复合函数的定义域和值域_百度文库
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复合函数的定义域和值域
&&如果y是u的函数,记为 ,u又是x函数,记为 ,且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空,则确定了一个y关于x的函数 ,这就是函数 的复合函数,而 称为外函数, 称为内函数。本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1.求复合函数的定义域
关键是正确分析函数的复合层次,由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0,1)若 ,则函数的定义域是________。
故函数的定义域为 。
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复合函数若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。求函数的定义域的主要考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求。⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性/复合函数
设y=f(u)，的最小正为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）
增减性/复合函数
依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的。例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。解：为R。令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。y=0.8^u在（-∞，+∞）上是减函数，u=x^2-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是，∴函数y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。利用复合函数求取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。
求导/复合函数
复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导法则1：设u=g(x)f'(x)=f'(u)*g'(x)法则2：设u=g(x),a=p(u)f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)例如：1、求：函数f(x)=(3x+2)^3+3的设u=g(x)=3x+2f(u)=u^3+3f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2g'(x)=3f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^22、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的导数设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25f(a)=√af'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}p'(u)=2u=2(x-4)g'(x)=1f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]
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几种复合函数定义域的求法
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既然你说举例子...那我就给你例子灰常的充分哦.不过,我先承认,这不是我原创,是我从别的地方COPY过来的,但是,我知道自己写出来绝对没那人写的好.所以...反正是要帮助别人,谁帮不一样呢1.已知函数g(x)=f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为_____.g(x)的定义域为[-1,2] 即-1≤x≤2 所以-1≤3-2x≤5 即f(x)的定义域为[-1,5] 2.y=1/[(x^2+2x+6)^0.5]设x^2+2x+6为t,(x^2+2x+6)^0.5为a 可以看成f(x)=x^2+2x+6 h(t)=t^0.5 g(a)=1/a 所谓复合函数其实主要目的把你不懂得函数化成你熟悉的函数像2次函数,反比例函数等等.这样就可以解决题目了.复合函数的单调性是“同增异减” 若f(x)在它的定义域上为增函数,h(t)在它的定义域上为减函数那么h(t)和f(x)组成的复合函数单调性为减函数,若g(a)的单调性为 减,那么h(t)和f(x)和g(a)组成的复合函数单调性为增函数 3.定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）,分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负.（3）,对数中的真数部分大于0.（4）,指数、对数的底数大于0,且不等于1 （5）.y=tanx中x≠kπ+π/2,y=cotx中x≠kπ等等.值域是函数y=f(x)中y的取值范围.常用的求值域的方法：（1）化归法；（2）图象法（数形结合）,（3）函数单调性法,（4）配方法,（5）换元法,（6）反函数法（逆求法）,（7）判别式法,（8）复合函数法,（9）三角代换法,（10）基本不等式法等 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合是：两个函数都是直线函数,图象为两条直线,那么两者的交点只有一个.将二者联立为方程组求解得x=1 y=4.so 答案为｛（1,4）｝ 若x,z,y是正数且,x+y+z=1,求16/x^3+81/8y^3+1/27z^3的最小值.求导与matlab计算的结果如下：x=0.5422 y=0.3674 z=0.0904 代入你结出的式中,得到的最小值,354.67
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