根据2^10=1024，所以10个老鼠可以确定1000个瓶子具体哪个瓶子有毒。具体实现跟3个老鼠确定8个瓶子原理一样。&br&000=0&br&001=1&br&010=2&br&011=3&br&100=4&br&101=5&br&110=6&br&111=7&br&一位表示一个老鼠，0-7表示8个瓶子。也就是分别将1、3、5、7号瓶子的药混起来给老鼠1吃，2、3、6、7号瓶子的药混起来给老鼠2吃，4、5、6、7号瓶子的药混起来给老鼠3吃，哪个老鼠死了，相应的位标为1。如老鼠1死了、老鼠2没死、老鼠3死了，那么就是101=5号瓶子有毒。&br&同样道理10个老鼠可以确定1000个瓶子
根据2^10=1024，所以10个老鼠可以确定1000个瓶子具体哪个瓶子有毒。具体实现跟3个老鼠确定8个瓶子原理一样。 000=0 001=1 010=2 011=3 100=4 101=5 110=6 111=7 一位表示一个老鼠，0-7表示8个瓶子。也就是分别将1、3、5、7号瓶子的药混起来给老鼠1吃，2、3…
（多图预警）&br&&br&很荣幸这篇回答被收入了知乎日报。感谢知乎日报：）&br&-----------------------------------------------------------------------&br&我想讲一个故事。这个故事我已经想讲很多年了。&br&故事的开头，先从几个（数学竞赛党们）耳熟能详的定理说起。&br&我们都知道，每个三角形都有&b&外接圆&/b&和&b&内切圆&/b&。它们的圆心，分别称为&b&外心&/b&和&b&内心&/b&。外心是三角形三条中垂线的交点，而内心是三条内角平分线的交点。这也许是平面几何中，最简单、也最广为人知的巧合。&br&&img src=&/b48ddddbba271b2b4c27f_b.png& data-rawheight=&363& data-rawwidth=&448& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&448& data-original=&/b48ddddbba271b2b4c27f_r.png&&（不要吐槽配色……随手画的）&br&然而，对于四边形来说，这个性质一般来说就不对了。&b&绝大多数四边形，既没有外接圆，也没有内切圆。&/b&&br&过三个顶点的圆可以不过第四个顶点，和三条边相切的圆也可以不和第四条边相切。&br&&img src=&/5c67d577fff00fa66780dd5_b.png& data-rawheight=&368& data-rawwidth=&384& class=&content_image& width=&384&&不过总有一些比较幸运的四边形，它们有的有外接圆，有的有内切圆。这些幸运儿们也有着一般的四边形所不具备的优良性质。&br&比如说，假如一个四边形有内切圆的话，那么&b&&i&它的对角线、对边上的切点的连线四线共点。&/i&&/b&&br&&img src=&/01bf0b04cd5ac5bc2fae3411_b.png& data-rawheight=&454& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&/01bf0b04cd5ac5bc2fae3411_r.png&&这是一个漂亮的巧合。而这个定理的名字，叫做&b&牛顿定理&/b&。不错，就是那个发现了万有引力的牛顿。&br&&br&现在让我们的目光转向更为复杂的图形，六边形。&br&既然大多数四边形都没有外接圆和内切圆，那大多数的六边形就更没有了。不过，我们只关注那些幸运儿们。它们的身上，也有着不同寻常的巧合。&br&&br&比如说，对于有外接圆的六边形来说，&i&&b&将它的三组相对的边分别延长相交，所得的三个交点共线&/b&。&/i&&img src=&/35b46fda6fca62dc01f931_b.png& data-rawheight=&662& data-rawwidth=&711& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&711& data-original=&/35b46fda6fca62dc01f931_r.png&&这里，相对的边这样解释：将六条边顺时针编号为1,2,3,4,5,6，那么编号为1和4,2和5,3和6的三组边分别称作相对的边。严格地说，这里需要每组相对的边都不平行，这样才有交点。&br&这个定理也十分有名，被称作&b&帕斯卡定理。 &/b&这里的帕斯卡，也就是大家都认识的那个帕斯卡。&br&&br&对于有内切圆的六边形来说，有一个更为简洁优雅的巧合：&b&&i&三条主对角线一定相交于一点。&/i&&/b&&br&&img src=&/db5cbe4d11be4bd810daf2f398ab3362_b.png& data-rawheight=&465& data-rawwidth=&498& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&498& data-original=&/db5cbe4d11be4bd810daf2f398ab3362_r.png&&这个定理相对来说较为小众一些，它叫做&b&布里安桑(Brianchon)定理。&/b&&br&注意这个定理和牛顿定理不同，因为对边的切点连线一般不会共点。&br&&br&&br&&b&到这里为止，数竞党们大概都十分熟悉。下面的才是正题。&br&&/b&&br&如果说有内切圆或外接圆的多边形是幸运儿的话，那么下面所要提到的&b&双心多边形&/b&，则可以说是集万千宠爱于一身。&br&双心多边形，顾名思义，就是&b&既有外心，又有内心的多边形&/b&。换句话说，它们&b&既有外接圆，又有内切圆&/b&。&br&&img src=&/6ce7c500e8ffe173464ecb_b.png& data-rawheight=&566& data-rawwidth=&585& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&585& data-original=&/6ce7c500e8ffe173464ecb_r.png&&&br&在高中的时候，我做过一道竞赛题。它是1989年的IMO预选题，题目很简洁，也很漂亮。&br&还记得牛顿定理中四条线所交汇于的那个点吗？这道题要求证明，假如牛顿定理中的四边形是双心四边形，那么这个四线相汇的点也在内心和外心的连线上。&br&&img src=&/043cecf4cfd1_b.png& data-rawheight=&564& data-rawwidth=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&543& data-original=&/043cecf4cfd1_r.png&&换句话说，就是&b&双心四边形两条对角线、两条对边切点连线、两个圆心的连线这五条线相交于同一点&/b&。&br&这道题看似复杂，其实并不难。假如知道和配极相关的基本结论的话，证明几乎只要三行字。&br&&br&2011年10月初的一天，当时高三的我看到了上面这道题目。我很快就做了出来。然而，面对如此漂亮的结论，很难不让人浮想联翩：&b&如果把这道题中的四边形换成六边形，会怎么样呢？会不会从五线共点，变成七线共点？&/b&&br&&br&&b&我的直觉告诉我，这个结论对于六边形很可能是错的。&/b&因为对于有内切圆的四边形来说，牛顿定理就保证了四线共点，加上一个外接圆的条件，结论只是多一条线（圆心连线）经过这个点。&br&而对于有内切圆的六边形来说，Brianchon定理只能保证三线共点，而加上一个外接圆的条件，居然要证明七线共点，也就是多四条线经过这个点。这怎么看都不像是对的。&br&&br&然而我还是将信将疑地打开了几何画板。 &b&由于我不知道怎么用尺规作出双心六边形，所以只好近似作图，花了好久才画了一个相对精准的图。&/b&画完图的一刹那，我就惊呆了：&br&&img src=&/4f0abf8d6d2e0df5a7b96d_b.jpg& data-rawheight=&537& data-rawwidth=&549& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&549& data-original=&/4f0abf8d6d2e0df5a7b96d_r.jpg&&这特么居然是对的！面对如此漂亮，还是自己猜到的结论，我当即决定试着证证看。&br&事后看来，这大概是我十年竞赛生涯中做过的最难的两三个几何题之一。不过好在对于六边形来说，有帕斯卡和布里安桑先生们的保佑，问题还不算难得太夸张。尽管费了将近两小时，我还是把它证出来了。&br&&br&证完之后还没顾得上得意，又一个邪恶的念头从我脑子里冒了出来：&b&既然这个巧合对四边形六边形都成立，会不会对八边形也是成立的呢？&/b&&br&虽然我很希望它是对的，但是冷静下来一想，我还是觉得它怎么都不像对的。因为对于双心六边形来说，Brianchon保证一个三线共点，Pascal加上配极又保证一个三线共点，下面只要证明这两个点是同一个，还在圆心连线上就可以了（这也是我的证明思路）。但是到了八边形，Pascal和Brianchon都没法保佑我了，这鬼东西如果是对的谁能证得出来？&br&然而抱着将信将疑的态度，我还是决定画个图。&br&……&br&……&br&……&br&……&br&……&br&……&br&是的，和你们想的一样，我又被打脸了。这玩意还真特么就是对的！&br&&br&这时候我已经在风中凌乱了。我实在是没法想象这鬼东西能怎么证明…………然后又一个可怕的念头闪现了出来…………&b&这破玩意该不会对所有2n边形都成立吧？&/b&&br&我当即决定画个图。既然我都肯定证不出来了，干脆搞个大新闻，直接翻个倍，画16边形吧。&br&后来的事情你们应该也猜到了…………半小时之后画完图，我看到的画面是这样的：&br&&img src=&/d62b21a3c4cadb441b26c2b4f89562d0_b.jpg& data-rawheight=&698& data-rawwidth=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/d62b21a3c4cadb441b26c2b4f89562d0_r.jpg&&我感觉整个人都斯巴达了。&br&&br&我相信自己一定发现了一个不得了的东西，就拿着这东西去问竞赛圈一个有名的老师。他告诉我，以前在一个数学论坛上有人提到过这个结论，据说（未经证实，我猜很有可能不完全对）某个国家队的大神（不说具体是谁了）也发现过这个结论，还给了一个对于一般情况的物理（黑人问号脸）证明。具体是什么他也不清楚。&br&&br&尽管没法自己证明这个定理，但我还是深深地被这个结论的壮观与美丽震撼到了。我告诉自己，一定要拿到数学联赛的一等奖，然后保送去北大的数院继续学数学。&br&&br&然而我并没有如愿。&br&&br&一周之后的联赛，我只用了三分钟就做出了平面几何大题。尽管其他发挥不太理想，我还是顺利获得了保送。在保送生面试中，北大的招生老师问我，想学什么专业？我毫不犹豫地回答数学。&br&然后他问：还有别的吗？&br&我想，他大概是觉得我的联赛分数还不够高吧。所以最后我来到了北大，但没有去成数院，一年之后又阴差阳错地决定不转系，从此远离了真正的数学。&br&&br&故事还没有结束。一年多前一次偶然的机会，我从知友 &a class=&member_mention& href=&///people/3b1396fd6bdbfa0b6f0ce283d1402d95& data-editable=&true& data-title=&@rainbow zyop& data-hash=&3b1396fd6bdbfa0b6f0ce283d1402d95& data-hovercard=&p$b$3b1396fd6bdbfa0b6f0ce283d1402d95&&@rainbow zyop&/a& 那里知道了这个定理的来历。&br&这个定理被称为&b&彭赛列(Poncelet)定理&/b&，是数学家彭赛列在1813年法俄战争中，在俄国萨拉托夫的战俘营中发现的（这是有多么闲的蛋疼才能证出这么诡异的定理……）。在彭赛列发现这个定理的两百年后，&b&2014年9月的美国数学月刊上，两位来自苏黎世理工大学的数学家发表了一篇题为《彭赛列定理的一个简单证明》的论文，给出了这个定理的一个初等证明。 不过，这个“简单”的证明长达12页&/b&。（虽然我知道12页的初等证明对于这个问题来说应该已经算短了……）&br&有兴趣的读者可以参考&a href=&///?target=http%3A//user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/pdf/poncelet.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&user.math.uzh.ch/halbei&/span&&span class=&invisible&&sen/publications/pdf/poncelet.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&br&&br&我想，这大概算是我见过的数学中最美丽的巧合吧。时隔五年后的今天，我还能想起那个十月的下午，发现这个神奇的结论时激动的心情。我真的很怀念当年参加数学竞赛的日子，那种单纯地喜欢数学之美的时光。&br&&br&最后我想用罗素的一句话结束这个回答。&br&&blockquote&欧氏几何如同初恋般美好。&/blockquote&
（多图预警）
很荣幸这篇回答被收入了知乎日报。感谢知乎日报：） ----------------------------------------------------------------------- 我想讲一个故事。这个故事我已经想讲很多年了。 故事的开头，先从几个（数学竞赛党们）耳熟能详的定…
&p&&b&这篇答案不是我原创&/b&&/p&&br&&p&&b&作者是Matrix67&/b&&/p&&br&&p&&strong&特此声明！&/strong&&/p&&br&&br&&p&&b&------------------------&/b&这个是正经回答&b&-------------------------------------------------------------------------------&/b&&/p&&br&&p&&b&1.最经典的“无字证明”&/b&&/p&&br&&p&1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。&/p&&img src=&/9ad40f58d75cdd5f59dd5ddf012bc1c1_b.jpg& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&319& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&/9ad40f58d75cdd5f59dd5ddf012bc1c1_r.jpg&&&br&&br&&br&&br&&p&文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。&/p&&br&&img src=&/454f3baff5f31cbeb7eff_b.jpg& data-rawwidth=&361& data-rawheight=&325& class=&content_image& width=&361&&&p&严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。&/p&&img src=&/adb07b83aaf5b32f500dd_b.jpg& data-rawwidth=&394& data-rawheight=&601& class=&content_image& width=&394&&&br&&br&&p&&b&2.旋轮线的面积&/b&&/p&&br&&img src=&/76a651dcec17f66b9d01_b.jpg& data-rawwidth=&417& data-rawheight=&179& class=&content_image& width=&417&&&img src=&/b989bcc4a0_b.jpg& data-rawwidth=&411& data-rawheight=&188& class=&content_image& width=&411&&&img src=&/c19feab395f52bac919c14c5fa47e4b1_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&170& class=&content_image& width=&400&&&p&车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？&/p&&p&他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。&/p&&p&在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。&/p&&br&&br&&p&&b&3.欧拉的流氓证明法&/b&&/p&&br&&p&在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：&/p&&br&&img src=&/2c7c1c8b5ca9bd349e81827fdfcc2b77_b.jpg& data-rawwidth=&191& data-rawheight=&65& class=&content_image& width=&191&&&br&&br&&p&这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。&/p&&br&&br&&p&出处：&a href=&///?target=http%3A///article/7937/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/article/7937/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&br&&p&作者:&b&Matrix67&/b&&/p&&br&&p&-------------------------再补上physixfan的果壳某篇文章-------------------------------------------------------&/p&&br&&p&先上链接：&a href=&///?target=http%3A///article/58106/%3F_block%3Darticle_interested%26_pos%3D1%26rkey%3Dca03& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&盘点数学里十大不需要语言的证明&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、&/p&&br&&p&再 &a class=&member_mention& href=&///people/7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& data-editable=&true& data-tip=&p$b$7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& data-title=&@physixfan& data-hash=&7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128& data-hovercard=&p$b$7410f0cbac4b82c4553fb9dfe8e3d128&&@physixfan&/a&&/p&&br&&p&那篇文章列举了十种麻烦大家自己去看啊我只搬运我觉得好玩的~&/p&&br&&br&&br&&br&&p&在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？&/p&&br&&img src=&/c6ce1acefaeda_b.jpg& data-rawwidth=&507& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&507& data-original=&/c6ce1acefaeda_r.jpg&&&br&&br&&p&答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。&/p&&p&但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。&/p&&br&&br&&img src=&/0eee6c3448114bfea0f7fef_b.jpg& data-rawwidth=&327& data-rawheight=&314& class=&content_image& width=&327&&&br&&p&上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。&/p&&br&&p&这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁o加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。&/p&&br&&br&&br&&p&--------------------------------我觉得我可能跑题了但是我就是想回答--------------------------------------&/p&&br&&p&我去这个问题是怎样就这么愉快的火了逼着我回来修改&/p&&br&&p&这是我崇拜的大牛Matrix 67的文章，在果壳的&/p&&br&&p&超怀念熬夜看他博文的日子呢&/p&&br&&p&瞬间勾起了我学数学的兴趣：）&/p&&br&&br&&br&&p&以及 我所理解的暴力的证明&/p&&br&&p&就是 不需要用语言来解释的证明&/p&&br&&br&&p&我只是个&b&搬运工&/b&希望大家不会嫌弃：）&/p&&br&&p&仅此再次为我喜欢的两位大牛献上我的膝盖&/p&&br&&br&&p&&/p&&br&&p&楠晗&/p&
这篇答案不是我原创 作者是Matrix67 特此声明！ ------------------------这个是正经回答------------------------------------------------------------------------------- 1.最经典的“无字证明” 1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Mon…
谢邀。&br&&br&下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。&br&&br&我们来看两组数：&br&&ul&&li&&b&A：1，5，10，18，&b&23，&/b&27；&br&&/b&&/li&&li&&b&B：2，3，13，15，25，26。&/b&&br&&/li&&/ul&&br&这两组数有什么关系呢？&br&&br&它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。&br&即：&img src=&///equation?tex=1%2B5%2B10%2B18%2B23%2B27%3D84%3D2%2B3%2B13%2B15%2B25%2B26& alt=&1+5+10+18+23+27=84=2+3+13+15+25+26& eeimg=&1&&&br&&br&看到这里，你也许会不屑一顾：这有什么稀奇，这样的数组要多少有多少！&br&&br&真的是这样吗？那我们做一个小小的变化：算算各自数组的平方和。&br&然后你可能发现了：&img src=&///equation?tex=1%5E%7B2%7D%2B5%5E%7B2%7D%2B10%5E%7B2%7D%2B18%5E%7B2%7D%2B23%5E%7B2%7D%2B27%5E%7B2%7D%3D%5E%7B2%7D%2B3%5E%7B2%7D%2B13%5E%7B2%7D%2B15%5E%7B2%7D%2B25%5E%7B2%7D%2B26%5E%7B2%7D& alt=&1^{2}+5^{2}+10^{2}+18^{2}+23^{2}+27^{2}=}+3^{2}+13^{2}+15^{2}+25^{2}+26^{2}& eeimg=&1&&&br&这两组数的平方和也相等！&br&&br&这个时候，有些人可能有点小惊讶，但也有人会很淡定：毕竟每组6个数呢，找两组和及平方和都相等的应该并不是什么难事啊。&br&&br&但是事情并没有结束，我们算算它们各自的立方和：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B3%7D%2B5%5E%7B3%7D%2B10%5E%7B3%7D%2B18%5E%7B3%7D%2B23%5E%7B3%7D%2B27%5E%7B3%7D%3D%5E%7B3%7D%2B3%5E%7B3%7D%2B13%5E%7B3%7D%2B15%5E%7B3%7D%2B25%5E%7B3%7D%2B26%5E%7B3%7D& alt=&1^{3}+5^{3}+10^{3}+18^{3}+23^{3}+27^{3}=}+3^{3}+13^{3}+15^{3}+25^{3}+26^{3}& eeimg=&1&&&br&&br&这就让人有点意外了，不过，这并不是终点，请看：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B4%7D%2B5%5E%7B4%7D%2B10%5E%7B4%7D%2B18%5E%7B4%7D%2B23%5E%7B4%7D%2B27%5E%7B4%7D%3DD2%5E%7B4%7D%2B3%5E%7B4%7D%2B13%5E%7B4%7D%2B15%5E%7B4%7D%2B25%5E%7B4%7D%2B26%5E%7B4%7D& alt=&1^{4}+5^{4}+10^{4}+18^{4}+23^{4}+27^{4}=^{4}+3^{4}+13^{4}+15^{4}+25^{4}+26^{4}& eeimg=&1&&&br&&br&请再看：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B5%7D%2B5%5E%7B5%7D%2B10%5E%7B5%7D%2B18%5E%7B5%7D%2B23%5E%7B5%7D%2B27%5E%7B5%7D%3DD2%5E%7B5%7D%2B3%5E%7B5%7D%2B13%5E%7B5%7D%2B15%5E%7B5%7D%2B25%5E%7B5%7D%2B26%5E%7B5%7D& alt=&1^{5}+5^{5}+10^{5}+18^{5}+23^{5}+27^{5}=^{5}+3^{5}+13^{5}+15^{5}+25^{5}+26^{5}& eeimg=&1&&&br&&br&神奇吧？难道有什么玄机吗？&br&&br&并没有，如果我们继续下去：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B6%7D%2B5%5E%7B6%7D%2B10%5E%7B6%7D%2B18%5E%7B6%7D%2B23%5E%7B6%7D%2B27%5E%7B6%7D%3D& alt=&1^{6}+5^{6}+10^{6}+18^{6}+23^{6}+27^{6}=& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=2%5E%7B6%7D%2B3%5E%7B6%7D%2B13%5E%7B6%7D%2B15%5E%7B6%7D%2B25%5E%7B6%7D%2B26%5E%7B6%7D%3D& alt=&2^{6}+3^{6}+13^{6}+15^{6}+25^{6}+26^{6}=& eeimg=&1&&&br&六次方和就不一样了。&br&&br&这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。那么，它们究竟是怎么来的呢？&br&&br&原来，这些数字源于前苏联数学家 &i&Gelfond&/i& 发现的恒等式：&br&&img src=&///equation?tex=a%5E%7Bn%7D%2B%28a%2Bb%2B4c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B2b%2Bc%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B4b%2B9c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B5b%2B6c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B6b%2B10c%29%5E%7Bn%7D& alt=&a^{n}+(a+b+4c)^{n}+(a+2b+c)^{n}+(a+4b+9c)^{n}+(a+5b+6c)^{n}+(a+6b+10c)^{n}& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%28a%2Bb%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2Bc%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B2b%2B6c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B4b%2B4c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B5b%2B10c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B6b%2B9c%29%5E%7Bn%7D& alt=&=(a+b)^{n}+(a+c)^{n}+(a+2b+6c)^{n}+(a+4b+4c)^{n}+(a+5b+10c)^{n}+(a+6b+9c)^{n}& eeimg=&1&&&br&其中 &i&n&/i& = 1，2，3，4，5&br&&br&上面的例子，只是 &i&a &/i&= 1，&i&b &/i&= 1，&i&c &/i&= 2 的情形而已。如果改变 &i&a&/i&，&i&b&/i&，&i&c&/i& 的值，我们就可以得到其它满足要求的数组了。&br&&br&我们原以为这样的数组是「凤毛麟角」，不可多得的，现在看来，它们真的是「要多少有多少」的！&br&&br&这类问题，在数学上叫做「k 次乘方幂的等和问题」，或者「等幂和问题」。这个问题在表述上极为简洁，但是深究起来却有很多门道。比如，如果限定数组的个数（如每组 6 个数），我们能构造出多大的 &i&n&/i& 次幂等式？这个 &i&n&/i& 是不是有上界&b&？这依然是未解之谜。&/b&&br&&br&不过……&br&&br&我们知道，上文中 &i&Gelfond &/i&的构造的恒等式是「神来之笔」，要构造这样的等式，对普通人来说显然太难了。但是，如果我们放宽条件（比如：不对每个数组中数的个数作严格限制），那么，对普通人来说，这也是一件并不困难的事情哦！&br&&br&怎么做呢？请移步我的专栏文章：&a href=&/MathplusPlus/& class=&internal&&如何将一群人分成两组，使各自的总体实力「旗鼓相当」？- 看！你身边有一只数学&/a& ，这里不仅展现如何构造「等幂和」，更是挖掘了这个问题背后有趣的应用场景。&br&&br&#
谢邀。 下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。 我们来看两组数： A：1，5，10，18，23，27； B：2，3，13，15，25，26。 这两组数有什么关系呢？ 它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。 即：1+5+10+…
&p&每个人把自己的工资随意拆成四个数的和，分别把四个数字告诉自己以外的四个人；
每个人手里收到四个数字，加起来，报出；
五个人的数字相加，即可得到五个人的总收入，除以5得到平均工资。&/p&&p&记得这是一个挺古老的解决方案？&/p&&p&———————————————————————————————————————————&/p&&p&5/23 19:40千赞留念。没想到昨天吃晚饭时随手回答的一个问题得到了这么多的赞同&/p&&p&有评论说我说的不够清楚，那可以这么再严格地叙述一下：&/p&&p&设这五个人的工资分别为 &img src=&///equation?tex=a_1%2Ca_2%2Ca_3%2Ca_4%2Ca_5& alt=&a_1,a_2,a_3,a_4,a_5& eeimg=&1&& ，第 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 个人告诉第 &img src=&///equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&& 个人的数字为 &img src=&///equation?tex=a_%7Bij%7D& alt=&a_{ij}& eeimg=&1&& ，那么有 &img src=&///equation?tex=a_i%3D%5Csum_%7Bj%5Cneq+i%7D+a_%7Bij%7D& alt=&a_i=\sum_{j\neq i} a_{ij}& eeimg=&1&& ;&/p&&p&现在得到一个矩阵：&/p&&img src=&/v2-0576f11afef77e38752fb3fdcf0d4b68_b.png& data-rawwidth=&340& data-rawheight=&155& class=&content_image& width=&340&&&p&第二步就相当于计算每一列的和，然后第三步把它们加起来再除以五。总体上就是说矩阵所有元素的和等于各行和之和，也等于各列和之和。&/p&&p&总结一下评论区一些讨论：&/p&&ol&&li&如果考虑剩余四个人抱团的情况，四个人可以采用同样的办法，在互相不告诉薪水的情况下得知四人的总薪水，从而得知第五人的薪水。&/li&&li&每个人把工资分成五份，自己留一个数字只能让其余四个人不能直接把手里的关于他的数字相加得到他的薪水，对防御四人抱团的情况没有帮助。&/li&&li&拆分的数字可以取负数，从而让其余人失去了薪水的一个下界的信息。&/li&&/ol&&p&这个方法不是我原创的，应该是近几年在某一本书上看的，但是翻了翻没找到；也有可能是数学建模或者密码学课上老师提到过。&/p&&p&———————————————————————————————————————————&/p&&p&5/24 12:40 两千赞留念。因为这个回答关注我的各位……可能会比较失望？我在知乎上主要回答魔方话题下的问题，以及给大佬们点赞……&/p&
每个人把自己的工资随意拆成四个数的和，分别把四个数字告诉自己以外的四个人；
每个人手里收到四个数字，加起来，报出；
五个人的数字相加，即可得到五个人的总收入，除以5得到平均工资。记得这是一个挺古老的解决方案？————————————————…
&p&可能很多人都知道这个...&/p&&img src=&///equation?tex=y+%3D+1.5%2Ax%2Alog%28x%29-1%2F36%2Aexp%28-%2836%2Ax-36%2F2.E4%29& alt=&y = 1.5*x*log(x)-1/36*exp(-(36*x-36/2.7183)^4)& eeimg=&1&&&p&看上去没什么特别的，但是让我们把它的图像画出来：&/p&&img src=&/v2-1a06b4ee14b020f53b95_b.png& data-rawwidth=&842& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&842& data-original=&/v2-1a06b4ee14b020f53b95_r.png&&&p&？？？？？？？？？？？？？？&/p&&br&&p&调调参数就能变成你喜欢的大小和形状。&/p&&img src=&/v2-ed53b0a29062_b.png& data-rawwidth=&842& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&842& data-original=&/v2-ed53b0a29062_r.png&&&p&果然还是平一点好（逃&/p&&p&------------------------------------------------&/p&&p&评论区说要有动图。。。这样是不是不太好&/p&&br&&img src=&/v2-20c5caf21f7e81f185cf_b.jpg& data-rawwidth=&655& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&655& data-original=&/v2-20c5caf21f7e81f185cf_r.jpg&&&p&-----------------------------------------------------&/p&&p&评论有人说答主签名应景，\bra\bra明明是两个左矢，你们想到哪里去了← ←&/p&&p&-----------------------------------------------------&/p&&p&评论区有人说这个不是函数，其实是的，只不过plot的时候把横纵坐标换了一下而已，我发的图纵坐标是x，横坐标是y。&/p&
可能很多人都知道这个...y = 1.5*x*log(x)-1/36*exp(-(36*x-36/2.7183)^4)看上去没什么特别的，但是让我们把它的图像画出来：？？？？？？？？？？？？？？ 调调参数就能变成你喜欢的大小和形状。果然还是平一点好（逃------------------------------------…
这么多人在想办法称肉，其实跟肉一点关系都没有。&br&&br&只需要找到一个π斤重的砝码就行了呀。&br&&br&思路如下:&br&&br&1、找（制作）一个直径为20cm的圆柱筒量筒，即底面积为100π（cm?）&br&&br&&br&2、4℃的纯净水注入量筒5cm即为π斤。&br&&br&&br&3、以上水重为砝码，天平称肉。&br&&br&&br&4、切割肉块，不难得到一份略重于π斤的肉块，放置于天平上。&br&&br&&br&5、用吹风机吹肉，令肉里面水分蒸发。理论上，只要吹风机控制足够精细，天平将无限接近于平衡，即得到到肉无限接近π斤。当然如果对精度要求不是过分高，更便捷的做法是一根一根拔毛，直到天平平衡。&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&6*，其实可以来个逆向思维版本。&br&随便割一块小于π斤的肉，记为重量m斤。&br&将肉放在天平一边，（天平另一边需放置要可盛水容器）。&br&将之前得到的π斤水缓缓倒入容器直到天平平衡。&br&那么我们就得到了精确的π－m斤水！&br&然后将π－m斤水用滴水不漏牌高压水枪注入到m斤的肉中。&br&理论上，我们将得到了π斤注水肉。&br&&br&&br&&br&&br&————————————————————————————&br&本是戏谑之作，胡乱开开脑洞，未曾想到能得到这么多赞。&br&如诸多知友所言，其实这篇回答并不严谨，且当个脑洞看吧！若是探究学术还是得用更科学的方法。&br&&br&&br&再贴一个脑洞解题答案，感兴趣可以看一看。&br&&a href=&/question//answer/?utm_source=com.miui.notes&utm_medium=social& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/question/5930&/span&&span class=&invisible&&4356/answer/?utm_source=com.miui.notes&utm_medium=social&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&
这么多人在想办法称肉，其实跟肉一点关系都没有。 只需要找到一个π斤重的砝码就行了呀。 思路如下: 1、找（制作）一个直径为20cm的圆柱筒量筒，即底面积为100π（cm?） 2、4℃的纯净水注入量筒5cm即为π斤。 3、以上水重为砝码，天平称肉。 4、切割肉块…
&img data-rawheight=&71& data-rawwidth=&318& src=&/9f609edd1f2a5c00a2a637e_b.jpg& class=&content_image& width=&318&&
将10只老鼠剁成馅儿，分到1000个瓶盖中，每个瓶盖倒入适量相应瓶子的液体，置于户外，并每天补充适量相应的液体，观察一周，看哪个瓶盖中的肉馅没有腐烂或生蛆。
将10只老鼠剁成馅儿，分到1000个瓶盖中，每个瓶盖倒入适量相应瓶子的液体，置于户外，并每天补充适量相应的液体，观察一周，看哪个瓶盖中的肉馅没有腐烂或生蛆。
&p&当你觉得一件事情很好玩时，你就会去研究，&br&&/p&&p&研究了以后，就会发现各种各样有用的方法，&/p&&p&不知不觉间，或许就成为了这方面的能手。&/p&&br&&p&记数字其实是一件好玩的事情。&/p&&p&不仅仅是圆周率，还有手机号，生日，学号，车牌号，银行卡号码……&/p&&p&任何出现数字的地方，都可以“玩”。&/p&&br&&p&长回答，如能耐心读完 ，不胜荣幸。&/p&&p&&br&————分割线————&br&&br&因为好玩，我在初中的时候曾经试过背圆周率前100位，只用了不到3分钟就记住了。当然前提是，我之前知道圆周率的前35位，这前35位花了我不到2分钟的时间吧。所以，背下100位，一共花了5分钟而已。&br&&br&记住后，每隔一段时间（一开始一两周，后来几个月）都要复习一下，无他，只是好玩。当然，好几年前开始，就不用复习，也可以很流畅的背出来了，现在估计记个几十年都没有问题。&br&&br&后来有一天闲得蛋疼又记了20位，所以现在能背前120位了。&br&&br&——————分割线————————&br&&br&下面我给出我记这一百位的方法。&br&&br&（1）先记住前22位，这个方法是我小学时看到一个打油诗记住的：&br&“&b&山顶一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，就杀尔，杀不死，乐而乐&/b&”&br&这个打油诗代表的是：3. 897 932 384 626&br&非常非常好记吧，1分钟不到就能记住。&br&&br&（2）后来呢，我听说有一个数学家，叫鲁道夫·范·科伊，他用毕生时间把圆周率推导到了35位，然后刻在了墓上。挺有意思的，咦，原来我就知道22位，再记13位不难吧？&br&于是 288，嗯，这么分割字节，数感好的话，读两遍就记住了。&br&&br&（3）再后来，也就是初中的时候，偶然间我在《数学之美》上看见了圆周率的前100位，好吧，现在我会35位，再补上65位就好啦！&br&&br&所以我是这么记的，先读一遍，注意数字的分割：&br&&br&
……&br&&br&看起来好长一串啊，这么分割一下，好像就很顺口了耶！&br&&br&1、首先呢，先把41971记住，什么，就5位你都记不住？！那我没什么好说的了。……或者记五个字，“失意就吃药”（P.S. 不推荐汉字谐音法，它破坏了数字本身的美）。&br&2、然后，69399，哇，都是3的倍数耶！根本不需要记！&br&3、37510，嗯，前四位都是奇数，挺好记的。……或者，“撒气我一脸”&br&4、，好像一个促销电话诶！记住之。……或者，“哦不然哩 就去死 就死死”&br&5、，额，10个数字都有了，且不重复，多好记&br&6、8 6280，你看，那不就是四位数字0268颠来倒去嘛，中间一个998让我想起了“只要998，XX抱回家”。&br&7、，我是这么记的，34、25、11都是我同学的学号，剩下的自己联想吧（诡异一笑）！&br&8、70679，这5位好像没什么意义，死记住之。&br&&br&于是，我就记住了圆周率前100位，前后一共不到5分钟吧。&br&&br&&b&3.&br&
26433 &br&
70679&/b&&br&&br&100位大功告成！&br&&br&后来又蛋疼地背了20位： ，除了前五位都2的幂次外，第11到15位是回文的，也算好记。&br&&br&默默地在角落里写完答案，不过好像无人问津的样子。其实呢，被圆周率或者其他无意义的数字串，其实都是有技巧的，如果赞同的人比较多，我倒也想总结一下。&br&&/p&&br&&p&——————分割线———————&/p&&br&&p&2014 年 3 月 12 日更新&/p&&br&&p&（看到一个本来默默无闻的回答突然被100多人点了赞，我觉得应该多写一点）&/p&&br&&br&先唠嗑几句：&br&&p&首先申明一点，我&b&纯记忆力不算好，甚至未必比平均水平高&/b&，这真的不是谦虚：&/p&&p&1、首先，除了数字外，我记其他东西的能力都不强，比如有意义的汉字和英语单词。小时候背一首古诗往往比周围的人花更多的时间；初中背英语课文，我总是班上最慢的几个人之一；大学里背六级、托福、GRE单词，即便采用了最为科学的“艾宾浩斯记忆曲线”，记忆效果依然不好，以至于放弃了出国的打算。&/p&&p&2、在有压力状态下，我的遗忘率很高，比如上课点名背诵；比如考试要考：考试中我丢分最多的就是记忆类的题，因此并不擅长生物、如果不是对历史感兴趣的话，也不会擅长历史。相反，重于理解的题，我却比较擅长。&/p&&br&&p&因此，在记忆技巧方面，我自以为擅长的只是记数字而已。某些时候我记英语和语文比较快，那是因为数字化了一些东西。&/p&&br&&p&记数字，在大部分人看来，往往是最头疼的事情，因为它往往没有意义和前后文，似乎不如有意义的一段话好记。但是数字以及数字串往往都不会太长，从字节上来说，远远比不上一篇课文。一个20个无意义数字组成的字符串，和一个50个汉字的一段话，哪个好记？很多人觉得后者好记，但是用一定的方法，一定是前者好记得多。&/p&&br&&p&我是在小学时（90年代末），看上海电视台的《智力大冲浪》的一档栏目《幸运十三》上发现自己记数字的天赋的，那个节目就是几个人PK，在6秒钟之内记住13位无意义的数字，比谁正确率高，每次比个几道题，决出周冠军、月冠军和总冠军，当然月冠军们的pk还是很虎的，往往是6秒根本测不出水平差异，然后时间减到5秒、4秒、3秒甚至是2秒。当时我自己也在看，觉得这个游戏好简单，自己去做也能拿冠军。后来大概十年前，《智力大冲浪》有一档纪念节目，那期给出的数字我至今还记得——540 310 269 7887。&/p&&br&&p&废话有点多。下面还是说一下自己记数字的心得。&/p&&br&&p&&b&1、记数字，要用“看”，不要用“听”。记的时候，要用“映”，不要用“念”。&/b&&br&&/p&&br&&p&大家有没有这样的感觉：本来一个熟悉的手机号，用另外一种方式读出来，似乎就很陌生了。但是用另外一种方式写出来，却没有什么差别。这是因为，我们记忆的时候，无论是对听见的东西，还是看见的东西，都不自然地要联系上下文，但是眼睛的速度和敏捷度远远胜于耳朵。就拿刚才那一串数字来说：&/p&&p&540 310 269 7887&/p&&p&887&/p&&p&887&/p&&p&从念的角度来说，这三种分段方法似乎很不一样， 但是看这三种分段方法，感觉差别不大。而且，特别容易看成第一种——因为两个0在末尾，押韵不错。&/p&&p&同样，记忆的时候，默念的记忆效率是不如把数字的图像映在脑海里的。那个《幸运13》总冠军，用2秒种的时间记住13位数字，用“读”肯定是不行的，因为2秒读不完13位数，所以用的方法是“映”。先把13位数的形状刻在脑子里再说嘛~&/p&&p&此外，不用“念”的原因还有一点，参见4。&/p&&br&&p&&b&2、尽量不要用长字节的东西去记短字节的东西。&/b&&/p&&br&&p&看到下文有人这么记圆周率：May I have a large container of coffee，用每个单词字节数来记住3.1415926，这个方法一般是得不偿失的。你读完你这句话的时候，够我看这7个数字好几遍了~&/p&&br&&p&再如，比如要记住八大行星（以前是九大行星）的英语，很多人这么记忆&/p&&br&&p&My Very Excellent Mother Just Send Us Nine Pizzas.&/p&&p&My Very Educated Mother Just Shows Us Nothing.&/p&&br&&p&用首字母的方式记住它，方法是不错，但是我不是特别推荐。为什么不用更短的呢：&/p&&p&MoVE My(J) SUN.&/p&&br&&p&&b&3、循环节记忆和联想记忆。&/b&&/p&&br&&p&循环节记忆很简单，比如e的前9位：2.，&/p&&p&简单地划分成2.7 。不需要时间就记住了&/p&&br&&p&联想记忆：比如地球表面积 5.1亿平方千米，嗯，五一劳动节。海洋面积是3.61亿平方千米，哦，六一儿童节。——地理老师说的。这个也很简单。&/p&&br&&p&&b&4、增强对数的敏感度。&/b&&/p&&br&&p&这个方法是我的“杀手锏”。我是一个对数以及数论很爱好的人。很多数字是这样记住的：&/p&&br&&p&97——这不是100以内最大的&b&质数&/b&吗？&/p&&p&153——“&b&水仙花&/b&”数（同理，370,371等等都是）&/p&&p&236——&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B5%7D+& alt=&\sqrt{5} & eeimg=&1&&的小数部分前三位，&b&平方根数&/b&，同理，414,732等等。&/p&&p&840——1000以内约数最多的数，有32个约数（再比如48,60,120,240,等等等等，类似于n以内约数最多的数又叫“&b&超级合数&/b&”、“极大合数”，是最美的数）&/p&&p&945——最小的奇“&b&过剩数&/b&”&/p&&p&1296——6的4次方（&b&幂次数都可以这么记，这种方法是最有效的！&/b&比如625,4096等等，如果2的1到32次幂，1到100的平方都能记住就更好了）&/p&&p&4649——*4649（&b&分解质因数&/b&的记法，难一点的，可以记住2的67次方减1等于*……我也不知道怎么记住的）&/p&&p&5050——1到100的和，&b&求和数&/b&，同样的，如果小时候经常在算盘上练习1到100的加法，很多数字比如210,300,666等等都是容易记住的）&/p&&p&6174——“&b&黑洞数&/b&”（495亦是）&/p&&p&8128——“&b&完全数&/b&”（28,496神马的都是。再比如220,284之类的“亲和数”）&/p&&p&9376——它的平方末四位和自己相同，而且是唯一具有这个性质的4位数&/p&&p&142857——这不是1/7的循环节吗？&/p&&br&&p&以上的例子还有很多很多，不过最常用的还是是&b&质数&/b&和&b&平方数&/b&，在我看来，分解质因数是一件很好玩的事情，初中时我曾蛋疼地把1000以内的数都分解了一下质因数，现在看到车牌号，都有分解质因数的冲动。其实这对记忆数字还是帮助挺大的。&/p&&br&&p&从小培养对数的感觉，&b&给数赋予故事或灵魂&/b&，记住一些看起来无意义的数字串也就不难了。&/p&&br&&p&——————&/p&3 月 16 日更新&br&&br&突然间赞同数到了1000多，也逐渐看到了各种褒贬不一的评论，心中有些惶恐，不如再写一点吧。&br&&br&&b&5、记数字，不推荐用相同字节的记忆方法。&/b&&br&&br&比如圆周率，5位一记看起来效率很高，不过容易记错。比如我第一次看到101~120位时： 时，觉得自己看了两遍记住了，过了半年后，偶然间想起，发现自己记成了 ……所以可长可短的记忆方法更好一些，不要用相同的字节，类似的”故事“，否则容易记混。&br&&br&&b&6、总结：记数字根本并不算是记忆问题，而是……数学问题&/b&&br&&p&这个有些唯心主义了……可以无视。&/p&&p&在我看来，数字是有灵魂的，它的涵义很丰富，当做无意义的字节去记忆，在我个人看来是有些亵渎的。只有赋予其跳动的灵魂，才会感到更加亲切。&/p&&br&&br&此外，补上一点我对记忆力的浅见：&br&&br&记忆力很重要。个人鄙见，&b&记忆能力未必能决定你的上限，但能决定你的下限&/b&。的确有很多科学家记忆力不是特别好，什么数都记不住，但是记忆力很好的人，只要不是太不努力，他不会差。我周围有这样的同学，理科一点都不好，但是他记忆力很好，能够被很多东西，后来他就背着SAT单词被美国名校录取了。有了好的记忆能力，你至少比社会上很多不懂得怎么记忆东西的人有了自己的一技之长，你就能凭这个多应付很多考试，混一口饭吃。&br&&br&当然，记忆力绝非是万能的。&b&不记忆才是我们的最终目标&/b&。正如张无忌学武功无招胜有招，最好的记忆，是将知识融会贯通，而不是死记硬背。这个要提高比记忆还是难很多的。&br&&p&&br&（未完待续？）&/p&&br&&p&&b&【转载请注明作者及出处，商业转载请联系我】&/b&&/p&
当你觉得一件事情很好玩时，你就会去研究， 研究了以后，就会发现各种各样有用的方法，不知不觉间，或许就成为了这方面的能手。 记数字其实是一件好玩的事情。不仅仅是圆周率，还有手机号，生日，学号，车牌号，银行卡号码……任何出现数字的地方，都可以“…
接下来我要讲一个激燃的故事。&br&这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。&br&鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。&br&学渣如我就不涉及理论部分了。&br&&br&这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。&br&&br&1590年代末，一个叫Raleigh的英国航海家提出了一个看上去很简单的问题。&br&他想设计一种炮弹的堆叠方式，以便自己能够轻易的数出每一堆有几颗炮弹。&br&他把这个问题交给了他的助手Harriot，这个聪明的年轻人想的更远一些，他想设计一种最有效率的堆积方式。&br&以便在航行中有限的空间内存放更多炮弹。&br&Harriot在其他的自然科学领域也颇有建树，但这个问题虽然看上去很简单，但是他却久久没有进展。&br&于是这个年轻人给远在布拉格的数学，物理和天文学家写了一封信。&br&当然收信者并不是三个人，他就是开普勒。一个数学，物理和天文学家。&br&于是，这场接力的第一棒交给了这个出生在斯图加特的大师。&br&1611年，开普勒写了一本小册子，名叫《六角形的雪花》。这是一本写给朋友的非正式出版物，他在书中问到，为什么雪花是六角形，为什么蜂房也是六角形。&br&再问完这个问题后，开普勒转而研究了另一种植物，石榴。&br&这是从二维平面的有效率堆积方式拓展到了三维空间的研究。&br&他认为在石榴有限的空间内，石榴籽的堆积方式一定是最有效率的。&br&他和100多年后的植物学家黑尔斯的得出了一样的结论，黑尔斯给一大堆豌豆加压。&br&观察到除了豆子挤成了豌豆泥之外（什么鬼）有些豌豆被挤压成了和石榴一样的十二面体。可是后来被证明是实验结论错误的。（孟德尔：你不要豌豆拿给我啊干嘛挤它&br&&br&好了，到这里我们歇一歇。开普勒认为大自然的安排一定是最完美的，所以，他认为一个圆球围绕着十二个圆球是最紧密的堆积。&br&但他没有证明，也有没有说该如何围绕。&br&对于我们每个人来说，怎么样最有效率的装球，仿佛是一个简单的问题。&br&你先摆好一层球，然后第二层的球放在第一层的空隙中就好。&br&这就是著名的面心立方对堆积。但是还有一种堆积方式虽然名字很酷炫但后来被证明和面心立方堆积等效。也就是六方最密。&br&&br&让我们从二维平面开始，怎么样最有效率的排列圆形。&br&这看上去简直就像1+1=2。&br&1528年，一位德国的文艺复兴时期的艺术家写了一本数学教科书。&br&书中写，在天花板上放置圆形花纹，只有方形和六边形排列才能放整齐。而且指出六边形最紧密。（开普勒：卧槽有人抢跑&br&好了，接下来接力棒交给了一个刚刚输光了全部家当的意大利人。&br&他叫拉格朗日。十八世纪最伟大的数学家。&br&到目前为止，研究的设定都基于所有圆形的圆心都排成整齐的格子状。&br&拉格朗日轻易的证明了在这种情况下六边形堆积最紧密。&br&挪威数学家杜氏接过了这一棒，开始研究一般情况，即圆型随意排列的情况下怎么堆积最紧密。&br&可惜并没有太多实质性的进展。接力棒传到了俄国，一位叫闵可夫斯基的小男孩随着父母移民到了德国。&br&他后来再苏黎世的联邦理工当了助理教授，班上有很多学生经常翘他的课。其中一位是二十世纪最伟大的专利审查员。&br&阿尔伯特爱因斯坦。&br&他指出圆的规律装填密度起码有0.8224。&br&但他并没有指出这种排列的样子。为了怕闵科夫斯基抢他的风头。杜氏抢先发表证明演说。可是数学界认为他的证明不完善。&br&三十年后匈牙利数学大师托斯完善了关于平面的装填问题证明。&br&之后，威斯康星大学的数学课科歇诺又证明了平面的覆盖问题。（覆盖允许重叠，装填不允许。）&br&证明指出，六边形排列是最佳的装填，也是最有效率的覆盖。&br&&br&到此&br&二维平面的数学接力已经完成了，那么现在等待解决的就是三维世界的证明了。&br&&br&为了叙述三维的问题，我们要从另一个跑道的选手说起。&br&牛顿和他的基友（误）大卫格里高利。他们之间争论着平面内一个球能最多与几个其他的球接触。我们现在知道这个数字是6。&br&他们把这个问题拓展到了空中。在空中的一个球能最多与几个球接触。&br&并进行了激烈的争论，可惜他们的争论只是开普勒的局部问题，对于猜想的证明并无多大用处。&br&（开普勒猜想中最紧密的堆积，一颗球周围有十二个球围绕，而大卫说空间中一个球最多能与十三个球相接触。他们的争论在1953才被终结。）&br&&br&之后瑞士数学家Bender向德国的数学期刊投稿，企图证明阐述上面的争论。他的论文被期刊的编辑霍普完善并且霍普把Bender的论文和他自己的论文一同发表。&br&看起来这一棒跑的很顺利，但是我们的霍普选手丢了棒，他的论文被证明有致命的错误。&br&这个问题后来被荷兰人和德国人解决。&br&这条岔道的选手已经完赛，让我们回头看看我们原本的赛道。&br&现在执棒的选手对我们来说有些陌生，他叫奥古斯都希波，他费尽了心血证明了“立方体体积的平方”除以“扭曲盒子体积的平方”恒小于三。&br&为了这个看上去不怎么重要的小数字，他写了一本248页的厚厚著作。&br&然后交棒给了本次马拉松接力的队长，数学王子高斯。&br&然而高斯就是高斯。&br&他在希波248页的证明后面花了一页半，把这个比值的极限推到了二。&br&简直就是神迹！我仿佛听到高斯拔刀在喊“我方已经击穿敌方装甲！准备冲锋！”&br&通过这一页半，高斯间接说明了在规律排列下圆的最紧密堆积方式的密度最高极限是74.05%。（当球在三维格子里面时）&br&那么问题就是，哪一种堆积才能达到这样的密度。开普勒的么？只有这一种么？&br&&br&接下来的近一个世纪，接力棒默默地停止在高斯的那一页半证明上。&br&直到日，第二届国际数学家大会在巴黎召开。&br&德国数学家希尔伯特提出了那无比著名的23个数学问题。&br&开普勒猜想，编号第十八。&br&&br&这个时候接力赛进入了白热化，数学家们想找出比开普勒猜想更紧密的排列方式。（比如一种混乱的无序排列）&br&因此他们把74.05%这个密度作为一个下界，把100%作为一个最初的上界。&br&现在要做的就是缩小他们的距离。&br&丹麦人布利奇菲尔德接棒把上界缩小到83.5%，然后传棒给苏格兰数学家兰金，在剑桥数学实验室的帮助下，他把上界的值降到了82.7%。&br&这个时候他们之前说采用的研究方法走到了尽头，上界没办法再继续下降了。&br&之前跑过接力棒的托斯，又想出了一种另外的方法。&br&这个方法是另一个俄国数学家沃洛诺伊提出的，但他英年早逝并没有完善证明。&br&他提出，我们只要去找一种叫做V单元的立方体就行了。&br&这种V单元需要具有两个特点，第一它可以没有缝隙的填满三维空间，就像正方体，第二他的内部有一个球。&br&这样，球的体积不变，只要我们找到一种体积更小的v单元，装球密度就会提高。&br&凭借这个方法，伯明翰大学的罗杰斯把上界降到了78%，跑出了精彩的一棒。&br&又过了三十年，加州理工大学的林赛选手接棒，跑出77.84%的好成绩，然后数学家穆德榨干了V单元方法的潜力，把他发挥到了极致。&br&上界又降低了，虽然只是万分之一，但实属不易。&br&&br&突然之间。&br&加州大学伯克利分校的台湾人项武义接棒直接一骑绝尘冲过终点线!&br&很可惜的是他的证明被数学界认为不完备，并且有诸多漏洞。（我们的攻击未能突破核心！观测到敌方生命迹象！&br&接力棒被交回新秀黑尔斯手中。&br&只要上界降到了74.05那么开普勒猜想就立刻会被证明。&br&黑尔斯采用了迪劳内的一种方法，假设空间里面装满了圆球，我们用直线连接相邻的圆心得到很多个四面体，再进行分析计算。&br&可是黑尔斯并没有取得太多实质性的进展。这个方法并不能降低上界，而是直接对开普勒猜想进行证明，要是不成功就一无所获。&br&根据普林斯顿同行的建议，黑尔斯开始使用电脑来对抗这个几百年悬而未决的问题。&br&他对很多种可能排列方式进行穷举分析。&br&可是程式运行的结果却出乎意料。&br&结果表明没有任何一种排列可以超过给出了74.08%这个数字。&br&嗯？74.08%？这和说好的75.05不一样我摔！导演你是不是给错剧本了！&br&&br&经过检查，黑尔斯发现了一种古怪的排列方式，它似乎比开普勒堆积要更紧密一点。我们就把它叫做“BUG”好了。&br&接下来他的工作分成了五个部分，简单的概述就是，他提出了一种给每种排列打分的方式，他只要证明除了开普勒排列外的四大类的排列都低于8分，接下来证明BUG的排列也低于8。而开普勒排列的得分是8。&br&前面四大类都轻易的完成了。&br&只剩下了BUG，这种一个强有力的外援出现了，黑尔斯的医生父亲的一个病人恰好是数学教授，他的儿子成为了黑尔斯的学生。&br&无巧不成书。&br&黑尔斯原本预计再过几个月就能完成对这个BUG排列的分析。&br&而实际上他们用了整整三年。&br&&br&&br&终于，日的上午。一个普通的星期天。&br&黑尔斯坐下来写了一封电子邮件，告诉全世界的同行离散几何中一个古老复杂的猜想已经得到了证明。&br&并附上了研究过程和电脑程序代码。&br&但仍然有不少人人对这种这种穷举证明方法存疑。&br&&br&&br&到此开普勒猜想证明告一段落。&br&这个看起来无比符合直觉的猜想前前后后用了四百年的时间才得以基本证明。&br&人类历史上这批最杰出的天才前赴后地继交棒接力。&br&他们大多数人都看不到这个猜想被证明的那一天。&br&如果说这个世界的真理和规律都被隐藏在黑暗中的话，&br&那么谢谢他们为我们点起光明的火炬。&br&愿火光永不熄灭。&br&&br&&br&参考：GeSzpiro.Szpiro一Kepler's Conjecture 维基百科
接下来我要讲一个激燃的故事。 这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。 鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。 学渣如我就不涉及理论部分了。 这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。 1590年代末，一个叫Raleigh…
&p&我想5头就够了吧。&/p&&p&将1000桶水按5进制编号，因为5^5&1000，所以每桶水的编号是一个五位数。将五头猪对应到每一位。首先喂每头猪5进制编号下该位数为0的水。15分钟内，如果某头猪死了，那么有毒的水该位就是0；然后过15分钟后，再喂还存活的猪5进制编号下该位数为1的水。15-30分钟内，如果某头猪死了，那么有毒的水该位就是1。以此类推，于是在一个小时内我们就可以判断有毒的水的编号在5进制下每一位是多少，从而找到这桶水。&/p&&p&我认为4头及以下的猪是不太可能完成这个任务的。因为1个小时内每头猪最多提供一下的信息：&/p&&p&0-15分钟死/15-30分钟死/30-45分钟死/45-60分钟死/不死。所以4头猪最多表示5^4&1000个可能的状态。不知道有没有更聪明的办法用更少的猪解决这个问题。&/p&&p&===================================================&/p&&p&在这里补充一个例子帮助大家思考这个问题：因为我们只在0，15，30，45分钟喂水，所以我们将这几个时间点记成第一二三四轮。5头猪称为1号猪2号猪3号猪4号猪5号猪。把1-1000号水按照5进制编号。&/p&&p&第一轮：喂1号猪5进制下末位数是0的水，喂2号猪5进制下倒数第二位数是0的水，喂3号猪5进制下倒数第三位数是0的水，喂4号猪5进制下倒数第四位数是0的水，喂5号猪5进制下倒数第五位数是0的水。&/p&&p&第二轮：开始前发现3号猪和5号猪死了。所以有毒的水的编号是0_0__. 喂1号猪5进制下末位数是1的水，喂2号猪5进制下倒数第二位数是1的水，喂4号猪5进制下倒数第四位数是1的水。&/p&&p&第三轮：开始前发现2号猪死了。所以有毒的水编号是0_01_. 喂1号猪5进制下末位数是2的水，喂4号猪5进制下倒数第二位数是2的水。&/p&&p&第四轮：开始前发现1号和4号还活着。喂1号猪5进制下末位数是3的水，喂4号猪5进制下倒数第四位数是3的水。&/p&&p&到60分钟的时候，发现1号死了，4号还活着。所以有毒的水的编号是04013。这个数在10进制下是508，所以是508号桶水有毒。&/p&
我想5头就够了吧。将1000桶水按5进制编号，因为5^5&1000，所以每桶水的编号是一个五位数。将五头猪对应到每一位。首先喂每头猪5进制编号下该位数为0的水。15分钟内，如果某头猪死了，那么有毒的水该位就是0；然后过15分钟后，再喂还存活的猪5进制编号下该位…
上学时，数学竞赛获得优胜，主办方额外送了本书《Proofs Without Words》，里面有很多脑洞大开的巧合：&br&&br&&img src=&///equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B3%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%281%2B2%2B3%2B...%2Bn%29%5E2& alt=&1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2& eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/3c3dc26d089f0fe7e2f53afa_b.png& data-rawwidth=&628& data-rawheight=&216& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&628& data-original=&/3c3dc26d089f0fe7e2f53afa_r.png&&&br&步骤再详细点：&br&&img src=&/41a386e904fedebeb4a76459_b.png& data-rawwidth=&507& data-rawheight=&173& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&507& data-original=&/41a386e904fedebeb4a76459_r.png&&&br&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E3%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E4%7D%2B...%3D1+& alt=&\frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{2^4}+...=1 & eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/1fb1ef0ebf8_b.png& data-rawwidth=&415& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&415&&&br&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E3%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E4%7D%2B...%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+& alt=&\frac{1}{3} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{3^3} +\frac{1}{3^4}+...=\frac{1}{2} & eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/b85a031e350af871d26e3b1f2a2b017d_b.png& data-rawwidth=&210& data-rawheight=&190& class=&content_image& width=&210&&&br&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5E3%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5E4%7D%2B...%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+& alt=&\frac{1}{4} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{4^3} +\frac{1}{4^4}+...=\frac{1}{3} & eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/48b9b35ae7fb6cf1a9646a_b.png& data-rawwidth=&420& data-rawheight=&187& class=&content_image& width=&420&&&br&&br&&br&&img src=&///equation?tex=1%2B2%3D3& alt=&1+2=3& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=4%2B5%2B6%3D7%2B8%0A& alt=&4+5+6=7+8
& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=9%2B10%2B11%2B12%3D13%2B14%2B15& alt=&9+10+11+12=13+14+15& eeimg=&1&&&br&...&br&&img src=&///equation?tex=n%5E2%2B%28n%5E2%2B1%29%2B...%2B%28n%5E2%2Bn%29%3D%28n%5E2%2Bn%2B1%29%2B...%2B%28n%5E2%2B2n%29& alt=&n^2+(n^2+1)+...+(n^2+n)=(n^2+n+1)+...+(n^2+2n)& eeimg=&1&&&br&证明&br&&img src=&/02f3089c4fca984cd83452c_b.png& data-rawwidth=&597& data-rawheight=&501& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&597& data-original=&/02f3089c4fca984cd83452c_r.png&&&br&进阶一点，三角函数：&br&&img src=&///equation?tex=%5Csin%28x-y%29%3D%5Csin+x+%5Ccos+y-%5Ccos+x+%5Csin+y& alt=&\sin(x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y& eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/c5c61defafdbe256b5420f8_b.png& data-rawwidth=&613& data-rawheight=&238& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&613& data-original=&/c5c61defafdbe256b5420f8_r.png&&&img src=&///equation?tex=%5Ccos%28x-y%29%3D%5Ccos+x+%5Ccos+y%2B%5Csin+x+%5Csin+y& alt=&\cos(x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y& eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/5d13f3d938cf700acb3d0_b.png& data-rawwidth=&585& data-rawheight=&229& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&585& data-original=&/5d13f3d938cf700acb3d0_r.png&&&br&&img src=&///equation?tex=c%5E2%3D%28b%5Csin%5Ctheta%29%5E2%2B%28a-b%5Ccos%5Ctheta%29%5E2%3Da%5E2%2Bb%5E2-2ab%5Ccos%5Ctheta& alt=&c^2=(b\sin\theta)^2+(a-b\cos\theta)^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta& eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/749fcceabc0cf9_b.png& data-rawwidth=&583& data-rawheight=&413& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&583& data-original=&/749fcceabc0cf9_r.png&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctan%7B%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%3D%7B%5Cfrac%7B%5Csin+%5Ctheta%7D%7B1%2B%5Ccos%5Ctheta%7D%7D%3D%7B%5Cfrac%7B1-+%5Ccos+%5Ctheta%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7D& alt=&\tan{\frac{\theta}{2}}={\frac{\sin \theta}{1+\cos\theta}}={\frac{1- \cos \theta}{\sin\theta}}& eeimg=&1&&&br&证明：&br&&br&&img src=&/af7e671cb2f14b8943d6babd43642c25_b.png& data-rawwidth=&543& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&543& data-original=&/af7e671cb2f14b8943d6babd43642c25_r.png&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbar%7B%28a%2Cb%29%7D%5Ctimes++%5Cbar%7B%28c%2Cd%29%7D%3Dad-bc& alt=&\bar{(a,b)}\times
\bar{(c,d)}=ad-bc& eeimg=&1&&&br&证明：&br&&img src=&/875abb8436a_b.png& data-rawwidth=&613& data-rawheight=&209& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&613& data-original=&/875abb8436a_r.png&&&br&&br&如果感兴趣，可以在网上搜 Proofs Without Words，共两本。&br&&br&附下载链接（从俄罗斯的找到的，所以速度较慢）：&br&第一本：&br&&a href=&///?target=http%3A//golibgen.io/view.php%3Fid%3D858654& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&golibgen.io/view.php?&/span&&span class=&invisible&&id=858654&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&第二本：&br&&a href=&///?target=http%3A//golibgen.io/view.php%3Fid%3D858655& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&golibgen.io/view.php?&/span&&span class=&invisible&&id=858655&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&当然，还是支持正版：&br&第一本：&br&&a href=&///?target=https%3A///Proofs-without-Words-Exercises-Classroom/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-1%26keywords%3Dproofs%2Bwithout%2Bwords& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/Proofs-witho&/span&&span class=&invisible&&ut-Words-Exercises-Classroom/dp//ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=&sr=8-1&keywords=proofs+without+words&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&第二本：&br&&a href=&///?target=https%3A///Proofs-Without-Words-Exercises-Classroom/dp//ref%3Dsr_1_3%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-3%26keywords%3Dproofs%2Bwithout%2Bwords& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/Proofs-Witho&/span&&span class=&invisible&&ut-Words-Exercises-Classroom/dp//ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=&sr=8-3&keywords=proofs+without+words&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&额。。。啥时候又出了第三本了。。。&br&&a href=&///?target=https%3A///Proofs-Without-Words-III-Exercises/dp//ref%3Dsr_1_2%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-2%26keywords%3Dproofs%2Bwithout%2Bwords& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/Proofs-Witho&/span&&span class=&invisible&&ut-Words-III-Exercises/dp//ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=&sr=8-2&keywords=proofs+without+words&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
上学时，数学竞赛获得优胜，主办方额外送了本书《Proofs Without Words》，里面有很多脑洞大开的巧合： 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2 证明： 步骤再详细点： \frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{2^4}+...=1 证明： \frac{1}{3} +…
977号。小学数学。&br&问题转化。&br&&br&（1）如果是只有2人，谁活？1号啊！&br&（2）那么，4个人呢？&br&第一轮开枪结束，只剩2人，枪在1手中，所以显然是1号；&br&（3）8个人呢？第一轮开枪结束，只剩4人，枪在1手中，由（2）讨论，我们知道最后是1号；&br&……&br&（9）512人，第一轮开枪结束，只剩256人，枪在1手中，所以显然是1号；&br&&br&那么1000……什么，1000不是2的整数次方？&br&&br&那想办法划到512人去啊！&br&&br&所以，考虑枪刚递到谁手上，还剩的人数，刚好是512人即可。这个时候开枪的人，可以存活到最后。&br&&br&显然，到这个人手上时，已经开了488枪，那这个人应该是488*2+1=977号。&br&&br&答，最后活下来的，是977号。
977号。小学数学。 问题转化。 （1）如果是只有2人，谁活？1号啊！ （2）那么，4个人呢？ 第一轮开枪结束，只剩2人，枪在1手中，所以显然是1号； （3）8个人呢？第一轮开枪结束，只剩4人，枪在1手中，由（2）讨论，我们知道最后是1号； …… （9）512人，第…
当然是Windows系统提供的SetMonitorBrightness这个函数了！&br&&br&这个函数可以设置电脑屏幕的亮度，如果设置成100%，你就会感到眼前一亮&br&&br&&br&参考资料：&a href=&///?target=https%3A///en-us/library/windows/desktop/ddv%3Dvs.85%29& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/en-u&/span&&span class=&invisible&&s/library/windows/desktop/dd692972(v=vs.85)&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.aspx
当然是Windows系统提供的SetMonitorBrightness这个函数了！ 这个函数可以设置电脑屏幕的亮度，如果设置成100%，你就会感到眼前一亮 参考资料：.aspx
我觉得Anub'arak的答案更漂亮！&br&&br&1.&br&&img data-rawheight=&672& data-rawwidth=&696& src=&/3dbfd3aab36_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&696& data-original=&/3dbfd3aab36_r.jpg&&&br&2.&br&或者一刀吧&br&&img data-rawheight=&459& data-rawwidth=&1015& src=&/2fec094cffe610d472cee5a5cea05dfa_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1015& data-original=&/2fec094cffe610d472cee5a5cea05dfa_r.jpg&&
我觉得Anub'arak的答案更漂亮！ 1. 2. 或者一刀吧
现在学习虚数烧掉的脑细胞，在以后一定能够省回来的。&br&虚数的使用实际上扩展了数学的维度，简化了很多问题。&br&举个中学级别（也许是大学）的例子，来说明虚数是怎么做到这一点的:&br&&br&&b&（好多人评论说看不懂这个例子。。。&/b&&br&&b&那就只看加粗部分吧，重点在于思维，而不在于具体的解答过程。）&/b&&br&&br&================================&br&&b&情景A&/b&：&br&&br&&img src=&/e8c9550215fec01f47ce5f3adae75d3d_b.png& data-rawwidth=&1873& data-rawheight=&202& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1873& data-original=&/e8c9550215fec01f47ce5f3adae75d3d_r.png&&&br&&br&&blockquote&假设有一个光滑的碗。碗底在原点，碗的函数近似一个抛物线（但其实不是抛物线！）&br&碗里面放一个小球，小球不在碗底。假设小球的初始&b&x&/b&坐标为&b&x&/b&0，速度为0。&br&当小球被释放以后，它在碗里会做来回的摆动，凭想象都可以脑补出它的运动模式。&br&我们假设小球在任何位置受到的&i&&b&x&/b&&/i&方向加速度都正比于它的&i&&b&x&/b&&/i&位移，即 &b&a = -kx &/b&。注意不要漏了负号，因为这个加速度和小球的&i&x&/i&座标方向相反。&br&&u&求小球在x方向上的运动函数 x(t)。&/u&&/blockquote&&br&&b&其实答案都不用算，根据弹簧的类比，可以推测出小球在做简谐运动。因为碗是个光滑的表面，小球会在里面往复滚动，而且因为能量守恒，小球永远跑不出x0的范围。&/b&&br&&br&用数学的公式表达，小球的运动函数是一个三角函数 &img src=&///equation?tex=x%28t%29%3Dx_0%5Ccos+%28%7B%5Csqrt+k+t%7D%29& alt=&x(t)=x_0\cos ({\sqrt k t})& eeimg=&1&&&br&&br&当然这个情景有个特殊的情况：&br&当正数&b&k&/b&无限接近0的时候，小球的振荡周期无限延长。当&b&k&/b&等于0的时候，小球要么不动，要么做匀速直线运动（前提是有个初速度），因为这时候碗就变成了一块平板。（自行脑补）&br&&br&================================&br&&br&&b&情景B：&/b&&br&&br&&img src=&/c1f3c08d02ed54d10961ae_b.png& data-rawwidth=&1873& data-rawheight=&223& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1873& data-original=&/c1f3c08d02ed54d10961ae_r.png&&&br&&br&&b&现在把碗倒扣过来&/b&，其它条件不变，求小球的运动函数。&br&&br&&br&&b&答案也不难，小球会一直往外滚出去，而且速度越来越快。&/b&&br&小球的加速度这时候变成了 &b&a = kx&/b&。注意这时候就没有负号了，因为加速度是和小球的&b&x&/b&位移同方向的。这时候小球的运动函数应该是个指数函数&br&&img src=&///equation?tex=x%28t%29%3Dx_0e%5E%7B%5Csqrt+kt%7D& alt=&x(t)=x_0e^{\sqrt kt}& eeimg=&1&&&br&&br&这个情景同样有个特殊情况：当&b&k&/b&=0时，小球静止或者做匀速直线运动，和A的特殊情况是完全一样的。&br&&br&================================&br&&br&&b&下面到了划重点的时候：&/b&&br&&br&我们只不过把碗翻了个面，(小球的加速度沿&b&x&/b&方向反转一下而已)，就像把正数变成负数，把负数变成正数一样。&b&而我们得出来的方程形式完全变了，一个用三角函数，一个用指数函数。&/b&&br&&br&现在要放开思维去想：&b&&u&为什么对于两个极其相似的情景，简直就是阴阳的两面，我们就要用两种根本不同的函数去描述？&/u&&/b&&br&&b&&u&还是说这两种函数本来就有一种内在的联系&/u&？&/b&&br&&br&&br&那么就去探究一下它们的内在联系。&br&&br&假如我们不考虑碗底朝上还是朝下，直接用&b&a = Kx&/b& 来表示小球的加速度。注意这里用大写的&b&K&/b&代替了&b&k&/b&，强调这个系数&b&K&/b&是可以取正或负值的！那么小球的运动函数可以用这个微分方程来解&br&&br&&img src=&///equation?tex=x%22-Kx%3D0& alt='x&-Kx=0' eeimg=&1&&&br&&br&这个方程是学过高数的人都会解的。&blockquote&一个 ax&+bx'+cx=0 (且a!=0) 的形式的方程，其解的指数可以从: &img src=&///equation?tex=a%5Clambda%5E2%2Bb%5Clambda%2Bc%3D0& alt=&a\lambda^2+b\lambda+c=0& eeimg=&1&&的两个根求出来。&/blockquote&&br&那么以上这个微分方程的解的形式应该是&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7B%5Csqrt+Kt%7D& alt=&x=e^{\sqrt Kt}& eeimg=&1&&&br&&br&（这里忽略了正负符号和常数。严谨的做法是要加入边界条件。不过这不是重点，先不作讨论。）&br&&br&================================&br&&br&&b&注意我们把K放进了根号里，但是一直没有对K的正负号进行讨论。记得前面说过，大写的K代表它是可以取正或者取负的吧？&/b&现在来对这个函数&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7B%5Csqrt+Kt%7D& alt=&x=e^{\sqrt Kt}& eeimg=&1&&中&b&K&/b&的正负性进行讨论。&br&&br&如果&b&K&/b&为正，那么就跟情景B一样，直接解出指数函数。&br&&br&但是如果&b&K&/b&为负，即情景A的，这个负号就要出现在根号里面。怎么办？我们可以把根号负一单独拿出来作为常数&b&i&/b&，然后其它的运算就可以作为实数处理了。&br&&br&&b&所以情景A的解其实是&/b&&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7Bi%5Csqrt+%7B%7CK%7C%7D+t%7D& alt=&x=e^{i\sqrt {|K|} t}& eeimg=&1&&&br&对比一下情景B的解：&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7B%5Csqrt+Kt%7D& alt=&x=e^{\sqrt Kt}& eeimg=&1&&&br&&br&这个写法是不是更直观一点呢？两个情景应该是有非常相似的函数表达式的。那么情景A里面指数根号负一怎么处理呢？&br&&br&已知情景A的解是一个三角函数（可以通过实验来证明），&b&&u&那么虚数指数的函数就应该对应实数的三角函数，这就是指数函数和三角函数之间的内在联系&/u&&/b&。&br&&br&其实这就是大名鼎鼎的&b&&u&欧拉公式&/u&&/b&&br&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bix%7D%3D%5Ccos+x%2Bi%5Csin+x& alt=&e^{ix}=\cos x+i\sin x& eeimg=&1&&&br&&br&所以以后学信号处理，时域/频域变换的时候，写简谐公式再也不用考虑是用sin还是cos了，直接写 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Comega+t%7D& alt=&e^{i\omega t}& eeimg=&1&&，多简单。两者本来就是阴阳互补的两面。
现在学习虚数烧掉的脑细胞，在以后一定能够省回来的。 虚数的使用实际上扩展了数学的维度，简化了很多问题。 举个中学级别（也许是大学）的例子，来说明虚数是怎么做到这一点的: （好多人评论说看不懂这个例子。。。 那就只看加粗部分吧，重点在于思维，而…
&p&谁说不能改的...数学和物理不一样,你爱咋改咋改...&/p&&p&但是改了之后有个问题,你得自洽,不然就啪的崩溃成一堆平凡玩意儿了,没啥研究价值了...&/p&&p&-----------------------------------------------------------------------------&/p&&p&第一个简单的方法,改定义呗...&/p&&p&3.1415.....周长与直径的比值,在某小组内称为半周率,用&img src=&///equation?tex=%5Ctau& alt=&\tau& eeimg=&1&& 表示&/p&&p&那里,圆周率&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 是周长与半径的比值,一条腿3.14,两条腿6.28,挺和谐的...&/p&&p&大佬这么干当然是因为这样可以规避鬼畜的系数...&/p&&p&特殊函数里脑残的各种&img src=&///equation?tex=2%5En& alt=&2^n& eeimg=&1&& 倍啊&img src=&///equation?tex=%5CGamma%5Bn%2B1%5D& alt=&\Gamma[n+1]& eeimg=&1&& 啊都是因为这个有点毛病的定义...&/p&&p&当然你可以说他们在玩文字游戏&/p&&p&---------------------------------------------------------------------------&/p&&p&好吧实际点的方法,大家都说了,空间扭曲呗...&/p&&p&&b&圆周率是圆的周长与半径的比值&/b&,那么问题来了,什么叫圆?&/p&&p&&b&圆是在平面内到定点的距离等于定值的点集&/b&?(o゜▽゜)o☆[BINGO!],什么叫距离?&/p&&p&有点难回答?需要有个具体对象?比如(3,4)到原点的距离是多少?&/p&&p&是5,为什么呢?因为&img src=&///equation?tex=%5Csqrt+%7B%7B%7B%283-0%29%7D%5E2%7D+%2B+%7B%7B%284-0%29%7D%5E2%7D%7D+%3D+5& alt=&\sqrt {{{(3-0)}^2} + {{(4-0)}^2}} = 5& eeimg=&1&&&/p&&p&Right,也就是说任意点&img src=&///equation?tex=%28x%2Cy%29& alt=&(x,y)& eeimg=&1&& 到定点(a,b)(a,b)的距离定义为&img src=&///equation?tex=%5Csqrt+%7B%7B%7B%5Cleft%7C+%7Bx-+a%7D+%5Cright%7C%7D%5E2%7D+%2B+%7B%7B%5Cleft%7C+%7By+-+b%7D+%5Cright%7C%7D%5E2%7D%7D& alt=&\sqrt {{{\left| {x- a} \right|}^2} + {{\left| {y - b} \right|}^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&这个就是传统的欧几里得距离....很容易想到我们可以定义p-范下的距离:&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7Bd_p%7D+%3D+%5Csqrt%5Bp%5D%7B%7B%7B%7B%5Cleft%7C+%7Bx+-a%7D+%5Cright%7C%7D%5Ep%7D+%2B+%7B%7B%5Cleft%7C+%7By+-+b%7D+%5Cright%7C%7D%5Ep%7D%7D%7D& alt=&{d_p} = \sqrt[p]{{{{\left| {x -a} \right|}^p} + {{\left| {y - b} \right|}^p}}}& eeimg=&1&& ,p取不同的值,得到的圆就不同,圆周率也不同:&/p&&img src=&/v2-dcb6bb6cad9d96fc751b2d4dbc2925a7_b.png& data-rawwidth=&919& data-rawheight=&734& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&919& data-original=&/v2-dcb6bb6cad9d96fc751b2d4dbc2925a7_r.png&&&p&很容易推导得到对应的圆周率公式就是:&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Baligned%7D+%7B%5Cpi+_p%7D+%26%3D+4%5Cint_0%5E1+%7B%7B%7B%5Cleft%28+%7B1+%2B+%7B%7B%5Cleft%7C+%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7B%7Bdx%7D%7D%7B%7B%281+-+%7Bx%5Ep%7D%29%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%7D%7D+%5Cright%7C%7D%5Ep%7D%7D+%5Cright%29%7D%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%2Cp+%5Cgeqslant+1%5C%5C+%26%3D+1%2F%7B%5Cpi+_p%7D%2C0+%3C+p+%3C+1%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D+%5C%5D& alt=&\[\begin{aligned} {\pi _p} &= 4\int_0^1 {{{\left( {1 + {{\left| {\frac{d}{{dx}}{{(1 - {x^p})}^{\frac{1}{p}}}} \right|}^p}} \right)}^{\frac{1}{p}}}{\text{d}}x} ,p \geqslant 1\\ &= 1/{\pi _p},0 & p & 1\\ \end{aligned} \]& eeimg=&1&&&p&一般p≥1才叫p-范数,这样的话圆周率就局限在&img src=&///equation?tex=%5B%5Cpi%2C4%5D& alt=&[\pi,4]& eeimg=&1&& 范围内&/p&&p&当然其实0&1&p也是存在图形的&/p&&p&带微分还带绝对值比较难算...可以化简下变成:&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cpi_p%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bp%7D%5Cint_0%5E1+%5Bu%5E%7B1-p%7D%2B%281-u%29%5E%7B1-p%7D%5D%5E%7B1%2Fp%7Ddu& alt=&\pi_p=\frac{2}{p}\int_0^1 [u^{1-p}+(1-u)^{1-p}]^{1/p}du& eeimg=&1&&&img src=&/v2-7d9a86d573c99bfd7d7c61_b.png& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&368& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&/v2-7d9a86d573c99bfd7d7c61_r.png&&&p&如果测量测出来&img src=&///equation?tex=%5Cpi%3D3.15& alt=&\pi=3.15& eeimg=&1&& ,那我们就生活在一个扭曲极其严重的宇宙里,相对论应该会早出现几百年,因为物理上测量出来的圆周率和数学上理想的圆周率居然差了这么多...&/p&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&这还不是重点,重点是为什么&img src=&///equation?tex=p%3D2& alt=&p=2& eeimg=&1&& 的时候取得最小值...&/p&&p&有篇文章讨论了下这个:&a href=&///?target=http%3A//www.jstor.org/stable/Forigin%3Dcrossref%26seq%3D1%23page_scan_tab_contents& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&π is the Minimum Value for Pi&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&简单地说p=2是唯一具有SO(3)李群结构的范数...&/p&&p&--------------------------------------------------------------&/p&&p&更麻烦的是这么定义的距离只能产生&img src=&///equation?tex=%5B%5Cpi%2C4%5D& alt=&[\pi,4]& eeimg=&1&& 范围内的圆周率...&/p&&p&更小的比如3.13无论怎么扭曲空间都不可能达到...&/p&&p&距离表面上只要是个x,y的函数就行了,事实上还要满足几个条件&/p&&p&废话一样的&b&正定性&/b&...怎么着俩点之间距离不能是负的吧.&/p&&p&至少要有&b&平移不变性&/b&,有多长,移到哪里量都是那么长&/p&&p&还有AB和BA的长度应该相同...反过来量距离就变...那得多奇葩...&/p&&p&最好要有&b&保三角性&/b&,直接去比绕个路去要短&/p&&p&看上去长的比较短,看上去短的比较长倒是可以允许的,弯曲空间里这事儿还挺正常的&/p&&p&满足这样性质的距离函数其实并不多&/p&&p&网上查了下暂时没有人构造出能突破&img src=&///equation?tex=%5B%5Cpi%2C4%5D& alt=&[\pi,4]& eeimg=&1&& 这个范围的奇怪空间...&/p&&p&======================================================&/p&&p&Update1:修改了几个错别字&/p&&p&p进数(p-adic numbers )也是个度量空间,不过我不是很懂这个...也不知道二维上怎么定义圆和圆周率.&/p&&p&还有如果说从代数角度定义&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的话那确实只能是3.1415926...没法改的...&/p&&p&级数&img src=&///equation?tex=%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B1%7D%7D-%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B3%7D%7D%2B%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B5%7D%7D-%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B7%7D%7D%2B%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B9%7D%7D-%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B11%7D%7D%2B%7B%5Cfrac+%7B4%7D%7B13%7D%7D-%5Ccdots& alt=&{\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots& eeimg=&1&& 永远不会收敛到3.15&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B4%7D%7B%7B1+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7B1%5E2%7D%7D%7D%7B%7B3+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7B2%5E2%7D%7D%7D%7B%7B5+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7B3%5E2%7D%7D%7D%7B%7B7+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7B4%5E2%7D%7D%7D%7B+%5Cddots+%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%5C%5D& alt=&\[\frac{4}{{1 + \frac{{{1^2}}}{{3 + \frac{{{2^2}}}{{5 + \frac{{{3^2}}}{{7 + \frac{{{4^2}}}{ \ddots }}}}}}}}}\]& eeimg=&1&& 也永远不会是3.15&/p&&p&正弦函数的第一个正零点永远不会是3.15&/p&&p&这是&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的固有属性,作为一个数学常数不可替代的地位...&/p&&p&所以只能从几何上,从度量空间上作文章...&/p&
谁说不能改的...数学和物理不一样,你爱咋改咋改...但是改了之后有个问题,你得自洽,不然就啪的崩溃成一堆平凡玩意儿了,没}