立方根是什么意思_立方根的解释_汉语词典_词典网词&典 汉语词典 &英汉词典 &中英例句 & &&
&& 立方根在词典中的解释
立方根拼音：lì fāng gēn
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〈数〉立方根.
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www.CiDianWang.com立方根（1）
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立方根（1）
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
立方根（1）
文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.Com
&课题 13.2 立方根（1）
昌江县昌城中学 钟彬
1、使学生了解数的立方根的概念。
2、使学生能用根号表示一个数的立方根。
3、使学生能用立方运算求某数的立方根。
4、使学生能了解开立方的概念。
5、使学生理解开立方与立方互为逆运算。
6、通过性质推导过程培养学生的类比思想和推理能力。
重点：立方根的概念与性质及求法。
难点：求一个数的立方根的方法。
三、教学方法
　　& 启发式，讲练结合
　&& 四、教学手段
　&&& 多媒休课件
五、教学过程
1、请同学们回忆一下，平方根是如何定义的？
2、平方根有哪些性质？
1、你能否由平方根的定义说出立方根的定义呢？（多媒体展示问题） 立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。（也称数a的三次方根。）用数学式子表示为：若x3=a, 则x叫做a的立方根或三次方根。
２、立方根的表示方法：
类似平方根的表示方法。数a的立方根我们用符号 来表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，且不能省略，否则与平方根混淆。
例1 求下列各数的立方根：
（1）-8；（2）8；（3）-8/27；（4）0、216；（5）0（6）-27/64；（7）103；（8）4 。
解：（多媒体展示）
3、立方根的性质：
（1）正数有一个正的立方根，（2）负数有一个负的立方根，（3）0的立方根是0。
例2 求下列各式的值：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（多媒体展示）
P137　练习：3
1、我们在学习立方根概念时，应对照平方根概念进行。
2、立方根具有哪些性质
3、如何开立方，开立方与立方是互逆关系
1、P137 １、２、4。
2、综合练习：同步练习1
&思考多媒体展示的问题，
&倾听、理解
&倾听、理解
&理解、记忆
复习平立根的定义
&复习平立根的性质
&让学生思考问题，得出式子 X3=27
&对比平立根，引出立方根的定义
&对比平立根，理解其表示方法
让学生领会立方根的求法，并归纳出立方根的性质
加深理解立方根的求法并引出开立方与立方互为逆运算
回顾本节课的内容，让学生了解本节课学习的知识
让学生课外复习本节课学习的知识
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 13．2& 立方根（1）
一、&&&&&&&& 立方根的的概念
二、&&&&&&&& 立方根的表示方法
三、&&&&&&&& 什么是开立方
四、立方根的性质
&文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.Com
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方根的简易算法
&高中的时候，要记住根号2等于1.414，根号3等于1.732，根号5等于2.236。这是要记住的，至于怎么算出来的就不知道了。以前有一种方法可以算出来，但是过程并不简易。
&结论：假设n的平方根的整数部分为m,n-m2 =c, 则
sqrt(n)=m+c/(2*m+1); sqrt表示根号。
sqrt(200)=14+4/29=14.14;
sqrt(2)=14.14/10=1.414;
sqrt(300)=17+11/35=17.314;
sqrt(3)=17.314/10=1.731;
已知平方根整数部分，求平方根小数部分的算法：
& 任何一个数都可以写成某个整数的平方加上一个余数，如15可以写成32+6。8.9可以写成22+4.9。任何一个正数写成某个整数的平方加一个余数项的通式：n2+c。
n2+c=[n+c/(2n+1)]2+&&&
(0≤c≤2*n+1)&&&
由于表达式1.0中尾项c*(2n+1-c)/(2n+1)2&=0.25。由柯西不等式可以很容易得到。
假如n=100,则c*(2n+1-c)/(2n+1)2的值分在[n+c/(2n+1)]*
[n+c/(2n+1)]上，最多只会使[n+c/(2n+1)]的值变化0.00125。如果n=1000，则c*(2n+1-c)/(2n+1)2的值分在[n+c/(2n+1)]*
[n+c/(2n+1)]上，[n+c/(2n+1)]的改变量就会更小，精度也就更高。
因此当n很大时，则：
n2+c=[n+c/(2n+1)]2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(0≤c≤2*n+1)&&&&
因此sqrt(n2+c)=
n+c/(2n+1)。由于n2+c&[n+c/(2n+1)]2,所以得出来的结果始终比理论值要小。
如n=100,c=100,则n2+c=10100，sqrt(n2+c)=100+100/201=100.4975。
如果要是觉得这样算出来的结果，还不能达到所需要的精度，则可以把n2+c剩10或者100等等，也就是乘10n，然后在除10n，保证n2+c这个值没有发生变化即可，但是精度提高了，因为算出整数部分的位数增加了，而平方根算出整数的位数是精确的，不精确的是小数部分，所以这样算出来的结果精度会相应的增加。用这种办法可以把一个较小的数乘一个较大数在除以这个数，就可以使较小的数也满足表达式19,不过能不要倍乘法算出满足精度的结果，则最好就不要使用倍乘法，因为增加了计算量。
如当n=1,c=1,sqrt(2)=1+1/3=1.333;如果把sqrt(n2+c)乘10除10。则sqrt(200)/10=(14+4/29)/10=1.413;这样与理论值1.414相差就只有0.01。如果把sqrt(n2+c)乘100除100；则sqrt(2=(141+119/283)/100=1.4142。若是结果保留三位有效数字，则算出来的结果与理论值一样。
这里有一点困惑，就是怎么知道sqrt(20000)是141的平方，而不是142的平方，这一点是根据sqrt(200)=14.13，取sqrt(200)乘10的前三位而得到。这样算出来的结果与理论结果一般会相同，只有极少数情况不一样（如sqrt(2)=1.33,sqrt(200)并不是取sqrt(2)乘10的前两位，sqrt(3)=1.67,sqrt(300)也不是取sqrt(3)乘10的前两位），如果不一样也会在这个数的附近，这是因为余数项小于0.25的原因。
说明：上述结论不管c是整数，还是小数同样成立，当n=0时，如果不用倍乘法，而是直接用表达式19求平方根，结果可能与预期的相差比较远。
& 影响方法一求出的平方根的值与平方根的真实值的项是，因此能不能在方法一求出的平方根的基础上加一个正数，使求出的平方根的值与真实值相等。假设存在这样的一个值，且假设这个值为x，也就是求出的平方根的值为。因此接下来的目的是求x的值。
)2=n2+c&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
整理表达式1.2可得：
由于c*(2n+1-c)/(2n+1)2≤0.25, 而且x&0。
因此有不等式*x&
所以x&&a name="OLE_LINK53"& ]}；
则x2的取值范围为：&
[c*(2n+1-c)/(2n+1)2]2/{2*[n+c/(2*n+1)]}2;
因为n是大于零的整数，因此2*[n+c/(2*n+1)]&2,而c(2n+1-c)/(2n+1)2≤0.25,因此x小于1/8,x2&1/64.如果n&5，则&1/1600，且n越大，x2越小，求出的平方根与真实值越接近。因为x2的值很小，从而对计算平方根的结果影响很小，因此在计算平方根的过程中忽略x2是合理的。
整理表达式20的最后结果是：
2*(n+c/(2*n+1))*x=c(2n+1-c)/(2n+1)2
& 所以：x=
c(2n+1-c)/(2n+1)2/(2*(n+c/(2*n+1));
& 这样平方根的表达式为:
sqrt(n2+c)=n+c/(2*n+1)+
[c*(2n+1-c)/(2n+1)2]/{2*[n+c/(2*n+1)]}
例如n=1,c=1,求sqrt(2)=1+1/3+2/9/(2*4/3)=4/3+1/12=17/12=1.417。与真实值1.414很接近。当n=5,c=1,求sqrt(26)=.0990259;与计算器算出的真实值5.0990195相差接近于零。因此当n&5时，用表达式21求出来的结果与计算器算出来的结果没有区别。
平方根整数部分的计算方法：
上面计算的是已知一个数的平方根的整数部分求小数部分，一般来说100之内的平方根的整数部分大家是知道的，因此可以用100内的平方根的整数部分，在用倍乘法可以得到任意数的整数部分，如8999平方根的整数部分，可以先计算89.99的平方根，在用得出的结果乘10，就差不多是8999的平方根的整数部分。采用这种方法就可以算出整数部分。那么表达式19与表达式21选哪一个表达式计算整数部分要好一些呢？当然是计算出平方根的小数部分越精确越好，就这层意义上来讲，表达式21比表达式19要好，当然在计算平方根小数部分的时候，计算量也相应的增大了。而表达式19计算平方根小数部分要简单很多，但是用倍乘法取整的时候，可能就没有那么的准确，即使求出的整数与理论整数不符，求出的整数也就在理论整数附近。因此这两种方法计算整数部分各有千秋。
假若100之内的平方根的整数部分也不知道，那又怎么去计算某个数的平方根的整数部分呢？
有几种可行的方法，当然这些方法中有很笨拙的方法，如猜测法，就是一个一个数进行猜测，直到猜到合适的值为止。
还有一种方法就是用上面求平方的方式倒推，求某个数的整数部分，因为一个数的平方可以写成由一组连续的奇数组成的等差数列，且方差为2，首项为1。因此直到要求数的值大于等于从1加到2n-1而小于等于从1加到2*n+1，这样就能判断这个数的整数部分。这种方法在计算一个比较大的数的平方根会非常困难，计算量很大。
接下来就介绍一种比较容易的方法求某个数平方根的整数部分，这种方法同样是采用上面求平方的方式推出来的，只是在求的过程中形式有所变化，但这种变化，却使计算简单很多。
如：36=25+4；而25的平方根，不是一个整数。因为对一个整数的偶数次方开根号就必定是整数了，这样我们能不能把2的奇数次方变为偶数次方。答案当然是能，这里采用向下变换，也就是把25变为24，24开根号为22，由上面求平方的知识可知，要计算22加1的平方，只需要在24的基础上加2*22+1即可。如果要计算22加2，只需要在24的基础上加2*22+1+2*22+3=2*23+2*2即可。因为36-24=20，20可以写成2*23+2*2，因此36的平方根为6。
把36可写成更直观的表达式：
36=24+(23+1+23+3)=
24+(2*23+2*2);
而1+3正好是2的平方，2*23正好是23的两倍。现在感觉是有点规律了。也许写出49的表达式更加的能看出规律来。
49=24+(3*23+3*3);
那么是不是25也遵守这一规则呢？
25=24+(1*23+1*1)；
显然是遵守的，那么这又是为什么呢？
这里就列出36的一组等差数列，或许就不会对上述结果感到疑惑了。
36=1+(2*1+1)+(2*2+1)+(2*2+3)+(2*2*2+1)+(2*2*2+3)
把前面四项合并，表达式如下：
36=24+(2*2*2+1)+(2*2*2+3)
再合并后面两项：
36=24+(2*23+4)；
余数项原理就是，首项为1的任何连续奇数相加得到的结果是某个整数的平方，而2的指数相加的次数也正好是这些连续奇数相加的个数。因此这并不是巧合。
这样就可以写出计算一个数的平方根的整数部分的通式：
m=2n+(k*2(n/2+1)+k*k+c)（其中n为偶数，1-2(n/2+1)-2*k(n/2+1)+2*k+1）22
要是c&0,则m的平方根的整数部分为：
[Sqrt(m)]=
要是c&=0,则m的平方根的整数部分为：
[Sqrt(m)]=
怎么快效的计算n和k的值呢？因为决定n是由2的偶数次方决定的，假设除数的偶数次方大于被除数的偶数次方，这两个2的偶数次方相除，结果大于等于4，因此在计算n的时候，可以让m除以4，而不是除以2，这样就节省了一半的计算量。
还是举例说明然后再总结，如m=1028，n与k是多少呢？
[257/4]=64
上面除4的次数共五次，亦即n/2=5;
因此1028的2的最高指数次为2*5=10；()的余数项为4。因为4除以26的整数部分为0；
即1028=210+(0*26+0*0+4)
因此1028的平方根的整数部分为25+0=32；
当k*k+c大于等于2(n/2+1)时，不要只看2(n/2+1)前面的k,还要注意余数项是否满足k*k。
如48=24+(4*23+0)；不要判断48的平方根的整数部分为22+4=8；只能说明k最大可能为4。
因为k*k这项得不到满足，而应该是48=24+(2*23+2*2+12)；22+2=6而不是22+4=8；
余数项的搭配有一定技巧，特别是当k*k+c大于等于2(n/2+1)时，要特别注意余数项的搭配。
立方根算法：
已知平方根整数部分，求平方根小数部分的算法：
同样任何一个数都可以写成一个整数的立方加上一个余数。下面就以正数为例：
n3+c=(n+c/[(1+2+3+…+(n-1))*6+1])3-3*n2*c/[3*(n-1)*n+1]-3*n*c2/[3(n-1)*n+1]2-c3/[3(n-1)*n+1]3
c≥0且c≤3*n*(n-1)+1 & 2.1
当c比较小，而n很大时，
n3+c=(n+c/[(1+2+3+…+(n-1))*6+1])3
则表达式2.2成立。但是当c接近3*n*(n-1)+1时，用表达式24算出来的立方根的结果与真实值拟合的就不怎么好了。因为这时尾数（-3*n2*c/[3*(n-1)*n+1]-3*n*c2/[3(n-1)*n+1]2-c3/[3(n-1)*n+1]3
+c）比较大，不像平方根一样尾数始终不超过0.25。因此用表达式24求立方根的时候，算出来的结果很可能会跨数值。
&算立方根的办法，如果不满足c比较小，n很大的条件，则像前面讨论过的一样，使用倍乘，一样能算出很精确的结果，但是计算量增大。如计算2的立方根，可以乘10除10，则就是2000的立方根除10，2000的立方根等于12的立方加272，而12的立方与13的立方之间相隔469个数字，则2000的立方根等于12+272/469=12.58，因此2的立方根为1.258与理论值1.259相差就很小了。如果2的立方根乘100除100，则就是2000000的立方根除100，2000000的立方根等于12.5*10的立方加46875，而125的立方与126的立方相差47251，则2000000的立方根为125+0.992=125.992。因此2的立方根为1.25992。
& 方法二：
&任何一个数，都可以写成一个整数加一个小数的立方，同4.1.1一样，只讨论正数，如9=(2+0.0801)3。
m=(n+c)3=n3+3*n2*c+3*c2*n+
c3&&&&&&&&&&&&0≤c≤1&&
因为c是小于1的数，在这里做这样的处理，即当c&0.5时，n要改为n+1,而加c,要改为减c。因为|c3|≤0.125，因此c3可以忽略不计。接下来的任务就是求出c。
c={-3*n2+sqrt[(3*n2)2-4*3*n*(n3-m)]}/(2*3*n)
&=[-3*n2+sqrt(12*n*m-3
n4)]/(6*n)
=-n/2+sqrt(m/(3*n)- n2/12)&&&
&&&&&&&&&&
因此m的立方根等于n/2+ sqrt(m/(3*n)-
因为平方根的求解前面已经详细描述过，又因为求立方根可以转换为求平方根的方法得到。因此求立方根就得到了简化。如求10的立方根。可知n=2,m=10带入上式c=-1+sqrt(10/6-1/3)=0.1547,因此10的立方根等于2.1547。算出来的结果与真实值很接近。
因为四次方根可以转换为求立方根，而立方根最终可以转换为求平方根。依此类推，任何次的方根都可以转换为求平方根。
& 同样可以采用求平方根的方法二求立方根。把要求未知数x的三次方舍去，因为这时x的三次方是一个很小的，可以忽略不计，这样未知数的最高项是平方，这样又回到表达式26，不过在这里不需要考虑未知数是大于0.5还是小于0.5。因为算出来的值是一定小于0.5。用这种方法计算还不如用表达式26计算立方来的方便，在这里就不再阐述这种方法求立方根的算法。
& 当n=0时，计算出来的结果与理论值会存在比较大的空隙，这是因为所要求的数本来就很小，这样就导致算出来的结果与理论的误差比较大。
立方根的整数部分算法：
& 某个数的立方根的整数部分的求法，假设1到10的立方是已知的，也就是知道1000之内的立方根的整数部分。用倍乘法求出立方根的整数部分，就可以知道任一数的立方根的整数部分。当然采用方法二计算是最精确的，计算量虽然大些。如5678的立方根可以先算5.678的立方根，因为小数部分大于0.5，所以不能简单的套用方法二的那个公式，而要进行一定的修改，即把n变为n+1,加c变成减c。经过这样修改可以算出5.678的立方根等于1.7829，算出来的结果在乘10，取前两位17，就可得到整数部分。
& 在不知道1到10的立方的情况下，怎样去求某个数的立方根的整数部分，首先看看立方展开式是怎么回事，在从立方展开式中推出立方根的整数部分。
& =[(n-m)+m]3= +3*m* +3*(n-m)*
m2+ m3&&&&&&&
由表达式27可以看出，求某个数的立方根为n，则只要求出(n-m)和m的值即可。直接求(n-m)和m的值似乎有点困难，那么能不能转化为以立方根2为基数求立方根。答案显然是可以的。
如求852的立方根的整数部分。[852/8]=106,[106/8]=13,[13/8]=1;因此(n-m)=(8*8*8)1/3=8，852减(n-m)3的余数为：852-512=340，340/[3*(n-m)2]=1，因此m的最大值为1，是否为1还要看接下来的余数是否满足立方展开式的最后两项，显然340-192=148，显然满足后面两项，因此m的值为1。所以852的立方根的整数部分为9。
& 上面求出的(n-m)是很直接就算了出来，接下来看一个较大的数，(n-m)的值不是那么直接就能求出的情况。如求15000的立方根的整数部分。[75,[4,[234/8]=29。因为余数是29，因此要看29是否能写成某个数的立方，因为[29/8]=3, 因此(n-m)=2，29减去(n-m)3的余数为：29-8=21，[21/12]=1,因此m的值最多为1，因为余数还有9，当m=1时，后面两项的值为7，而9&7，因此m=1的条件得到满足，所以29仍然能写成3的立方，因此(n-m)3=83*33，因此(n-m)=24，15000-(n-m)3=1176，[1176/[3*(n-m)2]]=0，因此15000的立方根的整数部分就是24。
& 那么在什么情况下要判断除8后的余数是否仍然能写成整数的立方呢？遵循一个原则，如果除8的次数是3的整数倍，且余数是大于等于8，同时余数比64要小的情况下。就要判断余数是否还能写成一个整数的立方，这也就是为什么在求852的立方根的整数部分的时候，为什么没有进行余数是否还能写成某个整数的立方的原因。当然余数仍然能写成1的立方，写成1的立方没有什么实际的意义。
&任何一个整数都可以由8乘以某个整数在加余数而得到。因此求某个数的立方根的整数部分更一般的表达式为：
n=(8*k+c)3=(8*k)3+3*c*(8*k)2+3*8*k*c2+c3+j&
k与c为整数，且0＜c＜8+3*(8*k+c-1)+12+3*(8*k+c)+1&
& 当k=0时，求某个数的立方根的求法。只要遵循上面提到的一条准则就可以比较容易的求出。因为289/8=36,而36是大于等于8，小于等于64的数，因此要判断36是否可以写成某个数的立方，[36/8]=4;因此(n-m)=2，而36-8=28，[28/12]=2,因此m的最大值为2，当m为2时，余数为4，而立方展开式的后两项为32，因此显然m不可能为2，当m为1时，余数为16，而立方展开式的后两项为7。因为16&7，因此m=1。所以289的立方根为(23*33)=6。
用这种方法可以求出某个数的任意整数次方根的整数部分，不过整数次方根的次数越大，求整数部分就越难。
已经系统介绍了二次方根与三次方根的算法，更高次方根的算法就不一一介绍了，因为方法是一样的，不一样的只是计算的复杂度不同，再介绍更高次方根的算法也只是徒劳。
既然知道了求平方根与立方根的算法，那么任何一个整数次方根，且这个整数可以写成公因子2与公因子3的某种组合，则这个数的整数次根都可以由平方根与立方根经过一定的组合求出来，如4次方根，就是平方根的平方根，如12次方根可以写成立方根除以4次方根而得到，这样就可以避免求立方根中第二种方法要不断的转换，而可以直接求出。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
用倍乘的方法可以算出任意整数次根的值，但是当n很大时，则倍乘的计算量就会增加许多。
& 在计算n次方根的时候，最好不要使用倍乘，节约计算量。如果实在没有办法使用倍乘，也许不失为一种好办法。
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