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换底公式、对数运算
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你可能喜欢哪位大侠能帮我推导一下对数的运算法则（3个）和换底公式
08-10-24 &
(1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).
(4)logaN=logcN/logca 证明：(1)设logaM=b，logaN=c
则ab=M，ac=N，得a（b+c）=MN，也就是loga(MN)=b+c，即loga(MN)=logaM+logaN
(2)设logaM=b，logaN=c
则ab=M，ac=N，得a（b-c）=M/N，也就是loga(M/N)=b-c，即loga(M/N)=logaM-logaN
(3)设logaM=b
则ab=M，可得a（bn）=Mn，也就是loga(Mn)=bn，即logaMn=nlogaM
()设logaN=b
则ab=N，可得blogca=logcN，也就是logaNlogca=logcN，即logaN=logcN/logca
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把公式写出来吧！
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不写出来，怎么推导
请登录后再发表评论!对数函数运算公式是什么? _数学_天涯问答
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对数函数运算公式是什么? _数学_天涯问答
对数的概念　　英语名词：logarithms　　如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。　　log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b&0，零和负数没有对数；a的定义域是a&0且a≠1。　　对数的历史　　约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。　　Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。　　年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。　　他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（'Mirifici logarithmorum canonis descriptio'）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由 Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。　　纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（'纳皮尔圆部法则'）和解球面非直角三角形的两个公式——'纳皮尔比拟式'，以及做乘除法用的'纳皮尔算筹'。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。[编辑本段]对数的性质及推导　　定义：　　若a^n=b(a&0且a≠1)　　则n=log(a)(b)　　基本性质：　　1、a^(log(a)(b))=b　　2、log(a)(a^b)=b　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)　　推导　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。　　2、因为a^b=a^b　　令t=a^b　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)　　3、MN=M×N　　由基本性质1(换掉M和N)　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)　　由指数的性质　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定　　又因为指数函数是单调函数，所以　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)　　4、与（3）类似处理　　MN=M÷N　　由基本性质1(换掉M和N)　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]　　由指数的性质　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}　　又因为指数函数是单调函数，所以　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)　　5、与（3）类似处理　　M^n=M^n　　由基本性质1(换掉M)　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n　　由指数的性质　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}　　又因为指数函数是单调函数，所以　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　　基本性质4推广　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]　　推导如下：　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　　换底公式的推导：　　设e^x=b^m,e^y=a^n　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　　由基本性质4可得　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}　　再由换底公式　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）[编辑本段]函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.　　2.对于y=log(a)(n)函数,　　①,当0&a&1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.　　②当a&1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.[编辑本段]其他性质　　性质一：换底公式　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)　　推导如下：　　N = a^[log(a)(N)]　　a = b^[log(b)(a)]　　综合两式可得　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}　　又因为N=b^[log(b)(N)]　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)　　证明如下：　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。　　100以内的对数表　　log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 86 12 34 037411 92 07 19 075512 64 69 72 110613 06 03 99 143014 23 14 03 173215 18 03 87 201416 95 75 53 227917 55 30 04 252918 01 72 42 276519 33 00 67 298920 54 18 81 320121 63 24 85 340422 64 22 79 359823 55 11 66 378424 38 92 45 396225 14 65 16 413326 83 32 81 429827 46 93 40 445628 02 48 94 460929 54 98 42 475730 00 43 86 490031 42 83 24 503832 79 19 59 517233 11 50 89 530234 40 78 16 542835 65 02 39 555136 87 23 58 567037 05 40 75 578638 21 55 88 589939 33 66 99 601040 42 75 07 611741 49 80 12 622242 53 84 14 632543 55 85 15 642544 54 84 13 652245 51 80 09 661846 46 75 02 671247 39 67 94 680348 30 57 84 689349 20 46 72 698150 07 33 59 706751 93 18 43 715252 77 02 26 723553 59 84 08 731654 40 64 88 739655 19 43 66 747456 97 20 43 755157 74 97 19 762758 49 72 94 770159 23 45 67 777460 96 18 39 784661 68 89 10 791762 38 59 80 798763 07 28 48 805564 75 96 16 812265 42 62 82 818966 09 28 48 825467 74 93 12 831968 38 57 76 838269 01 20 39 844570 63 82 00 850671 25 43 61 856772 85 03 21 862773 45 63 81 868674 04 22 39 874575 62 79 97 880276 20 37 54 885977 76 93 10 891578 32 49 65 897179 87 04 20 902580 42 58 74 907981 96 12 28 913382 49 65 80 918683 01 17 32 923884 53 69 84 928985 04 20 35 934086 55 70 85 939087 05 20 35 944088 55 69 84 948989 04 18 33 953890 52 66 81 958691 00 14 28 963392 47 61 75 968093 94 08 22 972794 41 54 68 977395 86 00 14 981896 32 45 59 986397 77 90 03 990898 21 34 48 995299 65 78 91 9996[编辑本段]历史　　对数方法是苏格兰的 Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的，(Joost Bürgi 独立的发现了对数；但直到 Napier 之后四年才发表)。这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。
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(四) 小结 1. 对数换底公式 2. 换底公式可用于对数式的化简.求值或证明.若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式.则该幂底数可被选作换底公式的底数.也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数为底的对数式的形式.进行化简.求值或证明. 【】
题目列表(包括答案和解析)
已知函数f（x）=ln（ax-1），（a＞0，a≠1）（1）叙述对数换底公式并加以证明．（2）求函数f（x）的定义域；（3）讨论函数f（x）的单调性．用单调性定义证明a=2时f（x）单调递增．
证明对数换底公式：logbN=logaNlogab（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
证明对数换底公式logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0)．
证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
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