用闭区间套定理证明实数完备性中其余五个等价命题
1实数完备性中六个等价定理(1)闭区间套定理:设闭区间列｛[an,bn｝]适合下列两条件(i)[an,bn]?[an+1,bn+1],n=12,,…;(ii)nli→∞m(bn-an)=0,则在实数系中存在唯一一点ξ,使得ξ∈[an,bn],n=12,,…,即an≤ξ≤bn,n=12,,…(2)聚点定理:实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点.(3)有限覆盖定理:设H为闭区间[ab,]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[ab,.](4)确界原理:设S为非空数集,若S有上(下)界,则S有上(下)确界.(5)单调有界定理:在实数系中,有界的单调数列必有极限.(6)柯西收敛准则:数列｛an｝收敛的充要条件是:对任给的ε0,存在正整数N,使得当m,nN时有|an-am|0,使得S?[-M,M],记[a1b,1]=[-M,M].现将[a1,b1]等分为两个区间.因S为无限点集,故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点...&
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闭区间套定理是数学分析中的一个基本定理,也是一个刻划实数连续性的等价命题,在数学中最突出的应用是证明闭区间上连续函数的三大性质:介值定理、最大值定理、一致连续性定理。它常常把某区间上满足的性质采用对分归结为某点的局部性质,这种方法简单有效,因而引起人们研究的兴趣。定理1(闭区间套定理)[1]设有闭区间列｛[an,bn]｝.若(1)[a1,b1]?[a2,b2]?…?[an,bn]?…(2)limn→∞(bn-an)=0,则存在唯一数l属于所有的闭区间(即∩∞n=1[an,bn]=l),且limn→∞an=limn→∞bn=l.考虑到若闭区间套[an,bn]?[a,b],n=1,2,…,则可通过线性变换y=1b-a(x-a)将数据转换到[0,1]区间上,因此本文仅考虑[0,1]区间上的闭区间套定理的随机模拟。随机样本的产生过程如下:令x1=0;从[0,1]随机抽取一个样本,记为x2;从[x1,x2]上均匀抽取一个样本,记为x3;从...&
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闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。一、闭区间套定理在数学教学中的应用闭区间套定理:若有闭区间列｛[an,bn]｝,且对任意n都有下列条件:①[an,bn]![an+1,bn+1]②limn→∞(an-bn)=0,则存在唯一的数l属于任意一个闭区间[an,bn],且limn→∞=nl→im∞bn=l闭区间套定理应用在数学教学中,可以证明零点定理等。在零点定理证明过程中,我们先构造闭区间列[an,bn],且满足闭区间套定理条件[an,bn]![an+1,bn+1]。假定区间两端点的函数值中是相反的,可以得到一系列的函数值f(a1),(f a2),f(a3),…,(f an),…(f bn)…,(f b2),(b1)。假设(f x)是单调增加的,有(f a1)≤(f a2)≤…≤(f an)≤…≤(f bn)≤…≤(f b2)≤...&
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实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性,实数系R的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,本文将以实数系的连续性中的闭区间套定理为例来说明其应用。一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理定义1(闭区间套定义)设闭区间列｛[an,bn]｝具有如下的性质:(1)｛[an,bn]｝劢[an+1,bn+1],n=1,2,…(2)lim(bn-an)=0则称｛[an,bn]｝为闭区间套,或简称区间套。定理1(闭区间套定理)若｛[an,bn]｝是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ∈[an,bn],n=1,2,…即an≤ξ≤bn,n=1,2,…且nli→m∞an=nli→m∞bn=ξ.二、举例说明闭区间套定理的应用例1(.有界性定理)若函数(fx)在闭区间[a,b]上连续,则(fx)在[a,b]上有界.证明:假设(fx)在[a,b]上无界,则闭区间[a,b]具有性...&
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引言闭区间套定理本身是由一个闭区间套{In}确定的唯一的点ξ∈∩∞n=1In.粗略地说,如果一切In都具有某种共同性质P,则由于ξ的任意性有In(n≥k),所以ξ的局部具有性质P,简单地说这个定理可以把整体性质收缩到局部——某点的邻域,利用闭区间套定理证明问题时要注意这一点.闭区间套定理的几何意义:有一列闭线段(两个端点也属于此线段)后者被包含在前者之中,并且由这些闭线段的长构成的数列以0为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点.一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理定义1设闭区间列{(an,bn)}具有如下的性质:①{(an,bn)}?[an+1,bn+1],n=1,2,…;②lim(bn-an)=0,则称{(an,bn)}为闭区间套,或简称区间套.定理(1)(闭区间套定理)若{(an,bn)}是一个区间套,则在实数系中存在唯一点ξ,使得ξ∈(an,bn),n=1,2,…,即an≤ξ≤bn,n=1,2,…,且limn→∞an=li...&
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在实际问题中精确解往往求不出来,但是可以求高精度逼近的近似解,而闭区间套定理的本质体现了逐步逼近的思想,定理中所有闭区间套的交点实际上是问题的精确解,闭区间套就是不断在逼近解的区间,最后区间长度趋于零,问题的解得到.在教学过程中,特别强调用闭区间套定理逐步逼近的思想方法证明一些理论问题和解决应用问题,下面详细阐述我们的教学实践.1闭区间套定理定理1(闭区间套定理)[1]设In=[an,bn](n=1,2,…)为闭区间序列,满足I1?I2?…?In?…,limn→∞｜In｜=limn→∞(bn-an)=0,则称此闭区间序列形成一个闭区间套,且存在唯一点ξ满足ξ∈∩∞i=1Ii.定理2(闭区域套定理)[2]设Ek(k=1,2,…)是瓗n中的非空闭集,且满足Ek+1?Ek(k=1,2,…),limk→∞dk=0,其中dk=supX,Y∈Ek‖X-Y‖(k=1,2,…),则瓗n存在唯一点A,满足∩∞k=1Ek=A.2闭区间套定理的应用定...&
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传真：010-§2闭区间上连续函数性质的证明；教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法；在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭；证[证法一](应用有限覆盖定理)由连续函数的局部；显然?是?a,b?的一个无限开覆盖．由有限覆盖定；???*??U??i?xi??a,b?,i；覆盖了?a,b?，且存在正数M1,M2,?,Mk；f?x??Mi,i?1,2,
闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。
在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质．
有界性定理
若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上有界．
[证法一](应用有限覆盖定理)
由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点x???a,b?,都存在邻域U(x?;?x?)及正数Mx?，使得f(x)?Mx?,x?U(x?;?x?)??a,b?. 考虑开区间集
H?U(x?;?x?)x???a,b?, 显然?是?a,b?的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在?的一个有限子集
???*??U??i?xi??a,b?,i?1,2,?,k? 覆盖了?a,b?，且存在正数M1,M2,?,Mk，使得对一切x?U??i???a,b?有f?x??Mi,i?1,2,?,k.
M?maxMi, 1?i?k则对任何x??a,b?，x必属于某U??i??f?x??Mi?M．即证得f在?a,b?上有界．
[证法二](应用致密性定理)
倘若f在?a,b?上无上界，则对任何正整数n，存在xn??a,b?，使得f?xn??n．依次取n?1,2,?，则得到数列?xn???a,b?．由致密性定理，它含有收敛子列xnk，记limxnk??。由a?xnk?b及数列极限的保不等式性，???a,b?．利用f在点?连续，推得 k????limfxnk?f?????? k????另一方面，由xn的选取方法又有fxnk?nk?k????limfxnk??? k??????与(1)式矛盾．所以f在?a,b?有上界．类似可证f在?a,b?有下界，从而f在?a,b?上有界.
最大、最小值定理 若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上有最大值与最小值． 证
(应用确界原理)
已证f在?a,b?上有界，故由确界原理，f的值域f??a,b??有上确界，记为M．以下我们证明：存在???a,b?，使f????M．倘若不然，对一切x??a,b?都有f?x??M．令 第七章第二节第1页
g?x??1,x?[a,b] M?f(x)易见g在?a,b?连续,故g在?a,b?有上界.设G是g的一个上界,则 0?g?x??1,x?[a,b] M?f(x)1,x?[a,b] G从而推得f?x??M?但这与M为f??a,b??的上确界矛盾.故必存在???a,b?,使f????M,即f在?a,b?上有最大值,同理可证f在?a,b?上有最小值. 介值性定理 设函数f在闭区间?a,b?上连续，且f?a??f?b?.若?为介于f?a?与f?b?之间的任何实数,则存在x0??a,b?，使得f?x0???
证[证法一](应用确界原理)
不妨设 f?a????f?b?．令 g?x?= f?x???，则g也是 ?a,b?上的连续函数，且g?a??0,g?b??0.于是定理的结论转化为：存在x0??a,b?，使得g?x0??0．这个简化的情形称为根的存在性定理．
记???g?x??0,x??a,b??．显然?为非空有界数集(???a,b?且b??)，故由确界原理，?有下确界，记x0?inf?．因g?a??0,g?b??0，由连续函数的局部保号性，存在??0，使得在?a,a???内g?x??0，在?b??,b?内g?x??0，由此易见x0?a,x0?b，即x0??a,b?．
下证g?x0??0．倘若g?x0??0，不妨设g?x0??0，则又由局部保号性，存在U?x0;?????a,b??，使在其内g?x??0，特别有g?x0???????0?x0???．但这与x0?inf?正相矛盾，故必有2?2?g?x0??0．
[证法二](应用区间套定理)
同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g在?a,b?上连续，g?a??0,g?b??0，则存在x0??a,b?，使得g?x0??0．
将?a,b?等分为两个子区间?a,c?与?b,c?．若g?c??0，则c即为所求；若g?c??0，则当g?c??0时记?a1,b1???a,c?，当g?c??0时记?a1,b1???c,b?。于是有g?a1??0,g?b1??0，且
第七章第二节第2页
?a1,b1???a,b?,b1?a1?1?b?a?． 2再从区间?a1,b1?出发，重复上述过程，得到：或者在?a1,b1?的中点c1上有g?c1??0，或者有闭区间?a2,b2?，满足g?a2??0,g?b2??0，且 ?a2,b2???a1,b1?,b2?a2?1?b?a? 22
将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：
在某一区间的中点ci上有g?ci??0，则ci即为所求；
在任一区间的中点ci上均有g?ci??0 ，则得到闭区间列??an,bn??,满足g?an??0,g?bn??0，且
?an?1,bn?1???an,bn?,bn?an?1?b?a?,n?1,2,? . n2由区间套定理，存在点x0??an,bn?,n?1,2,?.下证．g?x0??0，倘若g?x0??0，不妨设g?x0??0，则由局部保号性，存在U?x0;??,使在其内有g?x??0．而由定理7.1的推论，当n充分大时有?an,bn??U?x0;??，因而有g?an??0．但这与?an,bn?选取时应满足的g?an??0相矛盾，故必有g?x0??0
一致连续性定理
若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上一致连续． 证[证法一](应用有限覆盖定理)
由f在?a,b?上的连续性，任给??0，对每一点x??a,b?，都存在?x?0，使得当x??U?x;?x?时有
f?x???f?x??考虑开区间集合
???U?x,?2.
(2) ???x???x??a,b?? ??2??显然H是?a,b?的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集
???U?xi,*?????i???i?1,2,?,k? 2??覆盖了?a,b?．记??min???i???0 1?i?k2??*对任何x?,x????a,b?,x??x????,x?必属于?中某开区间,设x??U????i???即x??xi?i.22?第七章第二节第3页
此时有x???xi?x???x??x??xi???故由(2)式同时有f?x???f?xi???i2??i2??i2??i ?2
f?x????f?xi???2 由此得f?x???f?x?????.所以f在?a,b?上一致连续.
[证法二](应用致密性定理)
用反证法.倘若f在?a,b?上不一致连续,则存在某?0?0,对任何??0,都存在相应的两点x?,x????a,b?,尽管x??x????,但有
f?x???f?x?????0. 令??11?,xn????a,b?，尽管x??x???,但有
(n为正整数)，与它相应的两点记为xnnn???f?xn?????0.
f?xn??与?xn?????a,b?．由致密性定理，存在?xn??的收敛子列xn?k，当n取遍所有正整数时，得数列?xn???k?x0??a,b??k???．同时由 设xn?k?xn??k?xn1??k?x0?xn??k?xn?k?xn?k?x0?0?xnnk?k??? ??k?x0?k???。 又得xn?k?fxn??k??0，
最后，由(3)式有
fxn在上式中令 k???，由 f的连续性及数列极限的保不等式性，得到 ?????k?fxn??k??0，
0?f?x0??f?x0??limfxnk??????这与?0?0相矛盾．所以f在?a,b?上一致连续． 第七章第二节第4页
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　第17、18 课时:【教学目的】 1、 掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大...例 1? 证明方程 x 3?4x 2?1?0 在区间(0? 1)内至少有一个根? 证? ... 　§6-3 闭区间上连续函数可积性的证明.doc.gzip_数学_自然科学_专业资料。300 第6章 连续函数性质的证明 §6-3 闭区间上连续函数可积性的证明函数 f ( x)... 　7.2闭区间上连续函数性质的证明_理学_高等教育_教育专区。good 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 §7.2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目标:证明闭区间... 　第八节 闭区间上连续函数的性质_理学_高等教育_教育专区。经济数学---微积分...n 证明:因为 f ( x ) 在 ( a, b) 内连续,且 a ? x1 ? x2 ? ?... 　1.10闭区间上连续函数的性质_数学_自然科学_专业资料。一、 最大值与最小值 ...x ? 2 ? 4. 定理 2:闭区间上的连续函数一定有界。 证明:由定理 1 必有... 　推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. 第一章第七讲闭区间上连续函数的性质 小 对于利用闭区间上连续函数的性质来证明题目的时候,... 　闭区间上连续函数的性质_研究生入学考试_高等教育_教育专区。考研数学高等数学必考...0 . 题型 例 介值定理、最值定理及零点定理的证明题 若 f ( x ) 在 [... 　第十节 闭区间上连续函数的性质_理学_高等教育_教育专区。第十节 闭区间上...上连续,并且对 ?0,1? 上任一点 x 有 0 ? x ? 1 .试证明 . ?0,1...第七章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的基本定理 教学目的与要求： 1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备； 2）掌握区间套、聚点等重要概念；
3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意 4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。
教学重点，难点： 熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法, 提高学生的分析论证能力
教学内容： 一
区间套定理与柯西收敛准则 定义1
设闭区间列??an,bn??具有如下性质： （i）[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?; (ii)lim(bn?an)?0, n??则称??an,bn,??为闭区间套，或简称区间套． 这里的性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： a1?a2???an???bn???b2?b1
(1) 定理7.1（区间套定理） 若??an,bn??是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点?，使得??[an,bn],n?1,2,?.即 an???bn,n?1,2,?.
（２） 分析 即要证明闭区间列[an,bn],n?1,2,?有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）式和单调有界定理可以知道数列?an?和?bn?都存在极限，我们只要证明这两个数列极限相等且属于所有的[an,bn],n?1,2,?，则找到一个公共点；然后证明唯一性。 证 由（１）式，?an?为递增有界数列，依单调有界定理，?an?有极限?，且有 an??,n?1,2,?.
（３） 同理，递减有界数列?bn?也有极限，并按区间套的条件（ii）有 limbn?liman??，
（４） n??n??且 bn??,n?1,2,?.
（５） 联合（3）、（5）即得（2）式 最后证明满足（2）的?是唯一的．设数??也满足 an????bn,n?1,2,?. 则由（２）式有 ?????b?a,n?1,2,?. nn由区间套的条件（ii）得
?????lim?b?ann??n??0, 有????.
故□ 注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立．对于开区间列，有可能不成立，如??0,????1????，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且n??lim(n??1n?0)?0，但不存在属于所有开区间的公共点． 注2
应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰当地构造区间套。一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，即闭区间列??an,bn??满足（i）[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?; (ii)lim(bn?an)?0, 另一方面，也是最重要的，要把n??欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中。前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间[an,bn](n?1,2,?)唯一存在公共点?；后者则把证明整个区间[a,b]上所具有某性质的问题归结为?点邻域U(?,?)的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化。 由（４）容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若??[an,bn](n?1,2,?)是区间套??an,bn??所确定的点，则对任给的??0，存在N?0，使得当n?N时有 ?an,bn??U(?;?)
作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的＂数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）,即 数列?an?收敛的充要条件是：对任给的??0,存在N?0,使得对m,n?N有am?an??. 分析
由数列极限定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限。我们将对柯西列?an?构造区间套???n,?n??,，使得在每个??n,?n?外只有数列?an?中有限项。 证
设liman?A.由数列极限定义, 对任给的??0,存在N?0,当n??m,n?N时有 am?A??2,an?A??2, 因而
am?an?am?A?an?A??2??2?? [充分性]
按假设,对任给的??0,存在N?0,使得对一切n?N有an?aN??,即在区间?aN??,aN???内含有?an?中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“?an?中几乎所有的项”表示“?an?中除有限项外的所有项”)。
据此，令??12,则存在N1，在区间11??aN1?,aN1?内含有?an?中几乎所有的项，??22??记这个区间为??1,?1?. 122
再令??，则存在N2(?N1)在区间内含有?aN??2?122,aN2?1?内含有?an?中几2?2?乎所有的项。记
??2,?2??aN???2?122,aN2?1????1,?1?, 22??它也含有?an?中几乎所有的项，且满足
??1,?1????2,?2?及?.
继续依次令??,?,12n,?，照以上方法得一闭区间列???n,?n??,其中每个区间都含有an中几乎所有的项，且满足 ??n,?n????n?1,?n?1?,n?1,2,?, ?n??n?12n?1?0?n???, 即???n,?n??是区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数????n,?n?(n?1,2,?).。
现在证明数?就是数列?an?的极限。事实上，由定理7.1的推论，对任给的??0，存在N?0,使得当n?N时有 ??n,?n??U(?;?). 因此在U(?;?)内含有?an?中除有限项外的所有项，这就证得liman??.
□ n??注 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限。注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法。 二
聚点定理与有限覆盖定理 定义2
设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点。 ??1??有两个聚点n??1??n?例如，点集S??(?1)?n?1??1和?2?1;点集S???只有一个聚点??0;又若S为开区间（a,b）,则（a,b）内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集N?没有聚点，任何有限数集也没有聚点。 注1 点集S的聚点可以属于S，也可以不属于S； 注2 设S是数集，?不是S的聚点?存在?0?0，在U(?;?0)中至多包含S中有限多个点。 聚点概念的另两个等价定义如下： 定义2?
对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即U(?;?)?S??，则称?为S的一个聚点。 ?定义2?? 若存在各项互异的收敛数列?xn??S，则其极限limxn??称为S的一个聚点。 n??关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下。 1）定义2?定义2?是显然的， 2）定义2?? ?定义2也不难得到； 3）定义2??定义2?? 证
设?为S(按定义2?)的聚点,则对任给的??0,存在x?U(?;?)?S. 令?1?1,则存在x1?U(?;?1)?S; 令?2?min(12,??x1),则存在x2?U(?;?2)?S，且显然x2?x1; ooo?? 令?n?min(1n,??xn?1),则存在xn?U(?;?n)?S,且xn与x1,?,xn?1互异． 1no无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数 列?xn?，且由??xn??n?limxn??． n??，易见注 本证明中取?n?1n，为了保证数列收敛到?，因此可以取其他的小量；而取?n?|??xn?1|则是为了保证点列的各相互异性。注意这种技巧。 应用区间套定理来证聚点定理．
(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理)
实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 分析 S为有界点集，S?[a,b]，把区间[a,b]二等分，其中必有一子区间内包含S中无限多个点，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为S的聚点。
因S为有界点集,故存在M?0,使得S?[?M,M],记[a1,b1]?[?M,M].
现将[a1,b1]等分为两个子区间.因S为无限点集,故两个区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2],则[a1,b1]?[a2,b2],且
b2?a2?12(b1?a1)?M 再将[a2,b2]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出闭区间上连续函数性质证明_百度文库
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闭区间上连续函数性质证明
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