六种方法破解求函数值域问题
六种方法破解求函数值域问题
函数的值域是函数的重要性质之一，它的求法很多，下面结合实例进行例析。
一、反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法。
& 例1. 求函数的值域。
&&& 解：由解得，因为，所以，则，故函数的值域为。
二、换元法
&&& 换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。换元法是几种常用的数学方法之一，在求函数的值域中发挥很大作用。
& 例2. 若，求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，于是，故的值域是。
三、分离常数法
&&& 求一次分式函数值域可用分离常数法，此类问题有时也可以利用反函数法。
& 例3. 求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，故函数的值域为。
四、判别式法
&&& 把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，根据判别式，从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域，常用此方法求解。注意这类函数的定义域一般是实数集时用这种方法一般不会出错，否则不宜用这种方法。
& 例4. 求函数的值域。
&&& 解：原式变形为。
&&& ①当时，方程无解；
②当时，因为，所以，解得。
综合①②得，函数的值域为。
五、函数的单调性法
&&& 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，借助单调性求出函数的值域。
& 例5. 求函数的值域。
&&& 解：因为当x增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。
&&& 故，所以函数的值域为。
六、利用有界性
&&& 利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法。
& 例6. 求函数的值域。
&&& 解：由函数的解析式可以知道函数的定义域为R，对函数进行变形可得，因为，所以，则，故，所以函数的值域为。求函数值域常用的十种方法_百度文库
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求函数值域常用的十种方法
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小数老师说
函数既是中学数学的重点，也是一个难点，而函数值域的求解方法更是考试中的一个常考点。然而对于如何求函数的值域一直是很多人都过不去的坎儿，但是由于它所占分值较大，所以对于熟练掌握函数值域的解答方法就显得尤为重要了。下面是关于函数值域求法的归纳，希望对大家能有所帮助。
适用类型：根据函数图像性质能较容易得出值域（最值）的简单函数
适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
适用类型：分子、分母中含有二次项的函数类型
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其他易反解出自变量的函数类型。
函数有界性法
适用类型：一般用于三角函数型
函数单调性法
适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等
数形结合法
适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型
适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。
一一映射法
多种方法综合运用
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