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高等数学 教学课件 ppt 作者 阎章杭、许鹊君、郭建萍 主编 高等数学 第一章
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函数、极限与连续
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高等数学 教学课件 ppt 作者 阎章杭、许鹊君、郭建萍
官方公共微信《高等数学中极限问题的解法详析》
高等数学中极限问题的解法详析
数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y＝f(x)在x?x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。1：利用两个准则求极限。limxn?limzn?a,xzyx??nnn?? (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有且x??则有 x??limyn?a.利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出第一文库网两个有相同极限值的数列?xn?yn?和 ?zn?，使得yn?xn?zn。?例[1]求xn的极限解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xn??.......??xn??.......??xn? ?又因为xx?1limxn?1x??（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。y1?y2?y3???,yn?证明：从这个数列构造来看 yn 显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为y2?y3???,yn?2y?a?yn?1. 因为前面证明yn是单调增加的。 n 所以得两端除以 yn得yn?a?1ynaa??1?1y?y?yy1因为n则n从而n?yn?1 即 yn 是有界的。根据定理? 令 n??limyn?lyn?有极限，而且极限唯一。则 n??limyn2?lim(yn?1?a)n??2则l?l?a. 因为 yn?0,解方程得l?所以n??limyn?l?1?22：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限x2?1lim2(1)x?12x?x?1lim2x?3(2)x?3(3)x??1lim(13?3)x?1x?1(4) 已知xn?111?????,limx1?22?3(n?1)?n求n??n(x?1)(x?1)x2?1x?12limlim2limx?1(x?1)(2x?1)解：(1) x?12x?x?1＝＝x?12x?1＝321limx?x?＝4 (2)x?3x?3＝(3)x??1lim(13?3)x?1x?1x2?x?2lim(x?1)(x?2)x?2limlim232x??1(x?1)(x?x?1)＝x??1x?1＝＝x??1x?x?1＝-1(4) 因为xn?111?????,1?22?3(n?1)?n?1?????????????1?n n?1n1limxn?lim(1?)?1n??n 所以 n??3：利用两个重要极限公式求极限sinx1?limx?sin?1x??x 两个极限公式 (1) x?0xlim11xlim(1?)?lim(1?x)x?ex?0x (2)x??在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求下列函数的极限[4]?xxxx???lim?lim?coscos2cos3??cosn??n?0n??2222?? ?? (1)n2mlim(1?2)m??m (2)xxxxcoscos2cos3??cosn2222 解：(1)xxxxxsinxcoscos2cos3??cosnsinn222222sinn2 ＝1x2nsinn2 ＝sinx1xxxxlimcoscos2cos3??cosn2222 n??limn??12nsinn2sinx＝=n??sinxlim2nsin2nsinx＝x?xxxx???lim?lim?coscos2cos3??cosn??limsinxx?0n??2222??＝x?0x＝1 ??n2?n?(?m)?mn2?n?(?m)n2mlim(1?2)lim(1?2)lim(1?2)0m??mm??mmm(2) ＝＝??＝e＝1m2n2m2n24：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。1??xsin, x>0f(x)??x2?1?x, x?0 ?例：求 f(x)在x=0的左右极限 解：x?0limx?sin?1x＝1 1x＝1x?0limx?sin?limf(x)?limf(x)?1x?0? x?0?x?0limf(x)?15：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点x0连续 g(x0)=u0,而y=f(u)在点x0连续，那么复合函数y=f(g(x))在点x0连续。即x?x0limf(g(x))?f(g(x0))?f(limg(x))x?x0也就是说，极限号x?x0lim可以与符号f互换顺序。1limln(1?)xx 例：求x??1(1?)xx 解：令 y＝lnu, u＝1u0?limln(1?)x?ex??x 因为 lnu 在点 处连续 1limln(1?)xx 所以 x??1??ln?lim(1?)x?x??x? ＝?＝lne ＝16：利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果x?x0limf(x)?0limf(x)?g(x)?0(x??,x),(x,x??)x?x00000,g(x)在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。sinx例：求x??xlim1?0sinx?1x??x 解： 因为limsinx所以 x??x＝0lim7：利用等价无穷小量代换求极限：y?1等价无穷小量：当z时，称y,z是等价无穷小量：记为 y?z 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。x4?x3limx?0x(sin)32 例：求sinxx?22解：?43x4?x3x4?x3limx?xlimlim3x?0x?0x?033x(sin)()228?＝＝＝88：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，??x,则?y?f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y?lim?x如果?x?0?x?x?0存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 x0 的lim/导数记为 f(x0).即f/(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点x0的导数。lim(x?)?ctg2x?2x?2?例：求解：取f(x)= tg2x.则?11lim(x?)?ctg2x???tg2x2x?limtg2x?tg(2?)2?x?lim2x?2x??x?22f(x)?f()11lim?x?f/()(2sec22x)x?x?22＝2 2＝＝1＝2?9：利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 (i) 在 ?则在(a,b)内至少存在一点?，使limf/(?)?a,b?连续 .(ii)在(a,b)可导；f(b)?f(a)b?asin(sinx)?sinxx3 例[2]：求x?0解：limsin(sinx)?sinx?(sinx?x)?cos???(x?sinx)?x??0???1?sin(sinx)?sinxx3 x?0＝x?0lim(sinx?x)?cos???(x?sinx)?x?x3cosx?1x?03x2＝cos0?lim?sinx＝x?06xlim1＝6?2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 ?变号且可积，则在?a,b?a,b?上连续;g(x) 在?baa,b?上不上至少有一点?使得?abf(x)?g(x)?f(?)??g(x)dx?a???b??例：求 n??lim?4sinnxdx?解： n??lim?4sinnxdx????0???limsixn???(?0)??n??4?? 4 ＝?＝4n?? ?0lim(sin?)n10：洛必达法则求极限：0?洛必达法则只能对0或?型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种f/(x)lim/g(x) 等于 A 时，类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 f/(x)f(x)f(x)lim/limlimg(x)不存在时，并不能断定g(x)也存在且等于A. 如果g(x)也那么limf(x)g(x)。不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论lnsinmx例[1]：(1) 求x?0lnsinnxlim(2)求x?0?limxxlimlnsinmx?limlnsinnx???x?0 解：(1) 由x?0?所以上述极限是?待定型limlnsinmxmcosmx?sinnxmsinnx?limlim?x?0lnsinnx＝x?0ncosnx?sinmx＝nx?0sinmx＝1(2) x?0?limxx它为0型xxlnx由对数恒等式可得x?ex?0?limxx=ex?0?limxlnxlnx?0x?0?1xx?0?limx?lnx?limlimxxx?0?＝e?111：利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 ?a,b?上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。?1?nnnlim??22?2????222?n??nn?1n?2n?(n?1)?? 例：求1nnn?22?2????222nn?1n?2n?(n?1) 解：由于 ????1?111??????222n??1?1??2?1??n?1??1???1???1?????nnn??????? ? ＝11f(x)?20,11?x2 可取函数 f(x)＝1?x区间为??上述和式恰好是在 ?0,1?上n等分的积分和。?1?nnnlim??22?2????222?n??nn?1n?2n?(n?1)?? 所以????1?111??????222n??1?1??2?1??n?1??1?1?1???????lim??nnn??????? ?n?? ＝1dx?01?x2＝1? ＝412：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数n?1???n收敛，则?n?0?n???运用这个方法首先判定级数??n?1?n收敛，然后求出它的通项的极限2例：?2?limnn求n???n!?an?nn解：设?n!?22则an?1(n?1)n?1?n!?lim?lim?n2n??an???(n?1)!?nnlim11?(1?)nn =n??n?1=0由比值判别法知?an?1?n收敛2limnn由必要条件知n???n!?＝013：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么f//(x)2f??(x)nf?x??f(0)?f(0)x?x????x?Rn(x)2!n!n/f??(?)n?1Rn(x)?x(n?1)! (其中?在0与1之间)n?1cosx?e1x4 例：?? x?0lim?x22x2x4cosx?1???0(x4)2!4! 解：泰勒展开式e?x22于是cosx-e?x22?x2?1?x2??1?????????0(x4)?2?2!?2?214x?0(x4)＝12 ??x22cosx?ex4 所以x?0lim?lim＝x?014x?0(x4)1?x4＝1214：换元法求极限：当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。xx?1lim例：[3] 求x?1xlnxx解：令 t?x?1 则 lnx?ln(t?1)tt?0xx?1limlimt?0ln(t?1)x?1xlnx＝＝lim1ln(t?1)t＝1附:各种求极限问题及解题方法1．约去零因子求极限x4?1例1：求极限limx?1x?1【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去。(x?1)(x?1)(x2?1)【解】lim?lim(x?1)(x2?1)?6=4x?1x?1x?12．分子分母同除求极限x3?x2例2：求极限lim3x??3x?1【说明】?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?1?x3?x21x?lim?【解】lim3x??3x?1x??3?13x3【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；??0nn?1ax?an?1x???a0?(2) limnm???m?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求极限例3：求极限lim(x2?3?x2?1)x???【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x?3?x?1)?limx???22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x????lim2x?3?x?122x????0例4：求极限limx?0?tanx??sinx3x【解】limx?0?tanx??sinxtanx?sinx?lim 33x?0xx?tanx??sinx?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx?tanx??sinxlim1【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键4．应用两个重要极限求极限11sinx两个重要极限是lim?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，第x??n??x?0x?0xnx1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。?x?1?例5：求极限lim?? x???x?1??x【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑?数部分。1，最后凑指X2x?11??22?2?2??x?1??2??1?1???1??e【解】lim? ??lim?1???lim????x?1??x???x?1x???x????x?1x?1??????2??????xx1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。 x???x???x???x?a?xx5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有：当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1,x1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．xln(1?x)?x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.x?01?cosxx?02x2sinx?x例8：求极限limx?0tan3x例7：求极限lim?1sinx?xcosx?11sinx?xx【解】lim ?lim?lim??lim??x?0x?0x?0x?0tan3x6x33x23x226．用罗必塔法则求极限lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求极限limx?0x2?0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ?0?2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x) 【解】lim?lim2x?0x?02xx【说明】?limsin2x??21??????3 2x?02x?cos2x1?sinx?【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解?例10：设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x(x?t)f(t)dtx0.x?f(x?t)dt【解】 由于?xf(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是xxxlim?x(x?t)f(t)dtx0x?0x?f(x?t)dtx?limx?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0xx?0?=limx?0f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=lim??x0xf(t)dtf(u)du?xf(x)x?0f(u)du?xf(x)?=limx?0xf(t)dt?f(x)=?xf(u)duf(0)1?.f(0)?f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限2x例11：极限lim[1?ln(1?x)]x?02x2ln[1?ln(1?x)]x【解】 lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=ex?0lim2ln[1?ln(1?x)]x?ex?0lim2ln(1?x)x?e2.【注】对于1?型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)因为limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)1例12：求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.3???????2?cosx?xln???3?【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x21??sinx）ln（2?cosx）?ln3 ?lim ?lim2x?0x?0x2x11sinx1??lim???2x?02?cosxx6【解2】 原式?limx?0e?2?cosx?xln???3?x3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0xln（1??limx?0cosx?1）cosx?11 ?lim??x?03x26x28．利用Taylor公式求极限ax?a?x?2, ( a?0 ). 例13 求极限 lim2x?0x【解】 a?exxlnax22?1?xlna?lna??( x2),2a?xx22?1?xlna?lna??( x2);2ax?a?x?2?x2ln2a??( x2).ax?a?x?2x2ln2a??( x2)2? lim?lim?lna. 22x?0x?0xx11lim例14 求极限x?0(?cotx).xx111sinx?xcosxlim(?cotx)?lim【解】 x?0 x?0xxxxsinxx3x23x???(x)?x[1???(x2)]?lim 3x?0x113?)x??(x3)1?lim3?x?0x3.(9．数列极限转化成函数极限求解1??例15：极限lim?nsin?n??n??n2【说明】这是1?形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。1??【解】考虑辅助极限lim?xsin?x???x??x2?limex???1??x2?xsin?1?x???lim?ey?0?1?1?siny?1???yy???e?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e?1610．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.?111????例16：极限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。lim1??n??n???1?f????n??2?f??????n?1?n??f????f(x)dx ??0?n????1?111【解】原式＝lim?????222n??n??1??2??n???????????nn?????n????10???? ???12?1??ln 222?1?x1n?221?1?例17：极限lim?2n????n?1????? ?2n?n?1【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim的形式，因而用两边夹法则求解；1??n??n???1?f????n??2?f??????n??n??f?????n??(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。?111????【解】lim?2n???n2?2n2?n?n?1因为?? ??nn?n2?n1n?12?1n?2nn?122???1n?n2?nn?12又 limn??n?n2?lim1n???1??＝１ ?2n?n?1?1?所以 lim?2n????n?1n?22???12．单调有界数列的极限问题例18：设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n??x?n?【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 （Ⅰ）因为0?x1??，则0?x2?sinx1?1??. 可推得 0?xn?1?sinxn?1??,n?1,2,?，则数列?xn?有界. 于是xn?1sinxn（因当x?0时，， 则有xn?1?xn，可见数列?xn?单??1，sinx?x）xnxnn??调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.imxn?0. inxn两边令n??，设limxn?l，在xn?1?s得 l?sinl，解得l?0，即ln??n??11?x?（Ⅱ） 因 lim?n?1?n???xn?1xn?sinxn?xn?，由（Ⅰ）知该极限为1型， ?lim??n???xn?1?1?sinx?x2x3?sinx?1??1?x2x2?x?lim??sinx??lim?e?lim?ex?0?xx?0x?0?1?e (使用了罗必塔法则)?16?x?故 lim?n?1?n???xn?2xn1??sinxn?xn2?lim??e6. ?n???xn?1本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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（数学术语）
“极限”是数学中的分支——的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由和等人严格阐述。
极限极限思想
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是的基本思想，是中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
极限极限的产生与发展
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国的就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；人的也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用的方法已无法解决，要求数学突破’只研究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
起初和莱布尼茨以概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “
” 表示运动物体的，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，
无限地接近于常数A，那么就说
以A为极限。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们对于科学理论的怀疑与攻击，例如，在物理学的’瞬时速度‘概念，究竟Δt（变化量）是否等于零？如果说是零，（因为真理如果被无限扩大其适用范围也会变为错误）：怎么能用它去作呢？（其实变化量不可能为0）。但是人们认为，如果它不是零，计算机和函数变形时又怎么能把包含着它的那些“微小的量”项去掉呢?当时人们不理解，想完全没有一点点误差地进行变量的计算而导致打击认为发生悖论，这就是上所说的无穷小悖论产生的原因。英国哲学家、大主教对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。科学发展的历史和成功表明他的观点是错的。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，和变通的解决办法，连名人牛顿也无法摆脱‘极限概念’中的混乱。这个事实表明，弄清“极限”概念，它是一个动态的量的无限变化过程，微小的变量趋势方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量。这是建立严格的微积分理论的思想基础，有着认识论上的科学研究的工具的重大意义。
极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 [“零”与“无限靠近零的非零数值”之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关系。
到了18世纪，、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过，各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，其描述的内涵接近于‘极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。观点也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念，大部分都是建立在的概念上的。其实，“具象化”不是思维落后的代名词，对于几何直观的研究不是思维落后的代名词，因为在今天仍然是可以用函数’映射‘为图形，来研究较为复杂的趋势问题。如果有趋势则极限概念能够成立。例如“具象化”图形代替函数可绑架直观地证明某一个没有规律可描述的向用户久攻不下的命题不能成立；（或另外一个函数却能够成立）， 再分别作具体的“符号方式”的数学证明。
首先用极限概念给出‘导数’的正确定义的是数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为
的极限f'(x)，他强调指出f'(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于‘极限的本质’他仍未描述清楚。
到了19世纪，法国数学家在前人工作的基础上，比较完整地阐述了“极限概念”及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”
柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似零不是零去却可以人为用等于0处理”的办法，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于零，但它变化的趋向是向“零”，可以无限地接近于零。那么人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，（但是“几何直观”不是消极的东西，我们研究函数时也可以可以发挥想像力——“动态趋势的变量图像，假设被放大到巨大的天文倍数以后，我们也会永远不能看到变量值‘重合于0”，所以用不等式表示会更加“明确”）作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”比较通俗易懂的描述，对于概念的理解比较容易，因此其定义还保留着几何和物理的直观痕迹，一分为二，直观痕迹比较多也会有好处，但是结合下面的抽象定义可更加容易理解‘极限’的概念。
为了排除极限概念中的直观痕迹，提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓
，就是指：“如果对任何
，总存在自然数N，使得当
时，不等式
恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义应该是目前比较严格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是‘数及其大小关系’，此外只是用给定、存在、任何等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。（但是理解’极限‘概念不能够抛弃‘运动趋势’去理解， 否则容易导致’把常量概念不科学地进入到微积分’领域里）
常量可理解为‘不变化的量’。微积分问世以前，人们习惯于用静态图像研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，考虑‘变化量’的运动思维方式进入了数学领域，人们就有数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯，建立的ε－N语言，则用静态的定义描述变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的上升演变，反映了数学发展的辩证规律。
极限极限思想的思维功能
极限思想在乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。
“变”与“不变”反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，物理学，求的，用方法无法解决，困难在于的是变量不是常量。为此，人们先在小的时间间隔范围内用“匀速”计算方法代替“变速”状态的计算，求其，把较小的时间内的瞬时速度定义为求“速度的极限”，是借助了极限的思想方法，从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。
曲线形与直线形图像有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如所说：“直线和曲线在中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系，是处理数学问题的重要手段之一。用直线构成的图形的面积易求；但是求曲线组成的图形的面积，用初等数学是不能准确地解决的。古人用“”圆内接多边形逼近圆面积”；人们用“变形为矩形的面积”来逼近的面积，等等，都是借助于极限的思想方法，从直线形来起步认识曲线形问题的解答。
无限逼近“真实值”（结论完全没有误差）思想，在工作中起着重要作用。例如对任何一个圆内接来说，当它边数加倍后，得到圆面积的近似答案还是圆内接正多边形的面积。人们不断地让其边数加倍增加，经过无限过程之后，多边形就“变”成一个与真实的圆面积相差不大的“假圆”，每一步“边数增加的变化”都可以使用原来的‘常量公式累计，得到越来越靠近真实值的“圆面积”，圆的边上的‘越来越多的新的小的三角形底边，变形中的数不清的三角形正反互补得到的矩形，其长边的总和的极限等于“圆周长的一半”与半径的乘积计算得到圆面积（就是极限概念的应用），趋势极限，愈来愈逼近。这就是借助于极限的思想方法，化繁为简’解决求圆面积问题，其他问题思维方法一样。
用极限概念解决问题时，首先用传统思维，用‘低等数学思维的常量思维建立某一个函数（计算公式），再想办法进行图像总的面积不变的变形，然后把某一个对应的变量的极限求出，就可以解决问题了。这种“恒等”转化中寻找极限数值，是数学应用于实际变量计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“”、“圆内接正多边形面积方法”，分别是相应的“无穷级数之趋近数值”、“”、“求圆面积”的最为精确的近似值的办法，用极限思想，可得到相应的无比精确的结论值。这都是借助于极限的思想方法，人们用‘无限地逼近’也可以实现精密计算结果’，用此新方法——微积分的极限思维，可满意地解决‘直接用常量办法计算有变化量的函数但无现成公式可用，所以计算结果误差大’的问题。
极限建立的概念
极限的思想方法贯穿于课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出、导数、、级数的敛散性、的，的敛散性、重积分和与的概念。如：
（1）函数在 点连续的定义，是当的增量趋于零时，的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）是其中 为，任意大于 的当 时的极限，等等。
极限解决问题的极限思想
’极限思想’方法，是乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。
极限数列极限
可定义某一个数列{xn}的收敛：
设{xn}为一个无穷数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），总存在正整数N，使得当n&N时，均有
不等式成立，那么就称常数a是{xn} 的极限，或称数列{xn} 于a。记作
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n&N，使得
，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。[1]
对定义的理解：
1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项
与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n&N使
成立，那么显然n&N+1、n&2N等也使
成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
3、从几何意义上看，“当n&N时，均有不等式
成立”意味着：所有下标大于N的
都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某
，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
注意几何意义中：1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；2、所有其他的点
（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
3、保号性：若
（或&0），则对任何
（a&0时则是
），存在N&0，使n&N时有
4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n&N时有
（若条件换为
，结论不变）。
5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列
也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列
收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
极限单调收敛定理
单调有界数列必。[3]
极限柯西收敛原理
设{xn} 是一个数列，如果对任意ε&0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n & N，则对于任意正整数p，都有
，这样的数列
便称为柯西数列。
这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为。
极限函数极限
极限自变量趋近有限值时函数的极限：
定义：设函数f(x)在点x0的某一内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等式
，那么常数
就叫做函数
时的极限，记作
时不以a为极限，则存在某个正数ε ，对于任何正数δ，当
（解释：当
，我们一定能证明x足够接近x0时，
的差距小于任意小的指定误差。而当
，我们就能证明无论x与x0的距离有多近，f(x)与a的差距都无法小于指定的某个误差。）
极限自变量趋近无穷值时函数的极限：
定义： 设函数f(x)当|x| 大于某一正数时有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正数M ，使得当x满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等式
，那么常数
就叫做函数
时的极限，记作
为极限，则存在某个正数ε，对任何正数M，当
（解释：当
，我们一定能证明当
足够大时，f(x)与极限a的差距小于任意小的指定误差。而当
，我们就能证明无论
有多大，f(x)与a的差距都无法小于指定的某个误差。）
极限函数的左右极限：
的左侧（即
）无限趋近于
无限趋近于常数
处的，记作
2:如果当x从点
）无限趋近于点
无限趋近于常数
处的，记作
极限两个重要极限：
是一个，也就是的）
极限运算法则：
存在，且令
，则有以下运算法则：
极限线性运算：
　（其中c是一个常数）
极限非线性运算：
( 其中B≠0 )
汪名杰、占德胜、刘志高等．应用数学基础/: 微积分·线性代数·概率统计：清华大学出版社，2005：7
刘云章 赵东金．微积分初步：无限和变化的乐园．北京：中国大百科全书出版社，2005年7月
清华大学数学科学系《微积分》编写组．微积分：清华大学出版社，2003：24
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南京理工大学}