几种特殊的图 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡城（现在俄罗斯）在18世纪属东普鲁士，它位于普雷格尔（Pregel）河畔，河中有两个岛，通过七座桥彼此相联，如下图： 内容提要 8.1 二部图 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 8.3 平面图 8.1 二部图

,如下图所示。 8.1 二部图 由图显而易见， 分配a1去完成b1,a2去完成 B2,a3去完成b4，a4去完成 B3就能满足要求。 在此图中，a1,a2,a3,a4彼此 不相邻， b1,b2,b3,b4也彼此 不相邻。像这样的图，称它为二部图。 8.1 二部图 定义8.1.1 若能将无向图的顶点集V分成两个子集V1和V2(V1?V2=?),使得G中任何一条边的两个端点都一个属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图（或称偶图、双图、二分图），V1,V2称为互补顶点子集. 若G是二部图，也可将G记为G=。 又若V1中任一顶点与V2中任一顶点均有且仅有一条边相关联，则称二部图G为完全二部图。若|V1|=r,|V2|=s,则记完全二部图为Kr,s 8.1 二部图 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 引例：哥尼斯堡七桥问题 如何不重复地走完七桥后回到起点？ 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 一、欧拉图 定义8.2.1 给定无孤立结点图G=，若存在一条通路，经过图中每条边一次且仅一次，该通路称作欧拉通路；若G中欧拉通路又是回路，则称它为G中的欧拉回路；具有欧拉回路的图称为欧拉图。 注意：只有欧拉通路无欧拉回路的图不是欧拉图。 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 定理8.2.1 无向图G具有一条欧拉通路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。 证明 必要性 设G具有欧拉通路，即有点边序列 v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekvk,其中结点可能重复出现，但边不重复，因为欧拉通路经过所有图G的结点，故图G是连通的。 对任意一个不是端点（始点和终点）的结点vi,在欧拉通路中每当vi出现一次，必关联两条边，故vi虽可重复出现，但deg(vi)必是偶数。对于端点，若v0=vk,则d(v0)为偶数，即G中无奇数度结点；若端点v0与vk不同，则d(v0)为奇数，d(vk)为奇数，G中就有两个奇数度结点。 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 充分性 若图G连通，有零个或两个奇数度结点，我们构造一条欧拉通路如下： (1)若有两个奇数度结点，则从其中的一个结点考试构造一条迹，即从v0出发经关联边e1“进入”v1,若deg(v1)为偶数，则可由v1再经关联边e2进入v2,如此进行下去，每边仅取一次。由于G是连通的，故必可到达另一奇数度结点停下，得到一条迹L: v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekvk.若G中没有奇数度结点则从任一结点v0出发，用上述方法必可回到结点v0,得到上述一条闭迹L1. 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 (2)若L1通过了G的所有边，则L1就是欧拉通路。 (3)若G中去掉L1后得到子图G’,则G’中每个结点度数为偶数，因为原来的图是连通的，故L1与G’至少有一个结点vi重合，在G’中由vi出发重复(1)的方法，得到闭迹L2. (4)当L1与L2组合在一起，如果恰是G,即得欧拉通路，否则重复(3)可得到闭迹L3,依此类推直到得到一条经过图G中所有边的欧拉通路。 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 由于有了欧拉回路和欧拉通路的判别准则，因此哥尼斯堡七桥问题立即有了确切的否定答案，因为从上图中可以看到deg(A)=5,deg(B)=deg(C)=deg(D)=3,故欧拉回路必不存在。 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 欧拉通路和欧拉回路的概念，可以推广到有向图中去。 定义8.2.2 给定有向图G,通过图中每边一次且仅一次的一条单向通路(回路),称作单向欧拉通路(回路)。 定理 8.2.2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。一个有向图G具有单向欧拉通路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点之外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。 8.2 欧拉图与哈密尔顿图