导读：寒假课程?高二数学，第一讲解三角形，1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，并能解决一些简单的三角形度量问题，锐角三角形：任意两角之和大于90°，任意一个角都小于90°直角三角形：其中一个角是直角，钝角三角形：其中一个角是钝角，2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，求其它边角正、余弦定理在解三角形中的应用???A:已知两角及夹角问题??(2)余，1
寒假课程 ?高二数学 第一讲
解三角形 【知识梳理】 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
(1) 边的关系：两边两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大边对大角，小边对小角，等边对等角。 （2）角的关系：A+B+C=?
A???(B?C) sinA?sin[??(B?C)]?sin(B?C)
cosA?co?s?[B?(C?)]?Bco?sC (tanA?tan[??(B?C)]??tan(B?C)
0?A??,0?B??,0?C?? 锐角三角形：任意两角之和大于90°，任意一个角都小于90° 直角三角形：其中一个角是直角。 钝角三角形：其中一个角是钝角，最大角的余弦值大于-1小于0. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. ?abc?（1）公式：???2R??sinAsinBsinC???????(1)a:b:c?sinA:sinB:sinC?正弦定理????2）变形公式：（?(2)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC????abc??(3)sinA?,sinB?,sinC????2R2R2R????解三角形???1）公式：a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC（???余弦定理?b2?c2-a2a2?c2-b2a2?b2-c2（cosA?,cosB?,cosC???2）变形公式：2bc2ac2ab?????A:已知两角及任一边，求其它边角???(1)正弦定理解决两类问题：???B：已知两边及一边的对角，求其它边角正、余弦定理在解三角形中的应用???A:已知两角及夹角问题??(2)余弦定理解决两类问题：????B：已知三边问题??????????实际应用??? 【考点一：正弦定理】 知识点： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
形式一：abc???2R
（解三角形的重要工具） sinAsinBsinC1
寒假课程 ?高二数学 ?a?2RsinA?
形式二：?b?2RsinB （边角转化的重要工具） ?c?2RsinC?
形式三：a:b:c?sinA:sinB:sinC
形式四：sinA?abc，sinB?，sinC? 2R2R2R方法归纳： 1.已知两角A、B与一边a，由A+B+C=π及abc??，可求出角C，再求b、c. sinAsinBsinC2.已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理C????A?B?，求出C，再由ab?，求出另一边b的对角B，由sinAsinBacab??求出c，而通过求B时，可能出一解，sinAsinCsinAsinB两解或无解的情况，其判断方法，如下表：
a>b a=b A>90° 一解 无解
absinA a=bsinA a<bsinA A<90° 一解 一解 两解 一解 无解 例题精讲： 【例1】在?ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（
） A.－【答案】D 【解析】根据正弦定理222266
D. . 3，可得，解得sinB?， ??sinAsinBsin60sinB36， 3又因为b?a，则B?A，故B为锐角，所以cosB?1?sin2B?故D正确. 【课堂练习】 1.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
） A.b?20,A?450,C?800
B.a?30,c?28,B?600 2
寒假课程 ?高二数学
C.a?14,b?16,A?450
D. a?12,c?15,A?1200 【解析】在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解； 若已知大角求小角，则只有一解 【例2】在△ABC中，已知a=3，b=2，B=45°，求A、C和c. 【解析】 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=asinBb=3sin45?2 =3，则A为60°或120°. 2bsinCsinB①当A=60°时，C=180°-（A+B）=75°，c===2sin75?6?22sin(45??30?)==. sin45?2sin45?2sin15?=sin45?6?22sin(45??30?)=. 2sin45?②当A=120°时，C=180°-（A+B）=15°，c=故在△ABC中，A=60°，C=75°，c=bsinCsinB6?26?2或A=120°，C=15°，c=. 22【考点二：余弦定理】 知识点： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 222形式一：a2?b2?c2?2bccosA，b2?a2?c2?2accosB ，c?a?b?2abcosC； b2?c2?a2a2?c2?b2b2?a2?c2形式二：cosA?，cosB?，cosC?. 2bc2ac2ba方法归纳： 1.已知两边b、c与其夹角A，由a2?b2?c2?2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. 2.已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. 例题精讲： 【例3】在?ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB?AC? （
） A.?【答案】D
【解析】由余弦定理得cos?CAB?【课堂练习】
2.在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A； 2332
D. 3223113,所以AB?AC?3?2??,选Ｄ. 4423
寒假课程 ?高二数学 【解析】∵b2?a2?c2?2accosB=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450=8， ∴b?22. 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21解法一：∵cosA???, ∴A?600. 2bc22?22?(6?2)a23?sin450, 解法二：∵sinA?sinB?b22又∵6?2＞2.4?1.4?3.8，23＜2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900， ∴A?600. 【例4】设?ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a?1，b?2，cosC?（Ⅰ）求?ABC的周长；
（Ⅱ）求cos?A?C?的值. 222【解析】（Ⅰ）∵c?a?b?2abcosC?1?4?4?1. 41?4，∴c?2， 4∴?ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5. 151?1?2（Ⅱ）∵cosC?，∴sinC?1?cosC?1???? 444??2∴sinA?asinC?c154?15 28∵a?c，∴A?C，故A为锐角， ?15?7?? ∴cosA?1?sin2A?1???8?8??∴cos?A?C??cosAcosC?sinAsinC?????.
848416【注】常用到的三角公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的关系如下： 令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos? 4
寒假课程 ?高二数学 cos??????cos?cos?　tan??????令???sin?sin?????cos2??cos2??sin2?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2?　　　　　　　?cos2?＝1tan?tan?21?cos2?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?sin2?＝22tan?　　　tan2??1?tan2?【课堂练习】 3. 设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2-3a2=42bc .
2sin(A?)sin(B?C?)44的值. （Ⅰ） 求sinA的值；
（Ⅱ）求1?cos2Ab2?c2?a222?【解析】（Ⅰ）由余弦定理，得cosA?， 2bc3??又0?A??，故sinA?1?cos2A?1. 3????????????2sin?A??sin???A??2sin?A??sin?A??4??4?4??4???（Ⅱ）原式= ?1?cos2A1?cos2A?2??2?222?sinA?cosAsinA?cosA????2??2?22???? ?22sinAsin2A?cos2A7. ???22sinA2【考点三：正余弦定理的综合应用】 知识点： 内角和定理：在?ABC中，A?B?C??；sin?A?B??sinC；cos?A?B???cosC； 111?absinC?bcsinA?acsinB 222在三角形中大边对大角，反之亦然. 面积公式：SABC方法归纳： 一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【例5】若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC（
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高二数学必修五第一章解三角形教案）
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
&（一）目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2 . 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（ 二）重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器&（四）教学设想[创设情景]& 如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。&&&&&&&&&&& A思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C&&&&&&&&&&&&&& B
[探索研究]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函 数中正弦函数的定义，有 ， ，又 ,&&&&&&&&& A则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& b&&&&&&&&& c从而在直角三角形ABC中，&&&&&&&&&&&&& C&&&&& a&&&&& B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则 ，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C同理可得 ，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& b&&&&&&&&&&&&& a从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A&&&&&&&& c&&&&&&& B&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作&& ，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C& 由向量的加法可得&&&& 则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A&&&&&&&&&&&&&&&&& B∴&&&&&&&&&&&&&&&&& &∴ ，即 同理，过点C作 ，可得&&& 从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 类似可推出，当 ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由 学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即& [理解定理 ] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；（2）& 等价于 ， ，& 从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]例1．在 中，已知 ， ，& cm，解 三角形。解：根据三角形内角和定理，&& & ；根据正弦定理，&；根据正弦定理，&评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在 中，已知& cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到1cm）。解：根据 正弦定理，& 因为 ＜ ＜ ，所以 ，或 ⑴ 当 时，&&& ，&⑵ 当 时，&&& ，&评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。 例3．已知 ABC中， A ， ,求 分析：可通过设一参数k(k&0)使& , 证明出&& 解：设& 则有 ， ， 从而 = = 又& ，所以 =2评述：在 ABC中，等式&& 恒成立。[补充练习]已知& ABC中， ，求 （答案：1：2：3）[课堂小结]（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：&& ；或 ， ，& （2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
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第2课时 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题（共28张ppt） （同步课件1）
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1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这些方面的问题.2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题:在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. （重点）2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.（难点）探究点1
测量底部不可到达的建筑物的高度例1
AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析:如图,求AB长的关键是先求AE,在 △ACE中,如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角,就可以计算出AE的长.解:
选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h,那么,在△ACD中,根据正弦定理可得例2 如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 α=54°40 [来自e网通客户端]
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