中国地质大学(北京)高数期末考试卷(04~09)_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
中国地质大学(北京)高数期末考试卷(04~09)
&&中国地质大学(北京)高等数学
阅读已结束，下载文档到电脑
想免费下载更多文档？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，方便使用
还剩12页未读，继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢求由曲线y=x2及x=y2所围图形的面积，并求其绕y轴旋转一周所得旋转体的体积_百度知道
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。
求由曲线y=x2及x=y2所围图形的面积，并求其绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
求由曲线y=x2及x=y2所围图形的面积，并求其绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
我有更好的答案
wordSpacing: overflow-x;wordWrap:normal">V＝π∫<td style="line-height:///zhidao/pic/item/aaf736dcbbf8bebc41338;0&(&nbsp: background-?x2)dx==23x32?x33]4)dy=22?y55]10==．: hidden，故所围成的面积在（0，1）上积分，于是有：由于绕y轴旋转一周，所以对y进行积分由于曲线y=x2及x=y2的交点为0和1
采纳率：70%
为您推荐：
其他类似问题
旋转体的相关知识
&#xe675;换一换
回答问题，赢新手礼包&#xe6b9;考研数二历年真题()无答案-海文库
全站搜索：
您现在的位置：&>&&>&研究生入学考试
考研数二历年真题()无答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（
） sinnx?A?1.
?C?3.2?D?无穷多个. （2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小，则（
）?A?a?1,b??1. 6?B?a?1,b?111.
?C?a??1,b??. ?D?a??1,b?. 666（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（
）?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点.?C?是f?x,y?的极大值点.
?D?是f?x,y?的极小值点.（4）设函数f?x,y?连续，则?21dx?f?x,y?dy??dy?x1224?yyf?x,y?dx?（
）?A??212dx?4?x14?yf?x,y?dy.
?B??21dx?4?xx2f?x,y?dy.
?C??1dy?1?D?.?1dy?yf?x,y?dx 222（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在区间?1,2?内（
）?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点.?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：1
则函数F?x???f?t?dt的图形为（
?C?.?D?.**B=3，则分块矩（7）设A、B均为2阶矩阵，A，B分别为A、B的伴随矩阵。若A=2阵??0?BA??的伴随矩阵为（
） 0?3B*?? 0?
?0?A?.?*?2A
?0?B?.?*?3A22B*??
?0?C?.?*?2B3A*??
0? ?0?D?.?*?3B2A*?? 0??100???T（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP=?010?，若?002???TP=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3），则QAQ为（
）?210??110?A?.????002????200??010?C?.????002??? ?110??120?B?.???
?002????100??020?D?.??? ?002???二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.1-t?u2?x=??0edu在（9）曲线?处的切线方程为
（0，0）?y?t2ln(2?t2)?（10）已知+?kx???edx?1,则k?（11）lim1?xesinnxdx?
n???0yd2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dx1?上的最小值为
（13）函数y?x在区间?0，2xx=0=?200???TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?000?，则??=?000???
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.3
1?cosx??x?ln(1?tanx)??（15）（本题满分9分）求极限lim x?0sin4x（16）（本题满分10
分）计算不定积分ln(1??dx (x?0) ?2z（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与 ?x?y（18）（本题满分10分）设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分其中D????x?y?dxdy， D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x ?（20）（本题满分12分）设y?y(x)是区间内过（（-?，?）
的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?f??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。 内可导，且lim?x?0?1?1?1???1?????1?，?1??1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1,A?3??1的所有向量?2,?3（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。4
（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；2（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y2，求a的值。2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f(x)的零点个数为（
?D?3（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分?a
aft(x)dx（
）?A?曲边梯形ABOD面积.
?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.
?D?三角形ACD面积.（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（
）x?A??C?y'''?y''?4y'?4y?0
y'''?y''?4y'?4y?0''''''?B?y?y?4y?4y?0
?D?y'''?y''?4y'?4y?0（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（
）?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛.
?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛
（6）设函数f连续，
若F(u,v)?Duv??22，其中区域Duv为图中阴影部分，则?F? ?uvf(u2) uv?C?vf(u)
?D?f(u) u?A?vf(u2)
?B?（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（
） 3?A?E?A不可逆，E?A不可逆.?C?E?A可逆，E?A可逆.（8）设A??
?B?E?A不可逆，E?A可逆.
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12??，则在实数域上与A合同的矩阵为（
） 21????21??A???.
1?2???2?1??B???. ?12???1?2??.
??21??C???21??.
?D??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.（10）微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为.（12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______.（13）设z??232?x?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(15)（本题满分9分）求极限lim(16)（本题满分10分） ?sinx?sin?sinx??sinx. x?0x4?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dtt2y??ln(1?u)du?xt?0?0?0???2y的解.求2. ?x(17)（本题满分9分）求积分
(18)（本题满分11分）求二重积分?10. ??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}D(19)（本题满分11分）设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足32?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0（21）（本题满分11分）求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）222227
?2a1??2?a2a??，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,?,x?T，设矩阵A??1n???1???2a2a??n?nB??1,0,?,0?，（1）求证A??n?1?a； n（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1；（3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，设A为3阶矩阵，向量?3满足A?3??2??3，（1）证明?1,?2,?3线性无关；（2）令P???1,?2,?3?，求PAP. ?12007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.?（1）当x?
] (ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x?
] 1??x?ex?e???（A）0
（D）? 2（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?论正确的是：8 ?x0f(t)dt，则下列结
（A）F(3)??35F(?2)
(B) F(3)?F(2)
4435（C）F(3)?F(2)
（D）F(3)??F(?2)
] 44（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0
（B）若lim存在，则f(0)?0
. x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)
（C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0. x?0x?0xx
（A）若lim[
]（5）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0.
]（6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：(A)
若u1?u2 ，则?un?必收敛.
若u1?u2 ，则?un?必发散(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛.
若u1?u2 ，则?un?必发散.
]（7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[
]（A）(x,y)??0,0?lim?f(x,y)?f(0,0)??0.（B）limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0. y?0xy（C）(x,y)??
0,0lim?0. 9
（D）lim?x?0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分?1?dx,y)dy等于2?sinxf(x（A）?1d?（B）?1?0y???arcsinyf(x,y)dx
0dy???arcsinyf(x,y)dx（C）?1arcsiny
dy??f(x,y)dx
（D）1?2?0dy??arcsiny?f(x,y)dx2（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则
(A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.(D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
[ ?2?1?1??100?（10）设矩阵A????12?1??,B???010??，则A与B???1?12????000??(A) 合同且相似
（B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似.
(D) 既不合同也不相似
[ 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinxx?0x3? __________. （12）曲线??x?cost?cos2t?1?sint上对应于?y?t?4的点处的法线斜率为_________.（13）设函数y?12x?3，则y(n)(0)?________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________.（15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f??yx??z?z?x,y??，则x?x?y?y? __________.??0100?（16）设矩阵A??
010???0001??，则A3的秩为
.?0000??三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17） (本题满分10分)设f(x)是区间?0,???上单调、可导的函数，且满足??4??f(x)
f?1(t)dt??t
xcost?sintdt，其中f?1是f的反函数，求f(x).sint?cost（18）（本题满分11分）
是位于曲线y??x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解. （20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程2y?xey?1dz?1所确定，设z?f?lny?sinx?，求dxd2zx?0,dx2x?0.（21） (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?x2,|x|?|y|?1?（22） (本题满分11分)
设二元函数f(x,y)?，计算二重积分1?|x|?|y|?2??f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.D
（23） (本题满分11分)?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有?2x?4x?ax3?012?公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)是A的属于?1的T一个特征向量，记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵.5311
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵B.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a?
.??a,　　　　 x?0（3）广义积分???0xdx?
. (1?x2)2（4）微分方程y??y(1?x)的通解是
xy（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则 dydxx?0??21?（6）设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则 ?12??B?
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[
0??y?dy.(C)
(D) dy??y?0 .12
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则（A）连续的奇函数.
（C）在x?0间断的奇函数（9）设函数g(x)可微，h(x)?e（A）ln3?1.
（C）?ln2?1.x?x0f(t)dt是（B）连续的偶函数（D）在x?0间断的偶函数.
]1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.[
（10）函数y?C1e?C2e?xex满足的一个微分方程是x（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.x
1（B）y???y??2y?3e.x（D）y???y??2y?3e.
]x（11）设f(x,y)为连续函数，则?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
xxf(x,y)dy.
）f(x,y)dx.
x0f(x,y)dy.
y0f(x,y)dx .
]（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.(D)
若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
](A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.13
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.(C)
若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.(D)
若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得?110???C，记P??010?，则?001???（Ａ）C?PAP.
（Ｂ）C?PAP.（Ｃ）C?PAP.
（Ｄ）C?PAP.
］三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定A,B,C的值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当x?0时比xx233?1?1TT3高阶的无穷小.
arcsinexdx. （16）（本题满分10分）求 ?ex（17）（本题满分10分）设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分?22?1?xydxdy. 22??1?x?yD（18）（本题满分12分）设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)1?xn?1?xn（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim??. n??n??x?n?（19）（本题满分10分）证明：当0?a?b??时，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.（20）（本题满分12分）14
设函数f(u)在(0,??
)内具有二阶导数，且z?f（I）验证f??(u)??2z?2z满足等式2?2?0. ?x?yf?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.（21）（本题满分12分）?x?t2?1已知曲线L的方程?2?y?4t?t,(t?0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩?ax?x?3x?bx?134?12r?A??2；（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方TT程组Ax?0的两个解.(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??. T
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题15
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设y?(1?sinx)，则dyxx??
.（2）曲线y?(1?x)xxdx232的斜渐近线方程为
. （3）?(2?x01)?x2?
.（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??21的解为
. 9（5）当x?0时，?(x)?kx与?(x)??xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k=
.（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，如果A?1，那么B?
.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)?lim?xn??3n，则f(x)在(??,??)内(A)
恰有一个不可导点.(C)
恰有两个不可导点.
至少有三个不可导点.
]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，&M?N&表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.(C)
F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.(D)
F(x)是单调函数?f(x)是单调函数.
]?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的?y?ln(1?t)横坐标是11ln2?3.
（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，22则??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)??(A)
(B) aba?b?.
] 22（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?一阶导数，则必有 ?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有?2u?2u?2u?2u??2.
（B） 2?2.
?x2?y?x?y?2u?2u?2u?2u?2.
?x?y?y?x?y?x（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A)
x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）
x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)
x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.
]（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是(A)
]（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B**的伴随矩阵，则
](C) 交换A的第1列与第2列得B.
(B) 交换A的第1行与第2行得B.********(C)
交换A的第1列与第2列得?B.
(D) 交换A的第1行与第2行得?B.三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
?（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x
(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.
（16）（本题满分11分）如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的2曲线C3是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （18）（本题满分12分）用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足2?3
(x2?x)f???(x)dx.yx?0?1,y?x?0?2的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1.（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.42（21）（本题满分9分）计算二重积分
??Dx2?y2?1?，其中D
?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.18
（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组?1?(1,1,a),?2?(1,a,1),?3?(a,1,1)TTT可由向量组?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示.（23）（本题满分9分）?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x?
. n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围3??y?t?3t?1为____..（3
）?1???_____..?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则33（5）微分方程(y?x)dx?2xdy?0满足yx?1?6的特解为_______. 5?210????（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA?E, 其中A?为A的伴随矩阵,?001???E是单位矩阵, 则B?______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）19
（7）把x?0时的无穷小量????
0costx2dt, ???
t3dt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A）?,?,?.
（B）?,?,?.（C）?,?,?.
（D）?,?,?.
??（8）设f(x)?x(1?x), 则（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. （9
（A）?21ln2xdx.
（B）2?21lnxdx.（C）2?21ln(1?x)dx.
（D）?21ln2(1?x)dx
（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0).
（11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx).20?
（C）y??ax2?bx?c?Asinx.（D）y??ax2?bx?c?Acosx22（12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则?? ????f(xy)dxdy等于D（A
）??1dx??0dy?0??21f(xy)dy. f(xy)dx. （B
）2（C）（D）?0d??0?0d??2sin?f(r2sin?cos?)dr. f(r2sin?cos?)rdr
?2sin?0?（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为?010??010?????（A）?100?.
（B）?101?.?101??001??????010??011?????（C）?100?.
（D）?100?.?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.（C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
?? ??三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）21
1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?. 3??????（16）（本题满分10分）设函数f(x)在（???,?）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.（17）（本题满分11分） 设f(x)??xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.（18）（本题满分12分） ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋2转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).(Ⅰ)求S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim. t???F(t)V(t)4(b?a). e2（19）（本题满分12分）设e?a?b?e2, 证明ln2b?ln2a?（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求22xy22
?z?z?2z,,. ?x?y?x?y（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ??3x1?3x2?(3?a)x3?3x4?0,??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化. ?1a5???2003年考研数学（二）真题三、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a=
.（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是
.（3） y?2的麦克劳林公式中x项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为??ea?x4124n(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.?1?11???TT（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????11?1，则 ????1?11???T?=
.（6） 设三阶方阵A,B满足AB?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若223
?101??，则B?________.A??020?????201??二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有n??n??n??(A) an?bn对任意n成立.
(B) bn?cn对任意n成立.(C)
极限limn??ancn不存在.
(D) 极限limn??bncn不存在.
n（2）设a3n?1n??n?120x?xndx, 则极限limn??nan等于 33 (A)
(1?e?1)2?1.33
(1?e?1)2?1.
（3）已知y?xlnx是微分方程y??yx??(xy)的解，则?(xy)的表达式为 （A） ?y2y2x2.
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)
一个极小值点和两个极大值点.(B)
两个极小值点和一个极大值点.
两个极小值点和两个极大值点.(D)
三个极小值点和一个极大值点.
?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4, 则 0tanxx?(A)
1?I1?I2.(C)
]（6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则(A) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(B) 当r?s时，向量组II必线性相关.(C) 当r?s时，向量组I必线性相关.
(D) 当r?s时，向量组I必线性相关.[
]??ln(1?ax3),x?0,??x?arcsinx三 、（本题满分10分）设函数 f(x)??6,x?0,?eax?x2?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）?x?1?2t2,d2y?u1?2lnte(t?1)所确定，求2
设函数y=y(x)由参数方程?y?dudx?1u??五 、（本题满分9分）计算不定积分六 、（本题满分12分） x?9. ?xearctanx(1?x)2.设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.d2xdx3(1)
试将x=x(y)所满足的微分方程2?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方dydy程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满分12分）讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx的交点个数. 43的解. 225
八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(Q，且线段PQ被x轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面321,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为22积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）. 2(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式；(2) 求曲线x??(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限lim?x?af(2x?a)存在，证明： x?a(1) 在(a,b)内f(x)&0; (2)在(a,b)内存在点?，使b2?a2?b?af(x)dx2?； f(?)2?bf(x)dx. ??a?a22(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b?a)?十 一、（本题满分10分）?220????1若矩阵A?82a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使PAP??. ????006??十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为26
ax?2by?3c?0，
bx?2cy?3a?0，
cx?2ay?3b?0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
上一篇： 下一篇：
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}