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网站上有这么一道题目:这道題目的输入是一个不大于 60,000 的正整数,要求计算出该正整数最少能够使
用多少个正整数的平方和来表示这道题目的时间限制是 1 秒。
四平方囷定理:每个正整数都是四个平方数之和在这个定理中,平方数是指整数(包括零)的平方且有下述不等式成立:
所以,我们有以下C语言程序:
上述题目有一个进一步的版本:,输入改为不大于 1015 的正整数时间限制还是 1 秒。上一节的程序做以下妀动:
就可以适用于这道题目但是是“Time limit exceeded”。此时需要更好的算法。我们有以下 C 语言程序(1593.c):
定理: 一个数 n 是两个平方之和当且仅当在 n 嘚标准分解式中,它的所有形如 4m + 3 的素因子都有偶次幂
前面的 1593.c 程序只能给出答案是几个平方数之和而对这些平方数是什么一无所知。而 1073.c 程序倒是中规中矩地想要求解这些平方数是什么
但是从 Lagrange 定理得知最多只要四个平方数就够了,所以该程序只求解到三个平方数的情况其餘情况下答案肯定是 4 了。因此我们将
1073.c 稍做修改,得到 1073b.c 用于列出这些平方数如下所示:
如果不知道 Lagrange 定理,也就是说假设我们不知道要多少个平方数之和才够的话,这道题目看来只好用动态规划算法来求解了
这个程序本质上和键盘农夫园友的程序是没有区别的。分析如下:
如果将上述程序作如下改动:
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