【高考解码】2015届高三数学二轮复习（新课标）&-&椭圆、双曲线、抛物线[理化网]&&人教版
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椭圆、双曲线、抛物线1．(2014?安徽高考)抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )A. B．－C．8 D．－8【解析】 将抛物线的方程化为标准形式：x2＝y，其准线方程是y＝－＝2，得a＝－.故选B.【答案】 B2．(2014?全国新课标Ⅰ高考)已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝( )A．2 B.C. D．1【解析】 由题意：b2＝3，＝2，∴＝4，∴＝4，∴1＋＝4，∴a2＝1，∴a＝1，故选D.【答案】 D3．(2014?广东高考)若实数k满足0b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且|BF2|＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．【解】 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝＝a.又|BF2|＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以?＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质①圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线．可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查，突出考查学生的运算能力和转化思想．②既可以以小题的形式考查(属中、低档题)，也可以以解答题形式考查(属于中、高档题)．2．直线与圆锥曲线的位置关系①此考向是高考的重要考试方向．此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，通常从圆锥曲线的概念入手，从不同角度考查，或探究平分面积的线、平分线段的点(线)，或探究使其解析式成立的参数是否存在．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇问题．②多以解答题形式出现，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，试题属于中、高档题．3．圆锥曲线的参数范围、最值问题①该考向多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、不等式、向量等知识交汇，形成了轨迹、范围、弦长、面积等问题的证明．②试题多以解答题形式出现，主要考查学生分析问题、利用数学工具解决实际问题的能力以及逻辑推理能力，多为高档题.【例1】 (1)(2014?全国大纲高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( ) A.＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1 D.＋＝1(2)(2014?重庆高考)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|?|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D．3【解析】 (1)由椭圆定义，4a＝4，∴a＝，又e＝＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.(2)设P在右支上，则PF1－PF2＝2a，又∵PF1＋PF2＝2b，PF1?PF2＝ab，∴(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|，即4a2＝9b2－9ab，∴(a＋3b)(4a－3b)＝0，又a2＋b2＝c2，∴a2＋＝c2，∴＝.【答案】 (1)A (2)B【规律方法】 1.椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解．2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．3．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系，然后把b用a、c代换，求的值．[创新预测]1．(1)(2014?北京高考)设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．(2)(2014?湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.【解析】 (1)设C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，把点(2,2)代入上式得λ＝－3，所以C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.(2)由题意知C，F，将C，F点坐标代入抛物线方程y2＝2px，得到a2＝2p?，∴p＝a，①b2＝2p，②将①式代入②式得b2－2ab－a2＝0，即2－2－1＝0，解得＝1±，∵ab>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解】 (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d?|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.【规律方法】 (1)求解圆锥曲线中的范围问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．(2)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线与圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．[创新预测]3．(2014?浙江高考)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值．解题思路 (1)根据|PF|＝3，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，进而求解点P的坐标，结合点F的坐标以及向量关系式即可确定点M的坐标；(2)设出直线AB的方程，根据直线与抛物线的位置关系，结合函数与方程思想确定点M的坐标表达式，利用向量关系式确定相应点的坐标，确定三角形面积的表达式，进而转化为函数的最值问题求解．【解】 (1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．由＝3，分别得M(－，)或M(，)．(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．由得x2－4kx－4m＝0.于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，所以由x＝4y0得k2＝－m＋.由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.又因为|AB|＝4，点F(0,1)到直线AB的距离为d＝.所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|＝.记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1(－＜m≤)．令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.可得f(m)在(－，)上是增函数，在(，1)上是减函数，在(1，)上是增函数．又f()＝＞f()．所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.所以，△ABP面积的最大值为.[总结提升]失分盲点1．(1)遗忘定义：很多圆锥曲线试题中使用定义可以很方便求解．(2)忽视焦点位置：解题中习惯地认为圆锥曲线的焦点在x轴上．(3)错用椭圆、双曲线的a，b，c的关系：椭圆：c2＝a2－b2，双曲线：c2＝a2＋b2.2．(1)忽视二次项系数：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交．(2)忽视斜率不存在：在求解与直线方程有关问题时，易漏掉直线与x轴垂直，即斜率不存在的情况．(3)忽略剔除点：求轨迹方程时，易忽略剔除不在轨迹上的点的坐标．答题指导1．(1)看到曲线上的点到两定点距离之和(之差的绝对值)．想到椭圆(双曲线)的定义．(2)看到抛物线上的点到焦点的距离，想到该点到准线的距离，反之亦然．2．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，经常是直线方程与圆锥曲线方程联立、消元得出一元方程，再进行求解，但要注意曲线方程为双曲线方程时，该一元方程可能为二次，也可能为一次，应分类讨论解决．方法规律(1)求圆锥曲线方程的方法：①待定系数法：②定义法．(2)离心率的求解方法：建立关于离心率(或含有a，c的齐次式)的方程或者不等式求解．(3)数形结合法：解题时画出图形、以形助数寻找解题思路、简化运算过程．(4)直线与曲线相交的解决方法：解方程组得交点坐标法、根与系数的关系整体处理法．(5)弦中点问题的处理方法：根与系数的关系法、点差法．(6)求曲线方程的方法：直接法、定义法、待定系数法、代入法、参数法、交轨法等.直线方程的选取对运算的影响1．直线方程有四种特殊的形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，在解决直线与圆锥曲线综合的问题时选取直线方程的形式对运算过程简繁程度的影响较大．在解决解析几何试题时，根据问题的实际情况选取合适的方程形式是运算合理性、简捷性的重要体现．2．在含有斜率的直线方程中，直线的斜率必须存在，即这类直线方程不能表示与x轴垂直的直线，解题中需进行分类讨论．3．如果直线在y轴上的截距为b，方程y＝kx＋b表示过点(0，b)的除y轴之外的所有直线；当直线在x轴上的截距为a时，方程x＝my＋a表示过点(a,0)的除x轴之外的所有直线．合理选择直线方程的这两种形式对运算的简捷性有很大影响．【典例】 (2014?广东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【解】 (1)可知c＝，又＝，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，椭圆C的标准方程为＋＝1；(2)设两切线为l1，l2，①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(±3，±2)；②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－，l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立＋＝1，得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝0，得9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，∴－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0，∴(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0，所以k是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的一个根，同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的另一个根，∴k?＝，得x＋y＝13，其中x0≠±3，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝13(x≠±3)，因为P(±3，±2)满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.
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椭圆,双曲线,抛物线知识点及练习题
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椭圆高考真题汇总
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椭圆高考真题
1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（
【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出、、的关系，再转化为、间的关系，从而求出.
【规范解答】选. 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, ，
，即： ，又 ，
，即 ，， （舍去）或 ， ，故选.
2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（
【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.
【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.
【规范解答】选C，设，则，又因为
，又， ，所以 .
3.（2010·海南高考理科·T20）设分别是椭圆E:（a&b&0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且,,成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率；
（Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程.
【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.
【思路点拨】利用等差数列的定义，得出,,满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.
【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，，又
，的方程为，其中
设，则两点坐标满足方程组
因为直线AB斜率为1，所以
，故,所以E的离心率.
（Ⅱ）设两点的中点为，由（Ⅰ)知，.
由，可知.即，得，从而.
椭圆E的方程为.
【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.
4.（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.
【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.
【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.
【规范解答】（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）由题意知
所以圆P的半径为.
由，解得.所以点P的坐标是（0，）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设，则
当，即，且，取最大值2.
【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：时相离；时相切；时相交；
（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.
5.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
求椭圆C的离心率；
如果|AB|=，求椭圆C的方程.
【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.
【思路点拨】（I）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出a、b、c间的关系，求出离心率.
（II）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和，求出a、b，写出椭圆方程.
【规范解答】
【方法技巧】
1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，使问题得以解决.
2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题.
6.（2010·天津高考文理科·Ｔ20）
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4
求椭圆的方程；
设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.
【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。
【思路点拨】（1）建立关于a,b的方程组求出a,b；（2）构造新的一元二次方程求解。
【规范解答】（1）由，得，再由，得
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高二数学椭圆、双曲线部分
时间：　　作者：　　来源：新东方论坛
　　数学总共分为六大块，即六道大题：三角函数（包括解斜三角形）、概率、立体几何、圆锥曲线方程（即你所说的椭圆、双曲线之类的题）、函数与导数、数列。其中大多还穿插的有向量等知识点。
　　其中理工科比较难的就最后三道大题，即数列、圆锥曲线方程、函数与导数，具体这三道题谁为压轴，就看出题的老师了！但是前面三道题是非常简单的，只要基础知识牢固，加上细心完全可以拿满分；选择、填空主要也考查基础知识的掌握！
　　然后对整张试卷的分析（全国卷）：选择、填空可以各错一个，加上前三大题可满分，55+12+36=103分！
　　数列以及函数与导数，还有圆锥曲线方程也可以凭借着扎实的基础知识拿到一定的分数，如果你再强一点可以更高。
　　具体的圆锥曲线方程复习方法：圆锥曲线方程在高考当中肯定有一个大题，一个选择或填空题，有时可能既有选择又有填空，所以圆锥曲线方程必须掌握一些基本的解题方法，如：利用离心率判断椭圆与其同心圆的交点的个数，（具体方法为：把离心率分为（0，根号2），{根号2}，（根号2，1）三个区间，当e=根号2时为两个交点，当e属于（根号2，1）时有四个交点，当e属于（0，根号2）时没交点）。除了这些老师讲的一些特殊方法外，更重要的是掌其基础知识以及常规的解题方法。
　　至于大题一般情况不是成绩特别好的都不会做，几乎很少的人在圆锥曲线方程这道大题上得满分。不过此题一般有解题三大步骤，即使不会做的人采用这样的解题方法死搬硬套也可以得分，这就叫做“会的题拿满分，不会的题也争分”，分自然就高了。数学成绩自然也好了！
　　圆锥曲线方程大题解题三步骤：一、将直线方程代入圆锥曲线方程，消Y建立关于X的一元二次方程，再整理；二、用韦达定理（即根与系数的关系）列出两根之间的关系，X1+X2=？，X1*X2=？三、利用弦长公式！
　　这样数学120分以上是没问题的了，但最终还是要考查你的基础知识，这才是最重要的。
　　(实习编辑：彭莉君)
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