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将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，设X为正面向上的次数，则P（0＜x＜3）等于（&）
题型：单选题难度：中档来源：不详
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据魔方格专家权威分析，试题“将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，设X为正面向上的次数，则等于（）A..”主要考查你对&&相互独立事件同时发生的概率&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件的定义：
如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：
两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。 若A1，A2，…An相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2·…·An）＝P（A1）·P（A2）·…·P（An）。求相互独立事件同时发生的概率的方法：
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
发现相似题
与“将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，设X为正面向上的次数，则等于（）A..”考查相似的试题有：
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写出下列事件发生的概率：（1）P（掷一枚均匀的硬币，正面朝上）＝________；（2）P（方程－5x＝20的解是x＝－4）＝________；（3）P（一个数的平方是－16）＝________；（4）P（50年后地球将停止转动）＝________．
主讲：田冬平
【思路分析】
根据事件发生可能性的大小和概率的概念，即可作出解答．
【解析过程】
解：（1）P（掷一枚均匀的硬币，正面朝上）＝；（2）∵－5x＝20的解是x＝－4，∴P（方程－5x＝20的解是x＝－4）＝1；（3）∵一个数的平方绝对不是－16，∴P（一个数的平方是－16）＝0；（4）P（50年后地球将停止转动）＝0．
（1）P（掷一枚均匀的硬币，正面朝上）＝；（2）∵－5x＝20的解是x＝－4，∴P（方程－5x＝20的解是x＝－4）＝1；（3）∵一个数的平方绝对不是－16，∴P（一个数的平方是－16）＝0；（4）∵50年后地球将停止转动是不可能事件，∴P（50年后地球将停止转动）＝0．
根据不同概率的值，判断事件类型，即可对事件的发生情况作出判断：P（A）=0，表示事件是不可能事件，不会发生；P（A）=1，表示事件是必然事件，必定发生；0＜P（A）＜1，表示事件是随机事件，可能发生，也可能不发生．随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；各部分的概率之和为1．
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京ICP备号 京公网安备《2014概率讲义及习题及答案》
2014概率讲义及习题及答案
第1讲 随机事件的概率【2013年高考会这样考】1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法． 【复习指导】随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键．基础梳理1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件. (2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C,,表示． 2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频AnA数，称事件出现的比例fn(A)＝nA出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝?)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生． 4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪,,∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋,,＋P(An)(A1，A2，,,，An彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．双基自测1．(人教A版教材习题改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )． A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定答案 B2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为m，当n很大时，P(A)与mnn( )． A．P(A)≈mn B．P(A)＜mn C．P(A)＞mnD．P(A)＝mn解析 事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值． 答案 A3．(2012?兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )． A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球解析 对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立． 答案 D?4．(2011?陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )． A.1361519366解析 若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、,,、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、,,、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16答案 D5．(2011?湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．2解析 所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P＝C27C2＝1171瓶为已过保质期饮料的概率P＝1－P2830145145. 答案 28145考向一 互斥事件与对立事件的判定【例1】?判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [审题视点] 可用集合的观点判断． 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．【训练1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )． A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件． 答案 D考向二 随机事件的概率与频率【例2】?(2011?湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表(2)的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[审题视点] 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统计计算即可；第二问中根据给出的X，Y的函数关系，求出Y＜490或者Y＞530对应的X的范围，结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概率． 解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知得YX2425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝1＋.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率． 【训练2】 某市统计的2008～2011年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：(1)(2)该市男婴出生的概率约是多少？解 (1)2008年男婴出生的频率为f(A)＝nA11 453nn＝21 840≈0.524.同理可求得2009年、2010年和2011年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.考向三 互斥事件、对立事件的概率【例3】?据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率． [审题视点] (1)根据互斥事件，第(1)问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和．(2)第(2)问可转化为求以下三种情形的概率和：①1,2月份各被投诉1次；②1,2月份各被投诉0,2次；③1,2月份各被投诉2,0次．解 法一 (1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”． ∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)，∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)， 一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)， 由事件的独立性得P(D)＝0.4?0.1＋0.1?0.4＋0.5?0.5＝0.33.法二 (1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”． ∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9. (2)同法一．本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．【训练3】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P(A)，P(B)＝1 000100，P(C)1 000＝20.故事件A，B，C的概率分别为1111 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋50611 000＝1 000故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－??1?1 0001100???＝.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.难点突破24——事件对立与互斥的辨别问题对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事件，即一个事件A与它的对立事件A的概率之间有关系式P(A)＋P(A)＝1，用好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化．【示例1】? (2012?苏州模拟)甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )． A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【示例2】? 抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．第2讲 古典概型【2013年高考会这样考】1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 【复习指导】1．掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数．2．复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．基础梳理1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．双基自测1．(人教A版教材习题改编)一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )．A.23 B.141312解析 一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率为2412答案 D2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )． A.16 B.112233解析 甲共有313答案 C3．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为( )． A.1314122 D.3解析 掷一颗骰子共有6种情况，其中奇数点的情况有3种，故所求概率为：316＝2.答案 C4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是( )． A.43255 C.515解析 基本事件的个数有5?3＝15(种)，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概率为3115＝5.答案 D5．(2012?泰州联考)三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．解析 三张卡片排成一排共有BEE，EBE，EEB三种情况，故恰好排成BEE13.答案 13考向一 基本事件数的探求【例1】?做抛掷两颗骰子的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． [审题视点] 用列举法一一列举． 解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6) (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6) (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．基本事件数的探求主要有两种方法：列举法和树状图法．【训练1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出： ?(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”； (3)事件“3个矩形颜色都不同”． 解 (1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．考向二 古典概型【例2】?现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．[审题视点] 确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含的基本事件数，用公式求解．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C1113C3C2＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M表示“A1恰被选中”这一事件， 事件M由C113C2＝6， 因而P(M)61183(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C311)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝18＝6，由对立事件的概率公式得 P(N)＝1－P(N)＝1－1566古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．【训练2】 (2011?全国新课标)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12323 D.4解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3?3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝3193.答案 A考向三 古典概型的综合应用【例3】?(2011?广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，,,，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x6，及这6(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．[审题视点] 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算．(1)由这6位同学的平均成绩为75分，建立关于x6的方程，可求得x6，然后求方差，再求标准差；(2)用列举法可得所求古典概型的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 这6位同学成绩的方差s2＝16?[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4， 即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．【训练3】 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．基本事件数的探求主要有两种方法：列举法和树状图法．【训练1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出： ?(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”； (3)事件“3个矩形颜色都不同”． 解 (1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．考向二 古典概型【例2】?现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．[审题视点] 确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含的基本事件数，用公式求解．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C1113C3C2＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M表示“A1恰被选中”这一事件， 事件M由C113C2＝6， 因而P(M)61183(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C311)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝18＝6，由对立事件的概率公式得 P(N)＝1－P(N)＝1－1566古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．【训练2】 (2011?全国新课标)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12323 D.4解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3?3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝3193.答案 A考向三 古典概型的综合应用【例3】?(2011?广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，,,，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x6，及这6(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．[审题视点] 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算．(1)由这6位同学的平均成绩为75分，建立关于x6的方程，可求得x6，然后求方差，再求标准差；(2)用列举法可得所求古典概型的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 这6位同学成绩的方差s2＝16?[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4， 即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．【训练3】 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得50n＝10100＋300，所以n＝2 000，则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车， 由题意得a5a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个． 事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个． 故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x＝18＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝6338＝4，即所求概率为4阅卷报告17——缺少必要的文字说明而失分【问题诊断】 在阅卷中发现不少考生在解答概率问题的解答题时，只写出所求结果，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件，致使丢了不该丢的分.【防范措施】 正确写出基本事件空间，可以利用列表、画树状图等方法，以防遗漏.【示例】?(2011?山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 错因 未写出基本事件的空间，缺少必要的文字说明． 实录 (1)P4293(2)P＝62155.正解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示． 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P49. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝62155【试一试】 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件． (1)每次取出后不放回，连续取两次； (2)每次取出后放回，连续取两次．试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[尝试解答] (1)用a1，a2和b1表示两件正品和一件次品，则不放回地抽取两次，其一切可能的结果为：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A所含的结果为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，即基本事件的总数n＝6，事件A包含的事件总数m＝4.故P(A)＝4＝263.(2)若为有放回的抽取，其基本事件包含的结果共有(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，用B表示“恰有一件产品为次品”这一事件，则B包含的结果为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(bn＝9，事件B包含的事件总数m＝4.故P(B)＝41，a2)，即基本事件的总数9第3讲 几何概型【2013年高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主． 【复习指导】本讲复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，掌握方法要领．同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练．基础梳理1．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型． 2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )． A.1112 B.34．1 解析 点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13答案 B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．12345 B.555 解析 以时间的长短进行度量，故P＝3075＝25.答案 B3．(2012?衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．解析 P(A)38P(B)28P(C)＝216P(D)＝3∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 答案 A4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.π3 B.334πC.34D．以上全错解析 设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝32a?2333a， 32∴所求概率P＝4＝33π3?24π. ?3a??答案 B5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________． 解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝|CD|1|AB|3答案 13考向一 与长度有关的几何概型【例1】?点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．[审题视点] 用劣弧AB的长度与圆周长的比值． 解析如右图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧MAN上时，对劣弧AB来说，其长度小于123答案 23将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 【训练1】 一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为P＝61122答案 12考向二 与面积有关的几何概型【例2】?(2012?华东师大附中模拟)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率． [审题视点] (1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型． 解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)93124.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，12所以所求的概率为P(A)＝23?2＝23.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求． 【训练2】 (2011?福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )． A.14 B.11232 D.3解析 S1△ABE2AB|?|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|.故所求概率PS△ABE1S2.矩形ABCD答案 C考向三 与角度、体积有关的几何概型【例3】?在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率． [审题视点] 如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．解 设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”．在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝180°－30°2＝75°， μA＝90－75＝15，μΩ＝90， 所以P(D)＝151906几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的．【训练3】 (2011?长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则23－14π3P(A)＝23?1231π12答案 1－π12规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题【问题研究】 所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性为背景，设置概型，提出问题，考查考生综合分析问题、解决问题的能力.【解决方案】 首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.【示例】? (本题满分12分)(2011?潍坊模拟)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；?x＋y－8≤0，(2)设点(a，b)是区域??x＞0，??y＞0内的一点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．本题以“二次函数的单调性”为背景，首先写出事件发生所满足的条件，在第(1)问中，给出了有限个数据，从而判断是古典概型问题，利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数，再利用公式求之；第(2)问中，a和b有无限个数据，所以是几何概型问题，首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度，再利用公式求之．[解答示范] (1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝2ba，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且2ba≤1，即2b≤a.(2分)若a＝1，则b＝－1； 若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分) ∴所求事件的概率为515＝13分)(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分) 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为????a＋b－8≤0，?a，b????a＞0，??????，构成所求事件的区域为三角形部分． b＞0????a＋b－8＝0由?，?ba得交点坐标为???16?383?＝2?，(10分)1 ?8?8∴所求事件的概率为P＝2311分)23 本题中先将f(x)在[1，＋∞)上为增函数转化为满足条件2b≤a且a＞0，然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转化迁移的思想值得考生注意，另外，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在某一区间[m，＋∞)上单调递增的充要条件是??a＞0，?－ba＞0.??2am，切勿漏掉【试一试】 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0. (1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．[尝试解答] (1)基本事件(a，b)共有36个，方程有正根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0， 即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个， 故所求的概率为P(A)＝41369.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}， 其面积为S(Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝124?π?4＝4π，故所求的概率为P(B)＝4ππ164第4讲 离散型随机变量的分布列【2013年高考会这样考】1．考查离散型随机变量及其分布列的概念理解； 2．两点分布和超几何分布的简单应用． 【复习指导】复习时，要会求与现实生活有密切联系的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．基础梳理1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，,,，xi，,,xn，X取每一个值xi(i＝1,2，,,，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X(4)分布列的两个性质①pi≥0，i＝1,2，,,，n；②p1＋p2＋,,＋pn＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X 3．超几何分布列kn－k在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CMCN－MCnk＝N0,1,2，,,，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列为超几何分布列．一类表格统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为若干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码；第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值． 两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内； (2)第二行所有数的和等于1. 三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．解析 由离散型随机变量的性质得n双基自测pi≥0 ，i＝1,2，,,n，且?pi1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )． i＝1A．出现正面的次数＝1. B．出现正面或反面的次数答案 DC．掷硬币的次数D．出现正、反面次数之和解析 抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或1. 答案 A2．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A．X取每个可能值的概率是非负实数 B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k＝1,2，,,，则P(2<X≤4)等于( )．A.316 B. 解析 P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)11322＝16答案 A4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )．A．25 B．10 C．7 D．6解析 X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9. 答案 C5．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________． 解析 此分布列为两点分布列． 答案考向一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】?(2011?北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．[审题视点] 本题解题的关键是求出Y的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验．解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4?4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y＝17)＝2＝1168P(Y＝18)＝4＝1164P(Y＝19)＝4＝1164P(Y＝20)＝4＝1164P(Y＝21)＝2＝1168则随机变量Y的分布列是：(2)由(1)知E(Y)＝178＋184＋819，设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y， 则E(X)＝10E(Y)＝190.(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义． 【训练1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 000?12%＝6 000(元)，－50 000?50%＝－25 000(元)．由已知条件随机变量X的概率分布列是因此E(X)＝6 000?2425＋(－25 000)?125＝4 760答案 4 760考向二 由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】?袋中装有黑球和白球共7个，从中任取217.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，,,,,，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率． [审题视点] 对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确． 2解 (1)设袋中白球共有x个，根据已知条件Cx1C2，77即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5. 111因此，P(X＝1)＝A33A4A32A1，P(X＝2)＝2＝777A7A2131P(X＝3)＝4A36A4A3AP(X＝4)＝3，735A73541P(X＝5)＝A4A31A5735则随机变量X的分布列为：121(3)甲取到白球的概率为P＝A3A4A343A1A3＋5＝＋77A求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．【训练2】 (2011?江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求X的分布列； (2)求此员工月工资的期望．解 (1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，i4－iP(X＝i)＝C4C4C4i＝0,1,2,3,4)，8则(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝170， P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝835P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝5370E(Y)＝3 500?11653707070＝2 280，所以此员工月工资的期望为2 280元．考向三 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】?(2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.[审题视点] 分别求出随机变量X取每一个值的概率，然后求其期望． 解析 由已知条件P(X＝0)＝112即(1－P)2?13＝1112，解得P2随机变量X的取值分别为0,1,2,3.P(X＝0)＝112，P(X＝1)＝2?11?1?13???1－22?3??2?2?＝3，P(X＝2)21?132??12?＋??2?1－3????1?2??25?＝12，P(X＝3)＝2???1213?2?＝6因此随机变量X的分布列为E(X)＝0?1＋1?1＋2?5165123123答案 53本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．【训练3】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)． 解 随机变量X的分布列是X的均值E(X)＝1?1＋2?11＝113266.附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16A直接感染了三个人．规范解答22——求离散型随机变量的分布列【问题研究】 离散型随机变量的分布列问题是新课标教材概率统计中的一个重要的内容，从近几年新课标区高考试题来看，每年都有考查，而且它是进行概率计算，期望与方差计算的重要依据.?【解决方案】 1用好概率分布列的性质：在随机变量的分布列中随机变量各个可能值对应的概率均符合概率的一般性性质，并且所有的概率之和等于1. ?2掌握好几个特殊分布的分布列：如两点分布、超几何分布、二项分布等.【示例】?(本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．(1)根据x，y的取值，随机变量ξ的最大值为3，当ξ＝3时，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根据x，y的取值，ξ的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可．[解答示范] (1)∵x，y可能的取值为1,2,3， ∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.(3分) ∵有放回抽两张卡片的所有情况有3?3＝9种， ∴P(ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ29分)(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况． ξ＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况． ∴P(ξ＝0)＝1429，P(ξ＝1)＝9P(ξ＝2)＝9，P(ξ＝3)＝29分)则随机变量ξ的分布列为：(12分)解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题，理解随机变量取值的意义是化解这类问题难点的必要前提．【试一试】 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．[尝试解答] (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P1＝P(AA A)＋P(AAA)＋P(AAA)＝?63125(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P22＝C3???3?625(3)由题设，“ξ＝k”的概率为P(ξ＝k)＝C22k－1???3?5????2?5k－33??2k－35＝C2k－1???5????3?53?(k∈N*且k≥3)．所以，ξ的分布列为：【2013年高考会这样考】1．考查条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．考查n次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题． 【复习指导】复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的计算方法．基础梳理1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝PABPA在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝nABnA.(2)条件概率具有的性质：①0≤P(B|A)≤1；② 如果B和C是两互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)?P(A)＝P(A)?P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ckkp(1－p)n－k(k＝0,1,2，,,，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．一种关系可先定义条件概率P(B|A)当P(B|A)＝P(B)即P(AB)＝P(A)P(B)时，事件B与事件A独立．但是要注意事件A、B、C两两独立，但事件A、B、C不一定相互独立．两种算法计算条件概率有两种方法． (1)利用定义P(B|A)＝PABPA(2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则P(B|A)双基自测1．(2011?广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.3231435 D.2解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P11＝2；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P1112＝?＝故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝32244.答案 A2．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49 B.242927 D.27解析 所求概率P＝C13?1?31?????1－13??3－1?＝49.答案 A3．(2011?湖北高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 解析 P＝0.9?[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案 B4．如果X～B???15，14???，则使P(X＝k)取最大值的k值为( )． A．3 B．4 C．5 D．3或4 解析 采取特殊值法．∵P(X＝3)＝C315??1?4??3???3?4??12?，P(X＝4)＝C4151?44????3?4115?，P(X＝5)＝C15??1?45???3?4??10?，从而易知P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)． 答案 D5．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于( )． A.11112 B.468 1解析 法一 P(B|A)＝PABPA＝4112.2法二 A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)12答案 A考向一 条件概率【例1】?(2011?辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )． A.18 B.121452[审题视点] 利用条件概率的计算公式P(B|A)＝PABPA222解析 P(A)＝C3＋C242C21C＝，P(A∩B)由条件概率计算公式，得P(B|A)PA∩B101PA44.10答案B(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.【训练1】 (2011?湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝2π，根据条件概率12的公式得P(B|A)＝PABPAπ214.π答案21π4考向二 独立事件的概率【例2】?(2011?全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[审题视点] 准确把握“至少”与“恰”等字眼的意义，从而借助于独立事件的的概率知识求解．解 (1)设“购买甲种保险”事件为A，“购买乙种保险”事件为B 由已知条件P(A)＝0.5，P(BA)＝0.3， ∴P(B)P(A)＝0.3，P(B)0.3PA＝0.6， 因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1－P(A B)＝1－P(A)P(B) ＝1－(1－0.5)(1－0.6) ＝0.8.(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P＝P(A B)＝0.2， 因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 C123?0.2?0.8＝0.384.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 【训练2】 (2011?山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 解 (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件． 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6?0.5?0.5＋0.6?0.5?0.5＋0.4?0.5?0.5＋0.6?0.5?0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DEF，DEF，DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4?0.5?0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4?0.5?0.5＋0.4?0.5?0.5＋0.6?0.5?0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6?0.5?0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E(ξ)考向三 独立重复试验与二项分布【例3】?一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列； (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[审题视点] 首先判断分布的类型，再根据X，Y的取值所对应的事件意义求解．解 (1)1?13X～B??63?. 所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck??1k6－k6?3??????2?3???，k＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．P(Y＝k)＝??21?3??k??3(k＝0,1,2,3,4,5)，而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P(Y＝6)＝??2?3??6?，因此Y的分布列为：(3){X≥1}＝{X＝1或X＝2或,,或X＝6}， 所以其概率为6P(X≥1)＝?P(X＝k)＝1－P(X＝0)k＝1＝1－2?36665?＝729.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【训练3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(A B)＝P(A)?P(B)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布X～B(3,0.9)，P(X＝k)＝Ckk?0.13－k30.9，k＝0,1,2,3， ∴X的分布列是阅卷报告18——对二项分布理解不准致误问题诊断】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况.【防范措施】 要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决.【示例】? 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．错因 解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”、“至少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错误，不能把问题归结为只要在第1,2,4,5次预报中预报1次准确即可，出现仍然用(1)均值5次独立重复试验二项分布模型解决问题的错误．实录 设“5称次预报中恰有E(X)＝x1p1＋2x次准确”为事件2p2＋,,＋xipi＋,,＋A，“5xn次预报中至少有pn为随机变量X的均值2次准确”为事件B，“5次预报中恰有2次准确，且其中第3或 数 学 期 ，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ． 望 C.(1)P(A)＝C2(2)5??4?5??方差 2??? 4?153?≈0.05， 称D(X)＝n??[4x?E(X)]42(2)P(B)＝1－C05??4?50????1i＝－i－5115??－C5??p4?4X的方差，它刻画了随机变5??1i－为随机变量5??≈0.99；(3)P(C)＝C2?1?≈0.04.(X)的平均 偏离程度 ，其算术平方根D?X?为随机变量?5????5X的标准差．?5正解 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A，“5次预报中至少有2次准确”为事件B，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C.(1)P(A)＝C25??4?5??2????1453?.05.(2)P(B)＝1－C05??4?50???4?1－5514?－C54?45?1－5??≈0.99.(3)P(C)＝C14?4??5≈0.02.【试一试】 某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．解 记甲n局获胜的概率为Pn，n＝3,4,5， (1)比赛三局甲获胜的概率是：P3383＝C3??2?3???＝27(2)比赛四局甲获胜的概率是：P34＝C23???23??????13???827比赛五局甲获胜的概率是：P＝C231?21654???23??????3??81∴甲获胜的概率是：P643＋P4＋P5＝81.第6讲 离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．基础梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为两个防范在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)． 三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布， 则E(X)＝六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1?X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2(6)D(aX＋b)＝a2?D(X)双基自测1．(2010?山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( 65 B.65C.2 D．2 解析 由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5?1，解得，a＝－1. －2s＝1－1＋0－12＋1－12＋2－12＋3－1225＝2. 答案 D2．已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )．73 B．4 C．－1 D．1 解析 E(X)＝－1216＝－13E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋32733＝3.答案 A3．(2010?湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：)．已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案 A4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )． A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 解析 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴???n＝8，?p＝0.2.?答案 A5．(2010?上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：该随机变量ξ的均值是________．解析 由分布列可知E(ξ)＝7?0.3＋8?0.35＋9?0.2＋10?0.15＝8.2.答案 8.2考向一 离散型随机变量的均值和方差【例1】?A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场胜队得 (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．[审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解 (1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X＝3)＝2?2?2835575，P(X＝2)＝?5575， P(X＝1)＝?3223553553555， P(X＝0)＝133335525；根据题意X＋Y＝3，所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝875，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝2875， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝2，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝3525. X的分布列为Y的分布列为(2)E(X)＋1?52515；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝2315.(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解．【训练1】 (2011?四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1412；两小时以上且不超过三1124(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． 解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为114，4.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝11＋1?111＝所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝11＝1428P(ξ＝2)＝11＋11＝5442216； P(ξ＝4)＝＋42＋4416；P(ξ＝6)＝11＋1； P(ξ＝8)＝1144＝116甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为所以E(ξ)?16＋6?16＋8?162考向二 均值与方差性质的应用【例2】?设随机变量X具有分布P(X＝k)15k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)DX－1.[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．解 ∵E(X)＝1?111111555＋3?5＋4?5553.E(X2)＝1?152?155555＝11.D(X)＝(1－3)21(2－3)2?1(3－3)2?1＋(4－3)2?1＋(5－3)21＝1555555＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8DX－1＝DX＝2.若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值． 解 (1)X的分布列为∴E(X)12＋1?120＋2?110＋3?320＋4?151.5.D(X)＝(0－1.5)2?1＋(1－1.5)2?1(2－1.5)2?122010＋(3－1.5)23(4－1.5)2?1205＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2?2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2?1.5＋b，得b＝－2. 当a＝－2时，由1＝－2?1.5＋b，得b＝4.∴???a＝2，???b＝－2，或??a＝－2，??b＝4，即为所求．考向三 均值与方差的实际应用【例3】?(2011?福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，,,，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[审题视点] (1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值． (2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断．解 (1)因为E(X1)＝6，所以5?0.4＋6a＋7b＋8?0.1＝6，即6a＋7b＝3.2. 又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由???6a＋7b＝3.2，?a＝0.3，??a＋b＝0.5，解得????b＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：2所以E(X2)＝3?0.3＋4?0.2＋5?0.2＋6?0.1＋7?0.1＋8?0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/4.841.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列的性质p1＋p2＋,,＋pn＋,,＝1.【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12141420%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围． 解 (1)依题意，X的可能取值为1,0，－1，X的分布列为E(X)＝11＝1244.(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥4，∴916≤α≤1.规范解答23——离散型随机变量的均值与方差的计算【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质．(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并．【示例】?(本小题满分12分)23，乙机投弹一次命中目标的概率为12(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．[解答示范] 设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Akkk)＝C2??2?3k???1?32－?，P(Bl)＝Cl2??1?2l???1?22－l?.据此算得P(A1440)＝9P(A1)9P(A2)＝9P(B1110)4P(B1)2P(B2)4.(2分)(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝1－1??4729?＝1－36＝36分)(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝P(A1110B0)＝P(A0)?P(B0)＝9?4＝36P(ξ＝1)＝P(A)＋P(A1B0)＝92＋946P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝949?294＝36，(8分)P(ξ＝3)＝P(A)＋P(A414111B22B1)＝94＋923P(ξ＝4)＝P(A4112B2)＝949.(10分)综上知，ξ的分布列如下：从而ξ的期望为E(ξ)＝0?3＋4?93分)概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2)问是单纯求随机变量ξ的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令ξ1，ξ2分别表示甲、乙两机命中的次数，则ξ1～B??2?2，3?，ξ～B???212?，故有E(ξ241721)＝2?3＝3，E(ξ2)21，而知E(ξ)＝E(ξ1)＋E(ξ2)＝3. 【试一试】 (2011?北京)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望． (注：方差s2＝1n[(x2＋(x221－x)2－x)＋,,＋(xn－x)]，其中x为x1，x2，,,，xn的平均数)解 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x＝8＋8＋9＋104＝354方差为：s2＝?[(8－4)＋(8－4)＋(9－2352114)＋(10－4)]＝16.(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4?4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝216＝18同理可得P(Y＝18)＝14；P(Y＝19)14；P(Y＝20)＝114；P(Y＝21)＝8所以随机变量Y的分布列为：EY＝17?P(Y＝17)＋18?P(Y＝18)＋19?P(Y＝19)＋20?P(Y＝20)＋21?P(Y＝21)＝17?11＋19?1＋20?18444＋21?18＝19.[尝试解答] 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)=>f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D. 答案 D方法技巧4 古典概型【考情快递】 高考中常将等可能事件、互斥事件综合考查，常考选择题、填空题，难度中等． 方法1：列举法【例1】?袋中有6个球，其中 (1)A：取出的2个球全是白球；(2)B：取出的2个球一个是白球，另一个是红球． 解 设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种情况．(1)从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的总数，共有6种情况，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以取出的2个球全是白球的概率P(A)＝62155.(2)从袋中的6个球中任取2个，其中一个为红球，而另一个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种情况，所以取出的2个球一个是白球，另一个是红球的概率P(B)＝815方法2：求和法【例2】?概率．解 取一球为红球的记为事件A， 取一球为黑球的记为事件B， 取一球为白球的记为事件C， 取一球为绿球的记为事件D，那么取出一球是红球或黑球或白球，即为事件A∪B∪C， 由于事件A、事件B、事件C彼此互斥 所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝2＝12方法3：正难则反法【例3】?11412是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率． 解 (1)设A、B、C分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”的事件．?1?PA?[1－PB]4由题设条件，知?PB?[1－PC]112??PA?PC＝29??PA＝13解之得?PB＝1?4?PC＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是131243.(2)记D为“从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”的事件， 则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝＝56故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为56方法运用训练41．已知函数y＝x－1，令x＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P1，P2，则P1，P2两点在同一反比例函数图象上的概率是( )． A.1195118 C.3612 解析 所有基本事件的总数为36；其中(2,1)，(－1，－2)在反比例函数y＝2x的图象上；(3,2)，(－2，－3)在反比例函数y＝6x的图象上；(4,3)，(－3，－4)在反比例函数y＝12x的图象上；因此，概率为P＝336＝112.答案 D2．在区间[0,4]上随机取两个整数m，n，求关于x的一元二次方程x2nx＋m＝0有实数根的概率( )．A.12 B.1163425 解析 因为方程x2－nx＋m＝0有实数根，n－4m≥0， 由于m，n∈[0,4]且m，n是整数， 因此，m，n的可取值共有25组，又满足n－4m≥0的分别为???m＝0，???m＝0，???m＝0，?????n＝0，??n＝1，??m＝0，?m＝0，?n＝2，??n＝3，???n＝4，???m＝1，??n＝4共六组，因此有实数根的概率为P(A)＝625.答案 D3．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率为14取到方片(事件B)14，求取到红色牌的概率．解 设取到红色牌记为事件C，由于事件A与事件B是互斥的且C＝A∪B， 由P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝11144＝2.4．同时抛掷两枚骰子，求点数之和超过5的概率．解 同时抛掷两枚骰子，可能出现的结果如下表：5的概率为P＝1053618，那么点数之和超过5的概率为1－P＝1－51318＝18.方法技巧5 离散型随机变量的应用【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用，常以解答题形式出现． 方法1：公式法【例1】?有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是13.求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及E(ξ)，D(ξ)．解 (1)设“世博会会徽”卡有n张， 2由Cn1C2n＝6，故“海宝”卡有4张， 1032抽奖者获奖的概率为C42C215.10(2)由题意知，符合二项分布，且ξ～B???4，215?，故ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck4??2?15k???13?154－k?(k＝0,1,2,3,4)或由ξ的分布列知，E(ξ)＝4?1515D(ξ)＝4?2???1－210415?15???＝225方法2：方程法【例2】?影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为5121112按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？(2)依次任意抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ (3)依次任意抽取该零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ.??P1?1－P2＋P2?1－P1＝512，解 (1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，由题意得：???1－1－P11－P2＝1112?P1＝3，?P1＝2，解得??4或???P2?3所以P＝P11P2＝2＝3，??P＝32，24，即一个零件经过检测，为合格品的概率为12.(2)任意抽出5个零件进行检测，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C45??1?255?－C5??1?2??513?16.(3)依题意知ξ～B??1?4，2?，故E(ξ)122，D(ξ)1122＝1.方法运用训练51．(2011?雅礼中学英特班质检)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设X表示游戏终止时掷硬币的次数．(1)求X的取值范围； (2)求X的数学期望E(X)．解 (1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n， ?|m－n|＝5则?，?m＋n＝X，可得：??1≤X≤9，当m＝5，n＝0或m＝0，n＝5时，x＝5. 当m＝6，n＝1或m＝1，n＝6时，X＝7. 当m＝7，n＝2或m＝2，n＝7时，X＝9. 所以X的所有可能取值为：5,7,9.(2)P(X＝5)＝2???1?2??5?＝232116P(X＝7)＝2C1?1?755??2??64P(X＝9)＝115551664＝64；E(X)＝5?1＋7?5＋9?＝32. 2．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)． 解 令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝1112＋24(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(ξ＝2)＝P(A1111A2)＋P(B1B2)＝2222＝2， P(ξ＝3)＝P(A)＋P(B1C2C3)＝2323＝4P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝1112424＝8， P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝1211525＝16， P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝1112525＝16，故有分布列从而E(ξ)＋5?1161616(局)．3．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得}