拉格朗日乘数法求极值，计算方程最小值

点击联系发帖人 时间：2017-12-02 00:26

拉格朗日乘数法求极值

内容提示：第6章多元函数微分学9-10(哆元函数的极值条件极值—拉格朗日乘数法求极值则)课件

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如果是求定义域内约束在某个区域内函数的极值, 可以用本次讲述的 Lagrange乘子法.

求双曲柱面 x^2z^2-1=0 上到原点最近的点的一个方法是设想中心在原点的球面不断膨胀, 直到刚刚接触到柱面. 此时柱面和球面有同样的切平面和法线.

从上图可是双曲线离开原点越远, f 的绝对值越大. 需要在约束条件下 - 椭圆 x^2+4y^2=8 上使 f(x,y) 取极值点. 也就是刚刚与椭圓相切的双曲线会距离原点最远, 在这四个切点中, 双曲线的法线也是椭圆的法线. 观察下图动画, 可以看到黑色 "▽f"是 "▽g"的数值倍数.

带两个约束条件的 Lagrange 乘子法

如果是两个约束限制的可微函数求极值, 这里 g1(x,y,z)=0 和 g2(x,y,z)=0, 可微且梯度向量不平行. 可以通过引进两个 Lagrange乘子 λ 和 μ, 通过求解下面方程中的 x,y,z,λ,μ 徝来求出极值点的位置:

曲面 g1=0 和 g2=0 通常会相交于一条曲线 C. 沿着这条曲线寻找 f 相对于曲线上其他值的极大值和极小值的点.

这意味这对于某个 λ 和 μ 有 ▽f = λ ▽g1 + μ ▽g2. 观察下图来更好理解:

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