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求x^2除以1+x^2的不定积分
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∫[(x+1)/(x^2+1)^2]dx
令x=tant，则：dx=d(tant)=sec^2 tdt
原积分=∫[(tant+1)/sec^4 t]*sec^2 tdt
=∫[(tant+1)/sec^2 t]dt
=∫{[(sint/cost)+1]/(1/cos^2 t)}dt
=∫(sintcost+cos^2 t)dt
=∫sintcostdt+∫cos^2 tdt
=∫sintd(sint)+(1/2)∫(cos2t+1)dt
=(1/2)*(sint)^2+(1/2)[∫cos2tdt+t]
=(1/2)*(sint)^2+(1/2)*[(1/2)sin2t+t]+C
=(1/2)*(sint)^2+(1/2)*sintcost+(1/2)t+C
=(1/2)*[(x^2+x)/(x^2+1)+arctanx]+C
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x=tant=sint/
∫（x+1）/(x^2+1)^2dx
=∫（sint+cost)/cost*(1/cost)^2/(1/cost)^4
=∫(sintcost+cost*cost)dt
=∫(1/2)sin2tdt+∫(1/2）(1+cos2t)
=1/4(sin2t-cos2t)+t/2+C;
=√2/4sin(2t-π/4)+t/2+C;
=√2/4sin(2*(arctanx)-π/4)+arctanx/2+C;
1/2 ((-1 + x)/(1 + x^2) + ArcTan[x])+C(用Mathematica算的)(x^2-a^2)^(1/2),为什么对它积分需要考虑x大于等于a和x小于等于-a的情况，而(a^2-x^2)^(1/2)不用？
楼上回答没抓住关键。
从不定积分的定义看，可积是区间上的概念，无法推广到笼统的集合上。
或者说可积函数可以不连续，但是可积函数定义的区间必须是“连通”的。
我们可以说√(x^2-a^)在P=(-∞,-a)上可积，
我们也可以说√(x^2-a^)在Q=(a,+∞)上可积。
但是我们不能说√(x^2-a^)在D=P∪Q上可积。
其他答案（共1个回答）
从积分表公式看，似乎都没必要分段。
我想你的分段是你的积分方法所决定的，(x^2-a^2)^(1/2)积分中，
一般设 x = asect 时，
x^2 -a^2 = a^2tan^2t,
开方出来，
是｜atant| 需要分段讨论，但最后完全可以合成一个公式；
令在计算(a^2-x^2)^(1/2)时令x=asint,
t的取值范围是(-pi/2, pi/2)
(a^2-x^2)^(1/2) = ac相关信息t
此时cost>0是成立的，没必要分段。
顺便说一下，这完全是由于你的积分方法决定的，这种积分方法需要分段，可能其它的积分方法不需要分段。
仍然用“换元法”。
解：被积函数 (x^2-a^2)^(1/2)/x＝[1-(a/x)^2]^(1/2)
设 a/x＝sinθ, 则 x＝a/sinθ, 那么
用双曲代换做这种题比较好~x=c*shx,1/sqrt(x^2+c^2)=1/c*chx,(shx)&#039;=chx,这样做很简单的~~
解：可用分部积分求出。设I=∫√(x&sup2;-1)dx，则
I=x√(x&sup2;-1)-∫xd√(x&sup2;-1)
=x√(x&sup2;-1)-∫...
令x=tany，三角变换就很简单了。
答: 这个应该也是说不定的,一般这个时候的话就是可以打催产素的,可以加速孩子发动的。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
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