大一高数下册学霸笔记入门题，求学霸讲解
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时间：2017-10-10 13:45
考完啦！学霸都喊这两科难，你敢说容易分数肯定不低！（附老师详解）
终于考完啦！广州日报记者 王维宣 摄考完了有的学生哭了。广州日报记者 王维宣 摄很多考生笑了。广州日报记者 陈忧子 摄高考结束，学生们特别激动。广州日报记者 陈忧子 摄高考进入第二天，天气变成这样。不少学生今天变“赤脚大仙”奔赴考场，可是执信这些师兄师姐真是“给考生爱的么么哒”呀！让人倍感温暖有木有？小参（广州参考ID：gzcankao）继续来请资深老师给大家点评今年考卷的难易程度。总体来说，今年，感觉容易的同学，成绩一定错不了。昨天高考首场考试，大家出考场的表情基本上都是如上图，简直成了人生大赢家。可是考完数学，大家的表情就“丰富”起来。数学到底是给人怎样的感受呢？数学&理科数学：华附学霸叹“一言难尽”刚走出执信考场，理科考生范同学就大呼：“难，很难，变态难！”他说，这次的考题不仅比往年的全国卷更难，而且比模拟时做过的广东卷要难上“两三个档次”。“我只能勉强把卷子写满。”连数学在年级名列前茅的学生都大吐苦水，函数大题的第一小问，在往年都是“送分题”，但现在却可以拿来做“压轴题”。“难度比以往确实上升，计算量大，概率题都把我绕晕了，时间特别紧。”来自华附的汤同学评价今年理科数学时，表情凝重，连连摇头，只意味深长地说了一句“一言难尽”。增城中学一位考生说，考完后交卷离场，同场的一位女生就哭出来了。考完数学还笑成这样，这绝对是赢家。（广州日报记者 杨耀烨 摄）广东数学平均分会比去年平均降约15分广东省数学特级教师、中山市桂山中学校长吴新华说：全国卷比广东卷更难，考前老师们就已有预判。按照今年的考卷情况，估计广东今年数学平均分会比去年平均下降15分左右。“试卷题目质量不错，题目比较新颖，区分度估计比较高。”吴新华说，今年广东学生所考的全国卷的大部分题目虽然中规中矩，但运算量较大，没有特别容易的送分题，中等难度的考题偏多，多数考生能够做完100分左右的题目，要想考到130分很难，140分以上就更不容易。他预计能考出90-105分就很不错了。老师点评：与广东卷比 难度提高不少立尚教育高考研究院数学老师马健伦：2016年新课标卷理科遵循了往届全国卷命题原则，大部分属于常规的题型和难度。同时，在立体几何、线性规划等题目上进行了一些创新。而大题命题则相对稳定，解三角考查了基本的边角转换，立体几何考查了面面垂直、二面角余弦值，概率则考查了应用类型的分布列问题，解析几何考查了轨迹方程、面积最值问题。总体来说，根据全国卷难度而言不算太难，较以前广东卷难度而言，难度提高了不少。老师群发短信让家长安慰孩子&&“下午的数学题很难，据有经验的老师估计，全省平均分会非常低，这给我们孩子们的打击比较大，请各位家长今晚务必安慰自己的孩子，考一科丢一科，我难人亦难，调整好心态，准备明天的考试，考好后两科是王道。明天考试过程中务必保证基础题的得分，务必不留空白。”高考第一天结束后，广州第七中学有老师群发短信让家长安慰孩子，让家长请告知孩子，“不为题易而喜，不为题难而忧”，只有平和的心态才能让人最放松，从而发挥出人的最大潜能。&文科数学：侧重考察数学思维能力对于文科考生而言，文科数学题难度适中，但题型相对比较“怪”，“以前几乎没有考过立体几何作图题，这次就要求作图并写出详细作图过程。”考生小郭说。“我觉得不是很难。”暨大附中的詹同学一脸轻松地说。“就是有一道作图题，题型非常新，我以前从来没有接触过，没有攻下来。”虽然学生们纷纷抱怨数学题“不好做”，但在一旁作为“过来人”的家长们反而不担心，“如果题目比较难，对优秀的学生是有利的；倒是题目太简单，人人都会做，优秀的学生反而会粗心失分。”老师点评：概率是一个坎立尚教育高考研究院数学老师马健伦：2016年新课标卷文科大部分是学生在高三平时的训练中常见的类型。概率则查了应用类型的问题，在平常练习中相对少见，但这个是全国卷文数概率大题常考内容，如果学生平时没有经过训练，这道题是他们的一个坎。这套题的特点是，一、主干知识基本都有考查，题型风格变化不大。二、入口宽，障碍设计巧妙，难度适中。三、部分题目障碍设计巧妙，侧重考查学生的数学思维能力。综合&理综：有不少考生蒙圈了今天上午综合科考完，在执信中学考场，理科考生认为理综考试的难度与预想中全国卷的难度相差无几。“没有送分题，肯定不简单，但比最难的真题容易。”难度适中，题型较新颖是考生们的普遍感觉。不过，大多学生称，在经历过前一天“魔鬼”难度数学的洗礼后，理综不算难。“如果数学难度为10，理综难度在8左右。”考生小麦说。但考题中体现出全国卷综合性强、题型灵活的特点，例如物理大题考的是喷泉如何能物体浮起来。而且，多选题“悄悄”增加了一题，有学生还专门为此问监考老师是否出现印刷错误。而在华师附中参加考试的考生中，许多理科生反应理科综合比较难，其中一道物理题材料跟喷水有关，有考生表示连要考什么知识点都不知道，整道题空着。“我看到那道题就懵圈了，你知道那种一脸懵圈的感觉么？”考生小刘表情夸张地说。在得知很多考生反应这道题很难后，她才舒了一口气。广雅中学考场多名表示，理综中生物内容很难，跟以往训练做的模拟卷不太一样，“一下子懵了！这次试卷上考的生物都是设计实验类的题目，画了几幅图，让设计实验，比较难。过去只是填空，现在，划了几条线让填写。和平时做不过的题目跨越性太大了，有些摸不到北！”南海中学一位考生说。理综物理点评：整体难度比去年略低立尚教育高考研究院物理名师陈富国：选择题依旧是四电四力的分布。可喜的是，今年难度整体降低，不仅对理解能力的考查难度降低了，对应用数学处理物理问题的能力难度也降低了。例如地17题的万有引力定律与航天，相比去年和前年难度降了。第14、18、20题更是侧重于考查基础知识，犹如前几年的广东卷。实验题依旧是一大一小，小题考查纸带问题，但是大题（第23题）非常创新，组装一个由热敏电阻控制的警报器，重点考查学生达的迁移能力。计算题第24题考查连接体中的安培力与受力分析，难度比去年略大。第25题是由四个模型组合而成的综合题，考查到了斜面受力与匀变速直线的规律、弹簧模型、绳模变形和平抛运动，要求有较高的推理能力、分析综合能力。选修的3-5的选择题不难，考到最简单的光电效应强度和频率的区别。但是计算题的动量守恒就比较变态，运用到物理建模的思想，是拉分的关键点。卓越教育：难度比去年广东卷提升卓越教育高考改革研究委员会认为就整体而言，难度比去年广东卷提升，但低于名校的模拟考试。考查范围和形式有较大的变化，更强调考生的推理和知识综合应用能力。&物理：物理对数学要求更高&据考生反映，整体难度相对去年新课标1卷简单一些。若将其与广东卷对比，由于某些题没有配图，导致学生想象不出物理过程。同时计算量略大导致时间吃紧、心理紧张。&卓越教育高中物理王启勇老师认为：1、选择题部分：如果考生在高一高二阶段就已经充分记忆一些二级结论，如变压器的等效电阻公式，加速电场的速度公式等，那就可以大大节省做题时间；2、实验题部分：电路实验涉及很“创新”，且每个填空基本都暗含数据计算和分析，考察学生思维的缜密性。3、计算题部分：第25题第（3）问，极具选拔性的，以建立几何情景为前提，也许很多学生连这一步都跨不过。4、选做部分：选修3-5：计算部分难度来源于题目没有图，理解题意难度大，另一部分难度来源于考察了平时不太常用的动量定理。怕就怕学生之前一直靠背模型解决此部分题目。考完啦！广州日报记者 陈忧子 摄&文综：前三道题和广东有关“没有考偏题怪题，做起来还算得心应手。”华师附中的邱同学在考完文科综合后，感觉比较满意。今年文科综合的政治题考到了“一带一路”，还有是分析之前网上出现的否认邱少云、狼牙山五壮士等英雄事迹真实性的英雄虚无主义。历史题则有分析清朝人口快速增长的原因。“感觉比之前练过的2015全国卷真题简单，题目都比较正常。”邱同学说。而在执信中学的考生小张说，最有意思的历史考题要求从生态史观的角度分析清代的人口膨胀问题。文综地理点评：难度中等偏上立尚教育高考研究院地理首席顾问、宜邦教育负责人胡亚峰：本次文综试卷地理难度中等偏上，充分反映了全国卷和广东卷的区别，卷面上看似形式和材料简单，但真要得高分却不容易。选择题部分放弃了一惯学生以为的难点-地球运动和天气气候，却同时在人文地理的区位因素及其发展变化。进一步地明确了高中地理课程的指导核心。综合题部分题型与去年一致，六道成因分析题和一道建议启示题。考查的重点侧重于分析材料、提取有效信息和对知识的迁移能力，并且综合分析区域各要素的相互关系。卓越教育：更侧重对调用知识能力的考查卓越教育的老师认为文综就整体而言，难度比广东卷大。如去年全国卷文综全卷难度系数为0.47，广东卷全卷难度系数为0.54，预计今年情况与往年持平。今年考卷更侧重对调用知识能力的考查，需要考生有更扎实全面的基础知识储备。地理：首题难度降低&&佛山陶瓷入题卓越教育高中地理组崔嘉宝老师认为：今年高考地理命题延续了全国卷“联系实际接地气，知地明理重逻辑”的试题特点，选择题整体较去年简单，材料题立足区域，注重问题的探究性。与往年文综第一题为难度较大的自然地理题不同，今年地理第一道选择题为难度较低的区域地理的题目，题目材料为广东省佛山市的产业转移情况，对广东考生而言内容亲切，更有利于考场发挥。材料题以“文——图——问”的题目结构和图文结合的形式，考查广西茉莉花种植和勘察加半岛的自然地理问题。难度较去年广东单独命题大。需要考生有较强的地理空间想象力和地理综合分析能力。&历史：命题形式套路深&&人口话题呼应热点今年全国卷历史部分的命题，保持了以往命题风格，考查涵盖了各断代史和政治、经济、文化等内容。命题注重能力的考查，对考生的材料分析能力和知识调用能力提出了较高的要求。卓越教育高中历史组谭淑妍老师：在选择题的知识考查上，今年的命题不回避核心考点，如第一道选择题就是去年全国卷材料题的考点复现，对平日训练有素的考生而言，较好作答。两道材料题均对政治、经济、文化的知识点进行了立体考查，这要求了学生在备考阶段必须搭建完备的知识结构。在此基础上，40题选取了“人口”作为命题话题，呼应了当前社会有关开放二胎、人口老龄化等热点，体现了全国卷鼓励学生用历史知识指导生活实际，充分体现了全国卷命题的开放性。&政治：全卷弘扬主旋律&&班会发言题目新&今年文综政治部分突出了时政热点和社会主义核心价值观的引领，新型智库建设、“一带一路”、英雄人物等作为背景材料考查，比往年广东卷更具“主旋律”。&&&&&&&&&与往年广东卷经济图标材料题不同，今年高考材料题均以文字材料的形式呈现。以“一带一路”和“守护英雄”为背景材料，需要考生有较强的政治素养和综合调动运用能力，难度较去年广东卷大。执信中学，第一位走出英语高考考场的考生，她说自己从来没试过提早交卷，这次考完了就想试一下。广州日报记者 苏俊杰 摄英语&考生：没有偏题怪题 相对轻松“英语题出得还是比较正常，没有偏题怪题，尤其是作文，考的是书信，也是我们重点练过的。”华师附中的小温走出考场后，表情轻松。由于第一天语文作文考漫画出乎很多人意料，许多考生担心英语作文也会延续语文考卷“推陈出新”，拿到试卷后，不少考生都长舒了一口气。小温还告诉记者，作文题的大概内容是：“你想应聘暑期工，需要写求职信。现在你想请外教帮忙修改这封求职信，请给外教写一封请求的信件。”这些年，全国卷英文作文考的大多是书信，因此这次作文题对于众多考生来说，确实是意料之中。&点评：整体难度适中 完形填空与作文易失分立尚教育高考研究院英语总监Cyrus陈智超：纵观2016年全国高考新课标英语卷I，总体来说试卷难度适中，接近历年平均水平，符合“大纲”和“课标”的要求。考题整体比较灵活，同时选材广泛、贴近生活，具有较强的时代感。题量适中，梯度明显，选材更丰富、更富时代感，具有较高的区分度、可信度和有效度。试卷重点考察语言交际能力，立足语篇，突出语境，试卷内容突出语用（language use）的理念。试题选材贴近生活，富有浓厚的时代气息（如阅读理解，书面表达等）语言材料真实，文体多样，题材广泛。&今年高考英语试题在命题上依纲靠本，在知识点的分布、试卷的词汇量以及篇幅上与往年水平基本保持一致，且在保持中有发展，只是考查得更细化了。各题型中规中矩，强调基础、实用，对平时教学中的重难点知识做了全面考查，避免了偏、难、怪的现象，对高中英语教学起到良好的指导作用。卓越教育高考改革研究委员会英语科组长何丹老师：“全国卷英语更加关注语言基础知识，篇章层面的考查相较于广东卷更少。从选材来看，全国卷凸显了社会主义核心价值观，完形填空的主题‘一个见义勇为的司机’体现尤为明显。另外，阅读D篇“沉默的含义”以及写作都体现了对跨文化交际的重视，2017年的考生要特别加强这一方面的训练。”&&完形填空：难度基本与2015年新课标卷I持平&立尚教育高考研究院首席英语顾问老师林晓东：完型填空难度基本与2015年新课标卷I持平，讲述了一个英雄司机Larry灭火救人的故事。词汇依然为完型填空高频词汇，以必修1-必修5课后词汇为主。今年着重考查考生对语篇、语境和语意的深层理解能力，往后高考命题会越来越注重考查通过对上下文的理解来选择最佳答案，要求考生在掌握文章主旨大意的基础上，正确理解上下文语境和逻辑关系，准确把握词汇在语篇层面的意义。阅读理解词汇围绕高考3500必背词，文章篇幅适中，长难句较少。四篇阅读一共十五题，其中细节题占了八题，主要考查六个W一个H；推断占了五题，大意题和猜词题各占一题。记叙文，议论文，说明文比例均等，突出考查学生分析问题和解决问题的能力，考查层次整体上有所提高。此外，阅读理解在考查学生对语篇整体理解能力的同时，还考查考生快速阅读能力、跨文化交际意识和阅读策略的掌握等。何丹老师表示，阅读理解说明文居多（2说明文，1记叙文，1议论文），难度偏易，以细节题为主，定位好文章就可以迅速找到答案；话题多样化，考查学生对社会现象及文化差异的理解。 & & &语法填空：基础扎实同学可全对在语法填空上，陈智超认为：“语法填空可以讲是此卷难度最低的题型，是讲成都的大熊猫是其吸引人之处。6个提示空都是初中词汇，考查词性变形，名词单复数，主被动等基本语法能力，比广东卷的难度要求降低不少，基础扎实的同学应该能全对。”&短文改错：今年考题为常见考点&短文改错尽管是考生的失分题，但陈智超表示，今年的考题还是常见的考点，而且出题规范10处错误包括8个错词、1个多词、1个少词。连词的错用；如考题第一句My uncle is the owner of a restaurant close to that I live.‘that’应改为where；冠词的多余、缺失或错用；如in the short period of time, the应改为a;以上两句都是高一的语法知识。此外还有，名词单复数的错误；动词时态和语态的错误、非谓语动词的误用；形容词和副词的混用；介词的多余、缺失或错用；序数词和基数词的误用；代词的格与数的错用。短文改错都有其答题规范与特点。&书面表达：语言积累弱考生易失分&书面表达题目是说李华暑期想去一家外资公司兼职，已写好申请书和个人简历。给外交Ms.Jenkins写信，请他帮你修改所附材料的文字和格式。本年考的是求助信，平时我们备考做得很多类型之一。但今年题目给的内容较少，更加考察学生们遣词造句，添加合理细节内容，书信表达的得体性。对此，林晓东表示，考生除了会运用I would appreciate it if you could等高频句式外，写出地道如Would yoube so kind as to offer me some practical advice on my application and personalresume.相信评分老师会眼前一亮。不过，林晓东也指出，由于今年的作文题目相对简要，只给了题干，没有像往年的全国卷那样子给出3-4点的小要求，所以对于语言积累较弱的考生会不利于发挥。&何丹老师表示，书面表达依然是老套路“书信体裁“，具体内容是请外教写一封求助信。出题形式较以往新颖，且题目给出的提示信息少，不少考生有无从下笔的感觉。另外由于题干包含“申请书和个人简历”等字眼，审题难度较大，学生易判断错误交际功能。广东省亲历了全国卷后，建议升高三的同学加强短语的积累，夯实语言基础知识，同时增加对文化差异等知识的涉猎，提升自己的跨文化交际能力。文：广州日报记者 刘晓星、申卉、肖桂来部分资料据南方网、信息时报
广州参考编辑 崔素华
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登录百度帐号推荐应用各位久等了，我家网络昨天欠费给断了，所以准备上传的时候没网了，今天花了一天时间上传了所有教材，大家可以在我的百度云盘下载自己需要的书：&br&值得说明的是&b& 近300本没有仔细分类的书都在“数学专业”的文件夹下面，&/b&因为有一些科目已经学过 了我就没做归类整理，所以大家要找的书在这门课的名字的文件下面没有的话一定是在“数学专业”文件夹下面。大家请自己找一找。&br&&a href=&///?target=https%3A///share/home%3Fuk%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/share/home?uk&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&这两个应该有一个能用，大家试试&br&如果得好的话请给我点个赞那。&br&&br&====================================================================&br&泻药。我学习数学课程的时候也有过相同的问题，为什么仅仅是求导非要说成微分，还要写成dy=？dx的形式，为什么一个简单的向量是不是平行一定要先讲向量空间的定义，性质，定理，最后证明两条线确实平行。 这些我觉得都可以用通俗易懂的话来讲明白，但是书上实在是讲太复杂。一直不明白为什么要这样做。这是我五年前(请不要纠结我现在几年级，偷笑)刚踏入大学校门的时候学习数学最大的疑问。&br&&br&我认为大家读不懂教材最大的问题在于教材不适合学生。孔子两千年前就说了要“因材施教”，一本好的教材可以让你受益终生，一本晦涩的教材却可以让你在毕业后回想起这门课还有心理阴影。而教材内容的编写又由编写者的思维方式而异。 现在主流的编写方式有两种，一种是欧美式的一种是苏联式的。 苏联式教材的特点是知识点密，例题少，内容跨度大，这种教材一般是配合老师的讲解来的，教材作为上课内容的浓缩，是用来辅助阅读的，在这种体系中老师上课内容才是最主要的，教材则是上课内容的延伸，这一点在我之前的回答里有介绍。而欧美式教材的特点则是教材教材内容较简单，习题和例题多，后续课程较多复习前面的基础内容，定理和证明思路尽量简明，而且一般教材本身不会涉及太多超过本身教材的内容，这种教材读起来会轻松一些，但是同样两本书，苏式教材的内容要翔实得多。&br&&br&如果学生在开始这门课的时候采用了苏式教材，而老师讲课又不够好，就会让学生疲于应付，导致上课听不懂，课后看不懂书，最后对这门课程失去兴趣。欧美式教材的入门会比苏式教材容易很多，比如同样学习实变函数，那汤松的教程对入门者友好程度完全不及陶哲轩的《实变函数教程》。&br&&br&至于说到中国的教材特色，我认为是两者兼具，汲取各家之长，早期中国教材用苏式思维编写，而后期则是欧美式居多。比如大家有空可以搜搜陈建功老师写的实变函数，那就是早起我国教材的特色，跟苏联那种大部头教材非常相似。九十年代则两者兼顾。二十一世纪之后的数学教材则以欧美式居多。&br&&br&以下我分别举一些例子，并且阐述一下我的观点&br&&br&&br&&b&早期国内数学教材的编写受苏联早期教程编写影响很大。&/b&苏联的教材，比如戈尔金茨的《微积分教程》，柯斯特利金《代数学》，科莫戈洛夫《泛函分析》，巴赫瓦洛夫《数值分析》以及大家经常阅读的卓里奇《数学分析》等等，这些书内容在现在看来也不过时，比如巴赫瓦洛夫这个数值分析，我们国内好的数值分析教材应该就是李庆扬老师的《数值分析》，现在已经是第五版了，我看了第四版和第五版，我认为这本书就是李庆扬老师试图从巴赫瓦洛夫的书上先汲取营养然后消化好了再写成书给大家看，我认为这本书的源头是巴赫瓦洛夫那本。 又卓里奇这本《数分》到现在也是我们国内很多大学教材。戈尔金茨那本教程基本是国内大多数高等数学和数学分析的源头，因为五十年代向苏联学习，遂被翻译引入国内作为教材学习，很多高等数学的教材(特别是九十年代之前写的)基本都和这本书布局内容相似。俄罗斯就不用说了，俄罗斯数学学校到现在大部分都还推荐看这些老书，记得国内大家熟悉的不熟悉的都在我们各种科目的推荐阅读书单中出现过，但是其中我有仔细读的只有个位数，其他都是翻一翻做参考，遇到不懂的也是第一时间翻国内各大学编写的同类教材。苏联的这些书虽然内容翔实，编写用心，知识点密，内容排列紧凑，但是如果没有老师带的话自己看会很难读下去，原因是&br&1.语言不通俗，通篇都是符号，而且许多超纲内容，比如讲高等代数的突然出现代数簇，讲数学分析的突然出现什么流形，同胚，都不知道这些怎么来的。这些书一般不适合初学者阅读。&br&2.反馈机制缺乏，学到了新东西没有明确的反馈，让人觉得读起来索然无味。&br&3.教科书上习题，例题极其少而且难度大，而专门配套的习题册只有答案没解答过程。我们班的毛子同学当年人手一本中文的吉米多维奇解答册，遇到看不懂的就会问我写的什么。&br&苏联的教材编写规范由于早期向苏联学习的时候被引入，虽然后续引入了大量欧美教材，但是按照苏式教材编写的课本依然是非常常见的，甚至前段时间还有说华科大准备用柯斯特利金的《代数》做课本，尽管这些教材已经不符合现代教学的需求。&br&&br&例如，李庆阳《数值分析》（第四册），第五章讲常微分方程数值解的内容，&br&&img src=&/v2-89bbafe7eedf_b.png& data-rawwidth=&734& data-rawheight=&979& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&734& data-original=&/v2-89bbafe7eedf_r.png&&大家自行对比第五版会发现比较难懂，而且引言很少，用的诸如“差分格式”，“欧拉格式”等奇怪的名字都让人不明所以。&br&&br&又例如那汤松的《实变函数》是前苏联非常出名的一本实变函数教材，但是其展开思路在现在看来很不合理，比如&br&&img src=&/v2-2ee6a60b920db2cbd6740cc99bbe4cad_b.png& data-rawwidth=&678& data-rawheight=&774& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&678& data-original=&/v2-2ee6a60b920db2cbd6740cc99bbe4cad_r.png&&&br&&img src=&/v2-1e8ce020aa66fcf28f2443_b.png& data-rawwidth=&702& data-rawheight=&813& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&702& data-original=&/v2-1e8ce020aa66fcf28f2443_r.png&&&br&前面两章讲了一些点集和无穷集合的性质，第三章开始讲正文，按理说这时候应该先给个引言，让大家了解一下为什么要引入可测集合，为后面讲可测函数和勒贝格积分打基础，结果上来直接就是引理，证明，定义，引理...&br&&br&又例如Н.Н.Привалов的《复函数引论》前面两张讲简单的复数和运算，第二章也是正文第一章内容，开始引入复变函数，大家自己看看是否能看得进去：&br&&img src=&/v2-fda2f68eb2e8c43d71cd84_b.png& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&753& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&/v2-fda2f68eb2e8c43d71cd84_r.png&&&img src=&/v2-a51d13eddbf6_b.png& data-rawwidth=&615& data-rawheight=&794& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&615& data-original=&/v2-a51d13eddbf6_r.png&&&br&&br&&b&由于79年改革开放后引入大量欧美教材，其中许多重要的编写经验也慢慢被我国青年学者所采纳。&/b&现在许多国内教科书已经不仅仅是枯燥的内容，而还富有一些思考性的例题，难度泾渭分明的作业题。读这些教材会让你觉得非常有意思，我认为最典型的例子就是陶哲轩的《实变函数》上下册，里面每学完一节会留难度不等的自测题，而且内容非常口语化，试图让所有人都能明白在学什么，十一本非常好的教材。但是我对欧美数学教材并不熟悉，所以这里我就不多举例了。 但是这种编写模式会带来一个结果，同样两本厚度的书，越考虑学员感受的越考虑反馈机制的书则干货相对会越少。老毛子这么写书，因为五十年代后开启的冷战让他们内心很有压力，所有的大学生都是按照专家去培养(要知道苏联时期是没有四年本科制的，所有大学一律五年，算是冷知识吧哈哈)所以编写教材方面很少考虑学员的感受，甚至时至今日我在俄罗斯学习数学也是这种感觉，学校就是一副爱学不学，不学滚的态度。 而且班上基本上到大四现在有希望顺利毕业的不到大一入学新生一半。&br&&br&例如，欧美教材G·伯克霍夫的《近世代数》中，第一个定理的出现是在第七页，前面都是讲例题，从最基础的方面引入直观的内容&br&&img src=&/v2-3cbd160de4db9acfd9a02741cddf9247_b.png& data-rawwidth=&928& data-rawheight=&815& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&928& data-original=&/v2-3cbd160de4db9acfd9a02741cddf9247_r.png&&&br&&br&例如，李庆阳《数值分析》（第五版）的第五章关于常微分方程数值解法一部分，就已经非常有欧美教材的感觉了，大家自行对比上面贴的第四版的同一章节会发现第五版很亲切，难度布置合理，最重要的是引言让你明白这里在讲什么：&br&&img src=&/v2-88e30dc24b3d34bc2a4877_b.png& data-rawwidth=&709& data-rawheight=&788& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&709& data-original=&/v2-88e30dc24b3d34bc2a4877_r.png&&&img src=&/v2-a0bafef4f3f86da28f04e2cc_b.png& data-rawwidth=&677& data-rawheight=&804& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&677& data-original=&/v2-a0bafef4f3f86da28f04e2cc_r.png&&对比第四版，这里很明显引言部分明显变长了，引言部分很重要，因为要了解这一章到底在研究什么问题一定要好好看懂引言。 引言之后讲欧拉方法而不是第四版的“欧拉格式”，在文字上会感觉直观一些。&br&&br&又例如，邱老师《抽象代数简明教程》的前言，&img src=&/v2-bb39fd95a9271_b.png& data-rawwidth=&712& data-rawheight=&805& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&712& data-original=&/v2-bb39fd95a9271_r.png&&&img src=&/v2-ec0b7bd87_b.png& data-rawwidth=&681& data-rawheight=&813& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&681& data-original=&/v2-ec0b7bd87_r.png&&&img src=&/v2-a11bc2bc3da0_b.png& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&796& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/v2-a11bc2bc3da0_r.png&&&img src=&/v2-dbda487cfb2_b.png& data-rawwidth=&726& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&726& data-original=&/v2-dbda487cfb2_r.png&&&img src=&/v2-4ac390d914e98c78d96c58_b.png& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&/v2-4ac390d914e98c78d96c58_r.png&&引言部分非常详细讲述了抽象代数的历史，作用和学习目的，然后进入引言，先从一个最简单的例子开始 -- 对称&br&&img src=&/v2-9b3aa6f7be43_b.png& data-rawwidth=&741& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&741& data-original=&/v2-9b3aa6f7be43_r.png&&&img src=&/v2-69eea87fdb5aa528f4db_b.png& data-rawwidth=&745& data-rawheight=&741& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&/v2-69eea87fdb5aa528f4db_r.png&&然后引出后面的群，环，域，扩域等， 这本书不是基础科目， 一般是视作学完邱老配套教材《高等代数》上下册后的抽象代数入门教材。&br&作为对比大家看看前苏联著名抽象代数教材N.贾克勃积逊的《抽象代数学第一卷第一章》会发现对新人非常吃力。&br&&img src=&/v2-cff01accb3ded493ed3361ffad6b3245_b.png& data-rawwidth=&644& data-rawheight=&753& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&644& data-original=&/v2-cff01accb3ded493ed3361ffad6b3245_r.png&&&br&还是这本书，看看第三章正文环部分&br&&br&&img src=&/v2-afd2d_b.png& data-rawwidth=&756& data-rawheight=&776& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&756& data-original=&/v2-afd2d_r.png&&这本书对于环，域的解释。 不知道大家感觉怎么样，就我个人而言会觉得看不下去。&br&&br&回答完了编写方面的，再说说内容方面的。 &b&欧美教材一般编写教材的顺序比较喜欢自上而下，而中国一部分教材和老毛子的大部分教材都是自下而上编写&/b&。&br&&br&欧美教材一般在引入一大堆定义，定理之前会举例子，让大家明白我们即将学习的是个什么玩意，然后顺理成章引入定义 定理 证明，然后又用这些定理做题。 老毛子则完全反着来，先给定义，然后给定理，定理的证明会用到之前给出的定义，然后给出一些习题，并利用定理解决习题。
老毛子的做法是先难后易，欧美教材则普遍先易后难。 而国内许多高等数学教材采用的苏联式思维编写，所以总是有种一节课讲一大堆什么导数的定义，可导的条件定理，可导可微和连续的区别，“可导必连续，连续不一定可导”口诀，最后做习题就是写出比如x^2，sinx的导数...让人学的很迷糊。 五年前我进国内大学的时候就是这种感觉。 又比如线性代数课，引入了维向量空间，又引入各种定义(平行，垂直，不相交)，然后引入一大堆定理，最后做习题的时候完全懵逼。&br&&br&欧美教材感觉要更加人性化一些，在引入一些概念之前会给例题，从生活中讨论引入这个定义的必要性。然后再进入规范化的流程，最后给大量而且难易度分明的习题让大家做。&br&&br&国内写得好的教材我读过的有这两本印象深刻的，一本书我最喜欢的老师&b&丘维声的《高等代数》&/b&(上，下)和&b&《抽象代数初步》，&/b&一本书&b&李庆扬老师《数值分析》(第五版)&/b&，第五版相对于第四版在语言表述上面进行了优化，读起来非常舒服，内容也非常深入浅出，比如各种方程求根算法（牛顿法，欧拉法，后退欧拉法，迭代法等）和微分方程数值解法（比如梯形法，欧拉法，线性多步法)的讲解非常到位，基本上直接可以在程序上写出来。
但是对于多步法求代数精度的问题上讨论有点少，比如给定一个求积分公式&img src=&///equation?tex=x_%7Bk%2B1%7D+%3D+ax_%7Bk%7D+%2B+bx_%7Bk-1%7D%2Bcx_%7Bk-2%7D+%2B+Lh%28nf_%7Bk%7D+%2B+mf_%7Bk-1%7D%29+& alt=&x_{k+1} = ax_{k} + bx_{k-1}+cx_{k-2} + Lh(nf_{k} + mf_{k-1}) & eeimg=&1&&要求其最高阶的代数精度应该用&b&待定系数法&/b&，也就是令&img src=&///equation?tex=f+%3D+%28x+-+x_%7Bk%2B1%7D%29%5E%7Ba%7D+& alt=&f = (x - x_{k+1})^{a} & eeimg=&1&&然后取a = 0 , 1,2,3 ...代入验算直到出现矛盾 ， 但是这个简单的方法在书上没有涉及，并且这本书对于求积分公式的A-稳定和0-稳定性不如巴赫瓦洛夫《数值方法》全，只介绍了几个简单定理没有详细展开，当然这本书主要还是给数学系本科生或者工科研究生看的，所以可以理解， 另外这本书对于边值问题的积分方法只讲了差分法和试射法，但是在俄罗斯大学学这门课的时候还需要掌握伽辽金法，位置函数法等另外四种解决边值问题的方法。 所以这本书相对而言比较偏基础，但是是本好书 。&br&&br&另外还有一些书也写的很好，比如&b&王高雄的《常微分方程&/b&》比北大数学系那个常微方程导论分要浅显，北大那个常微分方程就是典型苏联式写法，比较晦涩。 但是对于微分方程Ляпнов稳定性部分北大这个讲解非常到位。&br&&br&&b&西安交大《复变函数》(第四版)&/b&也是本不错的入门教程，配合专门的习题册练习，这门考试拿了我大学为数不多的五分。 这本书对于柯西积分的讲解很到位记得当时洛朗级数和留数定理班上大部分同学都不会，我考完帮他们做了好多题，大家都通过考试。但是关于共形映射没有普利瓦洛夫的《复变》详细。&br&&br&数学分析我建议读&b&华东师范大学蓝本那个&/b&。不要读卓里奇，菲立金戈尔茨这两本。 华东师范大学虽然也是按照苏式编写法编写的，但是关联程度高，一般不会超纲，读起来稍微轻松一些。数学分析这门课作为所有课程的基础基本上不用苏式教材学不来。&br&&br&泛函分析我认为最好的教材是&b&郑维行《实变函数与泛函分析初步》(上下册)&/b&这本书。 这本书内容很好，前后逻辑关联很到位。被我很喜欢这本书讲谱算子和线性泛函这两章。缺点是例题不够典型。
科莫戈洛夫的泛函分析没必要看，我们老师都不推荐这本书，超纲。
&b&张恭庆的《泛函分析讲义》&/b&有点散乱，比较麻烦，但是也是不错的基础读物，如果要读泛函最好还是郑维行的。&br&&br&概率论我建议买&b&复旦大学韩旭里的《概率论和统计学原理》&/b&，白紫色封面那本。 很好的教材，上面例题很典型，特别好! 缺点是数学系读起来不够用。工科用这本书保证杠杠的。&br&&br&数学物理方程的话看&b&《数学物理方程讲义》（姜礼尚）&/b&，因为我们老师是深受苏联教材影响的，所以他讲课也是按照苏联一般讲授数学物理方程的大纲来讲的， 主要就是三个部分：&b&热导方程，波动方程和位势方程&/b&三个大的主题，然后往下面展开各种变换，所以这本教材非常适合我，但是不知道国内怎么教的，所以大家可以参考一下。&br&&br&我会的编程语言有java，c, scheme,assembler , haskell , prolog 其中用得最多的就是java和haskell,这两本书我可以推荐一下就是， haskell可以看《haskell趣学指南》这本书作者是保加利亚的一个学生，但是内容很丰富， java我主要是看《think in java》和韩顺平老师的《JAVA初学者教程》视频，油管上面有看， 韩老师讲的很浅，很多东西直接跳过了，但是该讲的都还是讲了，由视频教程入门，然后看think in java会容易很多。&br&&br&以上一些个人看法，轻喷。&br&&br&&br&如果需要推荐教材的话可以私信我，我手头上有很多好教材，当时每学一门课都会下10-20本这门课的教材， 当时新浪爱问还可以随便下载，微盘和百度云还没有限制，所以找了一大堆好书。 关于基础数学如果有需要我可以推荐一些&br&&img src=&/v2-af80d0e06443faa0aba99d_b.png& data-rawwidth=&745& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&/v2-af80d0e06443faa0aba99d_r.png&&
各位久等了，我家网络昨天欠费给断了，所以准备上传的时候没网了，今天花了一天时间上传了所有教材，大家可以在我的百度云盘下载自己需要的书： 值得说明的是 近300本没有仔细分类的书都在“数学专业”的文件夹下面，因为有一些科目已经学过 了我就没做归类…
—————————————————————————————————&br&不少同学希望谈谈学习方法，我本身也是学渣（考研数学80/150），没有资格谈啊。不过我最近修了&br&RICE大学在edx上的相关课程“&a href=&///?target=https%3A//courses.edx.org/courses/RiceX/ELEC301x/T1_2014/info& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ELEC301x Discrete Time Signals and Systems&i class=&icon-external&&&/i&&/a&”，真的非常不错。初步总结， 有三大优点：&br&1.注重实践，有大量的matlab相关的案例内容；&br&&b&2.重离散、轻连续，这样创新的思路抛弃了直接研究连续带来的大量的理论负担，同时也非常实用；当然，如果要做研究，后面还是要重新认真学习连续的，这可能需要借助mit的课程了。&/b&&br&3.作业题有深度、有启发，是很好的训练。&br&&br&推荐下学习教材（鉴于大家批评我说这些书不好买，这里给出购买链接），&br&1.新手入门：&br&前驱知识，微积分、线性代数及格&br&优秀教材：&br&（1）&a href=&///?target=http%3A///Understanding-Digital-Signal-Processing-3rd/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fs%3Dbooks%26ie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D1-1%26keywords%3Dunderstanding%2Bdigital%2Bsignal%2Bprocessing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Understanding Digital Signal Processing (3rd Edition): Richard G. Lyons: 5: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&评价相当之高，注重理解，对数学要求不高&br&购买链接：&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《国外高校电子信息类优秀教材经：数字信号处理（英文影印版）》([美]莱昂斯)【摘要 书评 试读】&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&（2）&a href=&///?target=http%3A///Digital-Signal-Processing-Using-MATLAB/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fs%3Dbooks%26ie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D1-1%26keywords%3Ddigital%2Bsignal%2Bprocessing%2Busing%2Bmatlab& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Digital Signal Processing Using MATLAB: Vinay K. Ingle, John G. Proakis: 5: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&大量引入matlab，注重动手实践增加认知，好像也是首个创新的直接讲解离散的教材。&br&公开课：&br&RiceX：&a href=&///?target=https%3A//courses.edx.org/courses/RiceX/ELEC301x/T1_2014/info& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ELEC301x Discrete Time Signals and Systems&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&也是直接进入离散主题、注重理解、注重matlab操作的好课程。&br&购买链接：&a href=&///?target=http%3A///%25E6%%25E5%25AD%%25BF%25A1%25E5%258F%25B7%25E5%25A4%%-%25E5%25BA%%MATLAB-Vinay-K-ingle/dp/B002WWUYZU/ref%3Dsr_1_5%3Fs%3Dbooks%26ie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D1-5& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数字信号处理:应用MATLAB》 Vinay K.ingle, John G.Proakis【摘要 书评 试读】图书&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&2.进阶：&br&我还在学，学完推荐&br&&br&谈谈学习成本：&br&经济成本：我推荐的书国内亚马逊都有正版，加起来二百出头，公开课需要v～P·N工具，一年二百左右。新东方一个破辅导班3000+，一部红米手机799.&br&时间成本：no pain, no gain。&br&&br&最后恬不知耻的秀秀rice给我的课程成绩，大家一定会做的更好。&br&下载链接&br&&a href=&///?target=https%3A///s/jf6vuc40oxcor2u/ELEC301x%2520Discrete%2520Time%2520Signals%2520and%2520Systems.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dropbox - ELEC301x Discrete Time Signals and Systems.pdf&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&截图：&br&&img src=&/be944b5af97d_b.jpg& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&534& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&/be944b5af97d_r.jpg&&&br&&br&&br&————---------————我正在和论文搏斗 先给个简单答案吧——————————&br&对工科生来讲，傅里叶变换可以从三个层次来看：&br&傅里叶变换（Fourier Transform，FT）-& 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform， DFT）-& 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）&br&FT是理论基础，以FT为理论基础，可以完成从频率估计到求解微分方程各式各样的问题；&br&DFT是指信号被采样之后你会得到&b&离散&/b&（如你需要处理的音频信号被采样）而非&b&连续&/b&的信号，这个时候就需要DFT来告诉你怎样处理并告知你一些离散情况下的特殊问题；&br&FFT是一种计算DFT的算法，计算复杂度很低也就是执行起来很快的意思。&br&举个例子吧：有人通过在小黑屋按钢琴的一个键不松会产生一个单音信号给你传递情报，&br&&img src=&///equation?tex=y%28t%29%3D%5Csin%282%5Cpi+ft%2B%5Ctheta%29& alt=&y(t)=\sin(2\pi ft+\theta)& eeimg=&1&&&br&信号的频率&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&取决于他所按的键。你看不见他，却希望获知信号的频率。怎么办？&br&1.FT的理论就会告诉你可以通过傅里叶变化获知这个频率。&br&但是这个信号飘荡在空中，你需要先通过采样得到一个离散信号&br&&img src=&///equation?tex=y%5Bi%5D%3D%5Csin%282%5Cpi+%5Cfrac%7Bf%7D%7Bf_%7Bs%7D%7Di%2B%5Ctheta%29+%5C++%5C+%5C+%5C+%5C+%28i%3D1%2C2%2C...N%29& alt=&y[i]=\sin(2\pi \frac{f}{f_{s}}i+\theta) \
\ \ \ \ (i=1,2,...N)& eeimg=&1&&&br&(&img src=&///equation?tex=f_%7Bs%7D& alt=&f_{s}& eeimg=&1&&是采样频率，香农和奈奎斯特告诉我们，需要&img src=&///equation?tex=f_%7Bs%7D%3E2f& alt=&f_{s}&2f& eeimg=&1&&)。&br&2.得到离散信号后如何计算&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&，DFT就会告诉你怎么办;&br&3.你嫌DFT太慢了怎么办，FFT就粉墨登场了。&br&&br&从你计算机的专业背景和希望做音频降噪的需求来看。你需要掌握的是DFT和FFT我建议&br&1. 找本高等数学的书，花半个小时看看什么是FT；&br&2. 强烈推荐《Understanding Digital Signal Processing》，一本只需高中数学，且英文比中文都易懂的书，在&a href=&///?target=http%3A//& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&上有很高的评价（&a href=&///?target=http%3A///Understanding-Digital-Signal-Processing-Edition/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-1%26keywords%3Dunderstanding%2Bdigital%2Bsignal%2Bprocessing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Understanding Digital Signal Processing (3rd Edition): Richard G. Lyons: 5: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），国内有卖，建议认真看第1、2、3章。你会对离散傅里叶变换有很深入的了解；&br&3. 实践出真知，看完什么理论，立马用matlab试试看，会理解的很透彻；&br&4. project可以沿着matlab-&VC-&DSP-&FPGA的道路前进。&br&&br&至于你说的语音降噪问题，需要首先用DFT分析信号与噪声的频率特性，&b&降噪&/b&需要设计滤波器完成。变化与滤波是信号处理的两大主题，看看《Understanding Digital Signal Processing》的后面几章就明白了。&br&&br&语音降噪问题已经发展成为一个成熟的子学科，要做进一步研究就需要你自己努力了。
————————————————————————————————— 不少同学希望谈谈学习方法，我本身也是学渣（考研数学80/150），没有资格谈啊。不过我最近修了 RICE大学在edx上的相关课程“”，…
&p&怎么记住斯托克斯公式？两个字：理解。&/p&&p&先给出公式是一种礼貌，斯托克斯公式有好几种形式。&/p&&p&如图，边界为 &img src=&///equation?tex=%5Cpartial+%5CSigma+& alt=&\partial \Sigma & eeimg=&1&& ，围成曲面为 &img src=&///equation?tex=%5CSigma+& alt=&\Sigma & eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-a3c8b8bbb178cb3a96b245bb36f263ba_b.png& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&220&&&p&最简单的形式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%7B%5Cboldsymbol+%7B%5CSigma+%7D%7D%3D%5Coint+_%7B%5Cpartial+%5CSigma+%7D%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Br%7D+%5C%2C+%2C%7D& alt=&{\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf{F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}=\oint _{\partial \Sigma }\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \, ,}& eeimg=&1&&w&/p&&p&把旋度算子 &img src=&///equation?tex=%5Cnabla+& alt=&\nabla & eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&& 展开，可以得到：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%26+%7B%5CBigg%28%7D%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+R%7D%7B%5Cpartial+y%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+z%7D%7D%5Cright%29%5C%2C+dy%5C%2C+dz%2B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+z%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+R%7D%7B%5Cpartial+x%7D%7D%5Cright%29%5C%2C+dz%5C%2C+dx%2B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7D%7D%5Cright%29%5C%2C+dx%5C%2C+dy%7B%5CBigg%29%7D%5C%5C%5B8px%5D%26+%3D%5Coint+_%7B%5Cpartial+%5CSigma+%7D%7B%5CBig%28%7DP%5C%2C+dx%2BQ%5C%2C+dy%2BR%5C%2C+dz%7B%5CBig%29%7D%5C%2C+%2C%5Cend%7Baligned%7D%7D%7D& alt=&{\displaystyle {\begin{aligned} \iint _{\Sigma }& {\Bigg(}\left({\frac{\partial R}{\partial y}}-{\frac{\partial Q}{\partial z}}\right)\, dy\, dz+\left({\frac{\partial P}{\partial z}}-{\frac{\partial R}{\partial x}}\right)\, dz\, dx+\left({\frac{\partial Q}{\partial x}}-{\frac{\partial P}{\partial y}}\right)\, dx\, dy{\Bigg)}\\[8px]& =\oint _{\partial \Sigma }{\Big(}P\, dx+Q\, dy+R\, dz{\Big)}\, ,\end{aligned}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&对于学习高等数学的同学，主要是要记住后面这种一大串的形式，这里提供一种记忆方法。&/p&&img src=&/v2-513ea5f82e_b.png& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&/v2-513ea5f82e_r.png&&&p&把曲线分别投影到 &img src=&///equation?tex=xz%2Cyz& alt=&xz,yz& eeimg=&1&& 平面上可以得到另外的分项，我们把三个格林公式相加就得到上面这一大串公式：&/p&&img src=&/v2-7bdacf31a5d5964b45dc_b.png& data-rawwidth=&803& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&803& data-original=&/v2-7bdacf31a5d5964b45dc_r.png&&&p&实际证明虽然也是通过投影的办法，但有点不一样，只是最后凑起来有这样的巧合，拿来助记还是可以的。&/p&&p&&b&1 斯托克斯公式是格林公式的推广&/b&&/p&&p&可以先阅读 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&这篇文章&/a& 来具体地理解格林公式。&/p&&p&在格林公式的文章中，我举了一个不那么严谨的比喻，打台球：&/p&&img src=&/v2-30fdd06574_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-30fdd06574_r.jpg&&&p&它的能量守恒是这样的：&/p&&img src=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_b.png& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_r.png&&&p&击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：&/p&&img src=&/v2-c6edecc8dd8ebc6b66970_b.png& data-rawwidth=&782& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&782& data-original=&/v2-c6edecc8dd8ebc6b66970_r.png&&&p&实际上，没有人规定台球桌面必须是平的，台球桌面就是可以变来变去：&/p&&img src=&/v2-59f1d34d52dd5f96a2b9dd01d98d8cc4_b.jpg& data-rawwidth=&360& data-rawheight=&401& class=&content_image& width=&360&&&p&不管台球桌怎么变，不变的是能量守恒：&/p&&img src=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_b.png& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_r.png&&&p&只是台球桌面不再是在二维空间了，进入了三维，这就得到了斯托克斯公式：&/p&&img src=&/v2-2af07efefcf6b_b.png& data-rawwidth=&811& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&811& data-original=&/v2-2af07efefcf6b_r.png&&&p&要强调下，打台球的比喻仔细说来，是有漏洞的：&/p&&ul&&li&台球桌上的力场不是一阶偏导连续的&/li&&li&边界上积分为0的才可以使用，因为等式右边没有计算边界，而格林、斯托克斯公式是要求计算边界的&/li&&/ul&&p&虽然这个比喻不那么严谨，只是我觉得对我自己记忆很有启发性，而且琢磨这个比喻的适用范围也对理解这两个公式有帮助，所以我把这个比喻放上来的，希望对你们有帮助。&/p&&p&知道斯托克斯公式是格林公式的推广，可以尝试手动从格林公式推导一遍斯托克斯公式，也能加深理解，这里就不推了，书上有这个过程。&/p&&p&&b&2 麦克斯韦-法拉第方程&/b&&/p&&p&斯托克斯公式有个重要的应用，就是推出大名鼎鼎的麦克斯韦方程组的麦克斯韦-法拉第方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D+%3D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla \times \vec{E_{}} = - \frac{\partial \vec{B_{}}}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&我们来看看是怎么推出来的。&/p&&p&为了写这一节的内容，我翻看了费曼的《物理学讲义》，看到下面这一段话：&/p&&blockquote&&b&从人类历史的长远观点来看--例如过一万年之后回头来看--毫无疑问，在19世纪中发生的最有意义事件将被认为是麦克斯韦对电磁学定律的发现。与这一重大科学事件相比，同一个十年中发生的美国南北战争，将降为一个地区性琐事而黯然失色。&/b&
----费曼《物理学讲义》&/blockquote&&p&不禁很感概。我们中国的各种王侯将相争斗了数千年，最后还是被西方的坚船利炮敲开了国门。真正改变历史的还是知识啊。&/p&&p&让我们从发电机的原理讲起。发电机无疑是电磁学的重大成果，点亮了整个人类。&/p&&p&&b&2.1 发电机原理&/b&&/p&&p&以水力发电机为例，通过水力冲刷扇叶，带动发电机产生电力：&/p&&img src=&/v2-c32feaceedd50c34a78fcf0a_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&213& class=&content_image& width=&300&&&p&对于这个过程，麦克斯韦说，我们可以用齿轮来进行类比。&/p&&p&首先，水力冲刷齿轮转动：&/p&&img src=&/v2-d7b28dc442009ccad6158f4_b.jpg& data-rawwidth=&402& data-rawheight=&360& class=&content_image& width=&402&&&p&再带动虚拟的、精致的“电磁齿轮”转动、转换，将水能变为电能：&/p&&img src=&/v2-26485dafe153499eba46cc1_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&400&&&p&接下来我们看看，这个“电磁齿轮”的工作细节是什么？&/p&&p&&b&2.2 “电磁齿轮”工作原理&/b&&/p&&p&我们来看一个实验事实：&/p&&img src=&/v2-af0e426ec02ab96abf4ca87ef2c27c4f_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&300&&&p&环形的是线圈（导体，但非铁的，不会和磁铁产生磁力），下降的是磁铁做成的小球。我们可以观察到，小球降落到线圈附近的时候，小球下降速度明显变慢，动能减少。&/p&&p&根据常识，能量是守恒的，那么减少的动能去哪里了？&/p&&p&转为了线圈内的电能：&/p&&img src=&/v2-ec9fc7ee1b_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&300&&&p&&b&2.3 电能的计算&/b&&/p&&p&就上面的实验现象，法拉第是这样解释的，磁铁小球下落过程中，导致通过线圈的磁场发生了变换，所以在线圈中产生了电流。&/p&&p&根据这个解释，法拉第总结出了电磁感应定律：&/p&&img src=&/v2-eb0fcc415b2aaa10d5fbe09_b.jpg& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&/v2-eb0fcc415b2aaa10d5fbe09_r.jpg&&&p&数学形式为：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BE%7D%3D-%7B%5Cfrac%7Bd%5CPhi+_%7BB%7D%7D%7Bdt%7D%7D& alt=&\mathcal{E}=-{\frac{d\Phi _{B}}{dt}}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中：&/p&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}& eeimg=&1&& 是电动势，也就是转化到线圈内的电能。&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cfrac%7Bd%5CPhi+_%7BB%7D%7D%7Bdt%7D%7D& alt=&{\frac{d\Phi _{B}}{dt}}& eeimg=&1&& 是磁通量的变幻率，也就是磁铁小球下落过程中变化的磁场&/li&&/ul&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}& eeimg=&1&& 是转化到线圈内的电能，可以写为线圈的线积分（和力场做功是不是很像）：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%3D%5Coint+_%7B%5Cpartial+%5CSigma+%7D%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}=\oint _{\partial \Sigma }\vec{E_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中， &img src=&///equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 代表线圈， &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D& alt=&\vec{E_{}}& eeimg=&1&& 为电场。&/p&&p&通过斯托克斯公式可以把线积分改写为面积分：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%3D%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7BS_%7B%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}=\iint _{\Sigma }\nabla \times \vec{E_{}}\cdot d\vec{S_{}}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中， &img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 为 &img src=&///equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 围成的面。&/p&&p&而磁通量 &img src=&///equation?tex=%5CPhi+_%7BB%7D& alt=&\Phi _{B}& eeimg=&1&& 顾名思义为磁场的通量（通量我在 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&这篇文章&/a& 里面介绍过），这么计算：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5CPhi+_%7BB%7D%3D%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%7B%7B%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7BS_%7B%7D%7D%7D& alt=&\Phi _{B}=\iint _{\Sigma }{{\vec{B_{}}}\cdot d\vec{S_{}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&因此：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%3D-%7B%5Cfrac%7Bd%5CPhi+_%7BB%7D%7D%7Bdt%7D%7D%3D-%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7BS_%7B%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}=-{\frac{d\Phi _{B}}{dt}}=-\iint _{\Sigma }\frac{\partial \vec{B_{}}}{\partial t}\cdot d\vec{S_{}}& eeimg=&1&&&/p&&p&对比两式就可以得到，麦克斯韦-法拉第方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D+%3D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla \times \vec{E_{}} = - \frac{\partial \vec{B_{}}}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据实验事实，加点斯托克斯的料，我们就得到了这个方程。&/p&
怎么记住斯托克斯公式？两个字：理解。先给出公式是一种礼貌，斯托克斯公式有好几种形式。如图，边界为 \partial \Sigma ，围成曲面为 \Sigma ：最简单的形式：{\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf{F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}=\o…
&img src=&/af8dba1ef43d7bb5bf75fd_b.jpg& data-rawwidth=&499& data-rawheight=&639& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&499& data-original=&/af8dba1ef43d7bb5bf75fd_r.jpg&&这书网上能找到pdf,然后你也不需要找什么其他的书了,用过都说好,谁用谁知道. 最赞的是这本书的课后习题,环环相扣,一步步夯实你对概念的理解. 最牛逼的是这些习题还能给你营造出一种你解决了一个了不得的难题的幻觉,所以你可以骗着自己一题一题刷下去. 我觉得你要是效率高,一个月刷掉前面六章是没问题的,我是说你至少懂点微积分的情况下. &br&&br&&img src=&/dad21dfa802a81b4_b.jpg& data-rawwidth=&424& data-rawheight=&637& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&424& data-original=&/dad21dfa802a81b4_r.jpg&&Ross的书绝对经典,所以进阶你也不用想着找别的什么教材了,这个绝对质量最高,但难啃不少,因为Ross推式子时特别喜欢用些小trick,然后像变戏法一样就推出来了,有好多步骤我都是在stackexchange上问才问懂的. 这书要求你能用更加generalized的体系把所有的概率分布串起来,而不是觉得它们都相互独立存在着. 比如推Poisson Process,你可以从Renewal Process推,然后又从特别简单的有限间隔时间符合高斯分布推,然后慢慢的你就把最主要的几个分布外加它们的generalized形式掌握了,这个自己推出来和背下来有本质区别. 另外这本书的马科夫章节课后习题比较扎手,矩阵动不动就错,然后你还算半天算不出来以为是算错了...&br&&br&过了之后我觉得就已经用尽了所有大一大二的数学储备了,再往上你就得学泛函跟测度了,不然寸步难行. 而且说实话,再往上这些东西你学再好用处也不大,因为应用场景已经剧变了,会解PDE更加重要.
这书网上能找到pdf,然后你也不需要找什么其他的书了,用过都说好,谁用谁知道. 最赞的是这本书的课后习题,环环相扣,一步步夯实你对概念的理解. 最牛逼的是这些习题还能给你营造出一种你解决了一个了不得的难题的幻觉,所以你可以骗着自己一题一题刷下去. 我觉…
其实学了高等数学对高中数学的某些知识有更深的理解，也有实质性的帮助，还有很多结论可以推广到一般情形&br&&br&&ul&&li&&b&高等代数&/b&&/li&&/ul&&b&方程的根&/b&&br&高中有时候会遇到三次方程，一般是猜简单的整数解，&img src=&///equation?tex=%5Cpm+1%2C%5Cpm+2%2C%5Cpm3& alt=&\pm 1,\pm 2,\pm3& eeimg=&1&&,然后因式分解&br&而如果知道下面这个定理解题速度会加快，而且思路更加清晰：&br&&b&定理1&/b&&br&&b&设&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da_nx%5E%7Bn%7D%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_n& alt=&f(x)=a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_n& eeimg=&1&&是一个整系数多项式，而&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Br%7D%7Bs%7D& alt=&\frac{r}{s}& eeimg=&1&&是它的一个有理根，其中&img src=&///equation?tex=r%2Cs& alt=&r,s& eeimg=&1&&互素，那么必有&img src=&///equation?tex=s%5Cmid+a_%7Bn%7D%2Cr%5Cmid+a_%7B0%7D& alt=&s\mid a_{n},r\mid a_{0}& eeimg=&1&&,如果&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的首项系数&img src=&///equation?tex=a_%7Bn%7D%3D1& alt=&a_{n}=1& eeimg=&1&&，那么&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的有理根都是整根，而且是&img src=&///equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&的因子&/b&&br&&b&定理2&/b&&br&&b&&img src=&///equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的根的充分必要条件是&img src=&///equation?tex=%28x-%5Calpha%29%5Cmid+%7Bf%28x%29%7D& alt=&(x-\alpha)\mid {f(x)}& eeimg=&1&&&/b&&br&&br&&br&例子：&br&&img src=&///equation?tex=4x%5E4-7x%5E2-5x-1%3D0& alt=&4x^4-7x^2-5x-1=0& eeimg=&1&&&br&&br&我们要求这个方程的根，如果它有有理根的话，那么根据定理1，有理根只能是&img src=&///equation?tex=%5Cpm+1%2C%5Cpm%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cpm%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&\pm 1,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{4}& eeimg=&1&&&br&计算下发现&img src=&///equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&-\frac{1}{2}& eeimg=&1&&是其根，然后根据定理2&br&方程左边分解成&img src=&///equation?tex=%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%28a_%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%2Ba_%7B2%7Dx%5E2%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B0%7D%29& alt=&(x+\frac{1}{2})(a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=a_%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%2Ba_%7B2%7Dx%5E2%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B0%7D& alt=&a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}& eeimg=&1&&的求法一般有两种:&br&1.采用多项式除法，用&img src=&///equation?tex=4x%5E4-7x%5E2-5x-1& alt=&4x^4-7x^2-5x-1& eeimg=&1&&除以&img src=&///equation?tex=x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&x+\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&2.综合除法&br&&br&当然次数更高的，一般先求&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7B%28f%28x%29%2Cf%27%28x%29%29%7D& alt=&\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}& eeimg=&1&&，不过高中用不到，就不做讨论&br&&br&&b&二元二次函数的配方：&/b&&br&&br&&br&本质就是把二次型化成标准形的过程，高中的话也有通法，一般先把其中一个当成主元进行配方，所以也不细加讨论了&br&&b&定理三：&/b&&br&&b&在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.&/b&&br&举个例子：&br&已知&img src=&///equation?tex=%5Cbar+e_1%2C%5Cbar+e_2%2C%5Cbar+e_3& alt=&\bar e_1,\bar e_2,\bar e_3& eeimg=&1&&是空间向量，满足&img src=&///equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbar+e_1+%5Cright%7C+%3D%5Cleft%7C+%5Cbar+e_2+%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft+%7C%5Cbar+e_3+%5Cright%7C%2C%5Cbar+e_1%5Ccdot+%5Cbar+e_3%3D%5Cbar+e_2%5Ccdot%5Cbar+e_3%3D2%5Cbar+e_1%5Ccdot%5Cbar+e_2%3D1%2C%5Clambda+%2C%5Cmu+%5Cin+R& alt=&\left| \bar e_1 \right| =\left| \bar e_2 \right|=\frac{1}{2}\left |\bar e_3 \right|,\bar e_1\cdot \bar e_3=\bar e_2\cdot\bar e_3=2\bar e_1\cdot\bar e_2=1,\lambda ,\mu \in R& eeimg=&1&&,设&img src=&///equation?tex=%5Cbar+a%3D%5Cbar+e_1-%5Clambda+%5Cbar+e_2-%5Cmu+%5Cbar+e_3& alt=&\bar a=\bar e_1-\lambda \bar e_2-\mu \bar e_3& eeimg=&1&&,则&img src=&///equation?tex=%5Cleft%7C%5Cbar+a%5Cright%7C& alt=&\left|\bar a\right|& eeimg=&1&&的最小值为____,此时&img src=&///equation?tex=%5Clambda%3D& alt=&\lambda=& eeimg=&1&&
，&img src=&///equation?tex=%5Cmu%3D& alt=&\mu=& eeimg=&1&&
.&br&&br&&ul&&li&&b&高等数学（数学分析）&/b&&/li&&/ul&高中的导数就是数学分析的一部分，所以联系还是比较多的，应该说很多出题人是从大学微积分里面挖的坑，然后用高中的方法去填，所以学完微积分更能了解其本质&br&&br&比如今年的&br&全国卷1卷（理科）最后一道压轴题：&br&21.已知函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%28x-2%29e%5E%7Bx%7D%2Ba%28x-1%29%5E%7B2%7D& alt=&f(x)=(x-2)e^{x}+a(x-1)^{2}& eeimg=&1&&有两个零点&br&(1)求a的取值范围；&br&(2)设&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D%2Cx_%7B2%7D& alt=&x_{1},x_{2}& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的两个零点，证明：&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%3C2& alt=&x_{1}+x_{2}&2& eeimg=&1&&&br&第二问可以直接用&b&Hadamard不等式&/b&，过程见&b&：&/b&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&哪些高端大气的数学定理可以简洁地证明高中数学压轴题？ - 张冲冲的回答&/a&&br&&br&&br&&b&高中解压轴题的时候会积累一些结论，比如：&img src=&///equation?tex=a%2Cb%5Cin+R%5E%2B%2Ca%5Cneq+b%2C%5Csqrt%7Bab%7D%3C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%3C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D& alt=&a,b\in R^+,a\neq b,\sqrt{ab}&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}&\frac{a+b}{2}& eeimg=&1&&&br&&/b&&br&中间那个式子叫做对数平均：&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Logarithmic mean&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&这个不等式怎么来的呢？&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%7B%28t%2B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%5Cleq%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B%7D%7B%7D%5Cfrac%7B%7B%5Crm+d%7Dt%7D%7B%28t%2Ba%29%28t%2Bb%29%7D%5Cleq%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%7B%5Crm+d%7Dt%7D%7B%28t%2B%5Csqrt%7Bab%7D%29%5E2%7D+& alt=&\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{(t+\frac{a+b}{2})^2}\leq\int_{0}^{+\infty} \frac{}{}\frac{{\rm d}t}{(t+a)(t+b)}\leq\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm d}t}{(t+\sqrt{ab})^2} & eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=a%3Db& alt=&a=b& eeimg=&1&&时取等号&br&&br&另一种方法是：&br&令&img src=&///equation?tex=a%3De%5E%7Bx%7D%2Cb%3De%5E%7By%7D%2Cx-y%3Dt%2Ct%5Cneq0& alt=&a=e^{x},b=e^{y},x-y=t,t\neq0& eeimg=&1&&,则&br&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7Bab%7D%3De%5E%7B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%7D& alt=&\sqrt{ab}=e^{\frac{x+y}{2}}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%3D%5Cfrac%7Be%5Ex-e%5Ey%7D%7Bx-y%7D& alt=&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}=\frac{e^x-e^y}{x-y}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5Ey%7D%7B2%7D& alt=&\frac{a+b}{2}=\frac{e^x+e^y}{2}& eeimg=&1&&&br&于是&br&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7Bab%7D%3C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%5CLeftrightarrow+%5Cfrac%7B%5Csinh%7Bt%7D%7D%7Bt%7D%3E1& alt=&\sqrt{ab}&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}\Leftrightarrow \frac{\sinh{t}}{t}&1& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%3C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5CLeftrightarrow+%5Cfrac%7B%5Ctanh+%7Bt%7D%7D%7Bt%7D%3C1& alt=&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}&\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow \frac{\tanh {t}}{t}&1& eeimg=&1&&&br&&br&&br&如果用高中方法处理的话，因为两边是齐次的，两边除以&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&，然后设&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D& alt=&x=\frac{a}{b}& eeimg=&1&&,构造函数求导即可.&br&&br&利用上述结论可以使有些压轴题变得很简单&br&例子：&br&2010年高考天津卷&br&21.已知函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dxe%5E%7B-x%7D%2Cx%5Cin+R& alt=&f(x)=xe^{-x},x\in R& eeimg=&1&&&br&(3).如果&img src=&///equation?tex=x_1%5Cneq+x_2& alt=&x_1\neq x_2& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=f%28x_1%29%3Df%28x_2%29& alt=&f(x_1)=f(x_2)& eeimg=&1&&,证明：&img src=&///equation?tex=x_1%2Bx_2%3E2& alt=&x_1+x_2&2& eeimg=&1&&&br&&br&证明：&br&不妨设&img src=&///equation?tex=x_1%3Cx_2& alt=&x_1&x_2& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D-%28x-1%29e%5E%7B-x%7D& alt=&f'(x)=-(x-1)e^{-x}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%3E1%2Cf%27%28x%29%3C0%5CRightarrow+f%28x%29%5Cdownarrow+%5CRightarrow+f%28x%29%5Cin+%280%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%29& alt=&x&1,f'(x)&0\Rightarrow f(x)\downarrow \Rightarrow f(x)\in (0,\frac{1}{e})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=0%3Cx%3C1%2Cf%27%28x%29%3E0%5CRightarrow+f%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+f%28x%29%5Cin+%280%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%29& alt=&0&x&1,f'(x)&0\Rightarrow f(x)\uparrow \Rightarrow f(x)\in (0,\frac{1}{e})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%5Cleq0%2Cf%27%28x%29%5Cgeq+0%5CRightarrow+f%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+f%28x%29%5Cin+%28-%5Cinfty%2C0%29& alt=&x\leq0,f'(x)\geq 0\Rightarrow f(x)\uparrow \Rightarrow f(x)\in (-\infty,0)& eeimg=&1&&&br&所以 &img src=&///equation?tex=0%3Cx_1%3C1%3Cx_2& alt=&0&x_1&1&x_2& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x_1e%5E%7B-x_1%7D%3Dx_2e%5E%7B-x_2%7D%5CRightarrow++%5Cln+x_1-x_1%3D%5Cln+x_2+-x_2%5CRightarrow++1%3D%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B%5Cln+x_1-%5Cln+x_2%7D%3C%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D& alt=&x_1e^{-x_1}=x_2e^{-x_2}\Rightarrow
\ln x_1-x_1=\ln x_2 -x_2\Rightarrow
1=\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}&\frac{x_1+x_2}{2}& eeimg=&1&&&br&即证&br&&br&&b&不等式&/b&&br&设&img src=&///equation?tex=x%3D%28x_1%2C..x_2%29%2C%5Calpha+%3D%28%5Calpha_1..%5Calpha_n%29& alt=&x=(x_1,..x_2),\alpha =(\alpha_1..\alpha_n)& eeimg=&1&&,且对于&img src=&///equation?tex=i%3D1%2C2...n%2Cx_i%3E0%2C%5Calpha_i%3E0& alt=&i=1,2...n,x_i&0,\alpha_i&0& eeimg=&1&&还有&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bi%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Calpha_i%7D%3D1+& alt=&\sum_{i}^{n}{\alpha_i}=1 & eeimg=&1&&.&br&对于任意的&img src=&///equation?tex=t%5Cneq0& alt=&t\neq0& eeimg=&1&&,我们考察&img src=&///equation?tex=x_1%2Cx_2...x_n& alt=&x_1,x_2...x_n& eeimg=&1&&以&img src=&///equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Calpha_2...%5Calpha_n& alt=&\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n& eeimg=&1&&加权的&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&阶平均&br&&img src=&///equation?tex=M_t%28x%2C%5Calpha%29%3D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Calpha_ix_i%5Et%7D+%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D& alt=&M_t(x,\alpha)=(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_ix_i^t} )^\frac{1}{t}& eeimg=&1&&&br&特别地，当&img src=&///equation?tex=%5Calpha_1%3D%5Calpha_2%3D...%5Calpha_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D& alt=&\alpha_1=\alpha_2=...\alpha_n=\frac{1}{n}& eeimg=&1&&且&img src=&///equation?tex=t%3D-1%2C1%2C2& alt=&t=-1,1,2& eeimg=&1&&时，分别得到调和平均，算术平均及二阶平均，&img src=&///equation?tex=M_0%28x%2C%5Calpha%29%3D%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+0%7D%7BM_t%28x%2C%5Calpha%29%7D%3D%7Bx_1%7D%5E%7B%5Calpha_%7B1%7D%7D...x_n%5E%7B%5Calpha_n%7D& alt=&M_0(x,\alpha)=\lim_{t \rightarrow 0}{M_t(x,\alpha)}={x_1}^{\alpha_{1}}...x_n^{\alpha_n}& eeimg=&1&&为几何平均&br&&br&易证&img src=&///equation?tex=M_t%28x%2C%5Calpha%29& alt=&M_t(x,\alpha)& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&&上是&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的非减函数，并且若&img src=&///equation?tex=n%3E1& alt=&n&1& eeimg=&1&&,所有&img src=&///equation?tex=x_i& alt=&x_i& eeimg=&1&&不相同时，&img src=&///equation?tex=M_t%28x%2C%5Calpha%29& alt=&M_t(x,\alpha)& eeimg=&1&&是严格单调函数，由此可以得到高中学的几个不等式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_2%7D%2B...%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_n%7D%7D%5Cleq%5Csqrt%5Bn%5D%7Bx_1x_2...x_n%7D%5Cleq%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%2B...x_n%7D%7Bn%7D+%5Cleq%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx_1%5E2%2B...x_n%5E2%7D%7Bn%7D%7D& alt=&\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...\frac{1}{x_n}}\leq\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\leq\frac{x_1+x_2+...x_n}{n} \leq\sqrt{\frac{x_1^2+...x_n^2}{n}}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&b&洛必达法则&/b&&br&&br&高中导数的题中有时候会遇到&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D& alt=&\frac{0}{0}& eeimg=&1&&型不定式，这时候用洛必达法则可以直接求出&br&&b&定理四：&/b&&br&设：函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&及&img src=&///equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&在区间&img src=&///equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&内有定义，&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7Bf%28x%29%7D%3D0%2C%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7Bg%28x%29%7D+%3D0+& alt=&\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}=0,\lim_{x \rightarrow a}{g(x)} =0 & eeimg=&1&&&br&且，存在有限导数&img src=&///equation?tex=f%27%28a%29& alt=&f'(a)& eeimg=&1&&及&img src=&///equation?tex=g%27%28a%29& alt=&g'(a)& eeimg=&1&&而且&img src=&///equation?tex=g%27%28a%29%5Cneq0& alt=&g'(a)\neq0& eeimg=&1&&,若&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7B%5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bg%27%28x%29%7D%7D+%3DK& alt=&\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} =K& eeimg=&1&&，则&br&&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7B%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%7D%3DK& alt=&\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=K& eeimg=&1&&&br&&br&这里只列出了洛必达法最简单的情形，因为高中只涉及到这种情形&br&&br&例：&br&2010年全国新课标（理科）&br&设函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3De%5Ex-1-x-ax%5E2& alt=&f(x)=e^x-1-x-ax^2& eeimg=&1&&&br&(2).若当&img src=&///equation?tex=x%5Cgeq0%2Cf%28x%29%5Cgeq+0& alt=&x\geq0,f(x)\geq 0& eeimg=&1&&,求&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的取值范围&br&&br&求&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的取值范围，就把&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&分离出来&br&&img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&成立，&img src=&///equation?tex=x%3E0& alt=&x&0& eeimg=&1&&时，&img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cgeq0%5CLeftrightarrow+a%5Cleq%5Cfrac%7Be%5Ex-1-x%7D%7Bx%5E2%7D& alt=&f(x)\geq0\Leftrightarrow a\leq\frac{e^x-1-x}{x^2}& eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=g%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5Ex-1-x%7D%7Bx%5E2%7D%2Cx%3E0& alt=&g(x)=\frac{e^x-1-x}{x^2},x&0& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=a%5Cleq+%5Cinf%7Bg%28x%29%7D& alt=&a\leq \inf{g(x)}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=g%27%28x%29%3D%5Cfrac%7Bxe%5Ex%2Bx-2e%5Ex%2B2%7D%7Bx%5E3%7D& alt=&g'(x)=\frac{xe^x+x-2e^x+2}{x^3}& eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=h%28x%29%3Dxe%5Ex%2Bx-2e%5Ex%2B2& alt=&h(x)=xe^x+x-2e^x+2& eeimg=&1&&,&br&&img src=&///equation?tex=h%27%28x%29%3Dxe%5Ex%2B1-e%5Ex& alt=&h'(x)=xe^x+1-e^x& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=h%27%27%28x%29%3Dxe%5Ex%3E0%5CRightarrow+h%27%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+h%27%28x%29%3Eh%27%280%29%3D0%5CRightarrow+h%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+h%28x%29%3Eh%280%29%3D0& alt=&h''(x)=xe^x&0\Rightarrow h'(x)\uparrow \Rightarrow h'(x)&h'(0)=0\Rightarrow h(x)\uparrow \Rightarrow h(x)&h(0)=0& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+g%27%28x%29%3E0%5CRightarrow+g%28x%29%5Cuparrow+& alt=&\Rightarrow g'(x)&0\Rightarrow g(x)\uparrow & eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=x%3E0%2C%5Cinf+g%28x%29%3D%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+0%2B%7D%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-1-x%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+0%2B%7D%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-1%7D%7B2x%7D%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&x&0,\inf g(x)=\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{e^x-1-x}{x^2}} =\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{e^x-1}{2x}} =\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=a%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&a\leq\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&b&泰勒公式：&/b&在需要放缩&img src=&///equation?tex=e%5Ex%2C%5Csin+%7Bx%7D%2C%5Ctan+%7Bx%7D& alt=&e^x,\sin {x},\tan {x}& eeimg=&1&&的时候，利用泰勒公式会使目标更加明确&br&&br&&br&&br&&b&数列求和：&/b&&br&&br&&img src=&///equation?tex=1%2B2%2B...n%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&1+2+...n=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...n%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&1^2+2^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...n%5E3%3D%5Cfrac%7Bn%5E2%28n%2B1%29%5E2%7D%7B4%7D& alt=&1^3+2^3+...n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}& eeimg=&1&&&br&....&br&令&img src=&///equation?tex=S_p%28n%29%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bk%5Ep%7D+%2Cp%5Cgeq+0& alt=&S_p(n)=\sum_{k=1}^{n}{k^p} ,p\geq 0& eeimg=&1&&,定义一个生成函数：&br&&img src=&///equation?tex=G%28z%2Cn%29%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_p%28n%29%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%21%7Dz%5Ep& alt=&G(z,n)=\sum_{p=0}^{\infty}S_p(n)\frac{1}{p!}z^p& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=G%28z%2Cn%29%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%21%7D%28kz%29%5Ep%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7De%5E%7Bkz%7D%3De%5Ez%5Ccdot%5Cfrac%7B1-e%5Enz%7D%7B1-e%5Ez%7D%3D%5Cfrac%7B1-e%5Enz%7D%7Be%5E%7B-z%7D-1%7D& alt=&G(z,n)=\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p!}(kz)^p=\sum_{k=1}^{n}e^{kz}=e^z\cdot\frac{1-e^nz}{1-e^z}=\frac{1-e^nz}{e^{-z}-1}& eeimg=&1&&&br&这是一个关于&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&的整函数.而&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bze%5E%7Bzx%7D%7D%7Be%5Ez-1%7D%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DB_j%28x%29%5Cfrac%7Bz%5Ej%7D%7Bj%21%7D& alt=&\frac{ze^{zx}}{e^z-1}=\sum_{j=0}^{\infty}B_j(x)\frac{z^j}{j!}& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=B_j%28x%29& alt=&B_j(x)& eeimg=&1&&是伯努利多项式，&img src=&///equation?tex=B_j%3DB_j%280%29& alt=&B_j=B_j(0)& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=B_j& alt=&B_j& eeimg=&1&&称为伯努利数&br&于是&img src=&///equation?tex=G%28z%2Cn%29%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DB_j%5Cfrac%7B%28-z%29%5E%7Bj-1%7D%7D%7Bj%21%7D%28-%5Csum_%7Bl%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28nz%29%5El%7D%7Bl%21%7D%29%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dz%5Ep%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bp%7D%28-1%29%5Ej%5Cfrac%7B1%7D%7Bj%21%28p%2B1-j%29%21%7DB_jn%5E%7Bp%2B1-j%7D%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bz%5Ep%7D%7Bp%21%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%2B1%7D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bp%7D%28-1%29%5Ej%28C_%7Bp%2B1%7D%5Ej%29B_jn%5E%7Bp%2B1-j%7D& alt=&G(z,n)=\sum_{j=0}^{\infty}B_j\frac{(-z)^{j-1}}{j!}(-\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(nz)^l}{l!})=\sum_{p=0}^{\infty}z^p\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\frac{1}{j!(p+1-j)!}B_jn^{p+1-j}=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{z^p}{p!}\frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j(C_{p+1}^j)B_jn^{p+1-j}& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Dk%5Ep%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%2B1%7D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bp%7D%28-1%29%5EjC_%7Bp%2B1%7D%5E%7Bj%7DB_jn%5E%7Bp%2B1-j%7D& alt=&\sum_{k=1}^{n}k^p=\frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^jC_{p+1}^{j}B_jn^{p+1-j}& eeimg=&1&&&br&&br&来源：&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%2527s_formula& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Faulhaber's formula&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&b&拉格朗日不定乘数法求极值&/b&&br&&br&待续.....&br&&b}
终于考完啦！广州日报记者 王维宣 摄考完了有的学生哭了。广州日报记者 王维宣 摄很多考生笑了。广州日报记者 陈忧子 摄高考结束，学生们特别激动。广州日报记者 陈忧子 摄高考进入第二天，天气变成这样。不少学生今天变“赤脚大仙”奔赴考场，可是执信这些师兄师姐真是“给考生爱的么么哒”呀！让人倍感温暖有木有？小参（广州参考ID：gzcankao）继续来请资深老师给大家点评今年考卷的难易程度。总体来说，今年，感觉容易的同学，成绩一定错不了。昨天高考首场考试，大家出考场的表情基本上都是如上图，简直成了人生大赢家。可是考完数学，大家的表情就“丰富”起来。数学到底是给人怎样的感受呢？数学&理科数学：华附学霸叹“一言难尽”刚走出执信考场，理科考生范同学就大呼：“难，很难，变态难！”他说，这次的考题不仅比往年的全国卷更难，而且比模拟时做过的广东卷要难上“两三个档次”。“我只能勉强把卷子写满。”连数学在年级名列前茅的学生都大吐苦水，函数大题的第一小问，在往年都是“送分题”，但现在却可以拿来做“压轴题”。“难度比以往确实上升，计算量大，概率题都把我绕晕了，时间特别紧。”来自华附的汤同学评价今年理科数学时，表情凝重，连连摇头，只意味深长地说了一句“一言难尽”。增城中学一位考生说，考完后交卷离场，同场的一位女生就哭出来了。考完数学还笑成这样，这绝对是赢家。（广州日报记者 杨耀烨 摄）广东数学平均分会比去年平均降约15分广东省数学特级教师、中山市桂山中学校长吴新华说：全国卷比广东卷更难，考前老师们就已有预判。按照今年的考卷情况，估计广东今年数学平均分会比去年平均下降15分左右。“试卷题目质量不错，题目比较新颖，区分度估计比较高。”吴新华说，今年广东学生所考的全国卷的大部分题目虽然中规中矩，但运算量较大，没有特别容易的送分题，中等难度的考题偏多，多数考生能够做完100分左右的题目，要想考到130分很难，140分以上就更不容易。他预计能考出90-105分就很不错了。老师点评：与广东卷比 难度提高不少立尚教育高考研究院数学老师马健伦：2016年新课标卷理科遵循了往届全国卷命题原则，大部分属于常规的题型和难度。同时，在立体几何、线性规划等题目上进行了一些创新。而大题命题则相对稳定，解三角考查了基本的边角转换，立体几何考查了面面垂直、二面角余弦值，概率则考查了应用类型的分布列问题，解析几何考查了轨迹方程、面积最值问题。总体来说，根据全国卷难度而言不算太难，较以前广东卷难度而言，难度提高了不少。老师群发短信让家长安慰孩子&&“下午的数学题很难，据有经验的老师估计，全省平均分会非常低，这给我们孩子们的打击比较大，请各位家长今晚务必安慰自己的孩子，考一科丢一科，我难人亦难，调整好心态，准备明天的考试，考好后两科是王道。明天考试过程中务必保证基础题的得分，务必不留空白。”高考第一天结束后，广州第七中学有老师群发短信让家长安慰孩子，让家长请告知孩子，“不为题易而喜，不为题难而忧”，只有平和的心态才能让人最放松，从而发挥出人的最大潜能。&文科数学：侧重考察数学思维能力对于文科考生而言，文科数学题难度适中，但题型相对比较“怪”，“以前几乎没有考过立体几何作图题，这次就要求作图并写出详细作图过程。”考生小郭说。“我觉得不是很难。”暨大附中的詹同学一脸轻松地说。“就是有一道作图题，题型非常新，我以前从来没有接触过，没有攻下来。”虽然学生们纷纷抱怨数学题“不好做”，但在一旁作为“过来人”的家长们反而不担心，“如果题目比较难，对优秀的学生是有利的；倒是题目太简单，人人都会做，优秀的学生反而会粗心失分。”老师点评：概率是一个坎立尚教育高考研究院数学老师马健伦：2016年新课标卷文科大部分是学生在高三平时的训练中常见的类型。概率则查了应用类型的问题，在平常练习中相对少见，但这个是全国卷文数概率大题常考内容，如果学生平时没有经过训练，这道题是他们的一个坎。这套题的特点是，一、主干知识基本都有考查，题型风格变化不大。二、入口宽，障碍设计巧妙，难度适中。三、部分题目障碍设计巧妙，侧重考查学生的数学思维能力。综合&理综：有不少考生蒙圈了今天上午综合科考完，在执信中学考场，理科考生认为理综考试的难度与预想中全国卷的难度相差无几。“没有送分题，肯定不简单，但比最难的真题容易。”难度适中，题型较新颖是考生们的普遍感觉。不过，大多学生称，在经历过前一天“魔鬼”难度数学的洗礼后，理综不算难。“如果数学难度为10，理综难度在8左右。”考生小麦说。但考题中体现出全国卷综合性强、题型灵活的特点，例如物理大题考的是喷泉如何能物体浮起来。而且，多选题“悄悄”增加了一题，有学生还专门为此问监考老师是否出现印刷错误。而在华师附中参加考试的考生中，许多理科生反应理科综合比较难，其中一道物理题材料跟喷水有关，有考生表示连要考什么知识点都不知道，整道题空着。“我看到那道题就懵圈了，你知道那种一脸懵圈的感觉么？”考生小刘表情夸张地说。在得知很多考生反应这道题很难后，她才舒了一口气。广雅中学考场多名表示，理综中生物内容很难，跟以往训练做的模拟卷不太一样，“一下子懵了！这次试卷上考的生物都是设计实验类的题目，画了几幅图，让设计实验，比较难。过去只是填空，现在，划了几条线让填写。和平时做不过的题目跨越性太大了，有些摸不到北！”南海中学一位考生说。理综物理点评：整体难度比去年略低立尚教育高考研究院物理名师陈富国：选择题依旧是四电四力的分布。可喜的是，今年难度整体降低，不仅对理解能力的考查难度降低了，对应用数学处理物理问题的能力难度也降低了。例如地17题的万有引力定律与航天，相比去年和前年难度降了。第14、18、20题更是侧重于考查基础知识，犹如前几年的广东卷。实验题依旧是一大一小，小题考查纸带问题，但是大题（第23题）非常创新，组装一个由热敏电阻控制的警报器，重点考查学生达的迁移能力。计算题第24题考查连接体中的安培力与受力分析，难度比去年略大。第25题是由四个模型组合而成的综合题，考查到了斜面受力与匀变速直线的规律、弹簧模型、绳模变形和平抛运动，要求有较高的推理能力、分析综合能力。选修的3-5的选择题不难，考到最简单的光电效应强度和频率的区别。但是计算题的动量守恒就比较变态，运用到物理建模的思想，是拉分的关键点。卓越教育：难度比去年广东卷提升卓越教育高考改革研究委员会认为就整体而言，难度比去年广东卷提升，但低于名校的模拟考试。考查范围和形式有较大的变化，更强调考生的推理和知识综合应用能力。&物理：物理对数学要求更高&据考生反映，整体难度相对去年新课标1卷简单一些。若将其与广东卷对比，由于某些题没有配图，导致学生想象不出物理过程。同时计算量略大导致时间吃紧、心理紧张。&卓越教育高中物理王启勇老师认为：1、选择题部分：如果考生在高一高二阶段就已经充分记忆一些二级结论，如变压器的等效电阻公式，加速电场的速度公式等，那就可以大大节省做题时间；2、实验题部分：电路实验涉及很“创新”，且每个填空基本都暗含数据计算和分析，考察学生思维的缜密性。3、计算题部分：第25题第（3）问，极具选拔性的，以建立几何情景为前提，也许很多学生连这一步都跨不过。4、选做部分：选修3-5：计算部分难度来源于题目没有图，理解题意难度大，另一部分难度来源于考察了平时不太常用的动量定理。怕就怕学生之前一直靠背模型解决此部分题目。考完啦！广州日报记者 陈忧子 摄&文综：前三道题和广东有关“没有考偏题怪题，做起来还算得心应手。”华师附中的邱同学在考完文科综合后，感觉比较满意。今年文科综合的政治题考到了“一带一路”，还有是分析之前网上出现的否认邱少云、狼牙山五壮士等英雄事迹真实性的英雄虚无主义。历史题则有分析清朝人口快速增长的原因。“感觉比之前练过的2015全国卷真题简单，题目都比较正常。”邱同学说。而在执信中学的考生小张说，最有意思的历史考题要求从生态史观的角度分析清代的人口膨胀问题。文综地理点评：难度中等偏上立尚教育高考研究院地理首席顾问、宜邦教育负责人胡亚峰：本次文综试卷地理难度中等偏上，充分反映了全国卷和广东卷的区别，卷面上看似形式和材料简单，但真要得高分却不容易。选择题部分放弃了一惯学生以为的难点-地球运动和天气气候，却同时在人文地理的区位因素及其发展变化。进一步地明确了高中地理课程的指导核心。综合题部分题型与去年一致，六道成因分析题和一道建议启示题。考查的重点侧重于分析材料、提取有效信息和对知识的迁移能力，并且综合分析区域各要素的相互关系。卓越教育：更侧重对调用知识能力的考查卓越教育的老师认为文综就整体而言，难度比广东卷大。如去年全国卷文综全卷难度系数为0.47，广东卷全卷难度系数为0.54，预计今年情况与往年持平。今年考卷更侧重对调用知识能力的考查，需要考生有更扎实全面的基础知识储备。地理：首题难度降低&&佛山陶瓷入题卓越教育高中地理组崔嘉宝老师认为：今年高考地理命题延续了全国卷“联系实际接地气，知地明理重逻辑”的试题特点，选择题整体较去年简单，材料题立足区域，注重问题的探究性。与往年文综第一题为难度较大的自然地理题不同，今年地理第一道选择题为难度较低的区域地理的题目，题目材料为广东省佛山市的产业转移情况，对广东考生而言内容亲切，更有利于考场发挥。材料题以“文——图——问”的题目结构和图文结合的形式，考查广西茉莉花种植和勘察加半岛的自然地理问题。难度较去年广东单独命题大。需要考生有较强的地理空间想象力和地理综合分析能力。&历史：命题形式套路深&&人口话题呼应热点今年全国卷历史部分的命题，保持了以往命题风格，考查涵盖了各断代史和政治、经济、文化等内容。命题注重能力的考查，对考生的材料分析能力和知识调用能力提出了较高的要求。卓越教育高中历史组谭淑妍老师：在选择题的知识考查上，今年的命题不回避核心考点，如第一道选择题就是去年全国卷材料题的考点复现，对平日训练有素的考生而言，较好作答。两道材料题均对政治、经济、文化的知识点进行了立体考查，这要求了学生在备考阶段必须搭建完备的知识结构。在此基础上，40题选取了“人口”作为命题话题，呼应了当前社会有关开放二胎、人口老龄化等热点，体现了全国卷鼓励学生用历史知识指导生活实际，充分体现了全国卷命题的开放性。&政治：全卷弘扬主旋律&&班会发言题目新&今年文综政治部分突出了时政热点和社会主义核心价值观的引领，新型智库建设、“一带一路”、英雄人物等作为背景材料考查，比往年广东卷更具“主旋律”。&&&&&&&&&与往年广东卷经济图标材料题不同，今年高考材料题均以文字材料的形式呈现。以“一带一路”和“守护英雄”为背景材料，需要考生有较强的政治素养和综合调动运用能力，难度较去年广东卷大。执信中学，第一位走出英语高考考场的考生，她说自己从来没试过提早交卷，这次考完了就想试一下。广州日报记者 苏俊杰 摄英语&考生：没有偏题怪题 相对轻松“英语题出得还是比较正常，没有偏题怪题，尤其是作文，考的是书信，也是我们重点练过的。”华师附中的小温走出考场后，表情轻松。由于第一天语文作文考漫画出乎很多人意料，许多考生担心英语作文也会延续语文考卷“推陈出新”，拿到试卷后，不少考生都长舒了一口气。小温还告诉记者，作文题的大概内容是：“你想应聘暑期工，需要写求职信。现在你想请外教帮忙修改这封求职信，请给外教写一封请求的信件。”这些年，全国卷英文作文考的大多是书信，因此这次作文题对于众多考生来说，确实是意料之中。&点评：整体难度适中 完形填空与作文易失分立尚教育高考研究院英语总监Cyrus陈智超：纵观2016年全国高考新课标英语卷I，总体来说试卷难度适中，接近历年平均水平，符合“大纲”和“课标”的要求。考题整体比较灵活，同时选材广泛、贴近生活，具有较强的时代感。题量适中，梯度明显，选材更丰富、更富时代感，具有较高的区分度、可信度和有效度。试卷重点考察语言交际能力，立足语篇，突出语境，试卷内容突出语用（language use）的理念。试题选材贴近生活，富有浓厚的时代气息（如阅读理解，书面表达等）语言材料真实，文体多样，题材广泛。&今年高考英语试题在命题上依纲靠本，在知识点的分布、试卷的词汇量以及篇幅上与往年水平基本保持一致，且在保持中有发展，只是考查得更细化了。各题型中规中矩，强调基础、实用，对平时教学中的重难点知识做了全面考查，避免了偏、难、怪的现象，对高中英语教学起到良好的指导作用。卓越教育高考改革研究委员会英语科组长何丹老师：“全国卷英语更加关注语言基础知识，篇章层面的考查相较于广东卷更少。从选材来看，全国卷凸显了社会主义核心价值观，完形填空的主题‘一个见义勇为的司机’体现尤为明显。另外，阅读D篇“沉默的含义”以及写作都体现了对跨文化交际的重视，2017年的考生要特别加强这一方面的训练。”&&完形填空：难度基本与2015年新课标卷I持平&立尚教育高考研究院首席英语顾问老师林晓东：完型填空难度基本与2015年新课标卷I持平，讲述了一个英雄司机Larry灭火救人的故事。词汇依然为完型填空高频词汇，以必修1-必修5课后词汇为主。今年着重考查考生对语篇、语境和语意的深层理解能力，往后高考命题会越来越注重考查通过对上下文的理解来选择最佳答案，要求考生在掌握文章主旨大意的基础上，正确理解上下文语境和逻辑关系，准确把握词汇在语篇层面的意义。阅读理解词汇围绕高考3500必背词，文章篇幅适中，长难句较少。四篇阅读一共十五题，其中细节题占了八题，主要考查六个W一个H；推断占了五题，大意题和猜词题各占一题。记叙文，议论文，说明文比例均等，突出考查学生分析问题和解决问题的能力，考查层次整体上有所提高。此外，阅读理解在考查学生对语篇整体理解能力的同时，还考查考生快速阅读能力、跨文化交际意识和阅读策略的掌握等。何丹老师表示，阅读理解说明文居多（2说明文，1记叙文，1议论文），难度偏易，以细节题为主，定位好文章就可以迅速找到答案；话题多样化，考查学生对社会现象及文化差异的理解。 & & &语法填空：基础扎实同学可全对在语法填空上，陈智超认为：“语法填空可以讲是此卷难度最低的题型，是讲成都的大熊猫是其吸引人之处。6个提示空都是初中词汇，考查词性变形，名词单复数，主被动等基本语法能力，比广东卷的难度要求降低不少，基础扎实的同学应该能全对。”&短文改错：今年考题为常见考点&短文改错尽管是考生的失分题，但陈智超表示，今年的考题还是常见的考点，而且出题规范10处错误包括8个错词、1个多词、1个少词。连词的错用；如考题第一句My uncle is the owner of a restaurant close to that I live.‘that’应改为where；冠词的多余、缺失或错用；如in the short period of time, the应改为a;以上两句都是高一的语法知识。此外还有，名词单复数的错误；动词时态和语态的错误、非谓语动词的误用；形容词和副词的混用；介词的多余、缺失或错用；序数词和基数词的误用；代词的格与数的错用。短文改错都有其答题规范与特点。&书面表达：语言积累弱考生易失分&书面表达题目是说李华暑期想去一家外资公司兼职，已写好申请书和个人简历。给外交Ms.Jenkins写信，请他帮你修改所附材料的文字和格式。本年考的是求助信，平时我们备考做得很多类型之一。但今年题目给的内容较少，更加考察学生们遣词造句，添加合理细节内容，书信表达的得体性。对此，林晓东表示，考生除了会运用I would appreciate it if you could等高频句式外，写出地道如Would yoube so kind as to offer me some practical advice on my application and personalresume.相信评分老师会眼前一亮。不过，林晓东也指出，由于今年的作文题目相对简要，只给了题干，没有像往年的全国卷那样子给出3-4点的小要求，所以对于语言积累较弱的考生会不利于发挥。&何丹老师表示，书面表达依然是老套路“书信体裁“，具体内容是请外教写一封求助信。出题形式较以往新颖，且题目给出的提示信息少，不少考生有无从下笔的感觉。另外由于题干包含“申请书和个人简历”等字眼，审题难度较大，学生易判断错误交际功能。广东省亲历了全国卷后，建议升高三的同学加强短语的积累，夯实语言基础知识，同时增加对文化差异等知识的涉猎，提升自己的跨文化交际能力。文：广州日报记者 刘晓星、申卉、肖桂来部分资料据南方网、信息时报
广州参考编辑 崔素华
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苏联式教材的特点是知识点密，例题少，内容跨度大，这种教材一般是配合老师的讲解来的，教材作为上课内容的浓缩，是用来辅助阅读的，在这种体系中老师上课内容才是最主要的，教材则是上课内容的延伸，这一点在我之前的回答里有介绍。而欧美式教材的特点则是教材教材内容较简单，习题和例题多，后续课程较多复习前面的基础内容，定理和证明思路尽量简明，而且一般教材本身不会涉及太多超过本身教材的内容，这种教材读起来会轻松一些，但是同样两本书，苏式教材的内容要翔实得多。&br&&br&如果学生在开始这门课的时候采用了苏式教材，而老师讲课又不够好，就会让学生疲于应付，导致上课听不懂，课后看不懂书，最后对这门课程失去兴趣。欧美式教材的入门会比苏式教材容易很多，比如同样学习实变函数，那汤松的教程对入门者友好程度完全不及陶哲轩的《实变函数教程》。&br&&br&至于说到中国的教材特色，我认为是两者兼具，汲取各家之长，早期中国教材用苏式思维编写，而后期则是欧美式居多。比如大家有空可以搜搜陈建功老师写的实变函数，那就是早起我国教材的特色，跟苏联那种大部头教材非常相似。九十年代则两者兼顾。二十一世纪之后的数学教材则以欧美式居多。&br&&br&以下我分别举一些例子，并且阐述一下我的观点&br&&br&&br&&b&早期国内数学教材的编写受苏联早期教程编写影响很大。&/b&苏联的教材，比如戈尔金茨的《微积分教程》，柯斯特利金《代数学》，科莫戈洛夫《泛函分析》，巴赫瓦洛夫《数值分析》以及大家经常阅读的卓里奇《数学分析》等等，这些书内容在现在看来也不过时，比如巴赫瓦洛夫这个数值分析，我们国内好的数值分析教材应该就是李庆扬老师的《数值分析》，现在已经是第五版了，我看了第四版和第五版，我认为这本书就是李庆扬老师试图从巴赫瓦洛夫的书上先汲取营养然后消化好了再写成书给大家看，我认为这本书的源头是巴赫瓦洛夫那本。 又卓里奇这本《数分》到现在也是我们国内很多大学教材。戈尔金茨那本教程基本是国内大多数高等数学和数学分析的源头，因为五十年代向苏联学习，遂被翻译引入国内作为教材学习，很多高等数学的教材(特别是九十年代之前写的)基本都和这本书布局内容相似。俄罗斯就不用说了，俄罗斯数学学校到现在大部分都还推荐看这些老书，记得国内大家熟悉的不熟悉的都在我们各种科目的推荐阅读书单中出现过，但是其中我有仔细读的只有个位数，其他都是翻一翻做参考，遇到不懂的也是第一时间翻国内各大学编写的同类教材。苏联的这些书虽然内容翔实，编写用心，知识点密，内容排列紧凑，但是如果没有老师带的话自己看会很难读下去，原因是&br&1.语言不通俗，通篇都是符号，而且许多超纲内容，比如讲高等代数的突然出现代数簇，讲数学分析的突然出现什么流形，同胚，都不知道这些怎么来的。这些书一般不适合初学者阅读。&br&2.反馈机制缺乏，学到了新东西没有明确的反馈，让人觉得读起来索然无味。&br&3.教科书上习题，例题极其少而且难度大，而专门配套的习题册只有答案没解答过程。我们班的毛子同学当年人手一本中文的吉米多维奇解答册，遇到看不懂的就会问我写的什么。&br&苏联的教材编写规范由于早期向苏联学习的时候被引入，虽然后续引入了大量欧美教材，但是按照苏式教材编写的课本依然是非常常见的，甚至前段时间还有说华科大准备用柯斯特利金的《代数》做课本，尽管这些教材已经不符合现代教学的需求。&br&&br&例如，李庆阳《数值分析》（第四册），第五章讲常微分方程数值解的内容，&br&&img src=&/v2-89bbafe7eedf_b.png& data-rawwidth=&734& data-rawheight=&979& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&734& data-original=&/v2-89bbafe7eedf_r.png&&大家自行对比第五版会发现比较难懂，而且引言很少，用的诸如“差分格式”，“欧拉格式”等奇怪的名字都让人不明所以。&br&&br&又例如那汤松的《实变函数》是前苏联非常出名的一本实变函数教材，但是其展开思路在现在看来很不合理，比如&br&&img src=&/v2-2ee6a60b920db2cbd6740cc99bbe4cad_b.png& data-rawwidth=&678& data-rawheight=&774& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&678& data-original=&/v2-2ee6a60b920db2cbd6740cc99bbe4cad_r.png&&&br&&img src=&/v2-1e8ce020aa66fcf28f2443_b.png& data-rawwidth=&702& data-rawheight=&813& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&702& data-original=&/v2-1e8ce020aa66fcf28f2443_r.png&&&br&前面两章讲了一些点集和无穷集合的性质，第三章开始讲正文，按理说这时候应该先给个引言，让大家了解一下为什么要引入可测集合，为后面讲可测函数和勒贝格积分打基础，结果上来直接就是引理，证明，定义，引理...&br&&br&又例如Н.Н.Привалов的《复函数引论》前面两张讲简单的复数和运算，第二章也是正文第一章内容，开始引入复变函数，大家自己看看是否能看得进去：&br&&img src=&/v2-fda2f68eb2e8c43d71cd84_b.png& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&753& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&/v2-fda2f68eb2e8c43d71cd84_r.png&&&img src=&/v2-a51d13eddbf6_b.png& data-rawwidth=&615& data-rawheight=&794& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&615& data-original=&/v2-a51d13eddbf6_r.png&&&br&&br&&b&由于79年改革开放后引入大量欧美教材，其中许多重要的编写经验也慢慢被我国青年学者所采纳。&/b&现在许多国内教科书已经不仅仅是枯燥的内容，而还富有一些思考性的例题，难度泾渭分明的作业题。读这些教材会让你觉得非常有意思，我认为最典型的例子就是陶哲轩的《实变函数》上下册，里面每学完一节会留难度不等的自测题，而且内容非常口语化，试图让所有人都能明白在学什么，十一本非常好的教材。但是我对欧美数学教材并不熟悉，所以这里我就不多举例了。 但是这种编写模式会带来一个结果，同样两本厚度的书，越考虑学员感受的越考虑反馈机制的书则干货相对会越少。老毛子这么写书，因为五十年代后开启的冷战让他们内心很有压力，所有的大学生都是按照专家去培养(要知道苏联时期是没有四年本科制的，所有大学一律五年，算是冷知识吧哈哈)所以编写教材方面很少考虑学员的感受，甚至时至今日我在俄罗斯学习数学也是这种感觉，学校就是一副爱学不学，不学滚的态度。 而且班上基本上到大四现在有希望顺利毕业的不到大一入学新生一半。&br&&br&例如，欧美教材G·伯克霍夫的《近世代数》中，第一个定理的出现是在第七页，前面都是讲例题，从最基础的方面引入直观的内容&br&&img src=&/v2-3cbd160de4db9acfd9a02741cddf9247_b.png& data-rawwidth=&928& data-rawheight=&815& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&928& data-original=&/v2-3cbd160de4db9acfd9a02741cddf9247_r.png&&&br&&br&例如，李庆阳《数值分析》（第五版）的第五章关于常微分方程数值解法一部分，就已经非常有欧美教材的感觉了，大家自行对比上面贴的第四版的同一章节会发现第五版很亲切，难度布置合理，最重要的是引言让你明白这里在讲什么：&br&&img src=&/v2-88e30dc24b3d34bc2a4877_b.png& data-rawwidth=&709& data-rawheight=&788& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&709& data-original=&/v2-88e30dc24b3d34bc2a4877_r.png&&&img src=&/v2-a0bafef4f3f86da28f04e2cc_b.png& data-rawwidth=&677& data-rawheight=&804& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&677& data-original=&/v2-a0bafef4f3f86da28f04e2cc_r.png&&对比第四版，这里很明显引言部分明显变长了，引言部分很重要，因为要了解这一章到底在研究什么问题一定要好好看懂引言。 引言之后讲欧拉方法而不是第四版的“欧拉格式”，在文字上会感觉直观一些。&br&&br&又例如，邱老师《抽象代数简明教程》的前言，&img src=&/v2-bb39fd95a9271_b.png& data-rawwidth=&712& data-rawheight=&805& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&712& data-original=&/v2-bb39fd95a9271_r.png&&&img src=&/v2-ec0b7bd87_b.png& data-rawwidth=&681& data-rawheight=&813& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&681& data-original=&/v2-ec0b7bd87_r.png&&&img src=&/v2-a11bc2bc3da0_b.png& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&796& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/v2-a11bc2bc3da0_r.png&&&img src=&/v2-dbda487cfb2_b.png& data-rawwidth=&726& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&726& data-original=&/v2-dbda487cfb2_r.png&&&img src=&/v2-4ac390d914e98c78d96c58_b.png& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&/v2-4ac390d914e98c78d96c58_r.png&&引言部分非常详细讲述了抽象代数的历史，作用和学习目的，然后进入引言，先从一个最简单的例子开始 -- 对称&br&&img src=&/v2-9b3aa6f7be43_b.png& data-rawwidth=&741& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&741& data-original=&/v2-9b3aa6f7be43_r.png&&&img src=&/v2-69eea87fdb5aa528f4db_b.png& data-rawwidth=&745& data-rawheight=&741& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&/v2-69eea87fdb5aa528f4db_r.png&&然后引出后面的群，环，域，扩域等， 这本书不是基础科目， 一般是视作学完邱老配套教材《高等代数》上下册后的抽象代数入门教材。&br&作为对比大家看看前苏联著名抽象代数教材N.贾克勃积逊的《抽象代数学第一卷第一章》会发现对新人非常吃力。&br&&img src=&/v2-cff01accb3ded493ed3361ffad6b3245_b.png& data-rawwidth=&644& data-rawheight=&753& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&644& data-original=&/v2-cff01accb3ded493ed3361ffad6b3245_r.png&&&br&还是这本书，看看第三章正文环部分&br&&br&&img src=&/v2-afd2d_b.png& data-rawwidth=&756& data-rawheight=&776& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&756& data-original=&/v2-afd2d_r.png&&这本书对于环，域的解释。 不知道大家感觉怎么样，就我个人而言会觉得看不下去。&br&&br&回答完了编写方面的，再说说内容方面的。 &b&欧美教材一般编写教材的顺序比较喜欢自上而下，而中国一部分教材和老毛子的大部分教材都是自下而上编写&/b&。&br&&br&欧美教材一般在引入一大堆定义，定理之前会举例子，让大家明白我们即将学习的是个什么玩意，然后顺理成章引入定义 定理 证明，然后又用这些定理做题。 老毛子则完全反着来，先给定义，然后给定理，定理的证明会用到之前给出的定义，然后给出一些习题，并利用定理解决习题。
老毛子的做法是先难后易，欧美教材则普遍先易后难。 而国内许多高等数学教材采用的苏联式思维编写，所以总是有种一节课讲一大堆什么导数的定义，可导的条件定理，可导可微和连续的区别，“可导必连续，连续不一定可导”口诀，最后做习题就是写出比如x^2，sinx的导数...让人学的很迷糊。 五年前我进国内大学的时候就是这种感觉。 又比如线性代数课，引入了维向量空间，又引入各种定义(平行，垂直，不相交)，然后引入一大堆定理，最后做习题的时候完全懵逼。&br&&br&欧美教材感觉要更加人性化一些，在引入一些概念之前会给例题，从生活中讨论引入这个定义的必要性。然后再进入规范化的流程，最后给大量而且难易度分明的习题让大家做。&br&&br&国内写得好的教材我读过的有这两本印象深刻的，一本书我最喜欢的老师&b&丘维声的《高等代数》&/b&(上，下)和&b&《抽象代数初步》，&/b&一本书&b&李庆扬老师《数值分析》(第五版)&/b&，第五版相对于第四版在语言表述上面进行了优化，读起来非常舒服，内容也非常深入浅出，比如各种方程求根算法（牛顿法，欧拉法，后退欧拉法，迭代法等）和微分方程数值解法（比如梯形法，欧拉法，线性多步法)的讲解非常到位，基本上直接可以在程序上写出来。
但是对于多步法求代数精度的问题上讨论有点少，比如给定一个求积分公式&img src=&///equation?tex=x_%7Bk%2B1%7D+%3D+ax_%7Bk%7D+%2B+bx_%7Bk-1%7D%2Bcx_%7Bk-2%7D+%2B+Lh%28nf_%7Bk%7D+%2B+mf_%7Bk-1%7D%29+& alt=&x_{k+1} = ax_{k} + bx_{k-1}+cx_{k-2} + Lh(nf_{k} + mf_{k-1}) & eeimg=&1&&要求其最高阶的代数精度应该用&b&待定系数法&/b&，也就是令&img src=&///equation?tex=f+%3D+%28x+-+x_%7Bk%2B1%7D%29%5E%7Ba%7D+& alt=&f = (x - x_{k+1})^{a} & eeimg=&1&&然后取a = 0 , 1,2,3 ...代入验算直到出现矛盾 ， 但是这个简单的方法在书上没有涉及，并且这本书对于求积分公式的A-稳定和0-稳定性不如巴赫瓦洛夫《数值方法》全，只介绍了几个简单定理没有详细展开，当然这本书主要还是给数学系本科生或者工科研究生看的，所以可以理解， 另外这本书对于边值问题的积分方法只讲了差分法和试射法，但是在俄罗斯大学学这门课的时候还需要掌握伽辽金法，位置函数法等另外四种解决边值问题的方法。 所以这本书相对而言比较偏基础，但是是本好书 。&br&&br&另外还有一些书也写的很好，比如&b&王高雄的《常微分方程&/b&》比北大数学系那个常微方程导论分要浅显，北大那个常微分方程就是典型苏联式写法，比较晦涩。 但是对于微分方程Ляпнов稳定性部分北大这个讲解非常到位。&br&&br&&b&西安交大《复变函数》(第四版)&/b&也是本不错的入门教程，配合专门的习题册练习，这门考试拿了我大学为数不多的五分。 这本书对于柯西积分的讲解很到位记得当时洛朗级数和留数定理班上大部分同学都不会，我考完帮他们做了好多题，大家都通过考试。但是关于共形映射没有普利瓦洛夫的《复变》详细。&br&&br&数学分析我建议读&b&华东师范大学蓝本那个&/b&。不要读卓里奇，菲立金戈尔茨这两本。 华东师范大学虽然也是按照苏式编写法编写的，但是关联程度高，一般不会超纲，读起来稍微轻松一些。数学分析这门课作为所有课程的基础基本上不用苏式教材学不来。&br&&br&泛函分析我认为最好的教材是&b&郑维行《实变函数与泛函分析初步》(上下册)&/b&这本书。 这本书内容很好，前后逻辑关联很到位。被我很喜欢这本书讲谱算子和线性泛函这两章。缺点是例题不够典型。
科莫戈洛夫的泛函分析没必要看，我们老师都不推荐这本书，超纲。
&b&张恭庆的《泛函分析讲义》&/b&有点散乱，比较麻烦，但是也是不错的基础读物，如果要读泛函最好还是郑维行的。&br&&br&概率论我建议买&b&复旦大学韩旭里的《概率论和统计学原理》&/b&，白紫色封面那本。 很好的教材，上面例题很典型，特别好! 缺点是数学系读起来不够用。工科用这本书保证杠杠的。&br&&br&数学物理方程的话看&b&《数学物理方程讲义》（姜礼尚）&/b&，因为我们老师是深受苏联教材影响的，所以他讲课也是按照苏联一般讲授数学物理方程的大纲来讲的， 主要就是三个部分：&b&热导方程，波动方程和位势方程&/b&三个大的主题，然后往下面展开各种变换，所以这本教材非常适合我，但是不知道国内怎么教的，所以大家可以参考一下。&br&&br&我会的编程语言有java，c, scheme,assembler , haskell , prolog 其中用得最多的就是java和haskell,这两本书我可以推荐一下就是， haskell可以看《haskell趣学指南》这本书作者是保加利亚的一个学生，但是内容很丰富， java我主要是看《think in java》和韩顺平老师的《JAVA初学者教程》视频，油管上面有看， 韩老师讲的很浅，很多东西直接跳过了，但是该讲的都还是讲了，由视频教程入门，然后看think in java会容易很多。&br&&br&以上一些个人看法，轻喷。&br&&br&&br&如果需要推荐教材的话可以私信我，我手头上有很多好教材，当时每学一门课都会下10-20本这门课的教材， 当时新浪爱问还可以随便下载，微盘和百度云还没有限制，所以找了一大堆好书。 关于基础数学如果有需要我可以推荐一些&br&&img src=&/v2-af80d0e06443faa0aba99d_b.png& data-rawwidth=&745& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&/v2-af80d0e06443faa0aba99d_r.png&&
各位久等了，我家网络昨天欠费给断了，所以准备上传的时候没网了，今天花了一天时间上传了所有教材，大家可以在我的百度云盘下载自己需要的书： 值得说明的是 近300本没有仔细分类的书都在“数学专业”的文件夹下面，因为有一些科目已经学过 了我就没做归类…
—————————————————————————————————&br&不少同学希望谈谈学习方法，我本身也是学渣（考研数学80/150），没有资格谈啊。不过我最近修了&br&RICE大学在edx上的相关课程“&a href=&///?target=https%3A//courses.edx.org/courses/RiceX/ELEC301x/T1_2014/info& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ELEC301x Discrete Time Signals and Systems&i class=&icon-external&&&/i&&/a&”，真的非常不错。初步总结， 有三大优点：&br&1.注重实践，有大量的matlab相关的案例内容；&br&&b&2.重离散、轻连续，这样创新的思路抛弃了直接研究连续带来的大量的理论负担，同时也非常实用；当然，如果要做研究，后面还是要重新认真学习连续的，这可能需要借助mit的课程了。&/b&&br&3.作业题有深度、有启发，是很好的训练。&br&&br&推荐下学习教材（鉴于大家批评我说这些书不好买，这里给出购买链接），&br&1.新手入门：&br&前驱知识，微积分、线性代数及格&br&优秀教材：&br&（1）&a href=&///?target=http%3A///Understanding-Digital-Signal-Processing-3rd/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fs%3Dbooks%26ie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D1-1%26keywords%3Dunderstanding%2Bdigital%2Bsignal%2Bprocessing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Understanding Digital Signal Processing (3rd Edition): Richard G. Lyons: 5: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&评价相当之高，注重理解，对数学要求不高&br&购买链接：&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《国外高校电子信息类优秀教材经：数字信号处理（英文影印版）》([美]莱昂斯)【摘要 书评 试读】&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&（2）&a href=&///?target=http%3A///Digital-Signal-Processing-Using-MATLAB/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fs%3Dbooks%26ie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D1-1%26keywords%3Ddigital%2Bsignal%2Bprocessing%2Busing%2Bmatlab& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Digital Signal Processing Using MATLAB: Vinay K. Ingle, John G. Proakis: 5: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&大量引入matlab，注重动手实践增加认知，好像也是首个创新的直接讲解离散的教材。&br&公开课：&br&RiceX：&a href=&///?target=https%3A//courses.edx.org/courses/RiceX/ELEC301x/T1_2014/info& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ELEC301x Discrete Time Signals and Systems&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&也是直接进入离散主题、注重理解、注重matlab操作的好课程。&br&购买链接：&a href=&///?target=http%3A///%25E6%%25E5%25AD%%25BF%25A1%25E5%258F%25B7%25E5%25A4%%-%25E5%25BA%%MATLAB-Vinay-K-ingle/dp/B002WWUYZU/ref%3Dsr_1_5%3Fs%3Dbooks%26ie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D1-5& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数字信号处理:应用MATLAB》 Vinay K.ingle, John G.Proakis【摘要 书评 试读】图书&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&2.进阶：&br&我还在学，学完推荐&br&&br&谈谈学习成本：&br&经济成本：我推荐的书国内亚马逊都有正版，加起来二百出头，公开课需要v～P·N工具，一年二百左右。新东方一个破辅导班3000+，一部红米手机799.&br&时间成本：no pain, no gain。&br&&br&最后恬不知耻的秀秀rice给我的课程成绩，大家一定会做的更好。&br&下载链接&br&&a href=&///?target=https%3A///s/jf6vuc40oxcor2u/ELEC301x%2520Discrete%2520Time%2520Signals%2520and%2520Systems.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dropbox - ELEC301x Discrete Time Signals and Systems.pdf&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&截图：&br&&img src=&/be944b5af97d_b.jpg& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&534& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&/be944b5af97d_r.jpg&&&br&&br&&br&————---------————我正在和论文搏斗 先给个简单答案吧——————————&br&对工科生来讲，傅里叶变换可以从三个层次来看：&br&傅里叶变换（Fourier Transform，FT）-& 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform， DFT）-& 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）&br&FT是理论基础，以FT为理论基础，可以完成从频率估计到求解微分方程各式各样的问题；&br&DFT是指信号被采样之后你会得到&b&离散&/b&（如你需要处理的音频信号被采样）而非&b&连续&/b&的信号，这个时候就需要DFT来告诉你怎样处理并告知你一些离散情况下的特殊问题；&br&FFT是一种计算DFT的算法，计算复杂度很低也就是执行起来很快的意思。&br&举个例子吧：有人通过在小黑屋按钢琴的一个键不松会产生一个单音信号给你传递情报，&br&&img src=&///equation?tex=y%28t%29%3D%5Csin%282%5Cpi+ft%2B%5Ctheta%29& alt=&y(t)=\sin(2\pi ft+\theta)& eeimg=&1&&&br&信号的频率&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&取决于他所按的键。你看不见他，却希望获知信号的频率。怎么办？&br&1.FT的理论就会告诉你可以通过傅里叶变化获知这个频率。&br&但是这个信号飘荡在空中，你需要先通过采样得到一个离散信号&br&&img src=&///equation?tex=y%5Bi%5D%3D%5Csin%282%5Cpi+%5Cfrac%7Bf%7D%7Bf_%7Bs%7D%7Di%2B%5Ctheta%29+%5C++%5C+%5C+%5C+%5C+%28i%3D1%2C2%2C...N%29& alt=&y[i]=\sin(2\pi \frac{f}{f_{s}}i+\theta) \
\ \ \ \ (i=1,2,...N)& eeimg=&1&&&br&(&img src=&///equation?tex=f_%7Bs%7D& alt=&f_{s}& eeimg=&1&&是采样频率，香农和奈奎斯特告诉我们，需要&img src=&///equation?tex=f_%7Bs%7D%3E2f& alt=&f_{s}&2f& eeimg=&1&&)。&br&2.得到离散信号后如何计算&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&，DFT就会告诉你怎么办;&br&3.你嫌DFT太慢了怎么办，FFT就粉墨登场了。&br&&br&从你计算机的专业背景和希望做音频降噪的需求来看。你需要掌握的是DFT和FFT我建议&br&1. 找本高等数学的书，花半个小时看看什么是FT；&br&2. 强烈推荐《Understanding Digital Signal Processing》，一本只需高中数学，且英文比中文都易懂的书，在&a href=&///?target=http%3A//& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&上有很高的评价（&a href=&///?target=http%3A///Understanding-Digital-Signal-Processing-Edition/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-1%26keywords%3Dunderstanding%2Bdigital%2Bsignal%2Bprocessing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Understanding Digital Signal Processing (3rd Edition): Richard G. Lyons: 5: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），国内有卖，建议认真看第1、2、3章。你会对离散傅里叶变换有很深入的了解；&br&3. 实践出真知，看完什么理论，立马用matlab试试看，会理解的很透彻；&br&4. project可以沿着matlab-&VC-&DSP-&FPGA的道路前进。&br&&br&至于你说的语音降噪问题，需要首先用DFT分析信号与噪声的频率特性，&b&降噪&/b&需要设计滤波器完成。变化与滤波是信号处理的两大主题，看看《Understanding Digital Signal Processing》的后面几章就明白了。&br&&br&语音降噪问题已经发展成为一个成熟的子学科，要做进一步研究就需要你自己努力了。
————————————————————————————————— 不少同学希望谈谈学习方法，我本身也是学渣（考研数学80/150），没有资格谈啊。不过我最近修了 RICE大学在edx上的相关课程“”，…
&p&怎么记住斯托克斯公式？两个字：理解。&/p&&p&先给出公式是一种礼貌，斯托克斯公式有好几种形式。&/p&&p&如图，边界为 &img src=&///equation?tex=%5Cpartial+%5CSigma+& alt=&\partial \Sigma & eeimg=&1&& ，围成曲面为 &img src=&///equation?tex=%5CSigma+& alt=&\Sigma & eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-a3c8b8bbb178cb3a96b245bb36f263ba_b.png& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&220&&&p&最简单的形式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%7B%5Cboldsymbol+%7B%5CSigma+%7D%7D%3D%5Coint+_%7B%5Cpartial+%5CSigma+%7D%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Br%7D+%5C%2C+%2C%7D& alt=&{\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf{F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}=\oint _{\partial \Sigma }\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \, ,}& eeimg=&1&&w&/p&&p&把旋度算子 &img src=&///equation?tex=%5Cnabla+& alt=&\nabla & eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&& 展开，可以得到：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%26+%7B%5CBigg%28%7D%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+R%7D%7B%5Cpartial+y%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+z%7D%7D%5Cright%29%5C%2C+dy%5C%2C+dz%2B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+z%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+R%7D%7B%5Cpartial+x%7D%7D%5Cright%29%5C%2C+dz%5C%2C+dx%2B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7D%7D%5Cright%29%5C%2C+dx%5C%2C+dy%7B%5CBigg%29%7D%5C%5C%5B8px%5D%26+%3D%5Coint+_%7B%5Cpartial+%5CSigma+%7D%7B%5CBig%28%7DP%5C%2C+dx%2BQ%5C%2C+dy%2BR%5C%2C+dz%7B%5CBig%29%7D%5C%2C+%2C%5Cend%7Baligned%7D%7D%7D& alt=&{\displaystyle {\begin{aligned} \iint _{\Sigma }& {\Bigg(}\left({\frac{\partial R}{\partial y}}-{\frac{\partial Q}{\partial z}}\right)\, dy\, dz+\left({\frac{\partial P}{\partial z}}-{\frac{\partial R}{\partial x}}\right)\, dz\, dx+\left({\frac{\partial Q}{\partial x}}-{\frac{\partial P}{\partial y}}\right)\, dx\, dy{\Bigg)}\\[8px]& =\oint _{\partial \Sigma }{\Big(}P\, dx+Q\, dy+R\, dz{\Big)}\, ,\end{aligned}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&对于学习高等数学的同学，主要是要记住后面这种一大串的形式，这里提供一种记忆方法。&/p&&img src=&/v2-513ea5f82e_b.png& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&/v2-513ea5f82e_r.png&&&p&把曲线分别投影到 &img src=&///equation?tex=xz%2Cyz& alt=&xz,yz& eeimg=&1&& 平面上可以得到另外的分项，我们把三个格林公式相加就得到上面这一大串公式：&/p&&img src=&/v2-7bdacf31a5d5964b45dc_b.png& data-rawwidth=&803& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&803& data-original=&/v2-7bdacf31a5d5964b45dc_r.png&&&p&实际证明虽然也是通过投影的办法，但有点不一样，只是最后凑起来有这样的巧合，拿来助记还是可以的。&/p&&p&&b&1 斯托克斯公式是格林公式的推广&/b&&/p&&p&可以先阅读 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&这篇文章&/a& 来具体地理解格林公式。&/p&&p&在格林公式的文章中，我举了一个不那么严谨的比喻，打台球：&/p&&img src=&/v2-30fdd06574_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-30fdd06574_r.jpg&&&p&它的能量守恒是这样的：&/p&&img src=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_b.png& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_r.png&&&p&击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：&/p&&img src=&/v2-c6edecc8dd8ebc6b66970_b.png& data-rawwidth=&782& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&782& data-original=&/v2-c6edecc8dd8ebc6b66970_r.png&&&p&实际上，没有人规定台球桌面必须是平的，台球桌面就是可以变来变去：&/p&&img src=&/v2-59f1d34d52dd5f96a2b9dd01d98d8cc4_b.jpg& data-rawwidth=&360& data-rawheight=&401& class=&content_image& width=&360&&&p&不管台球桌怎么变，不变的是能量守恒：&/p&&img src=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_b.png& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_r.png&&&p&只是台球桌面不再是在二维空间了，进入了三维，这就得到了斯托克斯公式：&/p&&img src=&/v2-2af07efefcf6b_b.png& data-rawwidth=&811& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&811& data-original=&/v2-2af07efefcf6b_r.png&&&p&要强调下，打台球的比喻仔细说来，是有漏洞的：&/p&&ul&&li&台球桌上的力场不是一阶偏导连续的&/li&&li&边界上积分为0的才可以使用，因为等式右边没有计算边界，而格林、斯托克斯公式是要求计算边界的&/li&&/ul&&p&虽然这个比喻不那么严谨，只是我觉得对我自己记忆很有启发性，而且琢磨这个比喻的适用范围也对理解这两个公式有帮助，所以我把这个比喻放上来的，希望对你们有帮助。&/p&&p&知道斯托克斯公式是格林公式的推广，可以尝试手动从格林公式推导一遍斯托克斯公式，也能加深理解，这里就不推了，书上有这个过程。&/p&&p&&b&2 麦克斯韦-法拉第方程&/b&&/p&&p&斯托克斯公式有个重要的应用，就是推出大名鼎鼎的麦克斯韦方程组的麦克斯韦-法拉第方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D+%3D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla \times \vec{E_{}} = - \frac{\partial \vec{B_{}}}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&我们来看看是怎么推出来的。&/p&&p&为了写这一节的内容，我翻看了费曼的《物理学讲义》，看到下面这一段话：&/p&&blockquote&&b&从人类历史的长远观点来看--例如过一万年之后回头来看--毫无疑问，在19世纪中发生的最有意义事件将被认为是麦克斯韦对电磁学定律的发现。与这一重大科学事件相比，同一个十年中发生的美国南北战争，将降为一个地区性琐事而黯然失色。&/b&
----费曼《物理学讲义》&/blockquote&&p&不禁很感概。我们中国的各种王侯将相争斗了数千年，最后还是被西方的坚船利炮敲开了国门。真正改变历史的还是知识啊。&/p&&p&让我们从发电机的原理讲起。发电机无疑是电磁学的重大成果，点亮了整个人类。&/p&&p&&b&2.1 发电机原理&/b&&/p&&p&以水力发电机为例，通过水力冲刷扇叶，带动发电机产生电力：&/p&&img src=&/v2-c32feaceedd50c34a78fcf0a_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&213& class=&content_image& width=&300&&&p&对于这个过程，麦克斯韦说，我们可以用齿轮来进行类比。&/p&&p&首先，水力冲刷齿轮转动：&/p&&img src=&/v2-d7b28dc442009ccad6158f4_b.jpg& data-rawwidth=&402& data-rawheight=&360& class=&content_image& width=&402&&&p&再带动虚拟的、精致的“电磁齿轮”转动、转换，将水能变为电能：&/p&&img src=&/v2-26485dafe153499eba46cc1_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&400&&&p&接下来我们看看，这个“电磁齿轮”的工作细节是什么？&/p&&p&&b&2.2 “电磁齿轮”工作原理&/b&&/p&&p&我们来看一个实验事实：&/p&&img src=&/v2-af0e426ec02ab96abf4ca87ef2c27c4f_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&300&&&p&环形的是线圈（导体，但非铁的，不会和磁铁产生磁力），下降的是磁铁做成的小球。我们可以观察到，小球降落到线圈附近的时候，小球下降速度明显变慢，动能减少。&/p&&p&根据常识，能量是守恒的，那么减少的动能去哪里了？&/p&&p&转为了线圈内的电能：&/p&&img src=&/v2-ec9fc7ee1b_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&300&&&p&&b&2.3 电能的计算&/b&&/p&&p&就上面的实验现象，法拉第是这样解释的，磁铁小球下落过程中，导致通过线圈的磁场发生了变换，所以在线圈中产生了电流。&/p&&p&根据这个解释，法拉第总结出了电磁感应定律：&/p&&img src=&/v2-eb0fcc415b2aaa10d5fbe09_b.jpg& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&/v2-eb0fcc415b2aaa10d5fbe09_r.jpg&&&p&数学形式为：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BE%7D%3D-%7B%5Cfrac%7Bd%5CPhi+_%7BB%7D%7D%7Bdt%7D%7D& alt=&\mathcal{E}=-{\frac{d\Phi _{B}}{dt}}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中：&/p&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}& eeimg=&1&& 是电动势，也就是转化到线圈内的电能。&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cfrac%7Bd%5CPhi+_%7BB%7D%7D%7Bdt%7D%7D& alt=&{\frac{d\Phi _{B}}{dt}}& eeimg=&1&& 是磁通量的变幻率，也就是磁铁小球下落过程中变化的磁场&/li&&/ul&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}& eeimg=&1&& 是转化到线圈内的电能，可以写为线圈的线积分（和力场做功是不是很像）：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%3D%5Coint+_%7B%5Cpartial+%5CSigma+%7D%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}=\oint _{\partial \Sigma }\vec{E_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中， &img src=&///equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 代表线圈， &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D& alt=&\vec{E_{}}& eeimg=&1&& 为电场。&/p&&p&通过斯托克斯公式可以把线积分改写为面积分：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%3D%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7BS_%7B%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}=\iint _{\Sigma }\nabla \times \vec{E_{}}\cdot d\vec{S_{}}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中， &img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 为 &img src=&///equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 围成的面。&/p&&p&而磁通量 &img src=&///equation?tex=%5CPhi+_%7BB%7D& alt=&\Phi _{B}& eeimg=&1&& 顾名思义为磁场的通量（通量我在 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&这篇文章&/a& 里面介绍过），这么计算：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5CPhi+_%7BB%7D%3D%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%7B%7B%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7BS_%7B%7D%7D%7D& alt=&\Phi _{B}=\iint _{\Sigma }{{\vec{B_{}}}\cdot d\vec{S_{}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&因此：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%3D-%7B%5Cfrac%7Bd%5CPhi+_%7BB%7D%7D%7Bdt%7D%7D%3D-%5Ciint+_%7B%5CSigma+%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7BS_%7B%7D%7D& alt=&{\mathcal{E}}=-{\frac{d\Phi _{B}}{dt}}=-\iint _{\Sigma }\frac{\partial \vec{B_{}}}{\partial t}\cdot d\vec{S_{}}& eeimg=&1&&&/p&&p&对比两式就可以得到，麦克斯韦-法拉第方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cvec%7BE_%7B%7D%7D+%3D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cvec%7BB_%7B%7D%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla \times \vec{E_{}} = - \frac{\partial \vec{B_{}}}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据实验事实，加点斯托克斯的料，我们就得到了这个方程。&/p&
怎么记住斯托克斯公式？两个字：理解。先给出公式是一种礼貌，斯托克斯公式有好几种形式。如图，边界为 \partial \Sigma ，围成曲面为 \Sigma ：最简单的形式：{\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf{F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}=\o…
&img src=&/af8dba1ef43d7bb5bf75fd_b.jpg& data-rawwidth=&499& data-rawheight=&639& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&499& data-original=&/af8dba1ef43d7bb5bf75fd_r.jpg&&这书网上能找到pdf,然后你也不需要找什么其他的书了,用过都说好,谁用谁知道. 最赞的是这本书的课后习题,环环相扣,一步步夯实你对概念的理解. 最牛逼的是这些习题还能给你营造出一种你解决了一个了不得的难题的幻觉,所以你可以骗着自己一题一题刷下去. 我觉得你要是效率高,一个月刷掉前面六章是没问题的,我是说你至少懂点微积分的情况下. &br&&br&&img src=&/dad21dfa802a81b4_b.jpg& data-rawwidth=&424& data-rawheight=&637& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&424& data-original=&/dad21dfa802a81b4_r.jpg&&Ross的书绝对经典,所以进阶你也不用想着找别的什么教材了,这个绝对质量最高,但难啃不少,因为Ross推式子时特别喜欢用些小trick,然后像变戏法一样就推出来了,有好多步骤我都是在stackexchange上问才问懂的. 这书要求你能用更加generalized的体系把所有的概率分布串起来,而不是觉得它们都相互独立存在着. 比如推Poisson Process,你可以从Renewal Process推,然后又从特别简单的有限间隔时间符合高斯分布推,然后慢慢的你就把最主要的几个分布外加它们的generalized形式掌握了,这个自己推出来和背下来有本质区别. 另外这本书的马科夫章节课后习题比较扎手,矩阵动不动就错,然后你还算半天算不出来以为是算错了...&br&&br&过了之后我觉得就已经用尽了所有大一大二的数学储备了,再往上你就得学泛函跟测度了,不然寸步难行. 而且说实话,再往上这些东西你学再好用处也不大,因为应用场景已经剧变了,会解PDE更加重要.
这书网上能找到pdf,然后你也不需要找什么其他的书了,用过都说好,谁用谁知道. 最赞的是这本书的课后习题,环环相扣,一步步夯实你对概念的理解. 最牛逼的是这些习题还能给你营造出一种你解决了一个了不得的难题的幻觉,所以你可以骗着自己一题一题刷下去. 我觉…
其实学了高等数学对高中数学的某些知识有更深的理解，也有实质性的帮助，还有很多结论可以推广到一般情形&br&&br&&ul&&li&&b&高等代数&/b&&/li&&/ul&&b&方程的根&/b&&br&高中有时候会遇到三次方程，一般是猜简单的整数解，&img src=&///equation?tex=%5Cpm+1%2C%5Cpm+2%2C%5Cpm3& alt=&\pm 1,\pm 2,\pm3& eeimg=&1&&,然后因式分解&br&而如果知道下面这个定理解题速度会加快，而且思路更加清晰：&br&&b&定理1&/b&&br&&b&设&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da_nx%5E%7Bn%7D%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_n& alt=&f(x)=a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_n& eeimg=&1&&是一个整系数多项式，而&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Br%7D%7Bs%7D& alt=&\frac{r}{s}& eeimg=&1&&是它的一个有理根，其中&img src=&///equation?tex=r%2Cs& alt=&r,s& eeimg=&1&&互素，那么必有&img src=&///equation?tex=s%5Cmid+a_%7Bn%7D%2Cr%5Cmid+a_%7B0%7D& alt=&s\mid a_{n},r\mid a_{0}& eeimg=&1&&,如果&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的首项系数&img src=&///equation?tex=a_%7Bn%7D%3D1& alt=&a_{n}=1& eeimg=&1&&，那么&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的有理根都是整根，而且是&img src=&///equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&的因子&/b&&br&&b&定理2&/b&&br&&b&&img src=&///equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的根的充分必要条件是&img src=&///equation?tex=%28x-%5Calpha%29%5Cmid+%7Bf%28x%29%7D& alt=&(x-\alpha)\mid {f(x)}& eeimg=&1&&&/b&&br&&br&&br&例子：&br&&img src=&///equation?tex=4x%5E4-7x%5E2-5x-1%3D0& alt=&4x^4-7x^2-5x-1=0& eeimg=&1&&&br&&br&我们要求这个方程的根，如果它有有理根的话，那么根据定理1，有理根只能是&img src=&///equation?tex=%5Cpm+1%2C%5Cpm%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cpm%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&\pm 1,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{4}& eeimg=&1&&&br&计算下发现&img src=&///equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&-\frac{1}{2}& eeimg=&1&&是其根，然后根据定理2&br&方程左边分解成&img src=&///equation?tex=%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%28a_%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%2Ba_%7B2%7Dx%5E2%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B0%7D%29& alt=&(x+\frac{1}{2})(a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=a_%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%2Ba_%7B2%7Dx%5E2%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B0%7D& alt=&a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}& eeimg=&1&&的求法一般有两种:&br&1.采用多项式除法，用&img src=&///equation?tex=4x%5E4-7x%5E2-5x-1& alt=&4x^4-7x^2-5x-1& eeimg=&1&&除以&img src=&///equation?tex=x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&x+\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&2.综合除法&br&&br&当然次数更高的，一般先求&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7B%28f%28x%29%2Cf%27%28x%29%29%7D& alt=&\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}& eeimg=&1&&，不过高中用不到，就不做讨论&br&&br&&b&二元二次函数的配方：&/b&&br&&br&&br&本质就是把二次型化成标准形的过程，高中的话也有通法，一般先把其中一个当成主元进行配方，所以也不细加讨论了&br&&b&定理三：&/b&&br&&b&在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.&/b&&br&举个例子：&br&已知&img src=&///equation?tex=%5Cbar+e_1%2C%5Cbar+e_2%2C%5Cbar+e_3& alt=&\bar e_1,\bar e_2,\bar e_3& eeimg=&1&&是空间向量，满足&img src=&///equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cbar+e_1+%5Cright%7C+%3D%5Cleft%7C+%5Cbar+e_2+%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft+%7C%5Cbar+e_3+%5Cright%7C%2C%5Cbar+e_1%5Ccdot+%5Cbar+e_3%3D%5Cbar+e_2%5Ccdot%5Cbar+e_3%3D2%5Cbar+e_1%5Ccdot%5Cbar+e_2%3D1%2C%5Clambda+%2C%5Cmu+%5Cin+R& alt=&\left| \bar e_1 \right| =\left| \bar e_2 \right|=\frac{1}{2}\left |\bar e_3 \right|,\bar e_1\cdot \bar e_3=\bar e_2\cdot\bar e_3=2\bar e_1\cdot\bar e_2=1,\lambda ,\mu \in R& eeimg=&1&&,设&img src=&///equation?tex=%5Cbar+a%3D%5Cbar+e_1-%5Clambda+%5Cbar+e_2-%5Cmu+%5Cbar+e_3& alt=&\bar a=\bar e_1-\lambda \bar e_2-\mu \bar e_3& eeimg=&1&&,则&img src=&///equation?tex=%5Cleft%7C%5Cbar+a%5Cright%7C& alt=&\left|\bar a\right|& eeimg=&1&&的最小值为____,此时&img src=&///equation?tex=%5Clambda%3D& alt=&\lambda=& eeimg=&1&&
，&img src=&///equation?tex=%5Cmu%3D& alt=&\mu=& eeimg=&1&&
.&br&&br&&ul&&li&&b&高等数学（数学分析）&/b&&/li&&/ul&高中的导数就是数学分析的一部分，所以联系还是比较多的，应该说很多出题人是从大学微积分里面挖的坑，然后用高中的方法去填，所以学完微积分更能了解其本质&br&&br&比如今年的&br&全国卷1卷（理科）最后一道压轴题：&br&21.已知函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%28x-2%29e%5E%7Bx%7D%2Ba%28x-1%29%5E%7B2%7D& alt=&f(x)=(x-2)e^{x}+a(x-1)^{2}& eeimg=&1&&有两个零点&br&(1)求a的取值范围；&br&(2)设&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D%2Cx_%7B2%7D& alt=&x_{1},x_{2}& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的两个零点，证明：&img src=&///equation?tex=x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%3C2& alt=&x_{1}+x_{2}&2& eeimg=&1&&&br&第二问可以直接用&b&Hadamard不等式&/b&，过程见&b&：&/b&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&哪些高端大气的数学定理可以简洁地证明高中数学压轴题？ - 张冲冲的回答&/a&&br&&br&&br&&b&高中解压轴题的时候会积累一些结论，比如：&img src=&///equation?tex=a%2Cb%5Cin+R%5E%2B%2Ca%5Cneq+b%2C%5Csqrt%7Bab%7D%3C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%3C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D& alt=&a,b\in R^+,a\neq b,\sqrt{ab}&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}&\frac{a+b}{2}& eeimg=&1&&&br&&/b&&br&中间那个式子叫做对数平均：&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Logarithmic mean&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&这个不等式怎么来的呢？&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%7B%28t%2B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%5Cleq%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B%7D%7B%7D%5Cfrac%7B%7B%5Crm+d%7Dt%7D%7B%28t%2Ba%29%28t%2Bb%29%7D%5Cleq%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%7B%5Crm+d%7Dt%7D%7B%28t%2B%5Csqrt%7Bab%7D%29%5E2%7D+& alt=&\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{(t+\frac{a+b}{2})^2}\leq\int_{0}^{+\infty} \frac{}{}\frac{{\rm d}t}{(t+a)(t+b)}\leq\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm d}t}{(t+\sqrt{ab})^2} & eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=a%3Db& alt=&a=b& eeimg=&1&&时取等号&br&&br&另一种方法是：&br&令&img src=&///equation?tex=a%3De%5E%7Bx%7D%2Cb%3De%5E%7By%7D%2Cx-y%3Dt%2Ct%5Cneq0& alt=&a=e^{x},b=e^{y},x-y=t,t\neq0& eeimg=&1&&,则&br&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7Bab%7D%3De%5E%7B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%7D& alt=&\sqrt{ab}=e^{\frac{x+y}{2}}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%3D%5Cfrac%7Be%5Ex-e%5Ey%7D%7Bx-y%7D& alt=&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}=\frac{e^x-e^y}{x-y}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5Ey%7D%7B2%7D& alt=&\frac{a+b}{2}=\frac{e^x+e^y}{2}& eeimg=&1&&&br&于是&br&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7Bab%7D%3C%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%5CLeftrightarrow+%5Cfrac%7B%5Csinh%7Bt%7D%7D%7Bt%7D%3E1& alt=&\sqrt{ab}&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}\Leftrightarrow \frac{\sinh{t}}{t}&1& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Cln%7Ba%7D-%5Cln%7Bb%7D%7D%3C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5CLeftrightarrow+%5Cfrac%7B%5Ctanh+%7Bt%7D%7D%7Bt%7D%3C1& alt=&\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}&\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow \frac{\tanh {t}}{t}&1& eeimg=&1&&&br&&br&&br&如果用高中方法处理的话，因为两边是齐次的，两边除以&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&，然后设&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D& alt=&x=\frac{a}{b}& eeimg=&1&&,构造函数求导即可.&br&&br&利用上述结论可以使有些压轴题变得很简单&br&例子：&br&2010年高考天津卷&br&21.已知函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dxe%5E%7B-x%7D%2Cx%5Cin+R& alt=&f(x)=xe^{-x},x\in R& eeimg=&1&&&br&(3).如果&img src=&///equation?tex=x_1%5Cneq+x_2& alt=&x_1\neq x_2& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=f%28x_1%29%3Df%28x_2%29& alt=&f(x_1)=f(x_2)& eeimg=&1&&,证明：&img src=&///equation?tex=x_1%2Bx_2%3E2& alt=&x_1+x_2&2& eeimg=&1&&&br&&br&证明：&br&不妨设&img src=&///equation?tex=x_1%3Cx_2& alt=&x_1&x_2& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D-%28x-1%29e%5E%7B-x%7D& alt=&f'(x)=-(x-1)e^{-x}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%3E1%2Cf%27%28x%29%3C0%5CRightarrow+f%28x%29%5Cdownarrow+%5CRightarrow+f%28x%29%5Cin+%280%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%29& alt=&x&1,f'(x)&0\Rightarrow f(x)\downarrow \Rightarrow f(x)\in (0,\frac{1}{e})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=0%3Cx%3C1%2Cf%27%28x%29%3E0%5CRightarrow+f%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+f%28x%29%5Cin+%280%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%29& alt=&0&x&1,f'(x)&0\Rightarrow f(x)\uparrow \Rightarrow f(x)\in (0,\frac{1}{e})& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%5Cleq0%2Cf%27%28x%29%5Cgeq+0%5CRightarrow+f%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+f%28x%29%5Cin+%28-%5Cinfty%2C0%29& alt=&x\leq0,f'(x)\geq 0\Rightarrow f(x)\uparrow \Rightarrow f(x)\in (-\infty,0)& eeimg=&1&&&br&所以 &img src=&///equation?tex=0%3Cx_1%3C1%3Cx_2& alt=&0&x_1&1&x_2& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x_1e%5E%7B-x_1%7D%3Dx_2e%5E%7B-x_2%7D%5CRightarrow++%5Cln+x_1-x_1%3D%5Cln+x_2+-x_2%5CRightarrow++1%3D%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B%5Cln+x_1-%5Cln+x_2%7D%3C%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D& alt=&x_1e^{-x_1}=x_2e^{-x_2}\Rightarrow
\ln x_1-x_1=\ln x_2 -x_2\Rightarrow
1=\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}&\frac{x_1+x_2}{2}& eeimg=&1&&&br&即证&br&&br&&b&不等式&/b&&br&设&img src=&///equation?tex=x%3D%28x_1%2C..x_2%29%2C%5Calpha+%3D%28%5Calpha_1..%5Calpha_n%29& alt=&x=(x_1,..x_2),\alpha =(\alpha_1..\alpha_n)& eeimg=&1&&,且对于&img src=&///equation?tex=i%3D1%2C2...n%2Cx_i%3E0%2C%5Calpha_i%3E0& alt=&i=1,2...n,x_i&0,\alpha_i&0& eeimg=&1&&还有&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bi%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Calpha_i%7D%3D1+& alt=&\sum_{i}^{n}{\alpha_i}=1 & eeimg=&1&&.&br&对于任意的&img src=&///equation?tex=t%5Cneq0& alt=&t\neq0& eeimg=&1&&,我们考察&img src=&///equation?tex=x_1%2Cx_2...x_n& alt=&x_1,x_2...x_n& eeimg=&1&&以&img src=&///equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Calpha_2...%5Calpha_n& alt=&\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n& eeimg=&1&&加权的&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&阶平均&br&&img src=&///equation?tex=M_t%28x%2C%5Calpha%29%3D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Calpha_ix_i%5Et%7D+%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D& alt=&M_t(x,\alpha)=(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_ix_i^t} )^\frac{1}{t}& eeimg=&1&&&br&特别地，当&img src=&///equation?tex=%5Calpha_1%3D%5Calpha_2%3D...%5Calpha_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D& alt=&\alpha_1=\alpha_2=...\alpha_n=\frac{1}{n}& eeimg=&1&&且&img src=&///equation?tex=t%3D-1%2C1%2C2& alt=&t=-1,1,2& eeimg=&1&&时，分别得到调和平均，算术平均及二阶平均，&img src=&///equation?tex=M_0%28x%2C%5Calpha%29%3D%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+0%7D%7BM_t%28x%2C%5Calpha%29%7D%3D%7Bx_1%7D%5E%7B%5Calpha_%7B1%7D%7D...x_n%5E%7B%5Calpha_n%7D& alt=&M_0(x,\alpha)=\lim_{t \rightarrow 0}{M_t(x,\alpha)}={x_1}^{\alpha_{1}}...x_n^{\alpha_n}& eeimg=&1&&为几何平均&br&&br&易证&img src=&///equation?tex=M_t%28x%2C%5Calpha%29& alt=&M_t(x,\alpha)& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&&上是&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的非减函数，并且若&img src=&///equation?tex=n%3E1& alt=&n&1& eeimg=&1&&,所有&img src=&///equation?tex=x_i& alt=&x_i& eeimg=&1&&不相同时，&img src=&///equation?tex=M_t%28x%2C%5Calpha%29& alt=&M_t(x,\alpha)& eeimg=&1&&是严格单调函数，由此可以得到高中学的几个不等式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_2%7D%2B...%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_n%7D%7D%5Cleq%5Csqrt%5Bn%5D%7Bx_1x_2...x_n%7D%5Cleq%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%2B...x_n%7D%7Bn%7D+%5Cleq%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx_1%5E2%2B...x_n%5E2%7D%7Bn%7D%7D& alt=&\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...\frac{1}{x_n}}\leq\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\leq\frac{x_1+x_2+...x_n}{n} \leq\sqrt{\frac{x_1^2+...x_n^2}{n}}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&b&洛必达法则&/b&&br&&br&高中导数的题中有时候会遇到&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D& alt=&\frac{0}{0}& eeimg=&1&&型不定式，这时候用洛必达法则可以直接求出&br&&b&定理四：&/b&&br&设：函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&及&img src=&///equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&在区间&img src=&///equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&内有定义，&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7Bf%28x%29%7D%3D0%2C%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7Bg%28x%29%7D+%3D0+& alt=&\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}=0,\lim_{x \rightarrow a}{g(x)} =0 & eeimg=&1&&&br&且，存在有限导数&img src=&///equation?tex=f%27%28a%29& alt=&f'(a)& eeimg=&1&&及&img src=&///equation?tex=g%27%28a%29& alt=&g'(a)& eeimg=&1&&而且&img src=&///equation?tex=g%27%28a%29%5Cneq0& alt=&g'(a)\neq0& eeimg=&1&&,若&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7B%5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bg%27%28x%29%7D%7D+%3DK& alt=&\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} =K& eeimg=&1&&，则&br&&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+a%7D%7B%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%7D%3DK& alt=&\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=K& eeimg=&1&&&br&&br&这里只列出了洛必达法最简单的情形，因为高中只涉及到这种情形&br&&br&例：&br&2010年全国新课标（理科）&br&设函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3De%5Ex-1-x-ax%5E2& alt=&f(x)=e^x-1-x-ax^2& eeimg=&1&&&br&(2).若当&img src=&///equation?tex=x%5Cgeq0%2Cf%28x%29%5Cgeq+0& alt=&x\geq0,f(x)\geq 0& eeimg=&1&&,求&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的取值范围&br&&br&求&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的取值范围，就把&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&分离出来&br&&img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&成立，&img src=&///equation?tex=x%3E0& alt=&x&0& eeimg=&1&&时，&img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cgeq0%5CLeftrightarrow+a%5Cleq%5Cfrac%7Be%5Ex-1-x%7D%7Bx%5E2%7D& alt=&f(x)\geq0\Leftrightarrow a\leq\frac{e^x-1-x}{x^2}& eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=g%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5Ex-1-x%7D%7Bx%5E2%7D%2Cx%3E0& alt=&g(x)=\frac{e^x-1-x}{x^2},x&0& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=a%5Cleq+%5Cinf%7Bg%28x%29%7D& alt=&a\leq \inf{g(x)}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=g%27%28x%29%3D%5Cfrac%7Bxe%5Ex%2Bx-2e%5Ex%2B2%7D%7Bx%5E3%7D& alt=&g'(x)=\frac{xe^x+x-2e^x+2}{x^3}& eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=h%28x%29%3Dxe%5Ex%2Bx-2e%5Ex%2B2& alt=&h(x)=xe^x+x-2e^x+2& eeimg=&1&&,&br&&img src=&///equation?tex=h%27%28x%29%3Dxe%5Ex%2B1-e%5Ex& alt=&h'(x)=xe^x+1-e^x& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=h%27%27%28x%29%3Dxe%5Ex%3E0%5CRightarrow+h%27%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+h%27%28x%29%3Eh%27%280%29%3D0%5CRightarrow+h%28x%29%5Cuparrow+%5CRightarrow+h%28x%29%3Eh%280%29%3D0& alt=&h''(x)=xe^x&0\Rightarrow h'(x)\uparrow \Rightarrow h'(x)&h'(0)=0\Rightarrow h(x)\uparrow \Rightarrow h(x)&h(0)=0& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+g%27%28x%29%3E0%5CRightarrow+g%28x%29%5Cuparrow+& alt=&\Rightarrow g'(x)&0\Rightarrow g(x)\uparrow & eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=x%3E0%2C%5Cinf+g%28x%29%3D%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+0%2B%7D%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-1-x%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+0%2B%7D%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-1%7D%7B2x%7D%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&x&0,\inf g(x)=\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{e^x-1-x}{x^2}} =\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{e^x-1}{2x}} =\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=a%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&a\leq\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&b&泰勒公式：&/b&在需要放缩&img src=&///equation?tex=e%5Ex%2C%5Csin+%7Bx%7D%2C%5Ctan+%7Bx%7D& alt=&e^x,\sin {x},\tan {x}& eeimg=&1&&的时候，利用泰勒公式会使目标更加明确&br&&br&&br&&br&&b&数列求和：&/b&&br&&br&&img src=&///equation?tex=1%2B2%2B...n%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&1+2+...n=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...n%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&1^2+2^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...n%5E3%3D%5Cfrac%7Bn%5E2%28n%2B1%29%5E2%7D%7B4%7D& alt=&1^3+2^3+...n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}& eeimg=&1&&&br&....&br&令&img src=&///equation?tex=S_p%28n%29%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bk%5Ep%7D+%2Cp%5Cgeq+0& alt=&S_p(n)=\sum_{k=1}^{n}{k^p} ,p\geq 0& eeimg=&1&&,定义一个生成函数：&br&&img src=&///equation?tex=G%28z%2Cn%29%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_p%28n%29%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%21%7Dz%5Ep& alt=&G(z,n)=\sum_{p=0}^{\infty}S_p(n)\frac{1}{p!}z^p& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=G%28z%2Cn%29%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%21%7D%28kz%29%5Ep%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7De%5E%7Bkz%7D%3De%5Ez%5Ccdot%5Cfrac%7B1-e%5Enz%7D%7B1-e%5Ez%7D%3D%5Cfrac%7B1-e%5Enz%7D%7Be%5E%7B-z%7D-1%7D& alt=&G(z,n)=\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p!}(kz)^p=\sum_{k=1}^{n}e^{kz}=e^z\cdot\frac{1-e^nz}{1-e^z}=\frac{1-e^nz}{e^{-z}-1}& eeimg=&1&&&br&这是一个关于&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&的整函数.而&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bze%5E%7Bzx%7D%7D%7Be%5Ez-1%7D%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DB_j%28x%29%5Cfrac%7Bz%5Ej%7D%7Bj%21%7D& alt=&\frac{ze^{zx}}{e^z-1}=\sum_{j=0}^{\infty}B_j(x)\frac{z^j}{j!}& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=B_j%28x%29& alt=&B_j(x)& eeimg=&1&&是伯努利多项式，&img src=&///equation?tex=B_j%3DB_j%280%29& alt=&B_j=B_j(0)& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=B_j& alt=&B_j& eeimg=&1&&称为伯努利数&br&于是&img src=&///equation?tex=G%28z%2Cn%29%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DB_j%5Cfrac%7B%28-z%29%5E%7Bj-1%7D%7D%7Bj%21%7D%28-%5Csum_%7Bl%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28nz%29%5El%7D%7Bl%21%7D%29%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dz%5Ep%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bp%7D%28-1%29%5Ej%5Cfrac%7B1%7D%7Bj%21%28p%2B1-j%29%21%7DB_jn%5E%7Bp%2B1-j%7D%3D%5Csum_%7Bp%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bz%5Ep%7D%7Bp%21%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%2B1%7D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bp%7D%28-1%29%5Ej%28C_%7Bp%2B1%7D%5Ej%29B_jn%5E%7Bp%2B1-j%7D& alt=&G(z,n)=\sum_{j=0}^{\infty}B_j\frac{(-z)^{j-1}}{j!}(-\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(nz)^l}{l!})=\sum_{p=0}^{\infty}z^p\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\frac{1}{j!(p+1-j)!}B_jn^{p+1-j}=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{z^p}{p!}\frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j(C_{p+1}^j)B_jn^{p+1-j}& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Dk%5Ep%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%2B1%7D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bp%7D%28-1%29%5EjC_%7Bp%2B1%7D%5E%7Bj%7DB_jn%5E%7Bp%2B1-j%7D& alt=&\sum_{k=1}^{n}k^p=\frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^jC_{p+1}^{j}B_jn^{p+1-j}& eeimg=&1&&&br&&br&来源：&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%2527s_formula& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Faulhaber's formula&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&b&拉格朗日不定乘数法求极值&/b&&br&&br&待续.....&br&&b}
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