极值_百度百科
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在中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函数的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。[1]
极值是一个的或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比内其他各点处的都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就地称为一个或严格极值点。
极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。
“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。
极值数学词典中的表述
函数在其定 义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函 数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是一阶导数f (x0)等于零而二阶导数f″ (x0)连 续；在f′(x0)=0而f″(x0)&0 时，f(x0)为一极大值。[2]
函数的一种稳定值，即一个或一个极小值，只能在不可导的点或为零的点上取得。
如图：B、C、D、E点均为极值点
在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是。
极值的定义如下：
若函数f(x)在x?的一个D有定义，且对D中除x?的所有点，都有f(x)&f(x?)，则称f(x?)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)&f(x?)，则称f(x?)是函数f(x)的一个极小值。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据，定义在一个有界上的每一个都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是，就一定是。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的。
极值求解函数的极值
寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。
可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在关键点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。
对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。[3]
极值多元函数
对于，同样存在极值点的概念。此外，也有的概念。
求极大极小值步骤
（1）求导数f'(x)；
（2）求方程f'(x)=0的根；
（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
求极值点步骤
（1）求出f'(x)=0,f&(x)≠0的x值；
（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
（3）上述所有点的集合即为集合。[4]
求函数f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的极值
应该是fx=0，fy=0得到四个点，再代入值比较大小。
fx=3x^2-4x+6&0恒成立
fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3
定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零
fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。
定理2（）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，
则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2&0时具有极值，且当A&0时有极大值，当A&0时有极小值；
（2）AC-B2&0时没有极值；
（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：
第一步 解fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；
第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函数的，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。
Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
谷超豪, 谷超豪主. 数学词典[M]. 上海辞书出版社, 1992.
Larson, R Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.
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你可能喜欢想把这两个问题作一个比较通俗的解释，方便笔者和各位读者对此问题有更直观的理解。
（一）min-max问题
先理解这个问题，借用之前看到的一个例子：考虑规划城市中急救中心或者消防中心的建造位置，目标约束函数应该是到城市中各个房屋最大距离的最小值，而不是到达所有目的地距离和的最小值。简单地说就是前者考虑如何降低最恶劣情况的影响，后者考虑整体的联合优化。因为整个城市同时着火几率极低的，所以建模的时候更倾向于考虑前者这样的模型。
（二）max-min问题
（暂时没能给出一个合适的例子，先放着）
这两个问题看上去可能比较绕脑，其实就是老板觉得你厉害，给了你几个非常繁重复杂的工程，可是你是个老员工，懂得有生活诗和远方，你想过得舒服点就从这几个项目中挑了一个最简单的，这就是min-max过程。作为上司的你就比较体会新来的萌新，你就给了他几个很简单的小工程，但是萌新有着敢于挑战的精神，想要证明自己，就从这几个工程中选了个最难的，这就是max-min过程。
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