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设A实对称矩阵,第一行2 0 0 ,第二行0 3 2,第三行0 2 3,求正交矩阵P ,P^-1AP=P^TAP=D D为对角矩阵
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|A-λE| =2-λ 0 00 3-λ 20 2 3-λ= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]= (1-λ)(2-λ)(5-λ).所以 A 的特征值为 1,2,5.A-E =1 0 00 2 20 2 2r3-r2,r2*(1/2)1 0 00 1 10 0 0(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.A-2E =0 0 00 1 20 2 1r3-2r20 0 00 1 20 0 -3r3*(-1/3),r2-2r30 0 00 1 00 0 1(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.A-5E =-3 0 00 -2 20 2 -2r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)1 0 00 1 -10 0 0(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.a1,a2,a3 单位化得b1=(0,1/√2,-1/√2)'b2=(1,0,0)'b3=(0,1/√2,1/√2)'令 Q = (b1,b2,b3),则 Q 是正交矩阵,且Q^-1AQ = diag(1,2,5).
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已知A=(2 0 4 0 5 0 4 0 2) ,求一正交矩阵P,使p^1AP 成为对角矩阵.
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1求出来直接正交,都不用正交化
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设实对称矩阵A=1 -2 0 -2 2 -2 0 -2 3 求正交矩阵P,使P^-1AP为对角矩阵.
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做特征值分解就好了.求A的特征值,即det(A-λI)=0,可得 λ=5,2,-1所以,A-5I= -4 -2 0-2 -3 -20 -2 -2 所以,特征向量为 c(1,-2,2),取长度为1的,得 (1/3,-2/3,2/3)^T (T为转置)A-2I= -1 -2 0-2 0 -20 -2 1 所以,特征向量为 c(-2,1,2),取长度为1的,得 (-2/3,1/3,2/3)^TA+I=2 -2 0-2 3 -20 -2 4 所以,特征向量为 c(2,2,1),取长度为1的,得 (2/3,2/3,1/3)^T所以,P=1/3 -2/3 2/3 P^(-1)AP=5 0 0 -2/3 1/3 2/3 0 2 02/3 2/3 1/3 0 0 -1
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