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数学里的十字相乘法怎么知道这个因式能不能继续分解?我用的方法是如果此多项式为aX^2+bX+c我用解一元二次方程的方法看b^2-4ac能不能被根号开断,就可以知道这个因式能不能因式分解.不知道这个方法好不好,不知道还有没有更好的方法?fgrt789 还没弄董我的意思,我是说怎么知道这个因式能不能被分解如果这个因式很大,是几千相乘,并且如果分解后出现了小数的话那不好分解
shengf0157
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这个方法绝对没问题,其实因式分解是相当于是找aX^2+bX+c=0的根,而看（b^2-4ac）的大小是判断方程是否有根的最好的方法之一,另一种方法就是纯粹靠经验了
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数学因式分解怎么做?
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基本方法　　 ⑴提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.　　如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.　　具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.　　如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.　　口诀：找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶.　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式　　⑵公式法　　如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；　　完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．　　公式：a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)　　例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.　　（3）分解因式技巧　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形.　　2.分解因式技巧掌握：　　①等式左边必须是多项式；　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；　　③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.　　注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑.　　3.提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式；　　（2）提公因式并确定另一个因式：　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；　　②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；　　③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同. [编辑本段]竞赛用到的方法　　 ⑶分组分解法　　分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.　　能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法.　　比如：　　ax+ay+bx+by　　=a(x+y)+b(x+y)　　=(a+b)(x+y)　　我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.　　同样,这道题也可以这样做.　　ax+ay+bx+by　　=x(a+b)+y(a+b)　　=(a+b)(x+y)　　几道例题：　　1. 5ax+5bx+3ay+3by　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)　　=(5x+3y)(a+b)　　说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.　　2. x^3-x^2+x-1　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)　　=x^2(x-1)+ (x-1)　　=(x-1)(x2+1)　　利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决.　　3. x2-x-y2-y　　解法：=(x2-y2)-(x+y)　　=(x+y)(x-y)-(x+y)　　=(x+y)(x-y-1)　　利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决.　　　　 ⑷十字相乘法　　这种方法有两种情况.　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解 　　如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．　　图示如下：　　×　　c d 　　例如：因为　　1 -3 　　×　　7 2 　　-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 　　所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．　　十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中　　 ⑸拆项、添项法　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 　　=(c+b)(c-a)(a+b)．　　　　 ⑹配方法　　对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.　　例如：x²+3x-40　　=x²+3x+2.25-42.25　　=(x+1.5)²-(6.5)²　　=(x+8)(x-5)．　　 ⑺应用因式定理　　对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．　　例如：f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式.(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数；　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数　　 ⑻换元法　　有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法. 　　注意:换元后勿忘还元.　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则　　原式=(y+1)(y+2)-12　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　　=(y+5)(y-2)　　=(x²+x+5)(x²+x-2)　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．　　也可以参看右图.　　　　 ⑼求根法　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,　　则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．　　　　 ⑽图象法　　令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．　　与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.　　作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．　　　　 ⑾主元法　　先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.　　　　 ⑿特殊值法　　将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105, 　　将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．　　注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.　　　　 ⒀待定系数法　　首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 　　由此可得a+c=-1,　　ac+b+d=-5,　　ad+bc=-6,　　bd=-4．　　解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．　　也可以参看右图.　　　　 ⒁双十字相乘法　　双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.　　双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f　　x、y为未知数,其余都是常数　　用一道例题来说明如何使用.　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．　　分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.　　图如下,把所有的数字交叉相连即可　　x 2y 2　　① ② ③　　x 3y 6　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．　　双十字相乘法其步骤为：　　①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错. [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； 　　②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 　　③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；　　④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要合适.”　　几道例题　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．　　原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．　　2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．　　原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．　　（分解因式的过程也可以参看右图.）　　当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．　　∵a、b、c是△ABC的三条边,　　∴a＋2b＋c＞0．　　∴a－c＝0,　　即a＝c,△ABC为等腰三角形.　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式.　　-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
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第二章分解因式全章导学案..doc 11页
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第二章分解因式全章导学案.
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第二章分解因式
2．1分解因式【学习目标】
1．经历从分解因数到分解因式的过程．
2．了解分解因式的意义，以及与整式乘法的关系．
3．感受分解因式在解决相关问题中的作用．
【预习设计】
1．把一个多项式化成几个
的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．把993-99化为几个整数的积的形式．
3．连一连，并回答．
x2-y2(x+1)2
(3-5x)(3+5x)
(x+y)(x-y)
从左到右的变形是
，从右到左的变形是
【学习探究】
一、学前准备
1．知识回顾
单项式乘以多项式的法则
多项式乘以多项式的法则
(m+n)(a+b)=
2．自学教材2．1，分解因式，弄清下列问题．
①什么叫分解因式？
②分解因式与整式乘法的关系．
二、师生互动
例1：下列由左边到右边的变形，是分解因式吗？为什么？
(1)(a+3)(a-3)=a2-9(2)m2-4=(m+2)(m-2)
(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)2
(4)2mR+2mr=2m(R+r)
(5)x2+x=x2(1+)
小结：1．分解因式的结果是
2．分解后的每个因式必须是
3．分解因式必须分解到每个因式都不能再分为止．
练习教材2．1节知识与技能1、2
例2：计算左边的四个算式，并由算出的结果在右边填空．
（1）（m+4)(m-4)=
(2)(y-3)2=
(6)y2-6x+9=
(3)3x(x-1)=
(7)3x2-3x=
(4)m(a+b+c)=
(8)ma+mb+mc=
小结：分解因式和整式的乘法互为逆运算．
两边的结果应是相等的，只是形式不同而已．
例2：已知x2-3x+m可以分解为(x+2)(x-5),求出m的值．
练习①已知x2-x+n可以分解为(x+3)(x-4),求出n的值．
②已知关于x的二次三项式3x2+mx-n=(x+3)(3x-5)，求m、n的值．
例3：能被1999整除吗？能被2000整除吗？
1．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（
A．x2-y2=(x+y)(x-y)B．(x+2)(x+3)=x2+5x+6
C．x2+3x+5=x(x+3)+5D．
2．下列各式，分解因式正确的是（
A．a3+b2=(a+b)2B．xy+xz+x=x(y+z)
C．x2+x3=x3·(+1)D．a2-2ab+b2=(a-b)2
3．多项式x2-3x-10分解因式的结果是（
4．①能被2007整除吗？能被2008整除吗？
②×98．2-48．2×能被14整除吗？
四、拓展延伸
关于x的多项式6x2-11x+m分解因式后有一个因式是2x-3，试求m的值．
【课后反思】
【学习目标】
1．能确定多项式各项的公因式．
2．会用提公因式法把多项式分解因式．
【预习设计】
叫多项式各项的公因式．
2．多项式2x2+6x3中各项的公因式是
3．如果一个多项式的各项含有
，那么就可以把这个
提出来，从而将多项式化成
积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
4．分解因式
（1）ma+mb=(2)4kx-8ky=
(3)5y2+2y2=
(4)a2b-2ab2+ab=
【学习探究】
一、学前准备
1．分解因式：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式．
2．公约数：n个数公共的约数．
3．最大公约数：n个数最大的公共的约数，叫做这n个数的最大公约数．
二、师生互动
1．什么叫多项式的公因式？
2．公因式的确定方法：
①各项系数的最大公约数是公因式的系数．
②各项都会有的字母，其指数取最低作为公因式的字母及指数．
（3）什么叫提公因式法？
公因式，要提取，公约数，取大值
公有字母提出来，字母次数要最低
原式除以公因式，商式写在括号里
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