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分析例说求极限的几种方法
分析例说求极限的几种方法
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分析例说求极限的几种方法
&&& 导读:四则运算法则指:如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作为除数的函数的极限不能为零)。法则本身很简单,但有些函数求极限往往不能直接利用法则,需要先对函数做某些恒等变形或化简,常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式&&& 的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。利用单调有界准则求极限,首先讨论数列的单调性和有界性,再解方程可求出极限。总之,极限的求法很多,但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法,则可以化难为易,使问题得到圆满解决,并可提高解题效率。&&& 关键词:数列,函数,极限,求法&&& 极限思想贯穿于整个微积分的课程之中,掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多,且灵活性强,因此有必要对极限的求法加以归纳总结,本文就师范数学微积分的内容总结了如下12种方法:&&& 一、利用极限四则运算法则求极限&&& 四则运算法则指:如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作为除数的函数的极限不能为零)。法则本身很简单,但有些函数求极限往往不能直接利用法则,需要先对函数做某些恒等变形或化简,常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。&&& 例 1. &&& 解:原式= ===-&&& 例2.&&& 解:原式=&&& 二、利用两个重要极限求极限&&& 两个重要极限为:,或 它们的扩展形式为:,或,利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则求极限。&&& 例3. &&& 解:原式= 。&&& 例4. &&& 解:原式= 。&&& 例5.&&& 解:原式=&&& 三、利用函数的连续性求极限:&&& 由函数f(x)在x0点连续定义知,,由于初等函数在定义区间内处处连续,所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值,只要求其函数在该点处的函数值,因此可直接代入计算。&&& 例6. &&& 解:因为是函数的一个连续点,&&& 所以 原式= 。&&& 例7. &&& 解:原式==&&& 四、利用导数的定义求极限 &&& 若函数f(x)在x0点可导,则,利用这个定义,若所求极限的函数具有函数导数的定义式或可化为导数的定义式,则可利用导数的定义求极限。&&& 例8. 已知存在,求&&& 解:原式=&&& =&&& =a[=2a&&& 五、利用无穷小的性质求极限&&& 有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。一般要记住:。。&&& 例9.求&&& 解: 因为, 是有界函数&&& 所以=0 &&& 六、利用等价无穷小代换求极限&&& 在求两个函数的积或商的极限时,若能利用三角公式或代数公式进行变形,最后变成两个极限为零的因式之比时(两个无穷小之比),则可以用它们的等价无穷小来代替,求出极限。等价无穷小主要有:~~~~~~() ,当前面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立。 &&& 例10. &&& 解:~,~,&&& ∴ 原式= 。&&& 例11.&&& 解:原式=&&& 七、利用单调有界准则求极限&&& 利用单调有界准则求极限,首先讨论数列的单调性和有界性,再解方程可求出极限。&&& 例12. 已知,求&&& 解:易证:数列单调递增,且有界(0&&2),由准则极限存在,设 。对已知的递推公式 两边求极限,得:&&& ,解得:或(不合题意,舍去),所以 。。&&& 八、利用夹逼准则求极限&&& 对于数列,若为三个数列,且满足:(1);(2) ,; 则极限一定存在,且极限值也是a ,即。对于函数,若在某个过程中,恒有g(x)f(x)h(x),而且limg(x)=limh(x)=A,则limf(x)=A。在求解过程中一般要将所求极限的函数进行适当放大或缩小,得到两个有相同极限的函数,然后利用夹逼准则求出其极限值。&&& 例13. 求&&& 解: 易见:&&& 因为 ,&&& 所以由准则得:&&& 九、利用洛必达法则求极限&&& 洛必达法则为:假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;(2)和都可导,且&&& 的导数不为0;(3)存在(或是无穷大),则极限也一定存在,且等于,即= 。。利用洛必达法则求极限,由于分类明确,规律性强,且可连续进行运算,可以简化一些较复杂的函数求极限的过程,但运用时需注意条件。 例14. 求 解:原式===0 例15. 求 解:原式= 十、利用微分中值定理求极&&& 限&&& 拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理,它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,利用这个定理可以求某些函数的极限.&&& 例16. 求.&&& 解: 设,在[]上用拉格朗日中值定理,得&&& (其中),&&& 故当时,,可知:原式= = .&&& 十一、利用泰勒公式(麦克劳林公式)求极限&&& 设函数f(x)在x=0的某个邻域内有定义,且f(n)(0)存在,则对该邻域内任意点x有如下表示式成立&&& 此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林公式,利用麦克劳林公式可以求解一些用其它方法难以处理的极限。这种方法的关键是确定展开的函数及展开的阶数。&&& 例17. 求极限 .&&& 解: , &&& 十二、利用定积分求极限&&& 若遇到关于n的某一和式的极限能够将其表示为某个可积函数的积分和式的极限,那么就能用定积分来求极限,关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。&&& 例18. 求 &&& 解:原式=&&& 总之,极限的求法很多,但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法,则可以化难为易,使问题得到圆满解决,并可提高解题效率。&&& 参考文献:&&& [1] 《大学数学》微积分(一) 萧树铁主编高等教育出版社 2003年4月第二版&&& [2]《数学分析讲义》(上册)刘玉琏主编 高等教育出版社,2003年7月第四版
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微积分学初步
附录 B 微积分学初步数列的 §1 数列的极限10、数列极限基本概念 数列极限的概念：考虑数列{xn } = 1 ， 2 ， 3 ，…，2 3 4随着 n 的增大， x n =n ，… n +1n 越来越趋近于 1，当 n 趋于无穷时，xn 趋于 1。此时，我们就称数列 n +1{xn}在 n → ∞ 的极限为 1，并记为lim n + 1 = 1n→∞n当然，上述极限的概念是不够严谨的，严格的极限定义可参见高等数学的教科书。0 2 、基本的数列极限 0在明显的情况下，我们很自然地就可以得到如下一些基本的数列极限： 1、lim n = 0n→ ∞1(1)2、lim n = 0n→∞pp 为一定数(2)3、lim nn→∞1p=0p&0，为一定数 （q 为一定数，且 q & 1 ） （a&0，为一定数） （a 为常数）(3)4、 5、 6、lim qn →∞n=0(4) (5) (6)limn→∞n→∞na =1lim a = a另外，利用有关的极限定理，还可以证明如下的一个特殊极限：? 1? 极限 e： lim ?1 + ? = e ，e = 2.71828… n? n→∞ ?30、数列极限的基本运算定理 设n(7)lim xn→∞n= A ， lim y n = B ，A，B 均为有限实数，n→ ∞1、 数列和的极限等于极限的和，即1lim (xn→∞n+ y n ) = lim x n + lim y n = A + Bn →∞ n→ ∞2、数列积的极限等于极限的积，即lim (xn→∞n? y n ) = lim x n ? lim y n = A ? Bn →∞ n →∞3、数列商的极限等于极限的商，即x lim ynn = n→∞推论 1、 推论 2、lim x lim yn →∞ n →∞ nn=nA ，B≠0 B = a + A ，a 为常数。lim (a + x ) = a + lim xn→∞ n →∞ nnlim (λx ) = λ ? lim xn→ ∞ n n→ ∞= λA ，λ为常数。p推论 3、lim (x )n→∞ np? ? = ?lim x n ? = A p ，p 为常数 ? n →∞ ?利用基本的数列极限和数列极限的基本运算定理，我们就可以求一些常见的数列极限了。 如： 例 1、求极限 limn →∞3n + 1 。 2n ? 1解： lim3 +1 n 3 3n + 1 = lim = ，即为所求。 n →∞ 2 n ? 1 n →∞ 2 ? 1 n 2例 2，求极限 limn →∞( n 2 + 1 + n) 23n6 + 1。解： limn →∞( n 2 + 1 + n) 23n6 + 1= limn →∞( 1 + 1 n 2 + 1) 2 1+1 n2= 4 ，即为所求。§2 函数的极限10、函数极限基本概念 函数极限： （1）若 x → ∞ 时，函数 f ( x ) → A ，则称函数 f (x ) 在 x → ∞ 时的极限为 A，并记为lim f ( x) = A 。x →∞（2）若 x → x 0 时，函数 f ( x ) → A ，则称函数 f ( x ) 在 x → x 0 时的极限为 A，并记为2lim f ( x) = A 。x → x0同样，上述极限的概念是不够严谨的，严格的极限定义可参见高等数学的教科书。 20、基本的函数极限 同样在明显的情况下，我们很自然地就可以得到如下一些基本的函数极限： 1、lim x = 0x→∞1(1)2、lim x = 0x→∞γγ 为实常数q&0(2)3、lim xx→∞1q=0(3)4、 5、lim qx →∞x=0q &1a&0(4) (5)limx →∞xa =16、对于基本初等函数 f (x ) ,若 x0 为其定义域中一点，则总有lim f ( x) =x → x0f ( x0 )0(6)如： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）lim x = xx → x0lim xx → x0nn = x0lim ax → x0x= a x0 = e x0aa&0lim ex → x0 x → x0xlim logx → x0x = log a x00lim ln x = ln xx → x0lim sin x = sin xx → x00lim cos x = cos x lim tgx = tgxx → x0 007、对于复合函数 f (u ) ， u = ? ( x ) ，即 f [? ( x )] ，有3lim f [? (x )] = f ?lim? (x )? ? ?x → x0 x → x0??(7)或在 x → x0 ， u → u 0 时，且 u0 使得 f (u ) 有定义，则lim f [u(x )] = lim f (u )x → x0 u →u 0(8)利用有关的极限定理，还可以证明如下的两个特殊极限：? 1、 lim ?1 + x →∞ ?2、1? ? =e x?x(9)limx →0sin x =1 x(10)30、函数极限的基本运算定理 函数极限的基本运算 的基本运算定理 设函数 f 1 ( x) 和 f 2 ( x) 在 x → x 0 （或 x → ∞ ）时的极限存在，则 1、两个函数和的极限等于其极限的和，即lim [ f (x ) + f (x )] = lim f ( x) + lim f1 2 12( x)2、两个函数积的极限等于其极限的积，即lim [ f (x ) ? f (x )] = lim f ( x) ? lim f1 2 12( x)3、两个函数商的极限等于其极限的商，即lim推论 1、 推论 2、f 1 ( x) = f 2 ( x)lim f ( x) lim f ( x)1 2lim f2( x) ≠ 0lim [a + f ( x)] = lim f ( x) + a ，a 为常数。 lim [λf ( x)] = λ lim f ( x) ，λ为常数。推论 3、lim [ f ( x)]1 xn? ? = ?lim f ( x)? ，n 为常数。 ? ?n利用基本的函数极限和函数极限的基本运算定理，我们还可以得到如下一些基本的极限： 1、lim (1 + x )x →0=e2、limx →0ln (1 + x ) =1 x4ex ?1 3、 lim =1 x x →04、a x ?1 lim x = ln a x →0其中： 1、对于lim (1 + x )x →01x，可令 z =1 ，则在 x → 0 时， z → ∞ ，从而 xzlim (1 + x )x →01x? 1? = lim ?1 + ? = e z? z →∞ ?2、limx →01 ln (1 + x ) = lim ln (1 + x ) x = ln e = 1 x x →03、对于ex ?1 x lim x ，可令 z = e ? 1 ，则 x = ln(1 + z ) ，当 x → 0 时， z → 0 ，从而 x →0ex ?1 z 1 1 lim x = lim ln(1 + z) = lim ln(1 + z ) 1 z = ln e = 1 x →0 z →0 z →04、 对于a x ?1 x lim x ，可令 z = a ? 1 ，则 x = log a (1 + z ) = ln(1 + z ) ln a ，当 x → 0 时， x →0z → 0 ，从而a x ?1 z ln a lim x = lim ln(1 + z ) ln a = lim ln(1 + z ) 1 z = ln a x →0 z →0 z →0§3 导数10、导数的概念及定义 导数的概念来源于一种特殊的函数极限，这可以从下面导数的定义看出。 定义 1：设函数 y = f (x) 在 x0 点处的邻域内有定义。在此邻域内设自变量 x 从 x0 点处变 化到 x0 + ?x ，有增量 ?x 。相应地函数 f (x) 也由 f ( x0 ) 变化到 f ( x0 + ?x) ，有增量?y = f ( x 0 + ?x) ? f ( x0 )若如下极限存在5lim ?x = lim?x → 0 ?x →0?yf ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?x则称此极限值为函数 y = f (x ) 在 x0 点处的导数， 并称函数 y = f (x ) 在 x0 点处可导或具有导 数，同时记为f ′( x0 ) = lim?x →0f ( x 0 + ?x) ? f ( x0 ) ?x，或y ′ = x0 ， xdy dxx = x0df dx。x = x0定义 2：设函数 y = f ( x ) 在某一区间内有定义。在此区间内的任意一点 x 处，设自变量有 增量 ?x 时，相应地函数 y = f ( x ) 有增量?y = f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 )若如下极限存在lim ?x = lim?x → 0 ?x →0?yf ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ?x则称此极限值为函数 y = f ( x ) 在此区间内的导函数，并记为y′ =f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) dy df = f ′( x) = = lim dx dx ?x →0 ?x注：若已知在某一区间内函数 y = f ( x ) 的导函数为 y ′ = f ′( x ) ，则此区间内某点 x0 处的导 函数就为 f ′( x 0 ) ，而导函数简称为导数，且 ?x → 0 时， ?y → 0 。 20、导数的几何意义和物理意义 (1)、导数的几何意义 如图 2.1，dy 是直线 AB 的斜率，当 ?x 逐步减小时，B 点就逐渐靠近 A 点，而直线 AB 也 dx逐渐地靠近过 A 点(x，y)的切线。自然当 ?x → 0 时，直线就趋于并成为过 A 点的切线，也即6lim ?x = y ′?x → 0?yy y = f(x) B就是过 A 点(x，y)由函数 y = f (x ) 所描述的曲线的斜 率，即y ′ = tgθA Δx θ O xΔyθ 为过 A 点(x，y)的切线之倾角。(2)、导数的物理意义举例 1、考虑沿 x 轴作直线运动的质点，设 t 时刻的位 置坐标由运动方程 x = x (t ) 决定，也即在 t 时 刻质点在 x 处。现考虑 t + ?t 时刻，质点在x+Δxx图 2.1x + ?x 处， ?x 为质点在 ?t 时间内运动的路程。则A O xΔxB x+Δx x?x 一般就是在 ?t 时间内，质点运动的平均 ?t快慢程度――平均速度――在单位时间内所经 过的路程。如图 2.2，若 ?x 越小，则 B 点越靠 近 A 点，比值 图 2.2?x 就越较能准确地描述靠近 A 点处的运动快慢程度。当 ?t → 0 时， ?x → 0 ， ?t ?x ?t则可认为此时的比值v = lim?t →0描述的就是 A 点处质点运动的快慢程度――速度。 2、我们知道，空间某点的位置可由直角坐标 x，y，z 确定。也可以由位置矢量r r r r r = xi + yj + zk 确定。对一个运动的质点，不同的时刻，其位置不同，描述其位置的位矢r r r 也就不同，故描述质点位置的位矢 r 是时间 t 的函数。 r r r r r r = r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k现设一质点的运动轨迹为曲线 L 如图 2.3 所示。t 时刻处于位置 A 点，其位矢为 r ，经一段rr r r ?r 时间 ?t 后，质点运动到了 B 点，即 t + ?t 时刻的位矢为 r + ?r ，考虑比值 ，在 ?t → 0 时 ?t∩ ∩ r ?r → 0 ， （但不等于零） ，其大小趋于弧长 AB （ AB → 0 ） ，即趋于时间 ?t 内质点所经过的路7r ?r 程 ?s （ ?s → 0 ） 。故 在 ?t → 0 时的大小描述了质点在 ?t → 0 的时间内，近于 A 点处的 ?t运动快慢程度。其方向趋于过 A 点曲线 L 的切线方向，即质点在 A 点处的运动方向。因此可定 义r r ?r v = lim ?t →0 ?t为质点在 t 时刻 A 点处的运动速度。 这样的运动速度，描述了 质点的运动状态， 即其大小描述了质点在 t 时刻运动的快慢程 度，其方向描述了质点在 t 时刻的运动方向，并记速度为 B Lr r dr dx r dy r dz r v= i+ j+ k = dt dt dt dt r r r & & & = xi + yj + zk其中r r r + ?r r rr ?rAdx & vx = x = dt30、基本的导数公式dy & vy = y = dtdz & vz = z = dtO 图 2.3由导数的定义，我们可以得到如下的基本导数公式： 1、设 y = x n ，则 y ′ = nx n ?1 。n 可以是任意的实数。 2、设 y = e x ，则 y ′ = e x 。 3、设 y = a x ，则 y ′ = a x ln a 。 4、设 y = ln x ，则 y ′ =1 。 x 1 。 x ln a5、设 y = log a x ，则 y ′ =6、设 y = sin x ，则 y ′ = cos x 。 7、设 y = cos x ，则 y ′ = ? sin x 。 下面我们给出上述基本的导数公式证明： 1、设 y = x n ，则?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = (x + ?x ) ? x nn= nx n ?1 ? ?x +n(n ? 1) n ? 2 x ? ( ?x ) 2 + L + ( ?x ) n 2!8故y ′ = lim?x → 0?y n(n ? 1) n ? 2 ? ? = lim ?nx n ?1 + x ? ?x + L + (?x) n ?1 ? ?x ?x →0 ? 2! ?= nx n ?12、设 y = e x ，则?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = e x + ?x ? e x = e x (e ?x ? 1)故?x ?y ?1 x e y ′ = lim = lim e ? = ex ?x ?x →0 ?x ?x → 03、设 y = a x ，则?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = a x + ?x ? a x = a x (a ?x ? 1)故y ′ = lim?x → 0?y a ?x ? 1 = lim a x ? = a x ln a ?x ?x →0 ?x4、设 y = ln x ，则? ?x ? ?y = f ( x + ?x) ? f ( x)＝ln( x + ?x) ? ln x = ln?1 + ? x ? ?故y ′ = lim?x → 0?y 1 ? ?x ? = lim ln?1 + ? ?x ?x →0 ?x ? x ?1 x ? ?x ? = lim ? ? ln?1 + ? x ? ? ?x →0 x ?x1 ? ?x ? ?x = lim ? ln?1 + ? x ? ? ?x → 0 x= 1 xx5、设 y = log a x ，则? ?x ? ?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = log a ( x + ?x) ? log a ( x) = log a ?1 + ? x ? ?故y ′ = lim?x → 0?y 1 ? ?x ? = lim log a ?1 + ? x ? ?x ?x →0 ?x ?9? ?x ? ln?1 + ? 1 x x ? ? = lim ? ? ln a ?x →0 x ?x1 ? ?x ? ?x = lim ? ln?1 + ? x ? ? ?x →= x ln a= 1 x ln ax6、设 y = sin x ，则?x ? 2 x + ?x ? ?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = sin( x + ?x) ? sin x = 2 cos? ? ? sin 2 ? 2 ?故y ′ = lim?x → 0?y ?x ? sin (?x 2 ) ? = lim 2 cos? x + ?? ?x ?x →0 ?x 2 ? ??x ? sin (?x 2) ? = lim cos? x + ?? x ? (?x 2) ? ?x →0= cos x7、设 y = cos x ，则? 2 x + ?x ? ? ?x ? ?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = cos( x + ?x) ? cos x = ?2 sin ? ? ? sin ? ? ? 2 ? ? 2 ?故y ′ = lim?x → 0?y ?x ? sin (?x 2 ) ? = lim (? 2 ) ? sin ? x + ?? 2 ? ?x ?x ?x →0 ??x ? sin (?x 2) ? = lim (? 1) ? sin? x + ?? 2 ? (?x 2) ? ?x → 0= ? sin x40、导数基本定理及其求导运用 定理 1：常数的导数为零，即c′ = 0定理 2：常数与函数乘积的导数等于常数与函数导数的积，即[cf ( x)]′ = cf ′( x)定理 3：函数和的导数等于函数导数的和，即10[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x)简写为(u ± v)′ = u ′ ± v ′定理 4：函数积的导数等于分别只对一函数求导积的形式之和，即[u ( x) ? v( x)]′ = u ′( x)v( x) + u ( x)v′( x)简写为 或(uv)′ = u ′v + uv ′[uvw]′ = u ′vw + uv ′w + uvw′定理 5：函数商的导数等于分母的平方分之分子导数乘以分母减去分母导数乘以分子，即′ ? u ( x) ? u ′( x)v( x) ? u ( x)v ′( x) ? v( x) ? = [v( x)]2 ? ?简写为′ ? u ? u ′v ? uv ′ ? ? = v2 ?v?定理 6：若 y = f (u ) ，又 u = ? ( x ) ，则y ′ = f u′ (u ) ? ? ′ ( x) x x也即dy dy du df du = ? = ? dx du dx du dx定理 7：对一函数等式，若两边的导数存在，则等式两边同时求导等式成立。即若 则f ( x) = u ( x) f ′( x) = u ′( x)下面我们给出一些导数基本定理的证明 1、设 y = c ，则 ?y ≡ 0 ，?y ≡0 ?x y ′ = lim?x → 0?y = 0=0 ?x lim ?x → 02、设 y = c ? f ( x ) ，则y = [ f ( x)]′ = lim?x →0cf ( x + ?x) ? cf ( x) ?x11= c lim?x → 0f ( x + ?x) ? f ( x) ?x= cf ′(x)3、设 y = u ( x ) ± v ( x) ，则y = [u ( x) ± v( x)]′ = lim?x →0[u ( x + ?x) ± v( x + ?x)] ? [u ( x) ± v( x)]?x= lim?x → 0u ( x + ?x) ? u ( x) v( x + ?x) ? v( x) ± lim ?x ?x ?x →0利用基本的导数和导数的基本定理，我们就可以进行求导运算了。如： 例 1：若 y =2 x ，则 y ′ = ( x 2 )′ =12 2 x=1 2x。例 2：设 y = 3 x 5 + 2 x 3 + 7 x 2 + 26 x + 8 ，则y ′ = 3 ? 5 x 4 + 2 ? 3 x 2 + 7 ? 2 x + 26 = 15 x 4 + 6 x 2 + 14 x + 26例 3：设 y = x 2 e x + x sin x ，则 y ′ = 2 xe x + x 2 e x + sin x + x cos x例 5：设 y =sin x x cos x ? sin x ，则 y ′ = x x2例 6：设 y = sin 2 x ，则 y ′ = 2 sin x cos x = sin 2 x例 7：设有 3 + y =1 1 ，则 y ′ = ? 2 x x例 8：设 y = x x ，取对数得 ln y = x ln x 于是y′ = ln x + 1 y y ′ = x x (ln x + 1)下面我们再给出一些常见的函数的导数：故121、设 y = tgx ，即 y =sin x cos则y′ =cos 2 x + sin 2 x 1 = = sec 2 x 2 2 cos x cos x cos x sin x2、设 y = ctgx ，即 y =则y′ =? sin 2 x ? cos 2 x 1 = ? 2 = ? csc 2 x 2 sin x sin x1 cos x3、设 y = sec x ，即 y = 则y′ =sin x = tgx ? sec x cos 2 x 1 sin x4、设 y = csc x ，即 y =则y′ =? cos x = ?ctgx ? csc x sin 2 x5、设 y = arcsin x ，即 x = sin y 等式两边同时对 x 求导，得1 = y ′ cos y从而y′ =1 1 1 = = cos y 1 ? sin 2 y 1? x26、设 y = arccos x ，即 x = cos y 等式两边同时对 x 求导，得1 = ? y ′ sin y从而y′ = ?1 1 1 =? =? 2 sin y 1 ? cos y 1? x27、设 y = arctgx ，即 x = tgy 等式两边同时对 x 求导，得1 = y ′ sec 2 y从而y′ =1 1 1 = = 2 2 sec y 1 + tg y 1 + x 250、二阶导数 二阶导数：设函数 y = f (x ) 有导数 y ′ = f ′(x ) 存在。若如下极限存在13lim?x → 0f ′( x + ?x) ? f ′( x) ?x则称此极限值为原函数 y = f (x ) 的二阶导数，并记为y ′′ =d2y f ′( x + ?x) ? f ′( x) = f ′′( x) = lim 2 ?x dx ?x →0且称 y ′ = f ′(x ) 为原函数 y = f (x ) 的一阶导数。 例 1：设 y = 7 x 3 + 4 x 2 + 3 x + 9 ，求 y ′′ 。 解： y ′ = 21x 2 + 8 x + 3 则y ′′ = 42 x + 8例 2：设 y = 解：由 y = x1 2x ，求 y ′′ 。得y′ =1 ?12 x 2从而1 ?3 1 y ′′ = ? x 2 = ? 4 4 x3§4 微分1 、微分的概念及定义 我们知道，若函数 y = f (x ) 在 x 点处的导数存在，则0?y 与 f ′(x ) 在 ?x → 0 时相差一无穷小量 α ，即可在 ?x → 0 时有 ?x ?y = f ′(x) + α ?x ?y = f ′( x) ? ?x + α ? ?x?y ?y 在 ?x → 0 时 → f ′(x) 。所以 ?x ?x(1) (2)注意到 ?x → 0 时，取 ?x → dx ， ?y → dy ， α → 0 ， ?x → 0 。略去高阶无穷小量 α ? ?x ， 则有dy = f ′( x) ? dx故可有(3)微分的定义：若函数 y = f (x ) 在 x 点处有导数 f ′(x ) 存在，则定义 dy 为 y 的微分，且有14dy = f ′( x) ? dx也可(3)’ (3)”df ( x) = f ′( x) ? dx20、微商的概念 由(3)式 dy = f ′( x) ? dx 及dy dy = f ′(x) 的比较， 可看成两个无穷小量的商，这就是通常 dx dx所称的微商，即dy = f ′(x) → dy = f ′( x) ? dx dx实际上对复合函数 y = f (u ) ， u = ? (x) ，求 y 对 x 的导数时就可dy dy du = ? dx du dx不过要注意，这样的运算对高阶导数的情形就不能简单地写成由d2y = f ′′( x) dx 2得 而只能是d 2 y = f ′′( x) ? dx 2 dy = f ′(x) dx? dy ? d? ? ? dx ? = f ′′(x) dx? dy ? d ? ? = f ′′( x) ? dx ? dx ?30、常见微分式 利用导数的公式，我们可以得到如下的微分式： 1、 d (c) = 0 ? dx 2、 d ( x n ) = nx n ?1 dx 3、 d (e x ) = e x dx 4、 d ( a x ) = a x ln adx155、 d (ln x ) =dx x dx x ln a6、 d (log a x ) =7、 d (sin x ) = cos xdx 8、 d (cos x ) = ? sin xdx 9、 d (tgx ) = sec xdx =2 2dx cos 2 x dx sin 2 xy10、 d (ctgx ) = ? csc xdx = ? 11、 d (sec x ) = tgx ? sec xdx 12、 d (csc x ) = ?ctgx ? csc xdxM’ M0 M sΔy Δx13、 d (arcsin x) = 14、 d ( arctgx ) = 40、弧微分dx 1? x2dx 1+ x2Ox0 图 4.1xx+Δx设函数 f (x ) 在（a，b）内有导数 f ′(x ) ，x0 为（a，b）内 一定点，x 和 x + ?x 为（a，b）内任意两邻近的点，M0，M 和 M’分别为曲线 y = f ( x ) 上 x0，x 和 x + ?x 所对应的点。如图 2.4 所示，考虑弦长MM ′ = (?x) 2 + (?y ) 2并注意到在 ?x → 0 时弦长 MM ′ → 弧长 ?s → 0 ，即可定义在 ?x → 0 时 ( ?x → dx )? dy ? 弧微分 ds = ( dx ) + ( dy ) = 1 + ? ? dx ? dx ?2 22= 1 + y ′ 2 dx对于参数方程(1)? x = x(t ) ? ? y = y (t )16? dx ? ? dy ? ds = (dx) + (dy ) = ? ? + ? ? dt ? dt ? ? dt ?2 222& & = x 2 + y 2 dt(2)§5 不定积分1 、不定积分的概念 对于函数 f (x ) ，如果有一函数 F (x ) ，使得0F ′( x) = f ( x)则称 F (x ) 为 f (x ) 的原函数。而已知函数 f (x ) ，求其原函数 F (x ) 的过程就叫做不定积分，并 记为∫ f ( x)dx = F ( x) + C显然不定积分就是求导的逆运算。C 为积分常数实际上，对原函数 F ( x ) 的微分有dF ( x) = F ′( x)dx = f ( x)dx可认为两边同时积分更有∫ dF ( x) = ∫ f ( x)dxF ( x) = ∫ f ( x)dx而对于加上任意常数 C 后， F ( x ) + C 仍是 f ( x ) 的原函数，即[ F ( x) + C ]′ = F ′( x) = f ( x)故∫ f ( x)dx = F ( x) + C例 1： 2 xdx = x 2 + C 例 2： xdx =换句话说，函数 f ( x ) 的所有原函数的全体，叫做函数 f ( x ) 的不定积分。∫∫1 1 2 ∫ 2 ? xdx = 2 x + C 220、基本积分公式 1、 0 ? dx = C 2、 x dx =n∫ ∫1 n+1 x + C ∫ dx = x + C n +1173、∫∫dx = ln x + C = ln x + C xx x4、 e dx = e + C 5、 a dx =x∫ ∫ ∫ax +C ln a6、 sin xdx = ? cos x + C 7、 cos xdx = sin x + C 8、 9、∫ cos ∫ sin12x xdx = tgx + C dx = ?ctgx + C1210、∫dx 1? x2dx2= arcsin x + C11、∫1+ x= arctgx + C30、基本积分定理（性质） 基本积分定理（性质） 1、[∫ f ( x)dx]′ = f ( x)∫ f ′( x)dx = ∫ df ( x) =1d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx f ( x) + Cf ( x) + C ( x) + L + f k ( x)]dx = ∫ f 1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx + L + ∫ f k ( x)dx2、有限个函数的和的积分，等于各个函数积分的和。即∫ [ f ( x) + f ∫40、不定积分法23、 λf ( x ) dx = λ f ( x ) dx∫λ为常数1、 换元积分法Ⅰ（凑微分法） 利用基本的微分式，我们以如下的几个例子来说明第一种换元积分法： 例 1： e dx =2x1 2x 1 2x ∫ e d (2 x) = 2 e + C 2 1 kx 1 kx kx 例 2： ∫ e dx = ∫ e d ( kx ) = e + C k k∫18例 3：∫1+ x = ∫dxd (1 + x) = ln 1 + x + C 1+ xm +1例 4：(ax + b ) 1 m m ∫ (ax + b ) dx = ∫ (ax + b ) d (ax + b) =aa (m + 1)+C2、 换元积分法Ⅱ 现在我们还是以几个例子来说明第二种换元积分法。2x 例 1： e dx∫解：令 u = e2x，则du = 2e 2 x dx = 2udx即1 du 2u 1 1 1 1 du = ∫ du = u = e 2 x + C 从而原式 = ∫ u ? 2u 2 2 2 dx =例 2：∫sin x xdx解：令 u = 从而x ，即 x = u 2dx = 2udu sin u 故 原式 = ∫ ? 2udu = 2 ∫ sin udu = ?2 cos u + C u = ?2 cos x + C实际上，可以有 原式 = 2 sin 3、分部积分法 设函数 u = u ( x ) 和 v = v ( x ) 均具有连续的导数，则可有∫x d x = ?2 cos x + Cd (uv) = udv + vdu即udv = d (uv) ? vdu等式两边同时积分，得∫ udv = ∫ d (uv) ? ∫ vdu即∫ udv = uv ? ∫ vdu19例 1： x cos xdx =∫ ∫∫ xd sin x = x sin x ? ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C ∫x2例 2： x cos xdx =2d sin x = x 2 sin x ? ∫ sin xd x 2( )= x 2 sin x + 2 ∫ xd cos x§6 定积分1 、定积分的概念及定义 考虑函数 y = f (x ) 所描述的曲线（如图 6.1 所示） 。为求图中曲边梯形的面积，可将区间0[a, b] 分为 n 个小区间a = x0 & x1 & x 2 & L & xi ?1 & xi & L & x n = b??x1 = x1 ? x0 ??x = x ? x 2 1 ? 2 ?L ? ? ??xi = xi ? xi ?1 ?L ? ??x n = x n ? x n ?1 ?…， 如果 n 足够大， 则所分的区间 ?x1 ，?x 2 ，yf(x)axi ?1 xibx图 6.1(a)?xi ，…， ?x n 可足够小，可使得各个小曲边梯形都看成是一个个的小直方形，高分别看成为f ( xi )f ( x1 ) ， f ( x 2 ) ，…， f ( xi ) ，…， f ( x n ) 。所有的小直方形元面积就为∑ f ( x ) ? ?xi =1 ini?xi图 6.1(b)虽 然 n → ∞ 时 ?x i → 0 。 各 个 小 曲 边 梯 形 即 可 分 别 看 成 高 确 实 为f ( x1 ) ， f ( x 2 ) ，…， f ( xi ) ，…， f ( x n ) 的小直方形。此时，所有小直方形的面积之和，也正是所要求的曲边梯形面积，即nS = lim ∑ f ( xi ) ? ?xin →∞ i =1 ? xi → 0这个面积也就称为函数 f (x ) 在 [ a, b] 上的定积分，并记为20S = ∫ f ( x)dx = lim ∑ f ( xi ) ? ?xib a n →∞ i =1 ?xi →0n（1）且称 b 为上限，a 为下限。 另换一种说法，在 [ a, b] 上的函数 f (x ) 所描述的曲线如图 4.2 所示。在 [ a, b] 内点 x 处，宽 为 dx ，高为 f ( x ) 的直方形面积为dS = f ( x)dx对整个区间求和就可有yS = ∫ dS = ∫ f ( x)dx0 aSb（2） af(x) x dx 图 6.2 b x20、定积分的性质 性质 1、∫bakf ( x)dx = k ∫ f ( x)dxa bb（k 为常数）性质 2、函数代数和的积分等于积分的代数和，即∫ [ f ( x) ± ? ( x)]dx = ∫abaf ( x)dx ± ∫ ? ( x)dxab性质 3、 性质 4、∫ba af ( x)dx = ? ∫ f ( x)dxba∫af ( x)dx = 030、定积分的计算 1、 牛顿D莱布尼兹公式 如果 f ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上的一个原函数，则有牛顿D莱布尼兹公式∫例 1：baf ( x)dx = F (b) ? F (a)∫1?1dx π ? π? π 1 = arctgx ?1 = ? ? ? ? = 。 1+ x 4 ? 4? 2例 2：∫π0sin xdx = ? cos x 0 = ?[(?1) ? 1] = 2π2、 换元积分法 我们以如下几个例子来说明定积分的换元积分法。 例 1：∫a0a 2 ? x 2 dx( a & 0)解：令 x = a sin θ ，则 dx = a cos θdθ 且当x = 0 时， θ = 0 ； x = a 时， θ = π2。21原式 =∫π20a 2 ? a 2 sin 2 θ ? a cos θdθπ2 2 1 a2 ? ? cos θdθ = ?θ + sin 2θ ? 2 ? 2 ?0 2π=a2∫0=a2 21 ?π ? πa ? ? ? 0 + (0 ? 0)? = 2 4 ?2 ?2实际上，也可以利用不定积分公式：∫a0?x a2 x? 2 2 a ? x dx = ? a ?x + arcsin ? 2 a ?0 ?22 2a= 0?0+a2 2?π ? πa ? ? 0? = 4 ?2 ?2例 2：∫4( x + 2)dx 2x + 1 2 x + 1 ，即 x = t 2 ?1 ， dx = tdt 。 20解：令 t = 当 故x = 0 时， t = 1 ； x = 4 时， t = 3 。原式 =∫31t 2 ?1 2 + 2 1 3 ? tdt = ∫ (t 2 + 3)dt t 2 131?1 1 ?1 ? ? = ? t 3 + 3t ? = ? 33 ? 1 + 3(3 ? 1)? 2?3 ? 1 2 ?3 ?()=22 3当然，定积分和不定积分一样，也有分部积分法。22
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