一元二次方程知识点总结
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一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
知识结构梳理
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（1）含有&&&&&&&&&
个未知数。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）未知数的最高次数是&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&& 1、概念&&&&& （3）是&&&&&&&&&
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &（4）一元二次方程的一般形式是&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1）&&&&&&&&&
法，适用于能化为&的一元。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）&&&&&&&&&&
法，即把方程变形为ab=0的形式，
&&&&&&&&&&
2、解法&&&&&&& （a，b 为两个因式）, 则a=0或&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （3）&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （4）&&&&&&&&&&&
法，其中求根公式是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当&&&&&&& 时，方程有两个不相等的实数根。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （5）& 当&&&&&&& 时，方程有两个相等的实数根。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当&&&&&&& 时，方程有没有的实数根。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 可用于解某些求值题&&&&&&&&
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&& 一元二次方程的应用&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （3）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 可用于解决实际问题的步骤& （4）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （5）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （6）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
知识点归类
& 建立一元二次方程模型
知识点一& 一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例& 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？
⑴；⑵；（3）；（4）；（5）
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）；& （2）；
例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则&&&&&&&
知识点三& 一元二次方程的解
&& 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四& 建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，
鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，
若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？&&&&&&&&&&&&&&&&& 鸡场
（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&因式分解法、直接开平方法
知识点一& 因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
& && 例& 用因式分解法解下列方程：
（1）；&&& （2）；& （3）。
知识点二& 直接开平方法解一元二次方程
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
例& 用直接开平方法解下列一元二次方程
知识点三& 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
例& 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）；&&& （2）
知识点四& 用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0
时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：，将原方程变形为，由此可得出
注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
知识点五& 形如“”的方程的解法。
对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。
注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。
例 解下列方程：（1）；&&&&&&& （2）
知识点一& 配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例& 用配方法解下列方程：
（1）；&&& （2）
知识点二&&& 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；
（2）把原方程变为的形式。
（3）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
例 解下列方程：
知识点三& &&用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；
(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；
（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例& 用配方法解下列方程：
（1）；&&&& （2）
知识点一& 一元二次方程的求根公式
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
例& 用公式法解下列方程
（1）；& （2）；
知识点二& 选择适合的方法解一元二次方程
&& 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；
公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例& 用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）
知识点三&& 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式 △=
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：
（1）△=﹥0方程有两个不相等的实数根；
（2）△==0方程有两个相等的实数根；
（3）△=﹤0方程没有实数根；
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。
例& 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1）；（2）；（3）
知识点四 &&根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0
（2）方程有两个相等的实数根=0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （3）方程没有实数根﹤0
注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例& 为何值时，方程的根满足下列情况：
（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根；& （3）没有实数根；
知识点五& 一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，则有，
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1）&&&&&&&
（4）││==
例& 已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。
（1）；&&&&&&&&&&&&&
知识点六& 根据代数式的关系列一元二次方程
&& 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。
例& 当取什么值时，代数式与代数式的值相等？
一元二次方程的应用
知识点一&&& 列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。
关键点：找出题中的等量关系。
知识点二&& 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。
例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
知识点三 &&&用一元二次方程解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量
例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。
（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。
（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
一元二次方程测试题
一、选择题
1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（&&&
A、1&&&& &&&&B、2&&&&&&&&&&&&
C、1或2&&&&&&&&& D、0
2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（&&&
A． &B．& C．& D．
3、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（&&&
A．&&&&&&&&& B．&&&&&&& C．&&&&&&&&&& D．
4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a +
b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（&&& ）
A．没有实数根&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&& B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根&&&& &&&&&&&&&& D．有两个不相等的实数根
5、已知是方程的两根，且，则的值等于 （&&&&&
A．－5&&&&&&&&&&&
B.5&&&&&&&&&&&&&
C.-9&&&&&&&&&&&& D.9
6、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（&&&
A．&&&&&&&
C．&&&&&&&
7、的估计正确的是 （&&&
&&& A．& B．&& C．&&&& D．
8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（&&& ）
A．1&&&&&&&&&& &&&&&&
B．12&&&&&&&& &
C．13&&&&&&&&&& &&&&&&&
9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据
题意，列出方程为(&&
&&&&&& A、&B、&C、&D、
10、若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 (& &&&)
&&&&&& A．－1&&&&&&&&&
&&&&C．1&&&&&&&& &&&&&D．或
11、设是方程的两个实数根，则的值为（&&& ）
A．2006&&& B．2007&&&&&& C．2008&&&&&& D．2009
12、对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法：
①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根；
②若b2+4ac&0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根；
&&& ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根；
④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根．
&其中正确的是( &&)
& A．①②&&& B．①③&&&
C．②③&&& D．①③④
二、填空题
1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=&&
2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，
2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a=&&& ．
3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是&&
&&&&&&&&&&&&&&&&．
4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值为__________．
5、在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．
6、已知关于的一元二次方程（为常数）．
设，为方程的两个实数根，且，则K的值为__________．&
7、已知m、n是方程的两根，则与的积是&&&&&&&&& .&&
三、简答题
1、已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．
2、已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值。
（友情提示：若、是一元二次方程两根，则有，）
3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。
（1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；
（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值；
4、若关于的一元二次方程有实数根．
求实数k的取值范围；
设，求t的最小值．
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