当前位置： >>
2010水木艾迪概率讲义1
2009 年基础班讲课提要-------概率统计概率统计辅导讲义第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 概率与事件的概率计算 一维随机变量及其相关问题 多维随机变量及其相关问题 期望, 方差与相关系数 多元正态分布的相关问题；极限定理 统计的基本概念和抽样分布；点估计 估计量的评选准则、区间估计与假设检验（仅限数一）第一讲1 事件与概率1.1. 事件间的关系与运算 ★ 三个基本概念：概率与事件的概率计算随机试验、样本空间、随机事件（基本事件、复合事件、必然事件和不可能事件） ★ 注意要点： ☆ 能正确写出恰当描述随机试验的样本空间； ☆ 样本点和样本空间的选取并不是唯一的（但不管选取哪个，确定事件的概率是 唯一的），要选择容易计算概率的那一个样本空间； ☆ 同一样本空间可以表示不同的随机试验. ★ 事件的四种关系，三种运算及运算法则： ☆ω ∈ A ? 事件 A 发生☆ 运算法则：着重注意对偶律（De Morgan 律） （1） 事件之间的四种关系 关系 包含关系 等价关系 对立关系 互斥关系 符号 概率论 事件 A 发生则事件 B 必发生 事件 A 与事件 B 相等 事件 A 的对立事件（或逆事件） 集合论 A 是 B 的子集 A 与 B 相等 A 的余集A? BA= BA AB = φ事件 A 与事件 B 不能同时发生 （互不相容） A 与 B 无公共元素2009 年 清华大学-1-版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计（2） 事件之间的三种运算 运算 符号 概率论 生 事件 A1 ,L, An 至少有一个发生 事件 A 与事件 B 同时发生 事件 A1 ,L, An 同时发生 集合论 A 与 B 的并集 事件的和 （并） A U B（或 A + B ） 事件 A 与事件 B 至少有一个发UAi =1niA1 ,L, An 的并集A 与 B 的交集 A1 ,L, An 的交集 A 与 B 的差集事件的积 （交） A I B （或 AB ）IAi =1ni事件的差A ? B （或 A \ B ） 事件 A 发生而事件 B 不发生（3） 事件的运算法则 交换律： AB = BA; A U B = B U A 分配律： ( A U B)C = AC U BC 结合律： ( A U B ) U C = A U ( B U C ) ；( AB)C = A( BC )Morgan( A I B) U C = ( A U C )( B U C )对偶律： A U B = A I B ; (Den n i i n nAI B = A U B律i)UA = IA; IA = UAi i =1 i =1 i =1 i =1补元律： AA = φ ; A U A = Ω还原律： A = A 分解律：若 A ? B ，则 B = A U A B 排中律： A U A = Ω 吸收律：若 A ? B ，则 AB = A; A U B = B蕴涵律：若 AB = φ ，则 A ? B , B ? A 差积转换律： A ? B = AB = A ? AB 矛盾律： AA = φ 1.2. 概率及其简单性质★概率的定义：古典定义 ? 几何定义 ? 公理化定义 概率（也称为概率测度）P 为?上的非负值函数，即对每一事件 A ∈?，都可定义一个 数 P(A)，满足下列条件： (1) 非负性： 对一切 A ∈?，有 P(A) ≥ 0 (2) 规范性： P(Ω) = 1.∞ ?∞ ? P? U An ? = ∑ P( An ) ? n =1 ? n =1(1.1) (1.2)(3) 可数可加性： 若 A1 , A2 , L ∈ ?为一列两两互不相容的事件，则 (1.3)则称 P(A)为事件 A 的概率。试验的样本空间 Ω 、事件 σ -域?及定义在?上的概率 P 所构 成的三元组( Ω ,?, P), 称为描述该随机试验的概率空间．2009 年 清华大学 -2版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计☆ 注意：在?中对至多可数次的集合的并、交及求逆运算都是封闭的. ★ 概率的简单性质： 性质 1（求逆公式）如果 A ∈?，则 P ( A ) = 1 ? P ( A) . 性质 2（减法公式）如果 A, B ∈ ?, 则 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( AB ) ； 特别地，当 A ? B 时，有 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) ，从而 P ( A) ≥ P ( B ) （单调性）. 性质 3（一般的加法公式） 如果 A, B ∈ ?，则P( A U B ) = P( A) + P ( B) ? P( AB) ≤ P( A) + P( B) 一般地，若 A1 , A2 , L , An ∈ ?，则P (U Ai ) = ∑ P( Ai ) ? ∑ P( Ai A j ) +i =1 i i& j n i& j&k∑ P( Ai Aj Ak ) ? LL + (?1)n ?1 P(I Ai )i =1n注 1：可数可加性 ? 有限可加性；可数可加性与加法公式区别. 且 An ? An +1 (或An ? An +1 ),n = 1,2, L ) ，则注 2：（概率的连续性*）设 { An } 是?中的非减（或非增）事件序列( 即 An ∈ ?,∞ ∞并lim P( An ) = P(U An )n→∞ n =1（或 lim P( An ) = P(I An ) ）n→∞ n =1例 1 已知 P ( A) = Venn 图4 1 , P( AB) = ，则 P ( A U B) = 5 5.【0.4】提示： P ( A U B ) ? P ( AB) = P(A) + P(B) ? 2P(AB) = 1.6 ? 2P(AB) 求 P ( AB) 的最小值。例 2 已知 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.9 ， 则 P ( A U B ) ? P ( AB) 的最大可能值为. 【0.4】例 3 (97-4-1(4)) P{( A U B )( A U B )( A U B )( A U B )} = ________. ☆ 注 1：几个常用不等式【0】∑ P( Ai ) ? ∑ P( Ai A j ) ≤P(U Ai ) ≤ ∑ P( Ai )i i& j i =1 inP ( A) + P( B) ? 1 ≤ P ( AB) ≤ min( P( A), P( B)) P(I Ai ) ≥ ∑ P( Ai ) ? (n ? 1)i =1 i =1 n n☆ 注 2：技巧（Venn 图等）2 等可能性的两个概型2.1 古典概型 ★ 前提 ★ 定义： P ( A) =#A ,A ∈? #Ω-3版权所有工具：排列和组合数数，要注意分子分母数数时的一致性.2009 年 清华大学2009 年基础班讲课提要-------概率统计★ 着重了解以下三类问题： 例 4（摸球问题） 袋中装有 α 个白球及 β 个黑球， （1）从袋中任取 a+b 个球， 试求所取的球恰含 a 个白球和 b 个黑球的概率 （ a ≤ α,b ≤ 【a b Cα Cβ a +b Cα +ββ） .】（2）从袋中任意地接连取出 k + 1(k + 1 ≤ α + β ) 个球，如果每球被取后不放回，试求最 后取出的球是白球的概率。 例5 出 k 件正品（记此事件为 A）的概率 pk . ☆ 注 放回 ? 二项分布；不放回 ? 超几何分布 例 6（分房问题） 将 n 个人等可能地分配到 N（ n ≤ N ）间房中去，试求下列事件的概 率： （1） A={某指定的 n 间放房中各有一个人}； （2） B={恰有 n 间房，其中各有一人}； （3） C={某指定的房中恰有 m（ m ≤ n ）个人}。m m【 αα 】 +β设有 a 件正品 b 件次品，从中按有放回和无放回两种方式逐一随机抽 n 次，求恰抽【 【n! Nn】 】 】n CN n!Nn n?m1 1 【 Cn ( N ) (1 ? N )例 7（随机取数问题）从 0，1，…，9 这十个数字中，任意选出三个不同的数字，试求 事件 A={三个数字中不含 0 和 5}以及 B={三个数字中不含 0 或 5}的概率？ 【7/15; 14/15】 例 8 一个随机数发生器只能从 1,2,3,L ,9 这九个整数中选取一个， 并且选那一个都是等可 能的。求在 n 次选择之后所得的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率。 【 1 ?8n + 5n ? 4n .】 9nP ( AB) = 1 ? P ( A U B ) = 1 ? [ P( A ) + P( B ) ? P ( A B )] = 1 ?2.2 几何概型 ★ ★ 前提 定义：设 Ω 为可测区域，A ∈?且可测， P( A) =8n + 5n ? 4 n . 9nL( A) , L (Ω )工具：微积分求区域面积、体积等 例 9（会面问题） 两人相约于晚 7 点到 8 点间在某地会面，先到者等足 20 分钟便立即离去. 设两人的到达 时刻在 7 点到 8 点间都是随机且等可能的. 求两人能会面的概率 p. 【5 】 9 例 10（Buffon 问题） 平面上画有一族相距为 a 的平行线. 向此平面投一长为 l (&a)的针. 求针与平行线相交的 2l 概率 p. 【 a π 】 例 11 例 12 在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于 1.2 的概率. 【0.68】 半径为 r 的圆形硬币任意抛于边长为 a 的正方形桌面上， 求硬币不与正方形各边相-4版权所有2009 年 清华大学2009 年基础班讲课提要-------概率统计交的概率. 例 13 取一长为 l 的棒， 将其折成三段， 问此三段能构成一三角形的概率.【( a ? 2r ) 2a2】【 】1 4【注】 矩形上均匀分布的绝大多数问题均可由几何概型来解决。3 条件概率与独立性3.1 条件概率与事件独立性的定义 ★ 样本空间缩减法： Ω → B ★ 条件概率定义： P ( A B ) =P( A I B) P( B)P( B) & 0注：条件概率也是一种概率，故概率的运算规则同样适用于条件概率。 例14 设 P ( A | B ) = P (B | A ) =注： P ( A | B ) = P (B | A) ? P ( A) = P ( B ) （对称）1 1 , P ( A) = . 求 P ( A U B ) . 2 3【1 】 2例 15 从 1~100 这 100 个整数中，任取一数，已知取出的一数是不超过 50 的数，求它是 33 2 或 3 的倍数的概率. 【 50 】 3.2 独立性的有关重要性质 3.2.1 独立性的定义 3.2.2 条件概率与独立性的联系 ★ A, B ∈ ?相互独立，即 P ( AB) = P( A) P( B)? P( A | B) = P( A) ? P( A | B ) = P( A)P( B) & 0 P( B ) & 0? P( A | B) = P( A | B ) 0 & P( B) & 13.2.3 两事件独立性的实质及与两事件互不相容的关系 结论 1：若 4 对事件 { A, B}, { A , B}, { A, B }, { A , B } 中有一对是相互独立的，则另外 3 对也都是相互独立的。 结论 2：当 P( A), P ( B) & 0 时，如果 A 与 B 互不相容，则 A 与 B 一定不相互独立； 如果 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 一定不会互不相容. 3.2.4 两个事件的相关系数的定义与结论 结合随机变量的相关系数的结论 3.2.5 多个事件的独立性的定义及其实质 ★ 称 n 个事件 A1 , A2 ,L , An 是相互独立的，如果对任意自然数 k (2 ≤ k ≤ n) 都有P( Ai1 Ai2 L Aik ) = P( Ai1 ) P( Ai2 )L P( Aik )-5-其中 i1 , i2 ,L , i k 是满足 1 ≤ i1 & i2 &L & i k ≤ n 的任意 k 个自然数.2009 年 清华大学 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计? P ( AB) = P( A) P( B) ? ? ? ? P( BC ) = P( B) P(C ) ? ? 两两独立 ★ A, B, C 相互独立 ? ? ? ? P( AC ) = P( A) P(C ) ? ? ? P( ABC ) = P( A) P( B) P (C )★ 注意：与两两独立的区别与联系 ★ P(U Ai ) = 1 ? P(I Ai ) = 1 ? P( A1 ) P( A2 )L P( An )i =1 i =1nn例 16 (02-4-11[8]） 设 A, B 是任意二事件, 其中 A 的概率不等于 0 和 1, 证明, P ( B A) = P ( B A ) 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件. 例 17 (09-3-7(4)) 设事件 A 与事件 B 互不相容，则（）. (B)【D】(A) P ( AB ) = 0P( AB) = P( A) P( B)(C) P ( A) = 1 ? P ( B ) (D) P ( A U B ) = 1 例 18 (99-1-1(5)) 设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件： ABC = φ ,P ( A) = P( B ) = P(C ) &9 1 , 且已知, P( A U B U C ) = , 则 P( A) = 16 2.【1/4】例 19 (00-1-1(5)) 两个相互独立的事件 A、B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 发生的概率相等，则 P (A) = . 【2/3】 例 20 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5。现已知目标被 命中，则它是甲射中的概率为 例 21 (00-4-2(4)) 设 A, B, C 是三个事件两两独立, 则 A, B, C 相互独立的充分必要条件是 A) A 与 BC 独立; B) AB 与 A∪C 独立 ; C) AB 与 AC 独立; D) A∪B 与 A∪C 独立;【A】 . 【3/4】3.3 条件概率的三大公式 (乘法公式、全概率公式与 Bayes 公式) 及应用 ★ 乘法公式：若 A1 , A2 ,L , An ∈? 满足 P (nI A ) & 0, 则j j =1n ?1P(I A j ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 I A2 )L P ( An I A j )j =1 j =1n ?1★ 全概率公式：设事件 B1 , B2 ... 为样本空间 Ω 的一个正划分，则对任何一个事件A ,有 P( A) = ∑ P( Bi ) P( A Bi )i =1 ∞2009 年 清华大学-6-版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计★ Bayes 公式(逆概率公式)： 设 B1 , B2 ,L 为样本空间 Ω 的一个正划分, A ∈ ?满足P( A) & 0 , 则P ( Bi A) =P( Bi ) P( A Bi ) P ( A)．若将它与全概率公式结合起来, 就是 Bayes 公式的以下的常用形式P( Bi A) =P( Bi ) P( A Bi )∑ P( B ) P( A B )j =1 j jm( m ≤ +∞ , i = 1,2,L m) .例 22 将字母 M、A、X、A、M 分开写在 5 张卡片上，每卡一字，混合后重新排列，问 1 】 正好得到顺序 MAXAM 的概率是多少？ 【 30 解： 依次取出后，排成一列，设 A1 = {第 1 次取到字母 M}, A2 = {第 2 次取到字母 A}, A3 = {第 3 次取到字母 X}, A4 = {第 4 次取到字母 A}, A5 = {第 5 次取到字母 M},则P( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A5 A1 A2 A3 A4 )2 2 1 1 =5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 = 1 30例 23 在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就 进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是 0.4，求在这几个回合中： （a）甲机被击落的概率； （b）乙机被击落的概率. 【 0.24 ； 0.424 】 A ={甲机被击落}， B ={乙机被击落}， Ai = {第 i 回合射击成功}，则P ( A) = P( A1 A2 ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) = 0.8 × 0.3 = 0.24 ； P ( B) = P( A1 U A1 A2 A3 ) = P( A1 ) + P( A1 ) P( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) = 0.2 + 0.8 × 0.7 × 0.4 = 0.424例 24 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放 回，试求：第 2 次抽出的是次品的概率？ 例 25 (97-1-1(5)) 袋中有 50 个乒乓球, 其中 20 个黄球, 30 个白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 问第二人取得黄球的概率是_________. 例 26 【2/5】 假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件， 【1/6】其中 18 件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取 出的零件均不放回），试求： （1）先取出的零件是一等品的概率 p； （2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 q。2009 年 清华大学 -7版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计2 【5 ； 0.48557... 】解：(1)由全概率公式，知 p = P( A1 ) = P( H1 ) P( A1 | H1 ) + P( H 2 ) P( A1 | H 2 ) = (2)由条件概率的定义和全概率公式，知1 21 3 ?1 5 + 2 ?5 =2 5P( A1 A2 ) 1 = {P( H 1 ) P( A1 A2 | H 1 ) + P( H 2 ) P( A1 A2 | H 2 )} P( A1 ) P( A1 ) 5 1 10 × 9 1 18 × 17 1 9 51 + ? ] = [ + ] = 0.48557... = [ ? 2 2 50 × 49 2 30 × 29 4 49 29 q = P( A2 | A1 ) =例 27 (03-1-11[10]) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件放入乙箱后，求： （1）乙箱中次品件数 X 的数学期望； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【3/2】 【1】4解（2）：P ( A) = ∑ P( A | X = k ) P( X = k ) = 0 ×k =0 33 1 C1C 2 2 C 2C 1 3 C 3C 0 1 C30C3 + × 3 33 + × 3 3 3 + × 3 3 3 = 3 6 C6 6 C6 6 4 C6 C6例 28 一袋中有 m(m ≥ 3) 个白球和 n 个黑球，今丢失一球，不知其色。现随机地从袋中 摸取两球，结果都是白球，求丢失的是白球的概率？ 【 m?2 】m+n?2m n , P( B) = ； 解：设 A={摸到的两球都是白球}；B={丢失的是白球}，则 P ( B ) = m+n m+n 2 2 Cm Cm ?1 ; P( A | B) = 2 ; 且 P( A | B) = 2 Cm + n ?1 Cm + n ?1由 Bayes 公式，得P ( B | A) =P( A | B) P( B) m?2 = P( A | B) P( B) + P( A | B) P( B) m + n ? 2例 29 (98-3-12[9]) 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. ⑴ 求先抽到的一份是女生表(A1)的概率 p ； ⑵ 已知后抽到的一份是男生表( A2 )，求先抽到的一份是女生表的概率 q . 【29/90】 【20/61】提示：利用条件概率的全概率公式求 P( A2 |Hi), q = P(A1| A2 )? 条件概率的全概率公式 =20/61 例 30 设甲有赌本 i(i ≥ 1) 元, 其对手乙有赌本 a ? i & 0 元．每赌一次甲以概率 1 赢一元, 2 输一元．假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输光才结束．因此，两个 而以概率 1 22009 年 清华大学 -8版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计人中的赢者最终有总赌资 a 元． 求甲输光的概率． 解： Ai = {甲有赌本 i 元，但最终输光}, B ={甲第 1 次赌赢}．【1 ?i a】pi = P( Ai ) = P( Ai | B) P( B) + P( Ai | B c ) P( B c ) = P ( Ai +1 ) p + P( Ai ?1 )q = ppi +1 + qpi ?1 .满足 p0 = 1 , pa = 0 ．故得 pi ? p1 = (i ? 1)( p1 ? 1) ，令 i = a , 可得 p1 = 有a ?1 ． 从而 api = 1 ?i a例 31 r 个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余 r ? 1 个人 中的任意一个，求第 n 次传球时仍由甲传出的概率？ 【 p n = 1 [1 ? ( ? 1 ) n? 2 ], n ≥ 2 】r r ?1例 32（Pólya）于有 r 个红球、b 个黑球的袋中，随机取一球，记下颜色后，放回，并加 r 进 c 个同色球. 如此共取 n 次. 问第 n 次取出红球的概率 pn . 【 b+ 】 r 例 33 甲乙两人都有今晚的电影票，但他们只记得座位在第 15 排，记不清具体的座位号 【是多少了，现设第 15 排共有 20 个座位，问甲乙两人相邻而坐的概率是多少？ 解：假定第 15 排的座位依次编号为 1~20 号，设事件 Ai ={甲坐第 i 号座位}, i = 1,2, L,20 B ={甲乙两人相邻而坐} 显然， P ( Ai ) =1 】 101 ， i = 1,2, L,20 20 1 19当甲坐第 1（或 20）号座位时，乙可坐在甲的左边或右边就能与甲相邻，所以P ( B | A1 ) = P ( B | A20 ) =而当甲坐第 i (i = 2,3, L ,19) 号座位时，乙只有坐第 2（或 19）号座位才能与甲相邻，所 以P ( B | Ai ) =202 , i = 2,3,L,19 19 2 1 1 1 1 ( + 18 × + ) = 20 19 19 19 10于是，由全概率公式得P ( B) = ∑ P ( Ai )P( B | Ai ) =i =13.4 例 34独立性与独立试验序列3.4.1 独立性的综合应用 若 P ( A) = 0.4, P ( B ) = P (C ) = 0.5 ，在下列三种情况下计算 P ( A ? C | AB U C ) ： （1） A,B,C 独立； （2） A,B 独立，且 A,C 互不相容； （3） A ? B ，且 A,C 独立.2009 年 清华大学 -9-【1/6; 2/7; 2/7】版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计P ( A ? C | AB U C ) =例 35 （小概率事件）P( AC ( AB U C )) P ( ABC ) P ( AB) ? P( ABC ) = = P( AB U C ) P( AB U C ) P( AB) + P(C ) ? P( ABC )设随机试验 E 中事件 A 为小概率事件，P(A) = ε &0, 其中ε为小正数. 试证不断独立重复 进行这项试验，小概率事件 A 迟早会发生. 3.4.2 系统可靠性 ★ 串联系统： p 串 = P( A1 A2 L An ) = p1 p2 L pn★ 并联系统： p并 = P ( A1 U L U An ) = 1 ? (1 ? p1 )L (1 ? pn ) 例 36 设有电路如右图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点，它们闭合的概率均为 p. 设各继电 器接点闭合与否相互独立， 求 L 和 R 间成通路的概率. 【 p (2 ? p) 】2 2RL例 37 设一系统由五个元件组成（如图）元件 A,E 正常工作的概率为 q，元件 B,C,D 正常 工作的概率为 p，且每个元件都各自独立工作，求 （1）系统能正常工作的概率； 【 q [1 ? (1 ? p ) ] 】2 3 3 p (1? p ) 2 1? (1? p ) 3（2）已知系统正在正常工作，问此时 B,C,D 中仅有一个在正常工作的概率. 【】3.4.3Bernoulli 概型n 重 Bernoulli 试验及其产生的分布 (1) 二项分布 B(n, p)的背景 例 38 (99-4-1(5)) 设 X ~ B (2, p ), Y ~ B (3, p ), 当 P ( X ≥ 1) = 5 / 9 则 P(Y ≥ 1) = ______. (2) Bernoulli 试验产生的其他分布 (a) 几何分布 Ge(p)的背景 例 39 掷一均匀骰子，直到出现 6 点为止，求所需抛掷次数 X 的分布列. (b) 负二项分布的背景 例 40 掷一均匀骰子，直到出现第 3 个 6 点为止，求所需抛掷次数 X 的分布列.2009 年 清华大学 - 10 版权所有【19/27】2009 年基础班讲课提要-------概率统计例 41 (07-1-9[5])某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0 & p & 1) ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为： 【C】 2 2 2 2 2 2 (A) 3 p(1 ? p) (B) 6 p(1 ? p) (C) 3 p (1 ? p) (D) 6 p (1 ? p )例 42 (Banach 问题)某售货员同时出售两包各 10 本的同样的书，每次售书，他等可能地任选一包，从中取出一本，问他发现有一包已售完时，另一包中尚余 3 本书的 概率为多少? 【 C17 ( ) 】101 217法一：A ={发现第一包的书已取完，第二包中还有 3 本}，此事件当且仅当第 11 次取出第 一包也正好是第 18 次售书时才发生， 故 P( A) = C 20?3 ( ) ( ) 率为 2 P ( A) = C17 ( ) .10 17 101 2101 218?1010 1 18 = C17 ( ) 。故所求概 21 21 1 ，取另一包的也为 ，设 B ={在用完 2 2 1 的那一包中取 10 本，而在另一包中取 7 本}，是一“成功”概率为 的 17 重 Bernoulli 2 10 1 10 1 17 ?10 10 1 17 = C17 ( ) 试验，故 P ( B ) = P ( X = 10) = C17 ( ) ( ) 2 2 2法二：由于每次试验取用完那一包的书的概率为 (3) 非重复的独立 Bernoulli 试验的相关问题 ★ 记 Ai ={第 i 次试验“成功”}，同样是独立的 Bernoulli 试验，但每次试验“成功”的 概率不一样，即 P ( Ai ) = pi , P ( Ai ) = qi ≡ 1 ? pi . 补例 甲、乙、丙三人对同一目标进行射击，击中目标的概率分别 4 3 2 , 4 , 3 ，现三人各射击一次，恰有一人击中目标的概率是多少？ 为53 【记 Ai ={第 i 次击中目标}， P ( A1 ) = 4 5 , P ( A2 ) = 4 , P ( A3 ) = 2 3；3 20P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =4 1 1 5 4 3+1 53 1 4 31 2 +1 5 4 3 =】2009 年 清华大学- 11 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计第二讲一维随机变量及其相关问题1.一维随机变量及其分布1.1 随机变量与分布函数的概念及性质 ★ 在随机试验的样本空间 Ω 上定义一单值实函数 X = X (ω ), ω ∈ Ω ， 若对任意实数 x， { X ≤ x} = {ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F，则称 X 为随机变量。称函数F ( x) = P( X ≤ x)为随机变量 X 的分布函数。 ★ 分布函数 F ( x) 是刻画随机变量 X 的取值的分布特征的，它具有以下的性质： （1） F ( x) 是一个单调不减函数。 （2） 0 ≤ F ( x) ≤ 1 ，且 F (?∞) = 0, F (+∞) = 1 。 （3） F ( x) 是右连续函数。 可以证明：一个函数 F ( x) 是某一个随机变量的分布函数，当且仅当性质（1）（2）（3） 同时成立。 （4） ?x1 & x 2 , P ( x1 & X ≤ x 2 ) = F ( x 2 ) ? F ( x1 ) 。 （5） ?x, P( X = x) = F ( x) ? F ( x ? 0) ，特别，当 F ( x) 在 x 处连续时， P( X = x) = 0 。 （6） ?x1 & x 2 ，且 F ( x) 在 x1 , x 2 处连续，则P( x1 & X ≤ x 2 ) = P( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = P( x1 & X & x 2 ) = P( x1 ≤ X & x 2 ) = F ( x 2 ) ? F ( x1 )（7） Fi ( x) i = 1,2,L, n 为分布函数，若 例 1(98-3-2(5)) 设 F1 ( x ) 与 F2 ( x ) 分别为随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F ( x) = aF1 ( x) ? bF2 ( x ) 是 某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 (A) a =∑ ai = 1, ai & 0 ，则 ∑ ai F ( x) 仍为分布函数。i =1 i =1nn3 2 ,b = ? 5 5(B) a =2 2 ,b = 3 3(C) a = ?1 3 ,b = 2 2(D) a =1 3 ,b = ? 2 2【A】例 2 (97-4-11[8]) 设 X 绝对值不大于 1; P ( X = ?1) = 1 / 8, 试求 1) X 的分布函数 【(5x+7))/16】 ★ 随机变量分类（三类）P ( X = 1) = 1 / 4 ; 在事件{?1 & X & 1} 出现的条2) X 取负值的概率. 【7/16】件下, 在(-1, 1)内的任意一个子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.1.2 离散型随机变量的分布律 ★ 至多取可列多个值的随机变量称为离散型的随机变量 ★ 离散随机变量 X 的分布律： P ( X = xk ) = pk k = 1,2,L, n,L2009 年 清华大学 - 12 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计也表示成以下形式： X P 或记为x1 p1x2 p2… …xk pk… …? x1 X ~? ?p ? 1分布律满足x2 L xk L? ?, p2 L pk L ? ?(2.1) (2.2)∑pkpk ≥ 0 ? kk=1反之，一数组 { p1 ,L, pk ,L} 为某个随机变量的分布律，当且仅当它满足(2.1)与(2.2)。 分布律与分布函数的关系： F ( x ) = 结合图形理解 例 3（截断的几何分布） 某射手用左轮手枪（内装 6 发子弹）进行射击，设该射手的命 中率为 p，且各次射击是相互独立的，记 X 为直到命中目标为止或子弹用完所需射击的次 数，求 X 的概率分布. ★ 类似问题：一大批产品，其次品率为 p，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个 次品时为止，或一直抽到 10 个产品时就停止检查. 设 X 为停止检查时抽样的个数. 求 X 的分布列. 1.3 常见离散型随机变量的概率分布及背景 1.3.1 两点分布 1.3.2 二项分布 B (n, p ) 与超几何分布 ★ P ( X = k ) = Cn p (1 ? p )k k n?k k :xk ≤ x∑pkk = 0,1,2,L, n★ P( X = k ) = 例4C C Ck Mn?k N ?M n Nk = 0,1,2,L, min(n, M )N 件产品中含有 M 件次品，如果按有放回和不放回两种方法，每次抽一个，共取 n次，求 n 次中取到次品数 X 的概率分布分别是什么？ 例 5 一批产品中有 15%的次品，现进行独立重复地抽样检验，共抽检了 20 个样品，问抽 检的 20 个样品中最大可能的次品数是多少？并求出其概率. 【 X ~ B (n, p ), 当 k = ? 例6 【3； 0.2428】[(n + 1) p ], (n + 1) p为非整数 ? ，P ( X = k ) 取最大】 否则 ?(n + 1) p ? 1或(n + 1) p,- 13 版权所有相应概率分别为 设某人在一项比赛每局胜时得 1 分、 平局时记 0 分而负时为 ? 1 分，2009 年 清华大学2009 年基础班讲课提要-------概率统计p，r 和 q. 求 （1) 6 局中恰胜 3 局的概率. 【（2) 6 局中胜 3 局平 1 局的概率(多项分布)】 ★ 多项分布和多元超几何分布（补充） 模型： 若袋中有 r 种颜色的球， 每种颜色各有 N1 , N 2 ,L, N r 只球，N1 + N 2 + L + N r = N ， 现从袋中随机地往外摸球，摸出后记录颜色再放回，共摸出了 n 只球，用 X 1 , X 2 ,L, X r 分 别表示在被摸出的 n 只球中，第一种颜色、第二种颜色、 … 、第 r 种颜色的球数，则( X 1 , X 2 ,L, X r ) 是一个随机向量，服从多项分布： n! N N N P ( X 1 = n1 , X 2 = n2 ,L, X r = nr ) = ( 1 ) n1 ( 2 ) n2 L( r ) nr n1!n2!L nr ! N N N若摸出后不放回袋中，则 ( X 1 , X 2 ,L, X r ) 服从多元超几何分布：P ( X 1 = n1 , X 2 = n2 ,L, X r = nr ) =这里 ni ≥ 0, 且 n1 + n2 + L + nr = n . 1.3.3 几何分布与无记忆性 ★ P( X = k ) = qk ?1n1 nr CN C N2 LC N r 1 r CNn2p,k = 1,2,L定理：设 X 为只取正整数值的随机变量，则下列命题等价： （1） X 服从几何分布。 （2） P ( X & m + n | X & n) = P( X & m) m, n = 0,1, L 。 （ 3）P ( X = m + n | X & n) = P( X = m) m = 1,2,L , n = 0,1, L 。5例 7 某射手的命中率为 p，现对某一目标连续不断地射击，直到第一次命中目标为止，设 各次射击是相互独立的，求他射击次数不超过 5 次就把目标击中的概率. 【 1 ? (1 ? p ) 】 1.3.4 Poisson 分布与 Poisson 定理★ P( X = k ) =λk e ? λk!,λ & 0, k = 0,1,2,L结论 1：Poisson 定理：设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p n ) ( 0 & pn & 1 依赖于 n )， 且满足 lim np n = λ & 0 ，则n→∞ k lim P ( X = k ) = lim C n p n (1 ? p n ) n ? k = k n→∞ n→∞λk e ? λk!k = 0,1,2,L结论 2：Poisson 分布在随机选择下的不变性（也称为随机分流的不变性) 例 8 假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为 λ 的 Poisson 分布, 而在百货公司 里每个顾客购买电视机的概率为 p, 且每个顾客是否购买电视机是独立的, 问在这段时间 内, 百货公司售出 k 台电视机的概率多大（这里假定每人最多购买一台电视机）？(λ p ) k ? λ p 【 e 】 k!解：记 X 为百货公司售出电视机的台数, 而 N 为这段时间内进入百货公司的人数, 故2009 年 清华大学 - 14 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计由全概率公式知P ( X = k ) = ∑ P ( X = k N = n) P ( N = n )n =0 ∞∞= ∑ P ( X = k N = n)n =0λn e ?λn!由于在已知有 N=n 名顾客进入百货公司的条件下, 百货公司售出电视机的台数服从 参数为 n 和 p 二项分布, 即?C k p k (1 ? p ) n ? k P ( X = k N = n) = ? n 0 ?故k k P( X = k ) = ∑ C n p (1 ? p ) n ? k n=k ∞n≥k n&kλn e ? λn!=∑n=k∞(λp ) k [λ (1 ? p )] n ? k e ? λ n! ? k!(n ? k )! n!(λp ) k e ? λ ∞ [λ (1 ? p )]i (λp ) k ? λp = e ∑ k! i! k! i =0 即 X 服从参数为 λp 的 Poisson 分布。 =例 9(01-1-11[7]) 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 λ & 0 的泊松分布， 每位乘客在中途下车的概率为p(0 & p & 1) ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求： m m n?m 】 （1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； 【 Cn p q（2）二维随机变量（X,Y）的概率分布. 【 P ( X = n, Y = m) = Cn p qm m n?m e ?λn ,m ≤ n 】 !n ?λ例 10且 λ 也是一随机变量， 服从两点分布： 设随机变量 X 服从参数为 λ 的 Poisson 分布，k ?λ e λ11P (λ = λ1 ) = p, P(λ = λ 2 ) = 1 ? p ，求 X 的分布列。k! k! 解： P ( X = k ) = P( X = k | λ = λ1 ) P (λ = λ1 ) + P( X = k | λ = λ2 ) P (λ = λ2 ) =pk ?λ λ1 e1【 P( X = k ) = p+ (1 ? p)?λ λk 2e2, k = 0,1,L 】k!+ (1 ? p)?λ λk 2e2k!1.4 连续型随机变量 ★ 对于随机变量 X 的分布函数 F ( x) ，如果存在非负可积函数 f(x) ( ? ∞ & x & +∞ )，使 对任意实数 x，都有 F ( x ) =2009 年 清华大学∫x?∞f ( x)dx ，则称 X 为连续型随机变量，并称 f(x)为 X 的概率- 15 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计密度函数（简称概率密度或密度）。 密度函数不唯一（结合图形）。 1.4.1 密度函数与分布函数的联系 性质 1： f ( x) ≥ 0, ?x ∈ R 性质 2：∫∞?∞f ( x)dx = 1一实值函数 f(x)为某一随机变量的密度函数当且仅当性质 1 和 2 成立。 性质 3 ：连续型随机变量的分布函数 F ( x) 是连续函数，反之不成立。 性质 4：在 f(x)的连续点 x 处， F ′( x) = f ( x) 性质 5： P ( X ∈ B ) = 例 11 (00-3-1(4)) 设随机变量 X 的概率密度为∫Bf ( x)dx?1 / 3 若x ∈[0, 1] ? f ( x ) = ?2 / 9 若x ∈[3, 6] ?0 其它 , ? 若 k 使得 P ( X ≥ k ) = 2 / 3 , 则 k 的取值范围是_________. 【[1,3]】例 12（对称分布） 设随机变量 X 具有对称的密度函数，即 f ( ? x) = f ( x) ，证明对任意的 a & 0 ，有1 （a） F ( ? a ) = 1 ? F ( a ) = ? ∫ f ( x) dx 2 0（b） P (| X |& a) = 2 F (a) ? 1(c) P (| X |& a) = 2(1 ? F (a)) 1.5 常见连续型随机变量的概率分布及背景 1.5.1 均匀分布及应用 例 13 设 X 的分布函数 F ( x) 是严格单调的连续函数，则 Y = F ( X ) 服从 U (0,1) 。 1.5.2 指数分布的背景及无记忆性 ★ 如果随机变量 X 的概率密度函数为af ( x) = λe? λxI[ 0, +∞ ) ( x)?λe ? λx (= ? ? 0x≥0 x&0)（λ & 0 ）则称 X 服从参数为 λ 的指数分布。★ 指数分布产生的背景与定义（与几何分布的比较）. 例 14假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N (t ) 服从参数为 λt 的Poisson 分布。（1）求相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布函数；2009 年 清华大学 - 16 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计（2）求在设备已经无故障运行 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率。注：无记忆性： P ( X & t + s | X & s ) = P ( X & t ), ?s, t ≥ 0 1.5.3 正态分布与标准正态分布 ★ 如果随机变量的概率密度函数为(x ? μ)2 f ( x) = exp{? } (?∞ & x & +∞) 2σ 2 2π σ 2 其中参数 μ 可为任意实数， 而参数 σ & 0 ， 则称 X 服从参数为 μ , σ 的正态分布， 记为 X ～ 1N ( μ , σ 2 ) ，若 μ = 0 , σ 2 = 1 ，则称 X 服从标准正态分布 N(0,1)。 X ?μ 2 ★ 正态分布标准化： X ～ N ( μ , σ ) ? ~ N (0,1)σ例 15 若随机变量 X ~ N ( 2, σ ) ，且 P{2&X&4}=0.3，则 P( X & 0) =2.【0.2】例 16 (02-1-1(5))若随机变量 X 服从正态分布 N ( μ , σ )(σ & 0) ， 且二次方程 y + 4 y + X = 0 无实根的概2 2率是1 ，则 μ = 2。【 4】1.6 连续型随机变量的相关问题 1.6.1 分布参数的确定 例 17 试确定 a 值 , 使函 数 f ( x) = a e ?3( x ?1) I (1, ∞ ) ( x) 为 pdf . 1.6.2 利用分布计算概率 1.6.3 连续型随机变量与 Bernoulli 试验的结合 例 18 设某电子元件寿命的概率密度为 ? ?a x 2 f ( x) = ? ? ?0 1) 试确定 a 值;【3】当x & 100小时x ≤ 100【100】2) 某台设备装有三个这种电子元件. 问在开始使用的 150 小时中它们中恰有一个要替换和至少有一个要替换的概率是多少？1.7 随机变量函数的分布 1.7.1 离散型随机变量函数的分布 ★ 列表法 1.7.2 连续型随机变量函数的分布 ★ 方法一：直接法; ★ 方法二：公式法（线性函数; 单调函数）【4/9；19/27】定理：设 X 为一连续型随机变量，且具有密度函数 f ( x) ，设函数 g ( x) 对任意的 x ∈ R ，2009 年 清华大学 - 17 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计g ′( x) 存在、连续且 g ′( x) ≠ 0 ，则 Y = g ( X ) 也是连续型随机变量，且有密度函数d ? f ( g ?1 ( y )) | dy g ?1 ( y ) |, α & y & β fY ( y ) = ? 0, 其他 ? 其中 α = min {g ( x)}, β = max {g ( x )} f ( x)&0 f ( x)&0反函数不唯一时，也可变通处理。 例 19 设 rv X 有连续的 pdf f X ( x ) ，求 Y = X2 的 当 X～N (0, 1)时，证明 Y = X2 的? 1 y ?1/ 2 e ? y / 2 , y&0 pdf 为 f Y ( y ) = ? ? 2π ? 0, y≤0 ? 它是Γ(1/2, 1/2)分布（也即是 χ 2 (1) 分布）.例 20 X ~ f X ( x), Y = aX + b( a ≠ 0), 则f Y ( y ) = 例 21(03-4-11[13])1 y ?b fX ( ). |a| a设随机变量 X 的概率密度函数为? 1 ? f ( x) = ? 3 3 x 2 ? 0 ?例 22 (99-4-2(5)) 设 X ~ E (λ ), 则 Y = min{ X ,2} 的分布函数1≤ x ≤ 8其他【[0，1]上的均匀分布】F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y = F (X)的分布函数.A) 是连续函数; 例 23 (02-4-1[8])B) 至少有两个间断点; C) 是阶梯函数; D) 恰好有 1 个间断点 【D】假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为 5 小 时, 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而无故障的情况下工作 2 小时便关机, 试求 该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y).y&0 ?0, y ?5 ? 【 P (min{ X ,2} ≤ y ) = ?1 ? e , 0 ≤ y & 2 】 ?1, y≥2 ?? ? ?1 e 5 , x & 0 解： X ~ ? 5 ， X ~ E( 1 ), Y = min{ X ,2} 5 ? 0 x 0 ≤ ? y&0 ?0, y ? ?5 F ( y ) = P(Y ≤ y ) = P(min{ X ,2} ≤ y ) = ?= P( X ≤ y ) = 1 ? e , 0 ≤ y & 2 ?1, y≥2 ?x2009 年 清华大学- 18 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计第三讲1.二维随机变量多维随机变量及其相关问题1.1 二维随机变量的两种基本形式 1.1.1 二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 联合分布律： P ( X = xi , Y = y j ) = pij ，? pij ≥ 0, ? { pij } 为联合分布律 ? ? p = 1 ∑ ij ? ? i, j 边缘分布律： P ( X = xi ) = ∑ pij ≡ pi ? ， P (Y = y j ) = ∑ pij ≡ p? jji例 1 掷两颗均匀骰子，记第一颗骰子出现的点数为 X，而两颗骰子中点数的最大值为 Y，求(X,Y)的联合分布律. 解：Y X 1 2 3 4 5 6 p? j1 1/36 0 0 0 0 0 1/362 1/36 2/36 0 0 0 0 3/363 1/36 1/36 3/36 0 0 0 5/364 1/36 1/36 1/36 4/36 0 0 7/365 1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 0 9/366 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 11/36pi ?1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1例 2 在 {1,2,3,4} 中任取一数，记为 X，再从 {1,2, L , X } 中任取一数，记为 Y，求(X,Y)的联合分布律以及关于 Y 的边缘分布。 解：? 1 × 1 , 1 ≤ j ≤ i, P ( X = i, Y = j ) = P( X = i ) P(Y = j | X = i ) = ? 4 i j & i. ? 0,2009 年 清华大学- 19 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计Y X 1 2 3 4 p? j例 3 (98-4-12[7])1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/482 0 1/8 1/12 1/16 13/483 0 0 1/12 1/16 5/364 0 0 0 1/16 7/36pi ?1/4 1/4 1/4 1/4 1某箱装有 100 件产品, 其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在随机抽取一件， ?1, 若抽出 i 等品 令 Xi = ? , i =1, 2, 3. 其它 ?01) 求 X 1 和 X 2 的联合分布; 2) 求 X 1 和 X 2 的相关系数. 1.1.2 二维连续型随机变量的联合分布密度与边缘分布密度 ★ ( X , Y ) 为二维连续型随机变量 ? ? 非负可积函数 f ( x, y ) ，使得 ?x, y ∈ R 有F ( x, y ) = ∫x?∞ ?∞∫yf (u , v)dudv .称 f ( x, y ) 为 ( X , Y ) 的联合分布密度函数.★ f ( x, y ) 为联合分布密度 ? ?? ? ∞ ∞ f ( x, y ) ≥ 0 f ( x, y )dxdy = 1 ? ?∫? ∞ ∫? ∞? 2 F ( x, y ) ?x?y∞★ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处连续，则 f ( x, y ) = ★ 重点：边缘分布密度的求法f X ( x) = ∫ f ( x, y )dy ， fY ( y ) = ∫?∞∞?∞f ( x, y )dx注意积分限的确定. 1.1.3 二维连续型随机变量的概率计算公式P(( X , Y ) ∈ A) = ∫∫ f ( x, y )dxdyA例 4(03-1-1(5))设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?6 x 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 ， f ( x, y ) = ? 其它 ?0则 P ( X + Y ≤ 1) =. 【x + y ≤1∫∫f ( x, y )dxdy ={ x + y ≤1}I{0 ≤ x & y ≤1}2 ∫∫ 6 xdxdy = ∫ dx ∫11? x0x6 xdy =1 】 42009 年 清华大学- 20 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计1.1.4 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 ★ 对任意实数 x, y ，称函数 F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) 为二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分 布函数。 ★ 联合分布函数 F ( x, y ) 具有如下性质：（1） F ( x, y ) 是 x 或 y 的不减函数。 （2） 0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 ，且 F ( x,?∞) = F (?∞, y ) = F (?∞,?∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1 。 （3） F ( x, y ) 关于 x 或 y 是右连续的。 （4）对任意 x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 ， F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) ≥ 0 。 注：二元实函数 F ( x, y ) 为某一随机向量的分布函数当且仅当性质（1）―（4）成立。★ X 的边缘分布函数为： FX ( x ) = F ( x,+∞) ； Y 的边缘分布函数为： FY ( x) = F (+∞, y ) 。 例 5 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为1 ? 250 (20 xy ? x 2 y ? xy 2 ), ?1 (75 x ? 5 x 2 ) 250 ? ?1 F ( x, y ) = ? 250 (75 y ? 5 y 2 ) ?1 ? ? ?0 试求 P( X & 2)0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5 0 ≤ x ≤ 5, y & 5 x & 5, 0 ≤ y ≤ 5 x & 5, y & 5 其他【 1 ? F ( 2,+∞) = 1 ? F (2,5) =12 25】1.2 随机变量的独立性与条件分布 1.2.1 独立性的判断（注意与不相关的联系） ★ X 与 Y 相互独立 ? F ( x, y ) = FX ( x) FY ( y )?x, y? pij = pi ? p? j?i, j （离散型）（连续型）? f ( x, y ) = f X ( x) fY ( y ) ?x, y a.e. ? f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ?x a.e.1.2.2 条件分布的相关问题 ★ 离散型：在 {Y = y j } 的条件下，X 的条件分布律为P ( X = xi | Y = y j ) =pij p? j(i = 1,2,L, p? j & 0)★ 连续型：在 {Y = y} 的条件下，X 的条件密度函数定义为f X Y ( x y) =f ( x, y ) fY ( y )( fY ( y ) & 0)2009 年 清华大学- 21 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计★ 注： P ( X ∈ A | Y = y ) = 例 6 (99-1-12[8])∫fAXY( x y )dx设 X 与 Y 相互独立，下表列出了（X, Y）联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中 的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.Y Xy1y21 8y3P ( X = x i ) = p i?x1 x2P(Y = y j ) = p? j例 7 (99-4-12[8])1 8 1 61已知 rv X 1 和 X 2 的概率分布?? 1 0 1 ? ?0 1 ? X1 ~ ? 1 1 1 ? ， X 2 ~ ? 1 1 ? ， ? 4 2 4? ?2 2? 而且 P( X 1 X 2 = 0) = 1. 1) 求 X 1 和 X 2 的联合分布；2) 问 X 1 和 X 2 是否独立？为什么？例 8 设(X,Y)的 pdf 为 f ( x , y ) = c ? exp{? n( x + y )}, 0 & x & y & +∞ ,其中 n 为已知正整数， c 为待定常数. 1) 求 c ； 2) 求条件密度 f Y|X ( y|1) ;23) X 与 Y 是否独立，为什么？n ? ny【 c = 2n ； f Y | X ( y | 1) = ne 解：∞ ∞ ∞, y & 1;X 与 Y 不独立】c ∫ e ? nx dx ∫ e ? ny dy = 1 ? c = 2n 2 ; f X ( x) = ∫ cexp{?n ( x + y)}dy = 2ne ? 2 nx , x & 0;0xxf Y ( y ) = 2n (e? ny?e?2 ny), y & 0;fY | X ( y | 1) = ne n ? ny , y & 1;X 与 Y 不独立例 9 （09-3-22（11））设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f ( x, y ) = ??e ? x , 0 & y & x, 其他. ?0,（1）求条件概率密度 f YX( y x) .（2）求条件概率 P ( X ≤ 1Y ≤ 1) . 解：⑴边缘密度函数为0& y& x ?1 x 【? 】 其它 ?0 e?2 【 】 e ?1 x&0f X ( x) = ∫ e ? x dy = xe ? x0x2009 年 清华大学- 22 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计故当 x & 0 时， fY X ( y x) =f ( x, y ) 1 = f ( x) x0& y& x?1 ? 即 f y x ( y x) = ? x ? ?0⑵ P ( X ≤ 1, Y ≤ 1) =+∞0& y& x 其它{ x ≤1, y ≤1}∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ e0 01x?xdy = ∫ xe? x dx = 1 ? 2e ?101f Y ( y ) = ∫ e ? x dx = e ? y ， y & 0 ，故 P(Y ≤ 1) = 1 ? e ?1 。y于是， P ( X ≤ 1Y ≤ 1) =1 ? 2e ?1 e ? 2 = . 1 ? e ?1 e ?1例 10设? Axy, f ( X ,Y ) ( x, y ) = ? ? 0,问（1） A = ? ，（2）X 与 Y 是否独立？例 110 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1其它，【 A = 4 ；X 与 Y 独立】设? Axy, f ( X , Y ) ( x, y ) = ? ? 0,0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1其它，1 4问 （1）A = ? ， （2） X 与 Y 是否独立？ （3） 条件密度 f X Y ( x 1 ) ， （4）P (0 & X & 2 【 A = 8 ；X 与 Y 不独立； f X Y ( x 1 2) = ? 解：|Y = 1 ) 2?8 x, 0 ≤ x ≤ 1 2 1 1 ； P (0 & X & 1 4 | Y = 2) = 4 】 0 , 其他 ?∫ ∫∞∞?∞ ?∞f ( x, y )dxdy = 1 ? A = 8 ，?4 y 3 , 0 ≤ x ≤1 0 ≤ y ≤1 ，故 X 与 Y 不独立 , fY ( y ) = ? 其它 其它 ? 0, x 0≤ x≤ y ?2 ?8 x, 0 ≤ x ≤ 1 2 , 2 1 y 在 0 ≤ y ≤ 1 时， f X Y ( x y ) = ? ? fX Y (x 2 ) = ? ， 其他 其他 ? 0, ? 0,?4 x ? 4 x 3 , f X ( x) = ? ? 0,P (0 & X & 1 |Y = 1 ) = ∫ f X |Y ( x | 1 )dx = 1 4 2 2 4 0 r 例 12 试证如 rv (X,Y)的 pdf f(x,y)有如下形式，则 X 和 Y 一定独立.? g ( x)h( y ), f ( x, y ) = ? 0, ?其中实数 a & b,2009 年 清华大学1 4a & x & b, c & y & d其它，c & d, 并允许取无穷.- 23 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计例 13 设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为? ? 1 e ? 2 0 & x & 1, y & 0 f ( x, y ) = ? 2 ? 其它 ? 0 2 试求二次方程 u + 2 Xu + Y = 0 有实根的概率。y【 1 ? 2π (Φ (1) ? Φ (0)) 】1 0 1 2π解： P(4 X 2 ? 4Y ≥ 0) = dx ∫0 ∫01x21 2e dy = ∫ (1 ? e?2 0y1? x22)dx = 1 ? 2π ∫e? x22dx = 1 ? 2π (Φ (1) ? Φ (0))1.3 二维均匀分布与二维正态分布 ★ 二维均匀分布 ( X , Y ) ~ U (G ) ： f ( x, y ) = ? | G |? 1 , ( x, y ) ∈ G ? ? ? 0 其它注意矩形上二维均匀分布与几何概型的联系 ★ 二维正态分布 ( X,Y ) ~ N ( μ1 , μ1 , σ 1 , σ 1 , ρ )2 2(σ 1 , σ 2 & 0; | ρ |& 1) ：f ( x, y ) =1 2πσ 1σ 2 1 ? ρ 2exp{?1 ( x ? μ1 ) ( x ? μ1 )( y ? μ 2 ) ( y ? μ 2 ) 2 ( 2 )} ? + ρ 2 2(1 ? ρ 2 ) σ 12 σ 1σ 2 σ22注意各参数的概率意义以及与边缘分布的关系． 例 14 (01-3-12[8])设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G = {( x, y ) : 1 ≤ x ≤ 3,1 ≤ y ≤ 3}上的均匀分布, 试求随机变量 U =| X ? Y | 的概率密度 p(u ) .例 15(02-3-11[8])【1 ? 1 (2 ? u ) ,0 & u & 2 】 42设随机变量 U 在区间[-2,2]上服从均匀分布, 随机变量?? 1 U ≤ 1 Y =? ? 1 U &1 试求(1) X 和 Y 的联合概率分布. 【(2) D ( X + Y ) 】( X + Y 的分布等)例 16?? 1 U ≤ ?1 , X =? ? 1 U & ?12 2设 ( X,Y ) ~ N ( μ1 , μ1 ,σ 1 ,σ 1 , ρ ) , 求证2 2 2 Y | X = x ~ N (μ2 + ρ σ σ 1 ( x ? μ1 ), σ 2 (1 ? ρ )) .1.4 两（或多）个随机变量的简单函数的分布 1.4.1 两个离散随机变量的简单函数的分布律 ★ 列表法：用例子说明。 1.4.2 两个连续随机变量的简单函数的分布律（含卷积公式） ★ 原理：考察两个连续随机变量的简单函数的分布函数，再进行讨论。 ★ 公式： f Y1 ,Y2 ( y1 , y 2 ) = f ( x1 ( y1 , y 2 ), x 2 ( y1 , y 2 )) | J ( y1 , y 2 ) | I R ( y1 , y 2 )2009 年 清华大学 - 24 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计I R ( y1 , y 2 ) 是平面集合 R （ ( y1 , y2 ) 的值域）的示性函数.例 17 设随机向量 ( X , Y ) 的密度函数为? 2e ? ( x + 2 y ) f ( x, y ) = ? ? 0x & 0, y & 0 其它，求随机变量 Z = X + 2Y 的分布函数。0, z≤0 ? 】 ?z ?z ?1 ? e ? ze , z & 0 0, z≤0 ? FZ ( z ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ? ?z ?z ?1 ? e ? ze , z & 0 x+2 y≤ z【 FZ ( z ) = ?例 18 (99-4-11[9]) 设二维 rv （X，Y）在矩形 G = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} 上服从均匀分布，试求边长为 X和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f ( s ) .? 1 (ln 2 ? ln s), 0 ≤ s & 2 【 f ( s) = ? 2 】 0, 其他 ?y1 0 G x=s 2xy=s x?0 s&0 ? 1 (ln 2 ? ln s), 0 ≤ s & 2 ? 1 2 1 FS ( s ) = 1 ? ∫∫ f ( x, y )dxdy = ?1 ? 2 ∫s dx ∫ dy 0 ≤ s & 2; f ( s) = ? 2 s x 0, 其他 ? xy & s ? s≥2 1 ?例 19设相互独立随机变量 X 和 Y 的分布函数分别为 FX ( x ) 和 FY ( y ) , 则(B) FZ ( z ) = max(| FX ( z ) |, | FY ( z ) |) (D) FZ ( z ) = 1 ? [1 ? FX ( z )][1 ? FY ( z )] 【C】Z = max( X , Y ) 的分布函数是: (A) FZ ( z ) = max( FX ( z ), FY ( z )) (C) FZ ( z ) = FX ( z ) ? FY ( z )例 20 从设 X , Y 独立同分布，且 X 的分布为 ? ?2 分布。 。? 0 1? ? ，则随机变量 Z = Max( X , Y ) 服 1? ? 3 3?例 21 设 X , Y 独立同分布，且 X 服从（2，4）上的均匀分布，若 Z = Min( X , Y ) ，则P (3 & Z & 4) =例 22 设 P ( X ≥ 0, Y ≥ 0) =2009 年 清华大学【1/4】3 4 , P( X ≥ 0) = P(Y ≥ 0) = , 则 7 7- 25 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计P (max( X , Y ) ≥ 0) =例 23 (07-1-23)。【5/7】设二维随机变量 ( x, y ) 的概率密度为?2 ? x ? y 0 & x & 1, 0 & y & 1 f ( x, y ) = ? 0 其他 ? （1）求 P{X & 2Y } ； （2）求 Z = X + Y 的概率密度。?2 z ? z 2 , 0 ≤ z & 1, ? 2 【7/24； f Z ( z ) = ?( 2 ? z ) , 1 ≤ z & 2, 】 ?0, 其它. ?1.4.3 混合型随机变量的简单函数的分布 例 24(03-3-12[13])设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为2 ? ? 1 X ~? ? ? 0.3 0.7 ? ? ?而 Y 的概率密度为 f (y)，求随机变量 U= X+Y 的概率密度 g (u).【 0.3 f (u ? 1) + 0.7 f (u ? 2) 】 解：FU (u ) = P(U ≤ u ) = P( X + Y ≤ u ) = P( X + Y ≤ u | X = 1) P( X = 1) + P( X + Y ≤ u | X = 2) P( X = 2)= 0.3P (Y ≤ u ? 1 | X = 1) + 0.7 P (Y ≤ u ? 2 | X = 2)由于 X 和 Y 独立, 可见FU (u ) = 0.3P (Y ≤ u ? 1) + 0.7 P (Y ≤ u ? 2) = 0.3F (u ? 1) + 0.7 F (u ? 2)由此, 得 U 的概率密度为′ (u ) = 0.3F ′(u ? 1) + 0.7 F ′(u ? 2) = 0.3 f (u ? 1) + 0.7 f (u ? 2) . g (u ) = FU1.4.4 几个重要函数的密度公式 1) r.v.的和差积商公式1 ? ∞ |b |★ 设 ( X , Y ) 的联合密度 f ( x, y ) ，则f aX + bY ( z ) = ∫f XY ( z ) = ∫例 25∞∞f ( x, z ?bax )dx = ∫Y1 ? ∞ | x|z f ( x, x )f X ( z ) = ∫ | y | f ( zy, y )dx?∞1 ? ∞ |a| ∞∞f ( z ?aby , y )dy（ a, b 不同时为 0）；设.X、Yi.i.d. ~ U (0,1) . 试求 X+Y 的分布.2) 最大值与最小值的分布 则 M = max( X 1 , X 2 ,L, X n ) ，N = min( X 1 , X 2 ,L, X n ) ★ 若 X 1 , X 2 , L X n 相互独立，的分布函数分别为：2009 年 清华大学 - 26 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计Fmax ( z ) = P( M ≤ z ) = FX 1 ( z ) FX 2 ( z )L FX n ( z ) ； Fmin ( z ) = P( N ≤ z ) = 1 ? [1 ? FX 1 ( z )][1 ? FX 2 ( z )]L[1 ? FX n ( z )] .例 26用两个独立的同类设备 S1 和 S 2 分别组成串联、 并联及备用 （也即冷储备） 系统. 如此类设备的寿命为参数是λ的指数分布，试求系统的寿命分布.3) 分布的可加性与封闭性的讨论( B(n,p), Γ(r,p), N ( μ , σ 2 ) ; χ 2 (n) )2009 年 清华大学- 27 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计第四讲1 数学期望与方差期望, 方差与相关系数1.1 数学期望、方差的定义及含义（离散型、连续型及一般定义)?∑ xi pi , ? i ★ EX = ∫ xdF ( x) = ? ∞ ?∞ ?∫ xf ( x)dx, ? ?∞∞X ~ { pi },（后者绝对收敛）X ~ f ( x).1.2 随机变量函数的数学期望的计算公式?∑ g ( xi ) pi , X ~ { pi }, ? i ★ E[ g ( X )] = ∫ g ( x)dF ( x) = ? （后者绝对收敛） ∞ ?∞ ?∫ g ( x) f ( x)dx, X ~ f ( x). ? ?∞ ?∑∑ g ( xi , y j ) pij , ( X , Y ) ~ { pij }, ? i j （后者绝对收敛） ★ E[ g ( X , Y )] = ? ∞ ∞ ? g ( x, y ) f ( x, y )dxdy, ( X , Y ) ~ f ( x, y ). ?∫? ∞ ∫? ∞ k k ★ k 阶（原点）矩： E ( X ) ；k 阶（中心）矩： E (( X ? EX ) )∞k l X 和 Y 的 k+l 阶混合矩：E ( X kY l ) ； k+l 阶混合中心矩：E (( X ? EX ) (Y ? EY ) )高阶矩存在，则低阶矩必存在（如何证明？） 例 1 (00-3-1(5))设随机变量 X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布; ?1 ? Y = ?0 ??1 ?则方差 DY = _________.例2随机变量 若X & 0 若X = 0若X & 0,【8/9】假设由自动线加工的某种零件的内径 X(以毫米计)服从正态分布 N ( μ ,1) ,已知销售每个零件的利润 T(元)与销售零件的内径 X 有如下的关系?? 1 x & 10 ? T = ?20 10 ≤ x ≤ 12 ?? 5 x & 12 ?问平均内径 μ 为何值时,销售一个零件的平均利润最大?例 3 (01-4-12[8])25 【 11 ? 1 2 ln 21 】设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分 布, 试求随机变量 U = X + Y 的方差.2009 年 清华大学 - 28 -【1/18】版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计例4设(X,Y) 的联合密度函数为? x + y, f ( x, y ) = ? ?0,试求 XY 的数学期望.1.3 数学期望与方差的性质 ★ 数学期望的性质 性质 1： | E ( X ) |≤ E (| X |) .0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,其它.【1/3】性质 2：如果存在 a, b，使得 P ( a ≤ X ≤ b) = 1 ，则 E(X) 存在，而且 a ≤ E ( X ) ≤ b . 性质 3：设 X 1 , X 2 , L X n 是 n 个数学期望有意义的随机变量, c0 , c1 , L , cn 是 n+1个实数, 则 E (c0 + c1 X 1 + L + cn X n ) = c0 + c1 E ( X 1 ) + L + cn E ( X n ) .性质 3：设 X 1 , X 2 , L X n 相互独立，则 E (∏ X ) = ∏ EXi i =1 2 i =1nni2.性质 5：(Cauchy-Schwartz 不等式) 若 E ( X ) & +∞ , E (Y ) & +∞ , 则( E ( XY )) 2 ≤ E ( X 2 ) E (Y 2 ) . 2 2 性质 6： min{E (( X ? C ) )} = E (( X ? EX ) ) .C★ 方差的性质 性质 1：若 EX 存在，则 DX = EX ? ( EX ) .2 2 2性质 2： D (C ) = 0 ,且 DX = 0 ? P( X = EX ) = 1 . 性质 3：设 X 1 , X 2 , L X n 相互独立，则 D ( 例5 a 满足∑ ai X i ) = ∑ ai2 DX i .i =1 i =1nn设随机变量 X 的具有连续的密度函数为 f ( x) ，令 h( a ) = E | X ? a | ，试证明：当P( X ≤ a) =1 时（此时称 a 为 X 的中位数）， h( a ) 达到最小。 21.4 重要分布的期望和方差（熟记） 例6 例7 例8 例9设 X ~ B(n,p), 求 EX 和 DX. 设 X ~ Ge(p), 求 EX 和 DX. 设 X ~ N ( μ , σ 2 ) , 求 EX 和 DX. 设随机变量 X, Y, Z 相互独立，且 X 服从[0,6]上的均匀分布，Y 服从正态分布 ， D ( X ? 2Y + 3Z ) =.设 X ~ P(λ), 求 EX 和 DX.N (0, 22 ) , Z 服从参数为 3 的指数分布，则 E ( XY ) =【0；20】 例 10(00-1-12[8])2009 年 清华大学 - 29 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0& p &1), 各产品合格与否相互独立, 当出现 一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X, 求 X 的 数学期望 EX 和方差 DX.【1 ; p1? pp2】例 11 假设一自动流水线正常工作时，所生产的产品的 1 等品率为 p1 ，2 等品率为 p 2 ，等外品率为 p3 , ( p1 + p 2 + p3 = 1) 。为保障产品质量，厂方规定当生产出 1 件等外品时， 该流水线停工检修一次，求已知首次检修之前共生产了 n 件产品，求 n 件产品中 1 等品件 数的数学期望。【( n ?1) p1 p1 + p 2】1.5 随机变量数字特征的计算方法 1.5.1 定义法： 1.5.2 公式法：（包括全期望公式及混合型等） 例 12 随机变量的随机和的数学期望 例 13 (99-4-1(5))设 X ~ P(λ), E( X -1)( X -2) =1, 则 λ = ________.例 14【λ=1】已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为f ( x) =试求 X 的数学期望与方差。例 15(98-1-13[6])1πe?x2+ 2 x ?1, ? ∞ & x & +∞【 1; 1 2 】设两个随机变量 X , Y 相互独立，且服从均值为 0 ，方差为1 的正态分布，求随机变量 2【1-2/π】X ? Y 的方差。例 16(02-1-11[7])设随机变量 X 的概率密度函数为x ?1 ? cos f ( x) = ? 2 2 ? ? 00≤ x ≤π其他对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于ππ3的次数，求 Y 的数学期望.2【5】2 2 x Y ~ B(4, P( X & π )) ， P( X & π ) = ∫π 1 cos 2 dx = 1 ， EY = DY + ( EX ) =5 3 3 2 231.5.3 随机变量分解法： 例 17 例 18同时掷 n 颗均匀骰子，则 n 颗骰子所出的点数和的数学期望为。【3.5n】一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出, 旅客有 10 个车站可以下车. 如到达一个9 【 10[1 ? ( 10 ) ]】 20车站没有旅客下车就不停车. 求停车的次数 X 的期望 (设每位旅客在各个车站下车是等可 能的, 且各旅客是否下车相互独立).2009 年 清华大学 - 30 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计例 19对目标进行射击，每次一发子弹，直到击中 n 次为止，设各次射击相互独立，且【n (1? p ) p2每次射击击中目标的概率为 p,试求子弹的消耗量 X 的数学期望和方差.例20】一湖中共有 N 条鱼，其中有 M 条鲤鱼和 N ? M 条鲫鱼，若一网打上 n 条鱼，试估计鲤鱼和鲫鱼的平均数目。1.5.4 综合应用题： 例 21 (01-1-12[7])设总体 X 服从正态分布 N ( μ , σ 2 )(σ & 0) , 从该总体中抽取简单随机样本X 1 , X 2 , L , X 2 n ( n ≥ 2) , 其样本均值为 X =数学期望 E (Y ) .例 22n 1 2n X i , 求统计量 Y = ∑ ( X i + X n +i ? X ) 的 ∑ 2n i =1 i =1【 2( n ? 1)σ 】2某寻呼台的来电呼唤时间 T（单位：小时）是一个随机变量，满足?αe ? λt + (1 ? α )e ? μt t ≥ 0 P (T & t ) = ? t&0 1 ? 其中 0 ≤ α ≤ 1, λ & 0, μ & 0 为常数，求 T 的数学期望与方差.【 α + 1?α ;2αλμλ2+（ 2 1 ? α） α 1 ? α 2 】 ?( + ) 2μλμ解：T 的密度函数为 ?αλe ? λt + (1 ? α ) μe ? μt d d d f (t ) = F ′(t ) = P (T ≤ t ) = (1 ? P (T & t )) = ? P (T & t ) = ? dt dt dt 0 ? 所以 ET = tf (t )dt = α tλe ?λt dt + (1 ? α ) tμe ? μt dt = α + 1 ? α ； ∫ ∫ ∫?∞ 0 0 ∞ ∞ ∞t≥0 t&0λ+μET 2 = ∫ t 2 f (t )dt = α ∫ t 2 λe ?λt dt + (1 ? α ) ∫ t 2 μe ? μt dt =?∞ 0 0∞∞∞2α（ 2 1 ? α）λ2μ2λ μ λμDT = ET 2 ? ( ET ) 2 =例 23(98-4-11[10])2αλ2+（ 2 1 ? α） α 1 ? α 2 （ 2α ? α 2 （ 2 1 ? α） ? (1 ? α ) 2 2α (1 ? α ) ） ?( + ) = + ? 2 2 2μλμ设某种每周需要量 X~U[10,30], 而经销商店进货数量为区间[10, 30]中某一整数, 商店每售 出一单位商品可获利 500 元; 若供大于求则削价处理, 每处理 1 单位商品亏损 100 元; 若 供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每 1 单位商品仅获利 300 元. 为使商店所获利润期望 值不少于 9280 元, 试确定最少进货量.每周需求量.解：设进货量为 a,则利润为 【21】?500 X ? 100(a ? X ), 10 ≤ X ≤ a ? 600 X ? 100a, 10 ≤ X ≤ a =? Z =? ? 500a + 300( X ? a), a & X ≤ 30 ?300 X + 200a, a & X ≤ 30故 EZ =∫a101 1 (600 x ? 100a ) 20 dx + ∫ (300 x + 200a ) 20 dx = ?7.5a 2 + 350a + 525030a要求 EZ ≥ 9280 ?2009 年 清华大学62 3≤ a ≤ 26 ，故最少进货量为 21- 31 版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计2 协方差与相关系数 2.1 协方差与相关系数的定义及统计意义 ★ 设（X,Y）是一个二维随机变量，且 X 与 Y 各自平方的数学期望均存在, 则 X 与 YCov( X , Y ) = E[( X ? EX )(Y ? EY )] E[( X ? EX )(Y ? EY )] X 与 Y 的相关系数定义为 rX ,Y ≡ DX DY 性质 1： Cov ( X , Y ) = E ( XY ) ? EXEY的协方差定义为Cov(aX + bY , cU + dV ) = acCov( X ,U ) + adCov ( X ,V ) + bcCov(Y ,U ) + bdCov(Y ,V )性质 3： D ( X 1 + X 2 + L + X n ) =n n性质 2：∑ D( X i ) + 2 ∑∑ Cov( X i , X j )i =1 i =1 j =1 i& jnnn从而， D (∑ ai X i ) = ∑ ai2 DX i ? X1 , X 2 , L X n 两两不相关.i =1 i =1性质 4： | rX ,Y |≤ 1 且 rX ,Y = ±1 ? P(Y = aX + b) = 1例 24(02-4-1(5))随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 Y X 0 1 则 X 和 Y 的相关系数 ρ =例 25(02-3-1(4)) 随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为-1 0.07 0.08 .0 0.18 0.321 0.15 0.2【0】Y X 0 12 2-1 0.07 0.082 20 0.18 0.32 .1 0.15 0.2【-0.02】则 X 和 Y 的协方差 Cov ( X , Y ) =2009 年 清华大学- 32 -版权所有2009 年基础班讲课提要-------概率统计2.2 不相关性与独立性的区别与联系 例 26设随机变量 X 的概率密度为1 ?| x | e , (?∞ & x & ∞) 2 （a）求 X 的数学期望 EX 和方差 DX ； f ( x) =(这分布称为 Laplace 分布)（b）求 X 与|X| 的协方差，并问 X 与|X| 是否不相关？ （c）问 X 与|X| 是否相互独立？为什么？ 例 27 设 θ ~ U (0,2π ) , X＝ cos θ , Y = cos(θ + α ) ，试讨论 X 与 Y 间的相关关系.2.3 协方差与相关系数的性质与计算 例 28(03-3-1(5))设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9， 若 Z = X ? 0 .4 ， 则 Y 和 Z 的相关系数为例 29(03-4-1(6)) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5， EX = EY = 0, EX2.【0.9】= EY 2 = 2 ，【6】则 E( X + Y ) =2例 30(01-1-2(5))将一枚硬币重复掷 n 次, 以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关 系数等于A) C1. B) 0. C) 1/2. D) 1. 【A】 例 31(02-3-11[8])设随机变量 U 在区间[-2,2]上服从均匀分布, 随机变量?? 1 U ≤ ?1 ?? 1 U ≤ 1 , X =? Y =? ? 1 U & ?1 ? 1 U &1 试求(1) X 和 Y 的联合概率分布;(2) D ( X + Y ) .例 32(99-3-11[9])【2】设二维 rv （X，Y）在矩形 G = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} 上服从均匀分布，记?0, 若X ≤ Y , U =? ?1， 若X & Y求 U 和 V 的相关系数 r.?0, 若X ≤ 2Y . V =? ?1， 若X & 2Y【3 3】例 33 (00-3-12[8]) = (00-4-12[8])设 A, B 是二随机事件; 随机变量 若A出现 ?1 X =? ??1 若A不出现 ,若B出现 ?1 Y=? ??1 若B不出现.试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 独立.2009 年 清华大学- 33 -版权所有
更多搜索：
All rights reserved Powered by
文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}