探究并证明以下问题:(1)如图1.矩形ABCD的对角线AC.BD交于点O.且∠AOB=60°.点BO为线段上任意一点.以AP为边作等边三角形APF．连结BF.求证:BF=OP．(2)如图2.在正方形ABCD中.点P为BC边上任意一点.以AP为边作正方形APMN.F为正方形APMN的中心.连结BF.直接写出BF与CP的数量关系 ．(3)如图3.在菱形ABCD中.AB:AC=m 题目和参考答案——精英家教网——
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探究并证明以下问题：（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点BO为线段上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP．（2）如图2，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连结BF，直接写出BF与CP的数量关系．（3）如图3，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC=∠AFP，连结BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．
考点：四边形综合题
分析：（1）根据等边三角形的性质以及正方形的性质得出AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，进而证明△FAB≌△PAO即可得出答案；（2）连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，根据正方形的性质求出∠BFP=∠BQP，∠FBP=∠QPB，根据全等三角形的判定推出两三角形全等，根据全等三角形的性质求出BF=PQ，根据等腰直角三角形性质即可得出答案；（3）首先利用菱形的性质得出，FA=FP，进而得出△FAP∽△BAC，以及△FAB∽△PAC，即可得出BF与CP的数量关系．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，在△FAB和△PAO中，，∴△FAB≌△PAO（SAS），∴BF=OP；（2）连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，∵四边形ABCD是正方形，F为正方形APMN的中心，∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，∴A、F、B、P四点共圆，∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，同理∠ABP=∠AQP=90°，∴∠ABP+∠AQP=180°，∴∠BAP=∠BQP，∴∠BFP=∠PQB，∵PQ⊥AC，∴∠QPC=∠ACB=45°，∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，在△FBP和△QPB中，，∴△FBP≌△QPB（AAS），∴BF=PQ，∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，∴PQ=CP，∴BF=CP，故答案为：BF=CP．（3）BF=CP．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴∠BAC=（180°-∠ABC），∵四边形AFPM是菱形，∴FA=FP，∴∠FAP=（180°-∠AFP），∵∠ABC=∠AFP，∴∠BAC=∠FAP，∴△FAP∽△BAC，∴=即=，∵∠FAB=∠FAP-∠BAP，∠PAC=∠BAC-∠BAP，∴∠FAB=∠PCA，∴△FAB∽△PAC，∴==，即BF=CP．
点评：本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．
科目：初中数学
复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
科目：初中数学
已知：92=a4，42=2b，求（3a-2b）2-（3a+b）（3a-b）+（a-3b）（2a+b）的值．
科目：初中数学
在△ABC中，点E在AC上，且=，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，求证：=．
科目：初中数学
有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为．
科目：初中数学
某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图．根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）此次调查抽取的学生人数为a=人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b=；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？
科目：初中数学
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．
科目：初中数学
已知A、B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订，现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时间）的函数图象，如图．
运输费单价元/吨•千米
冷藏费单价元/吨•小时
固定费用元/次
2280（1）汽车的速度为千米/时，火车的速度为千米/时；（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与　x的函数关系式（不必写出x的取值范围），及x为何值时，y汽＞y火？
科目：初中数学
已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（　　）
A、30cm2B、30πcm2C、15cm2D、15πcm2
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如图1，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出．解答：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．由左视图知&PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，．在△BCD中，易得∠CDB=60&，∴∠ADB=30&．又&BD=2，∴AB=1，．又∵AB∥CD，，∴AB∥MQ，AB=MQ．∴四边形ABQM为平行四边形，∴AM∥BQ．∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，∴直线AM∥平面PBC．（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为．证明如下：∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．∴．&设&，其中N（0，t，0）．∴，．要使AM与BN所成角的余弦值为，则有&，∴，解得&t=0或2，均适合N（0，t，0）．故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为．点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、异面直线所成的角、平行线分线段成比例的判定和性质、平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
科目：高中数学
18、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．（1）求证：DP∥平面ANC；（2）求证：M是PC中点；（3）求证：平面PBC⊥平面ADMN．
科目：高中数学
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCd是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）求二面角A-BC-P的大小．
科目：高中数学
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=26，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的余弦值．
科目：高中数学
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求二面角A-PB-D的余弦值．
科目：高中数学
如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD且BC：AD=1：2．（1）求三棱锥A-PCD与四棱锥P-ABCD的体积之比；（2）在PD上是否存在一点M，使得CM与平面PAB平行？证明你的结论．（3）若∠BAD=90°且AB=AD，顶点P在底面ABCD内的射影恰还落在AB的中点0上，求证：PD⊥AC．
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（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画—个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
主讲：杨朝粉
【思路分析】
（1）利用网格借助勾股定理得出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；（2）利用AB、AC、BC以及DE、DF、EF的长，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度，得出答案即可．
【解析过程】
解：（1）证明：根据勾股定理，得，，BC=5 ； 显然有，根据勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形；（2）△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得，，BC=5，，，．∵，∴△ABC∽△DEF；（3）如图：△P2P4 P5．
（1）证明：根据勾股定理，得，，BC=5 ； 显然有，根据勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形；（2）△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得，，BC=5，，，．∵，∴△ABC∽△DEF．（3）如图：△P2P4 P5．
在网格图中，解题关键是根据已知运用勾股定理得出三角形各边长度．
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