高一数学不等式知识点_中华文本库
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1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。 、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。 不等式的基本性质 基本性质有： 基本性质 （1） （2） （3） （4） 对称性：a&b
b&a； 传递性：若 a&b，b&c，则 a&c； 可加性：a&b => a+c&b+c； 可乘性：a&b，当 c&0 时，ac&bc；当 c&0 时，ac&bc。
不等式运算性质 运算性质： 运算性质 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 同向相加：若 a&b，c&d，则 a+c&b+d； 异向相减： a & b ， c & d => a - c & b - d . 正数同向相乘：若 a&b&0，c&d&0，则 ac&bd。 乘方法则：若 a&b&0，n∈N+，则 a n & b n ； 开方法则：若 a&b&0，n∈N+，则 n a & n b ； 倒数法则：若 ab&0，a&b，则 &
1 a 1 。 b
2、基本不等式 、 定理：如果 a, b ∈ R ，那么 a 定理 推论： 推论：如果 a , b
+ b 2 ≥ 2 ab （当且仅当 a=b 时取“=”号）
& 0 ，那么
a+b ≥ ab （当且仅当 a=b 时取“=”号） 2
算术平均数
a + b ；几何平均数 2
推广： 推广：若 a , b
a2 + b2 a + b 2 0 ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
当且仅当 a=b 时取“=”号； 3、绝对值不等式 、 （1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；
≤ | （2） ||a|-|b|| |a ±b|≤ a|+|b|
4、不等式的证明： 、不等式的证明：
｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a 或 x＜－a}。
(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
5、 不等式的解法： 、 不等式的解法： （1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：
2 ax +bx+c&0 对于任意的 x 恒成立
? a&0 或a = 0检验 ； b 2 - 4ac & 0 ?
a&0 或a = 0检验 b - 4 ac & 0 ? ?
ax +bx+c&0 对于任意的 x 恒成立
（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每 ） 一步的变形都要恒等。 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基 本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系 ① 求一般的一元二次不等式 ax 2 + bx + c & 0 或 ax 2 + bx + c & 0 (a & 0) 的解 集，要结合 ax 2 + bx + c = 0 的根及二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象确定解集． ② 对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a & 0) ，设 ? = b 2 - 4ac ，它的解按照
? & 0，? = 0，? & 0 可分为三种情况．相应地，二次函数 y = ax 2 + bx + c(a & 0) 的 图象与 x 轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元 二次不等式 ax 2 + bx + c & 0 (a & 0) 的解集，列表如下：
含 参数的 不等式
应适当分类讨论。 6 绝对值不等式
2、不等式的解
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&提问时间： 09:25:53
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回答：级别：高级教员 14:50:02来自：山东省临沂市
原不等式可以化为x^2-4ax+3a^2&0
即(x-a)(x-3a)&0
下面对a分类讨论即可
分为三种情况
当a&0时，3a&a,原不等式的解集为{x|a&x&3a}
当a=0时，原不等式为x^2&0无解
当a&0时，a&3a,原不等式的解集为{x|3a&x&a}
提问者对答案的评价：
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高中数学典型例题解析（第五章不等式2）
三、经典例题导讲
[例1] 已知a&b(ab),比较与的大小.
错解：&a&b(ab)，&.
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：，又&a&b(ab)，
(1)当a、b同号时，即a&b&0或b&a&0时，则ab&0,b－a&0, ,&.
(2)当a、b异号时，则a&0,b&0, &0,&0&.
[例2] 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
错解：所以选B.
错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.
正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而＝，由当ab时，a+b&2,两端同乘以，可得（a+b）·＞2ab,&＜，因此选D.
[例3] 已知：a&0 , b&0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.
(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.
正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
&&&&&&&&&&&& =
(1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2=&得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4=&(当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是.
[例4] 已知0 & x & 1, 0 & a
& 1，试比较的大小.
&&&&& ∵0 & 1 - x2 & 1,& &&&∴
&&&&& ∵0 & 1 - x2 & 1,& 1 + x
&&&&& ∴&& ∴
解法三：∵0 & x & 1,& ∴0 & 1 - x & 1,& 1 & 1 + x
&&&&& ∴左 -
&&&&& ∵0 & 1 - x2 & 1, 且0 & a &
[例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2
+ d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证：证法一（分析法）∵a, b,
c, d, x, y都是正数
&&&&&&&&&&&&&&
∴要证：xy≥ac + bd
&&&&&&&&&&&&&&&&
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
&&&&&&&&&&&&&&&&
即：(a2 + b2)(c2
+ d2)≥a2c2 + b2d2
&&&&&&&&&&&&&&&&
展开得：a2c2 + b2d2 +
a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2
&&&&&&&&&&&&&&&&
即：a2d2 + b2c2≥2abcd&&&&
由基本不等式，显然成立
&&&&&&&&&&&&&&
∴xy≥ac + bd
证法二（综合法）xy =
&&&&&&&&&&&&&&&&
证法三（三角代换法）
&&&&& ∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina,&
y2 = c2 + d2&&&&&&&&&&&&&&& c = ysinb,&
&&&&&&&&&&&
∴ac + bd = xysinasinb
+ xycosacosb = xycos(a -
[例6] 已知x & 0，求证：
证：构造函数&则， 设2≤a&b&
显然& ∵2≤a&b&& ∴a - b
& 0,& ab -
1 & 0,& ab & 0& ∴上式 & 0
(x)在上单调递增，∴左边
四、典型习题导练
1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
2.已知a,b,c,d都是正数，求证：
3.已知x & 0 , y & 0，2x + y
= 1，求证：
4.若，求证：
& 1，y & 1，求证：&
6．证明：若a & 0，则
§5.4不等式的应用
一、基础知识导学
1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么.
2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.
3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.
二、疑难知识导析
不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.
2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”
为模型的新的形式.
三　经典例题导讲
[例1]求y=的最小值.
错解：&y=＝2
y的最小值为2.
错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.
正解：令t=,则t,于是y=
由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.
[例2]m为何值时，方程x2+(2m+1)x+m2－3=0有两个正根.
错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.
错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.
正解：由题意：
因此当时，原方程有两个正根.
[例3]若正数x，y满足，求xy的最大值．
解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以
当且仅当6x=5y时，取“=”号．
因，则，即，所以的最大值为.
[例4]&已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．
解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则
y=abc，2ab+2bc+2ac=S．
y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）
当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值
答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.
说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.
四、典型习题导练
1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
3.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．
4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相
交，试证明对一切R都有.
5．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
5.5& 推理与证明&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
一、基础知识导学
1.推理一般包括合情推理和演绎推理.
2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.
3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.
8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.
9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.&
11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.
12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.
13.数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立.
14.数学归纳法的步骤：
&&& （1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；
&&& （2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．
二、疑难知识导析
1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.
三、经典例题导讲
[例1] {}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)写出数列{}的前3项;
(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);
错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.
下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是
=4-2.& (∈N).
①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有
将=4-2代入上式，得，解得
将代入，化简得
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.　
正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.
猜想数列{}有通项公式=4-2.
下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是
=4-2.& (∈N).
①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有
将=4-2代入上式，得，解得
将代入，化简得
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
[例2]　用数学归纳法证明对于任意自然数，
错解：证明：假设当（N）时，等式成立，
　　　　　即，
　　　　　那么当时，
　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　这就是说，当时，等式成立．
　　　　可知等式对任意N成立．
错因在于推理不严密，没有证明当的情况 ．
正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．
　　　　　（2）假设当（）时，等式成立，
　　　　　即，
　　　　　那么当时，
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　这就是说，当时，等式成立．
　　　　　由（1）、（2），可知等式对任意N成立．
[例3]　是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
　分析　本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．
　　　　　　，
　　　　　　，
　　　　……
　　　　猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：
　　　　（1）当时，，能被36整除．
　　　　（2）假设当，（N）时，能被36整除．
　　　　那么，当时，
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　由归纳假设，能被36整除，
　　　　当为自然数时，为偶数，则能被36整除．
　　　　∴ 能被36整除，
　　　　这就是说当时命题成立．
　　　　由（1）、（2）对任意，都能被36整除．
　　　　当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．
　[例4] 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．
　分析 本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．
解：解法一　 与（，）联立，解得
　　直线的方程为，　令，得，所以点
　直线的方程为与联立，消元得（），解得，　所以点（，）．
直线的方程为，
　令，得，所以点　同样可求得点（，0）
　　　　　　……
　　由此推测（，0），即
　　　用数学归纳法证明
　　　（1）当时，由点的坐标为（，0），
　　　　即，所以命题成立．
　　　（2）假设当时命题成立，
　　　　　即，0），则当时，
　　　　　由于直线的方程为，
　　　　　把它与（，）联立，
　　　　　消去可得（），
　　　　　∴
　　　　　于是
　　　　　　即点的坐标为（，）．
　　　　　　∴ 直线的方程为
　　　　　　令得，
　　　　　　即点的坐标为（，0）
　　　　　　∴ 当时，命题成立．
　　解法二　设点，的坐标分别为（，0）、（，0），
　　　　　　建立与的递推关系，即，
　　　　　　由数列是等差数列，且，公差
　　　　　　可求得（），．
用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．
[例5] 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．
证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2
又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立
②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个
部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆
交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k
个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平
面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2
即n＝k＋1时命题成立．
由①②可知对任何n∈N命题均成立．
说明:& 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．
&[例6] 已知n≥2，n∈N
②假设n=k时，原不等式成立．
由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．
四、典型习题导练
1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）=&(N)”，
当=1时，左边应为____________.
2.已知数列{&}的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.
3.已知数列
4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.
&&&& 5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.
不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，
这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论
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