圆中，大圆的半径 OA=4cm，∠AOB=∠BOC=60° ，则图中阴影部 分的面积是______cm2．（1）（2）（3）（4）3．如图 2，圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的侧面积是_______cm2． 4．如图 3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若 圆的半径为 r， 扇形的半径为 R， 扇形的圆心角等于 120° 则 r 与 R 之间的关系是 ? ） ， （ A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r5．如图 4，圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则它的侧面积是（ ） A．60 ? cm2 B．45 ? cm2 C．30 ? cm2 D．15 ? cm26．已知圆锥侧面展开图的圆心角为 90° 则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） ，? A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：17．用半径为 30cm，圆心角为 120° 的扇形围成一个圆锥的侧面，? 则圆锥的底面半径为 （ ） B．30cm C．45cm D．300cmA．10cm8．将直径为 64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝 处的材料损耗） ，那么每个圆锥容器的高为（ ） A．8 15 cm B．8 17 cm C．16 3 cm D．16cm9．如图 5，圆心角都是 90° 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，? OA=3，OC=1，分 别连结 AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（ ）70A．1 ? 2B． ?C．2 ?D．4 ?（5） 二、能力提升：（6）（7）10．如图 6，PA 切圆 O 于 A，OP 交圆 O 于 B，且 PB=1，PA= 3 ，则阴曩部分的面积 S=______． 11．如图 7，在边长为 4cm 的正方形 ABCD? 中，? 分别以各边为直径向正方形内依次作 弧 AB,BC,CD,DA， E 是四段弧的交点． 点 一只蚂蚁由点 A 出发沿弧 AB,BC,CD,DA,AB 路径顺序不断地爬行，当它行走了 2006 ? cm? 时，? 停止爬行，? 此时，? 蚂蚁所处 的位置是点_______． （填 A，B，C，D，E 之一） 12．如图 8，这是一个供滑板爱好者使用的 U 形池，该 U? 型池可以看作是一个长方体去 掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，? 其边缘 AB=CD=20m，点 E 在 CD 上，CE=2m，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，? 则他滑行 的最短距离约为______m； （边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）13．如图 9，将圆桶中的水倒入一个直径为 40cm，高为 55cm? 的圆口容器中，圆桶放置 的角度与水平线的夹角为 45° ，若使容器中的水面与圆桶相接触，? 则容器中水的深 度至少应为（ ） A．10cm B．20cm C．30cm71D．35cm三、应用与探究： 1．如图所示，A 是半径为 1 的⊙O 外一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦 BC∥ OA，连结 AC，求阴影部分的面积． C O B A2. 如图所示，已知 Rt △ ABC ， AC ? BC , DEF 的圆心为 A ，如果图中两个阴影部分面 积相等，求 AD : DB ． A AD BA AE AC A F A3. 如图， 有一直径是 1 米的圆形铁皮， 要从中剪出一个最大的圆心角是 90°的扇形 ABC， 求： （1）被剪掉后阴影部分的面积． （2）用所有的扇形铁皮围成一个圆锥．该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果可用根号 表示） AB? O72【作业】日期姓名完成时间）成绩1．在两个同心圆中，两条半径所截得的弧长的比一定等于（ A、两心角的度数比 C、两圆半径的平方比 B、两条半径的比 D、以上都不对 ）2．正三角形的内切圆与外接圆周长的比为（ A、 1: 2 B、 1 : 2C、 1 : 3D、1: 3 ）3． 若圆上一段劣弧所对的弦长等于圆的半径 R， R=1， 那么劣弧和弦围成的弓形面积 （ A、 1 ? ? 36 4B、 0.09C、3 4D、 1 ?64．如图所示，两个同心圆中大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C ，若 AB =4，则图中圆环的 面积为（ A、 16? C、 16 ） B、 4? D、 2? A O ? C P B5．如图所示，矩形 ABCD 中， AB =1， AD ? 3 ，以 BC 的中点 E 为圆心的 MPN 与AD 相切于点 P ，则图中阴影部分的面积为（A、 2 ?3） ．A M BD NB、3 4?3C、3 ? 4D、 ?E ）2C6．已知圆锥的底面周长为 58cm，母线长为 30cm，求得圆锥的侧面积为（ A．870 cm2B．908 cm2C．1125 cm2D．1740 cm7．若圆锥侧面积是底面积的 2 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ A． 120 ? B． 135 ? C． 150 ? D． 180 ?）8． 一个圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形， 它的母线长为 a ， 则圆锥的表面积为 （ A． 1 2）?2 ? 1 ?a 2?B．?2 ? 1 ?a 2?C． 1 2?2 ?1 a2?D．1 ? 2 ?a 229．一个圆锥形的零件，如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为 4cm 的等边三角形，那么 圆锥的表面积是（ ）73A．8 ?cm2B．10 ?cm2C．12 ?cm2D．1 ?cm2十二.圆的基础综合测试一、 精心选一选 1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦； ③ 相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ A.①② B. ②③ C. ①③ ）D. ①②③ ）2．⊙O 的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 ）3． ⊙O 中，AOB＝∠84°，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ A.42° B.138° C.69° D.42°或 138°4．如图 1，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ A.80° B. 50° C. 40° D. 20°）5．已知两圆的半径是方程 x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 两实数根，圆心距为 8，那么这两个圆的位 置关系是（ A.内切 ） B.相交 C.外离 D.外切 )6．已知圆上的一段弧长为 5π cm，它所对的圆心角为 100°,则该圆的半径为( A.6 B.9 C.12 D.187．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为 9 和 5，如果⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( A.2 ) B.7 C.2 或 7 D.2 或 4.5 ）8．如图 2，AB 与⊙O 切于点 B，AO＝6 M，AB＝4 M，则⊙O 的半径为（ A、4 5 M B、2 5 M C、2 13 MD、 13 M9．如图 3，已知⊙0 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35°，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线 交于点 P，则么∠P 等于（ A．150） C．250B．200D．30010．如图 4，△ABC 内接于⊙O，∠C=45°，AB= 4 ，则⊙O 半径为（ A、 2 2 B、4 C、 2 3） D、574二、耐心填一填 11． 过⊙O 内一点 M 的最长弦为 10cm， 最短弦为 8cm，则 OM= 12．Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC 的内切圆半径为 13．已知正 n 边形的一个外角与一个内角之比为 1U3，则 n 等于 ． ． cm.．14．某校九（3）班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，已知圆锥 的母线长为 30cm，底面直径为 20cm，则这个纸帽的表面积为 ．15．如图 5，⊙O 是△ABC 内切圆，切点为 D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE 度 数是 ．16．如图 6，⊙O 中，直径为 MN ，正方形 ABCD 四个顶点分别在半径 OM、OP 以及⊙O 上， 并且∠POM = 45°，若 AB＝1，则该圆的半径为 ．三、思维大比拼 17． 如图 7，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以 C 为圆心，CA 为半径的圆交 AB 于点 D,交 BC 于点 E.求 AD 、 的度数． DE18．已知：如图，△ABC 中，AC＝BC，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F． 求证： （1）AD＝BD； （2）DF 是⊙O 的切线．D E B O C F A7519． 如图， Rt△ABC 中， 在 ∠B＝90°， 的平分线与 BC 相交于点 D,点 E 在 AB 上， ∠A DE=DC, 以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． （1）AC 与⊙D 相切吗？并说明理由． （2）你能找到 AB、 BE、AC 之间的数量关系吗？为什么？△ sin 20、 如图， 已知： ABC 内接于⊙O， D 在 OC 的延长线上， B ? 点求证： AD 是⊙O 的切线； （2）若 AC ? 6 ，求 AD 的长．1 ? ? ， D ? 30 ． 1） （ 2DCBOA7621．如图，已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD，且 OD＝5． （1）若 sin ∠BAD ?3 ，求 CD 的长； 5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ? ） ．22．图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示） ，车棚顶部是圆柱侧面 的一部分，其展开图是矩形．图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为 O． AB 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留 ? ） ．2米A4 3米BA ? OB图①图②7723．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AB =8 M，AD=24 M，BC=26 M， AB 为⊙O 的直径。动点 P 从 A 点开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s ,求： （1） t 分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？ （2） t 分别为何值时，直线 PQ 与⊙O 相交、相切、相离？78十三.圆的终极综合测试一：选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角 形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2．下列判断中正确的是（ ） A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3． 如上图， 已知⊙O 的弦 AB、 相交于点 E， CD 的度数为 60°，的度数为 100°，则∠AEC 等于（ ） A.60° B.100° C.80° D.130° 4．圆内接四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C 的度数比是 2:3:6，则∠D 的度数是（ ） A.67.5° B.135° C.112.5° D.110° 5.过⊙O 内一点 M 的最长弦长为 6cm,最短的弦长为 4cm,则 OM 的长为( ).A、 3cm B、 5cm C、 2cm D、 3cm 6．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为 9 和 5，如果⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( A.2 ) B.7 C.2 或 7 D.2 或 4.5 ）7．△ABC 的三边长分别为 a、b、c，它的内切圆的半径为 r，则△ABC 的面积为（ A.1 （a＋b＋c）r 2B.2（a＋b＋c） C.1 （a＋b＋c）r 3D.（a＋b＋c）r ）8．已知半径分别为 r 和 2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距 d 的取值范围是（ A.0＜d ＜3r B.r ＜d ＜3r C.r ≤d ＜3r D.r ≤d ≤3r9.将一块弧长为? 的半圆形铁皮围成一个圆锥 （接头忽略不计） 则围成的圆锥的高为 ， （） A． 3 B．3 2C． 5D．5 2AC F O B10.如图，圆 O 中弦 AB、CD 相交于点 F，AB=10，AF=2，若 CF:DF=1:4，则 CF 的长等于（ ） 。79DA． 2B．2C．3D．2 211.有一张矩形纸片 ABCD， 其中 AD=4cm， 上面有一个以 AD 为直径的 半圆， 正好与 对边 BC 相切，如图（甲） ，B B C A C A D C将它沿 DE 折叠， A 点落在 使BC 上，如图（乙） ，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ A. (? ? 2 3)cm2 C． ( ? ? 3 )cm）4 321 2 2 2 2 D． ( ? ? 3 )cm 3B． ( ? ? 3 )cm12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16π ，过小 圆 上任一点 P 作 大圆的弦 AB ，则 PA ? PB 的值是（ A． 16 B． 16? C． 4 D． 4? ）二、填空题 13．Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC 的内切圆半径 为 ．?C14.如图，圆 O 是 △ ABC 的外接圆， ?C ? 30 ， AB ? 2 cm ，OAB则圆 O 的半径为cm ．215.（1）已知圆的面积为 81? cm ，其圆周上一段弧长为 3? cm ，那么这段弧所对圆心角 的度数是 ．（2）如图 13 所示，AB、CD 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为 R，AB⊥CD，以 B 为圆心， 以 BC 为半径作弧 CED，则弧 CED 与弧 CAD 围成的新月形 ACED 的面积为 .（3）如图 14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为 4m 的正六边形，池底是水磨 石地面，现用的磨光机的磨头是半径为 2dm 的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部 A 分的面积为 . E C O DA O ??BB 图 1380图 1416．如图 2，圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的 侧面积是 .cm ．217.如图，有一个圆锥，它的底面半径是 2cm 母线长是 8cm，在 点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到与 A 点相对且离圆锥顶点 3 2 cm 的点 B 处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .CB ? A? O ?18、如图，A、B、C、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC，AD 交 BC 于 E， AE=2、ED=6，则 AB= . B ?A E C ? D? O19.已知矩形 ABCD，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三 边都相切的⊙P 后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的⊙Q，那么 ⊙Q 的直径是 . AD P??Q ? CB 20.如图所示，AB 是⊙ O1 的直径， AO1 是⊙ O2 的直径，弦 MN∥ AB，且 MN 与⊙ O2 相切于点 C．若⊙ O1 的半径为 2，则由 O1 B 、 弧 BN、NC、弧 CO 1 围成图形的面积等于 ．M AC O2 O1N B21.如图，已知半圆 O 的直径为 AB，半径长为25 ，点 C 在 AB 上， 47 OC ? , CD ? AB , CD 交半圆 O 于 D，那么与半圆相切，且与 481BC，CD 相切的圆 O ? 的半径长是 三、综合题。22.以 Rt△ABC 的直角边 AC 为直径作⊙O，交斜边 AB 于点 D，E 为 BC 边的中点，连 DE. ⑴请判断 DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论. ⑵当 AD：DB=9：16 时，DE=8cm 时，求⊙O 的半径 R.23. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于 点 P ， AC ? PC ， ?COB ? 2?PCB ． （1）求证： PC 是 ⊙O 的切线； （2）求证： BC ?1 AB ； 2（3）点 M 是弧 AB 的中点， CM 交 AB 于点 N ，若 AB ? 4 ，求 MN*MC 的值．8224．如图 1，直线 y＝3 1 2 x－1 与抛物线 y＝－ x 交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 4 4轴交于点 C． （1）求线段 AB 的长； （2）若以 AB 为直径的圆与直线 x＝m 有公共点，求 m 的取值范围； （3）如图 2，把抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 n 个单位（n＞0） ，抛物线与 x 轴交于 P，Q 两点，过 C，P，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求 出这个最小值和此时 n 的值，若不存在，请说明理由． y y Q P C xO O C B xA图1图283
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