8.5.2 曲面的切平面与法线
8.5.2 曲面的切平面与法线
过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。
设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ上的任意一条曲线，它的方程为
t=t0是点M0所对应的参数，不全为零。
由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上任意一点的坐标满足曲面Σ的方程，即有恒等式
又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函数在t=t0处可导，所以复合函数在t=t0处可导，且全导数为
恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有
上式说明向量
垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为
过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为
如果曲面Σ的方程为z=f (x，y), 则只需设
那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且
此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为
法线方程为
例1：求曲面在点M (3，1，1)处的切平面方程和法线方程。
例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。
例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平面平行，并求该点的切平面及法线方程。扫二维码下载作业帮
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曲面的切平面和法向量
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