因为先取数字之和要尽可能地大,剩下的数都不大于前面取出的数,由此解答即可;求出取出第批后,第批卡片还没取完,此时余下的每个数必大于,余下数之和更大于,再利用所有卡片上数的和为列出不等式解答即可;利用反证法法,结合的结论,两种情况矛盾,解决问题.
解:对于任意满足条件的有限张卡片,满足;假设每批取出卡片不多于张,则这张卡片上的数之和不大于,而剩下的每个数不大于,由已知条件知,应该选张,与假设矛盾,除第批外,每批至少取走的卡片数为张.证明:当取出第批后,因为,,,,,此时第批卡片还没取完,此时余下的每个数必大于,余下数之和更大于,即,由此可得,因为,从而;证明:假设,即第批卡片取走后,还有卡片没被分完,由已知可知余下的每个数都大于,且,故余下的每个数,因为第组卡片中至少含有张,所以第组卡片上的所有数之和大于,从而,这与中的矛盾,所以.
此题考查数的推理与论证以及利用反证法证明问题的结论.
3656@@3@@@@规律型：数字的变化类@@@@@@241@@Math@@Junior@@$241@@2@@@@代数式@@@@@@49@@Math@@Junior@@$49@@1@@@@数与式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题，第6小题
求解答 学习搜索引擎 | 已知有限张卡片,每张卡片上各写有一个小于30的正数,所有卡片上数的和为1080.现将这些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先从这些卡片中取出第一批卡片,其数字之和为{{S}_{1}},满足{{S}_{1}}小于等于120,且{{S}_{1}}要尽可能地大;然后在取出第一批卡片后,对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片(其数字之和为{{S}_{2}});如此继续构成第三批(其数字之和为{{S}_{3}});第四批(其数字之和为{{S}_{4}});...直到第N批(其数字之和为{{S}_{N}})取完所有卡片为止.(1)判断{{S}_{1}},{{S}_{2}},...,{{S}_{N}}的大小关系,并指出除第N批外,每批至少取走的卡片数为多少?(2)当n=1,2,3,...,N-2时,求证:{{S}_{n}}<\frac{960}{n};(3)对于任意满足条件的有限张卡片,证明:N小于等于11数字之魅：寻找数组中的最大值和最小值
数组是最简单的一种数据结构。我们经常碰到的一个基本问题，就是寻找整个数组中最大的数，或者最小的数。这时，我们都会扫描一遍数组，把最大(最小)的数找出来。如果我们需要同时找出最大和最小的数呢?
对于一个由N个整数组成的数组，需要比较多少次才能把最大和最小的数找出来呢?
这个题目比价简单，主要方案如下：
方案一：分别求最大和最小值。这是一种比较常规的解法。可以分别求出数组的最大值和最小值，这样，我们可以采用最基本的冒泡思想遍历两次(2N)就能求解。
方案二：分组求解。由于前面的需要遍历2N次。这里为了使其遍历的次数减少，我们可以采用分组。
(1) 按顺序将数组中相邻的两个数分在同一组，逻辑上分组，实际什么都不用做;
(2) 比较同一组的两个数，将大的数放在偶数位上，小的放在奇数位上;
(3) 最后，从偶数位上求最大值，奇数位上求最小值即可。
这样一共需要比较1.5N次。这种办法虽然比较次数变少了，但却破坏了原数组，因为我们交换了数组数据的位置。
方案三：改进的分组。此种方法可以避免破坏原数据的顺序。
(1) 用两个变量max和min分别存储当前的最大值和最小值。
(2) 同一组的两个数比较完之后，不再调整顺序，将其中较大的与当前max比较，较小的与min比较;
(3) 如此反复，直到遍历完整个数组。
整个过程比较次数也为1.5N次，但是没有对原数据进行更改，如果数据是在只读存储区，那么该方法就能派上用场了。
方案四：分治策略。该方法用到归并排序中的merge()函数，虽然方法不一样，但是可惜的比较的次数还是没有减少，仍然为1.5N次。在求解的过程中分别求出前后N/2个数的min和max，然后，取较小的min，较大的max即可。
这里主要是提醒一下经常用的两种思路：快排你的partion()和归并里的merge()，这两个函数的解决问题的思路十分常用。通常在解决问题的时候，要想到他们，是一种解决的思路。
如果需要找出N个数中的第二大数，需要比较多少次呢?是否可以使用类似的分治思想来降低比较的次数呢?
用两个变量分别存最大值max1和次大值max2，遍历数组：
初始化：max1=arr[0],max2=0;
先与max2比较，如果比max2大再和max1比较;
如果arr[i] &max1，则更新max=arr[i]，max2=max1;
否则如果arr[i] & max2 && arr[i]& max1，则更新max2=arr[i];
否则，不进行更新操作。
这个方法最多的比较次数为2*N次，最大的值在最后面;最小N次第一个和第二个恰好就是最大和第二大的数。
思路二：快速选择算法的思想。
先寻找出第k大的整数，然后再通过两次遍历前k大的数字找出第二大的数字，因为找出的前k个元素是不保证排序的。比较的次数为：找出前K个元素次时：最好k次，最坏N次。然后在前k个元素中找出第K个元素：比较的次数：k+k-1次。所以比较的次数为：最好3k-1次，最坏：N+2k-1次。}