大学数学题中数学的数轴定义单位长度过长与但是到底的区别
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时间：2017-09-18 08:06
2015中考数学复习知识点：实数(责编推荐：数学家教/xuesheng)
一、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每
来源：网整理&&&&作者：若冰&&&&-04-01 06:40:57
标签：说两句
一、实数与数轴
1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
二、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。
三、实数的运算 1、加法：
(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：
(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：
(1)两数相除，同号得正，，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
四、有效数字和科学记数法
1、科学记数法：设N&0，则N= a&n10(其中1&a&10，n为整数)。
2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。
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教学目标：
1.使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度，能将已知数在数轴上
表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数，知道有理数都可以用数轴上的点表示；
2.向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想。 3.使学生进一步理解有理数与数轴上的点的对应关系；巩固在数轴上由
数找点、由点读数的方法；
4.会借用数轴直观的进行有理数的大小比较，体会数形结合的数学思想。
教材分析：数轴是在引入了负数及对有理数进行分类后给出的，它是我们数学
学习和研究的一个重要工具。本节课从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发，通过实际情景类比出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法。它将有助于我们后面将要学习的相反数、绝对值概念的理解，更直观地进行有理数大小的比较和对有理数运算法则的推导。
重点难点：1.掌握数轴的正确画法。
2.利用数轴比较有理数的大小。
3.体会数形结合的数学思想，加深对有理数的认识。
教学过程：
一、复习过程：
1. 有理数包括那些数？说出有理数的分类方法？ 整数和分数统称有理数，有理数可以这样进行分类
Ⅰ. 在分类时，一定要保证使每个数只能在同一层次中的一个集合
Ⅱ. 在所有含“正”“负”字眼的集合中，都不能出现“0”. 因为
“0”既不是正数也不是负数.
Ⅲ. 在有理数的分类中，未出现小学学过的“小数”“自然数”，是因为有理数中的小数都可以化为分数的形式；而“自然数”又包含在整数范围
-7，+，-3,0,100填入相应的集合中： 2. 将有理数：+2，-,0.3，292
正数集合：{
} 负数集合：{
} 正数集合：{
二、引入新课：
1. 利用温度计可以测量温度，请同学们说出温度计的结构？（同学讨论）
温度计上有刻度，刻度上有读数，可根据液面的不同位置读出不同的数，从而测得温度。
如：在0上10个刻度，表示100C; 在0下5个刻度，表示-50C;等等
类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些？（直尺、弹簧秤等）
2.出示温度计：
① 你是怎样读出上面的温度的？
② 温度计刻度的正负是怎样规定的？以什么为基准？基准刻度线表示多少摄氏度?
③ 每摄氏度两条刻度之间的距离有什么特点？
总结：与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，并用直线上的点来表示数。
像这样的直线就是我们今天要学习的内容――数轴。
把温度计横放与数轴进行对比归纳出数轴的画法。
三、讲解新课：
1.数轴的画法
1）画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温
度计上的0℃）；
2）规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指的方向），那么从原点向左为负方向（相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负）；
3）选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，?从原点向左，每隔一个长度单位
取一点，依次表示为－1，－2，－3，?
于是+3可以用数轴上位于原点右边3个单位的点表示；
-4可以用数轴上位于原点左边4个单位的点表示；
在原点右边
个单位的点表示；在原点左边1.5个单位的点表示1.5. 44
判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？
总结：1.画数轴时容易漏掉正方向；
2.画数轴时单位不统一；
3.容易把原点左边的数变成正数；
4.标错点。特别是对负数标错点。如：
-3标到+3 处；-标到-处。
2.数轴的定义：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
①画数轴时，原点、正方向和单位长度三个条件缺一不可。称这三个条件为数轴的“三要素”；
②数轴定义中的“规定”二字，这就说原点的选定，正方向的取向，单位长度的大小的确定都是根据需要“规定的”。一旦确定了，不能随意更改。
③所有的有理数都可以用数轴上的点表示。反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。
3. 利用数轴比较有理数的大小
通过学习数轴可知：在数轴上表示的两个数，右边数总比左边的数大。正数都大于零，负数都小于零。
4.例1.将下列所给的数在数轴上表示出来：1，-3，-2.5，2 ，0
例2.比较-3，
四、小结提高
1．数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，
例3.指出数轴上A 、B、C、D 个点分别表示什么数？
，0 ，2 ，3.5的大小。 2
它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；
2．画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，
注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。
五、课后思考
1．一个点从原点开始，按下列条件移动两次后到达终点，说出它是表示什么数的点？
（1）向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位。
（2）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度。
2．数轴上表示3和-3的点离开原点的距离是多少？这两个点的位置有什么不同？
3．数轴上到原点的距离是5的点有几个？它们分别表示什么数？
六、课后作业
三亿文库包含各类专业文献、专业论文、中学教育、高等教育、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、行业资料、51初中数学数轴教案等内容。
初中数学教学设计:七年级数学《数轴》 教学目标 1.了解数轴的概念和的画法,掌握数轴的三要素; 2.会用数轴上的点表示有理数,会利用数轴比较有理数的大小; 3.... 初中数学《数轴》教案_数学_初中教育_教育专区。这是《数轴》一节课的完整教案 “国培计划(2014)”――示范性教师工作坊高端研修项目 教学设计表课题 省份 单位... 初中数学教案:七年级数学《数轴》教案模板教学目标 1.了解的概念和的画法,掌握的三要素; 2.会用上的点表示有理数,会利用比较有理数的... 初一数学 数轴教案_初一数学_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初一数学 数轴教案_初一数学_数学_初中教育_教育专区。数轴(1)【教学... 七年级上册数轴教案_初一数学_数学_初中教育_教育专区。七年级上册数轴教案数一、教学目标(一)知识目标: 轴 1.使学生正确理解数轴的意义,掌握数轴的三要素 2.能... 北师大版七年级数学数轴教案_初一数学_数学_初中教育_教育专区。第二章第二节 课型:新授课 授课时间:2012 年 9 月 25 日 数轴 授课地点:枣庄市第四十中学七... 七年级数学上册《数轴》教案_初一数学_数学_初中教育_教育专区。在学习了正负数的意义后,进一步学习数轴的概念,用数轴上的点表示有理数。本课的学习将对理解相反数... 《数轴》教学设计_初一数学_数学_初中教育_教育专区。优质课课件《数轴》教学设计 一、 教学内容分析 人教版七年级(上册)第一章有理数 1.2 有理数 1.2.2 ...精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！
请输入姓名
请输入手机号初一数学数轴的长度单位是什么意思？比如一个单位长度是3 向右移动2个单位长度 是移动3分之一格 还是2格_百度知道
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。
初一数学数轴的长度单位是什么意思？比如一个单位长度是3 向右移动2个单位长度 是移动3分之一格 还是2格
长度单位是1右移2个单位就是右移2格（格长为1的情况下）
长度单位只能1吗？一般地什么意思？
默认单位就是1但是长度单位你也可以说是厘米，分米什么的，数学抽象的单位叫1
如果一格是5cm 那说他有多少个分数单位 5个么？
如果有些题目说长度单位是a的话 默认是1？
一般地什么意思？
数轴的长度单位为1，高二学了负数，还有个i其他的你暂时用不到了
采纳率：48%
两个单位长度就是 题目规定的长度*2
比如一个单位长度是3 向右移动2个单位长度 是移动3*2=6格
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美国获得第一流地位的“经验”对中国借鉴意义不大。&/p&&p& 那么美国是如何做到这么强的呢？我的看法是： &/p&&p& 1 &b&美国的人口&/b&对任何其他发达工业国都具有压倒优势。从科学圈的角度看，这人口不仅指美国的三亿人，也包括加澳两国和部分英国的。 &/p&&p& 2 &b&二战导致了人类近现代史上最大规模的科学人才转移&/b&。&b&转移目的地是美国&/b&。其实虽然美国在19世纪末就是第一工业国，直到20世纪30年代初世界科学中心仍在欧洲，特别是受一战重创的德国法国。然而仅用短短10多年，希特勒就重画了世界科学版图。我愿举一个很有代表性的例子。国际数学家大会是4年一次的全世界所有分支数学均参与的大会，具有很广的代表性（其他学科没有这么全面的大规模的全行业大集会）。1932年国际数学家大会，20个全会报告只有两个是用英语作的（读者可以由此想想当时美英在国际学术界的地位）。之后希特勒上台，二战来临，在1936之后就14年没开会。到再下一次（1950）时，22个全会报告有20个是用英语作的，英语也从此有了国际学界的绝对统治地位。 &/p&&p& 3 &b&苏联解体导致了人类近现代史上第二大规模的科学人才转移&/b&。苏联人才转移对生化可能影响小一些，但对数理科学来说可是极为壮观：这是&b&从20出头的天才大学生到80多岁的泰山北斗的全体系的迁移&/b&。转移的人少数被欧盟吃了，大部分被美国吞了。 &/p&&p& 4 在美国的基础科学于二战后取得西方阵营的独大地位，以及冷战后取得全世界的独大地位后，&b&有能力输出第一流后备人才的国家（如中印等）的一流学生蜂拥而至，更使美国如虎添翼&/b&。 &/p&&p& 其他的因素（比如很多人津津乐道的“体制”、“创新精神”、“自由”等），即使是有利因素，其影响力也和上述因素不在一个量级上。 &/p&&p& 对中国而言：因素1天然具备，在经济赶上来自然就会发挥作用；因素2、3可遇而不可求（多半是不可遇）；因素4属于已经成第一科学强国后的锦上添花，对如何做到第一没什么用。&/p&&br&&p&====&b&节选到此为止&/b&====&/p&&br&&p&这篇文章让我再次回顾以往思考过的老问题，即中国科举制度真的全都是坏处吗？&b&泼洗澡水把孩子也泼掉&/b&的事情我们以往干得还少吗？简单否定高考制度应试教育，包括这种所谓的“让数学滚出高考”的群众呼声，是不是依然是极端思路的老调重弹，背后反映的不过是思考上的偷懒呢？&/p&&br&&p&两年前读一本书&a href=&///?target=http%3A///subject/6811366/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&禅与摩托车维修艺术 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，发现原来就在上个世纪70年代（距今也不过40年），美国中学的写作教学水平还那么低啊，老师出大而空的作文题，学生无法下手写作。书的作者慢慢摸索出写作应该是从写一个具体的小事情入手，可这一切在工业革命先驱的英国（初等教育的普及也远早于美国），早就解决了呀。读这本书，感叹：美国到底历史浅，好些事情也只能从头一点点摸索。&/p&&br&&p&而读&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_c5c0b.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&旅美学者changshou：中美教育体系的比较(转载）&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 则再次认识到，若非天时（客观条件）所赐，仅凭本土中小学教育的积累，美国基础科学不可能在短短几十年里取得这样巨大的进步。&/p&&br&&p&回头看写作&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 的吴军博士，他的恩师贾里尼克便来自东欧捷克的犹太家庭（&a href=&///?target=http%3A///article/.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美系列八：贾里尼克的故事和现代语言处理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），二战期间逃到美国。&/p&&br&&p&再来看看下面几个说到了&b&数学为什么重要&/b&的故事：&/p&&br&&p&&b&第一个故事&/b&：&a href=&///?target=http%3A//.tw/blog/blogTopic.action%3Fid%3D5%26nid%3D2074%26page%3D1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&愛迪生的九十天教育&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&br&&p&节选：&/p&&p&&b&「发明之父」为什么债台高筑？&/b&&/p&&br&&p&正规教育和非正规教育的差别，可从爱迪生和特斯拉（Nikola Tesla）在直流电和交流电之争看出。&b&特斯拉是塞尔维亚工程师，受过严谨的数学教育&/b&（现在核磁共振所用的单位即为Tesla，它是测量磁场通量密度的国际单位）。&/p&&br&&p&他刚到美国时，是替爱迪生做事，他看到直流电的不可行，主张交流电。但因爱迪生只上过三个月的学，不懂交流电理论，加上他已投资直流电，便坚持直流电。最后，爱迪生为此债台高筑，连他创办的爱迪生奇异公司（Edison General Electric），也被改为GE，把他除名了。&/p&&br&&p&&b&爱迪生有创造力和企业力，但缺乏数学和复杂理论的洞察力&/b&。所以特斯拉说，&b&爱迪生用的方法效率很低，做事情是事倍功半。他说，爱迪生若知道一些起码的理论和计算方式，就能节省90%的力气。&/b&&/p&&br&&p&（作者&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D1QnmFVJfhy-m-_PoDDdXX2e8uXUUBr2Hk9FMcCIxUahOECPOdmYCOLOwFDL5RyWEAAR7k54-3xWcrVlLjeKUWa& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&洪兰_百度百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a&是台湾著名教育专家）&/p&&br&&p&&b&第二个故事&/b&：大出版家、商务印书馆总经理王云五为何重视数学&/p&&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///book//content_8065271.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&王云五：自称杂家的大出版家(组图)_读书频道&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_52fdbd1f0100av7k.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&中国近代著名出版家王云五(2)_寒江醉儒&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&自称为杂家的出版人王云五，在谈及出版体会时，又特别强调&b&数学和图书馆学&/b&的重要性，以为是&b&出版人必备的基本功&/b&。王云五的数学体会，是来自他12岁回广东老家时，因经常与一位堂房伯父一起赶集，得有机会随这位伯父学习心算和珠算，“&b&由此一生养成计算的习惯；无论做任何事，须要计算其利害得失，究竟利与害孰多，藉为判断的标准&/b&。”他说“我一生得之于算学很大”，批评“中国人不注重算学，这是很坏的现象”，认为&b&要得到正确的思想，一要靠幻想，因为这是创新的源泉，但同时，又不能不有数学的训练，只有这样，才能保证“思想正确”，“一加一一定是二，二加二一定是四，那末，不独学理工的人要学高等算学，就是学文学的人也要学高等算学&/b&”。王云五在商务出版了许多超大型丛书，成本既高，风险亦大，结果往往成功，这与他事前反复的持筹握算、周密的风险预估，是密不可分的。王云五的学生、曾任台湾商务印书馆总编辑兼总经理兼发行人的徐有守回忆说：笔者任职数年期中，每年必发行大部头丛书二、三种，所费资金庞大。若其中有一部滞销，则书馆有立即倒闭之可能。因而每筹印一书，师生二人，常在云五先生窄约仅二坪局促之董事长办公室反复核计、预测、讨论其印行之可能性。踌躇再四，数月始决。&br&&/p&&br&&br&&p&&b&第三个故事&/b&：巴菲特的合伙人查理芒格非常重视数学&/p&&br&&p&”他是我遇到的最渊博的思想家。从经商原则到经济规律，从学生宿舍的设计到游艇的设计，他都没有对手。“——&b&比尔.盖茨&/b&&/p&&br&&p&能得到曾经的世界首富这般夸赞的，世间恐寥寥无几，甚至只有一个人当得起这样的赞誉，他，就是连巴菲特都由衷敬佩的合伙人——&b&查理.芒格&/b&。&a href=&///?target=http%3A///subject/5346110/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&穷查理宝典 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ——这本汇集了查理.芒格智慧箴言的好书，每天都放在我桌子上，时不时都会拿起来翻几页，想一想。&/p&&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D6L9VhlTIFJCPWW_pJRS19M97r0oqPPctD0yEr6JQsMNL0mJtz4qeLLCvrwFv-QithXLd4YZOV0a7G1i9GkvHaa& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&查理·芒格_百度百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a&毕业于哈佛大学法学院，但他却终生喜爱数学，经常强调学习数学的重要性。他有一段关于对商业进行分析和评估的著名论述——&/p&&br&&p&「&/p&&p&&b&你必须知道重要学科的重要理论，并经常使用它们&/b&——要全部都用上，而不是只用几种。这些学科包括历史学、心理学、生理学、数学、工程学、生物学、物理学、化学、统计学、经济学等。&/p&&br&&p&首先要掌握的是数学。很明显，&b&你必须能够处理数字和数量问题，也就是基本的数学问题&/b&。&/p&&br&&p&除了&b&复利原理&/b&之外，一个非常有用的思维模型是基本的&b&排列组合原理&/b&。这是非常简单的数学知识，帕斯卡和费马在一年的通信中完全解决了这个问题。要掌握排列组合原理并不难。真正困难的是你在日常生活中习惯于几乎每天都应用它。费马-帕斯卡的系统与世界运转的方式惊人地一致。它是基本的公理，所以你真的必须得拥有这种技巧。&/p&&br&&p&...在哈佛商学院，所有一年级学生都必须学习的定量分析方法，是他们所谓的“决策树理论”。他们所做的只是把高中代数拿过来，用它来解决现实中的问题。那些学生很喜欢这门课程。他们为高中代数能够在生活中发挥作用而感到惊奇。
」&/p&&br&&p&查理芒格提到的决策树理论，可参见这篇文章：&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_498e50cf0100bpy1.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&决策树分析法_蓝风&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&&b&节选&/b&：&/p&&p&数学在技术经济研究中起着很重要的作用。常用的数学方法有以下几种：&/p&&p&①普通数学法主要是运用加、减、乘、除、等式运算、代数等方法计算各种技术经济指标，例如计算成本、投资、经济效果等。&/p&&p&②数学分析法，数学分析法主要是微分方法和矩阵方法。矩阵方法在技术经济中的应用最主要就是投入产出法的应用。&/p&&p&③运筹学方法，在技术经济评价中应用较多的运筹学方法，一般是线性规划、非线性规划、静态规划和动态规划这几种。&/p&&p&④数理统计和概率论方法，在技术经济评价中，需要处理许多社会经济现象和自然现象，而它们有不少是比较复杂的、在目前还没有找到一定的规律性，因此，必须利用概率论和数理统计方法来处理这些现象，为解决技术经济问题提供科学依据。概率论和数理统计在不确定情况下的技术经济评价中的应用有以下几种方法：技术经济期望值法、技术经济模拟法、技术经济决策树法。&br&&/p&&br&&br&&p&===&/p&&br&&p&我们也许很难像查理芒格那样，成为世界首富巴菲特的合伙人，需要面对复杂的投资项目来做投资决策。但是，在不可能再忽视学习理财知识的现代商业社会，我们每个人都面临着如何让自己的财产增值的切身问题。创业开办公司的自不必说，就是工薪阶层，也得懂得复利原理，了解各种金融产品的投资回报率，学会用决策树分析法来为自己投资理财。&/p&&br&&br&&p&&b&第四个故事&/b&：&a href=&///?target=http%3A///math/6.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美系列十二：余弦定理和新闻的分类&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&这是&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&书中的一章，也因为书中讲到了这么有趣的数学应用，不少文科生也买来阅读。&/p&&br&&p&余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事，但是它们确有紧密的联系。具体说，新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。&br&&/p&&p&&br&Google 的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。（有兴趣的读者点开&a href=&///?target=http%3A///math/6.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美系列十二：余弦定理和新闻的分类&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 看全文，便会发现中学学到的余弦定理，居然有着这么大的用处！）&br&&/p&&br&&br&&p&=&b&=数学之美&/b&==&/p&&br&&br&&p&&&&清华大学的李星教授在给&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&写的推荐序（&a href=&///?target=http%3A///note//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&（转）李星：《数学之美》序言&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）中写道：&/p&&br&&p&我读这本书有下面几点体会，供大家参考。&br&（1）&b&追根寻源&/b&&br&本书用了大量篇幅讲了各个领域的典故，读起来令人兴趣盎然。典故最核心的是相关历史事件中的人物。我们必须要问：&b&提出巧妙数学思想的人是谁，为什么是“他/她”提出了这个思想&/b&？其思维方法有何特点？成为一个领域的大师有其偶然性，但更有其必然性。其必然性就是大师们的思维方法。&br&（2）&b&体会方法&/b&&br&从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：&br&牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“&b&从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。&/b&”这个原理也贯穿了《数学之美》本身。&/p&&p&&br&WWW的发明人蒂姆o伯纳斯o李谈到设计原理时说过：“简单性和模块化是软件工程的基石；分布式和容错性是互联网的生命”。虽然在软件工程和互联网领域的从业人员数量极其庞大，但能够真正体会到这些核心思想的人能有多少呢？我给学生出过这样的考题“把过去十年来重要IT杂志的封面技术介绍找来，看一看&b&哪些技术成功了，哪些技术是昙花一现&/b&，分析一下原因？其答案是很有意思的“有正确设计思想方法的技术”未必能够成功，因为还有非技术的因素；但&b&“没有正确设计思想方法的技术”一定失败，无一例外&/b&。因此，我也建议本书的读者结合阅读，体会凝练创造《数学之美》的方法论。&/p&&p&&br&（3）&b&超越欣赏&/b&&br&数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。《数学之美》把数学在IT领域，特别是语音识别和搜索引擎方面的美丽之处予以了精彩表达。但在这里我想说的是欣赏美不是终极目的，更值得追求的是创造美的境界。希望本书的读者，特别是年轻读者能够欣赏数学在IT技术上的美，学习大师们的思想方法，使自己成为大师，创造新的数学之美。&br&&/p&&br&&br&&p&还推荐大家看看吴军老师的视频：&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/v/b/0618281.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数学之美》发布会吴军精彩演讲“怎样才能不山寨”&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a class=&video-box& href=&///?target=http%3A//.cn/v/b/0618281.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&《数学之美》发布会吴军精彩演讲“怎样才能不山寨”& data-poster=&http://p1./848/607/.jpg& data-lens-id=&&&
&img class=&thumbnail& src=&http://p1./848/607/.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&《数学之美》发布会吴军精彩演讲“怎样才能不山寨”&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&.cn/v/b/0618281.html&/span&
&/a&&/p&&br&&br&「何三畏先生的这篇&a href=&///?target=http%3A///blog/754& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&何三畏 ： 谁家的孩子该学数学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&写出了有识之士对“反智”的忧思：&br&&p&数学不赚钱为什么外国人照样钻研，为什么西方和美国取得那么多数学成就。不是说他们生活节奏快，心理浮燥吗？他们都是傻的不如中国人会赚钱吗？那当然不是。依法赚钱他们都比中国人强。法治水平高的国家里的国民，才是又会赚钱又喜欢“无用的科学”。中国人什么都讲实用，没有收益的表情都懒得浪费，无故的笑脸连对孩子都舍不得施舍一个，哪里会主动选择学习没有实用功能，不会赚钱的学问。&/p&&p&中国人正在实用和成功，浮华和享乐的流水线上高速旋转。本文的观点显然很不合时宜。但是，我感到困惑的是，我们不是有一代人已经非常有钱，无论怎样征遗产税，他们的孩子们（就算明里暗里有限地超生了几个吧），也会享不尽的荣华，而断无物质方面的忧虑。这样的家庭，正应该让孩子发挥天性，追求自由和个性。如果他是一个数学天才，为什么不让他成长为真正的数学家呢？如果穷人的孩子读书难免要为了求生存，那么，富贵人家的孩子，为什么不可以去追求“无用的知识”呢？&/p&&p&但是，看起来我们这一代富贵的长辈们还没有这么想。他们无论有几个孩子，都想送到富贵道路上去做他们的接班人。更何况穷人的孩子。另一方面，全社会也没有追求纯粹知识和理性的土壤。&/p&&p&那么，中国的未来仍然不会有人类最好的数学家和哲学家。而这不是一个有着辉煌未来的民族的气象。一个国家在超越了“求生存”的界线之后，就应该求发展。而一个民族的高度不是以有多少天才的头脑在做官和发财，而是以数学和哲学这种抽象能力和成就来衡量的。上帝奖赏追求纯粹知识和理性的民族。」&/p&&br&&br&&p&&&推荐一个讨论&b&数学的用处&/b&的系列文章，作者是毕业于卡耐基梅隆大学的&a href=&/people/tian-yuan-dong& class=&internal&&田渊栋&/a&博士，他目前是美国谷歌无人车项目组的工程师：&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946behvn.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（一）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bemco.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（二）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bewp9.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（三）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bqa.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（四）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&&&推荐BBC系列纪录片：《数学的故事》&/p&&p&【BBC记录片：《数学的故事》】学好数理化，走遍天下都不怕！那些曾经被数学虐过的小伙伴们快看过来！第一集 宇宙语言&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYQboTk& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 第二集 东方奇才&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYWNgfc& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事(2)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 第三集 空间边缘&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYWWQz6& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事(3)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&第四集 超越无限&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYWpplY& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事(4)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&br&&br&&br&&img src=&/1bbe9d5b275b4e_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&309&&
（本帖最新更新记录： 增加——； 增加：——； 增加：BBC纪录片 视频链接） 昨天读到了近期最让俺有感触的一篇文章，恰好是一位旅美的数学学者写的。
&blockquote&突然明白，不是那一摞摞的教材面目可憎，实在是授课老师面目可憎。把一个深奥的问题讲的简单很难，需要相当的功底，所以很多人都是反着来的，把简单的问题讲复杂。&/blockquote&&br&&a href=&/question//answer/?group_id=544512& class=&internal&&计算机系的高数，离散，线代都是用在哪些方面的？ &/a&——在这篇回答里我推荐了吴军博士的《数学之美》。&br&&a href=&///?target=http%3A///subject//reading/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数学之美 （第二版）》试读&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&我把清华大学李星教授为《数学之美》写的推荐序贴在这里：&br&&a href=&///?target=http%3A///note//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&（转）李星：《数学之美》序言&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&（李星教授是中国互联网的先驱，18年前他和吴建平教授一起建设了中国的教育科研网。）&br&&br&《数学之美》是一本非常值得读的书。这本书表达了吴军博士在他科研经历中对于科学问题的理解和思考。&br&&br&我于1991年从美国回到清华大学电子工程系工作，与吴军是同事，对于他在汉语语音识别方面的深入研究印象非常深刻。后来他到美国工作，出版了一本介绍硅谷的书&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&浪潮之巅（第2版）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，使我对他的写作激情和水平有了新的认识。这些年来我在清华大学教书，一直考虑如何让学生真正欣赏和热爱科学研究，这有助于使他们能逐渐发展成为所在领域内的大师和领军人物。在这一过程中，恰好发现了吴军博士在Google中国的官方博客——谷歌黑板报上连载的《数学之美》。因此，我在很多场合都建议学生跟踪阅读这个系列的博客文章。今天本书出版，与原博客文章相比，其内容的系统性和深度又上升到了一个新的境界。&br&&br&我读这本书有下面几点体会，供大家参考。&br&（1）追根寻源&br&本书用了大量篇幅讲了各个领域的典故，读起来令人兴趣盎然。典故最核心的是相关历史事件中的人物。我们必须要问：&b&提出巧妙数学思想的人是谁，为什么是“他/她”提出了这个思想？其思维方法有何特点？&/b&成为一个领域的大师有其偶然性，但&b&更有其必然性。其必然性就是大师们的思维方法。&/b&&br&（2）体会方法&br&从事科学研究，&b&最重要的是掌握思维方法&/b&。在这里，我举两个例子：&br&牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”这个原理也贯穿了《数学之美》本身。&br&WWW的发明人蒂姆o伯纳斯o李谈到设计原理时说过：&b&“简单性和模块化是软件工程的基石；分布式和容错性是互联网的生命”。&/b&虽然在软件工程和互联网领域的从业人员数量极其庞大，但能够真正体会到这些核心思想的人能有多少呢？我给学生出过这样的考题“把过去十年来重要IT杂志的封面技术介绍找来，看一看哪些技术成功了，哪些技术是昙花一现，分析一下原因？其答案是很有意思的：“有正确设计思想方法的技术”未必能够成功，因为还有非技术的因素；但&b&“没有正确设计思想方法的技术”一定失败，无一例外&/b&。因此，我也建议本书的读者结合阅读，体会凝练创造《数学之美》的方法论。&br&（3）超越欣赏&br&数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。&b&《数学之美》把数学在IT领域，特别是语音识别和搜索引擎方面的美丽之处予以了精彩表达&/b&。但在这里我想说的是欣赏美不是终极目的，更值得追求的是创造美的境界。希望本书的读者，特别是年轻读者能够欣赏数学在IT技术上的美，学习大师们的思想方法，使自己成为大师，创造新的数学之美。&br&&br&================================&br&&img src=&/f46e2c69ce4d546ca3dd25f380ba0a53_b.jpg& data-rawwidth=&797& data-rawheight=&260& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&797& data-original=&/f46e2c69ce4d546ca3dd25f380ba0a53_r.jpg&&&br&&a href=&///?target=http%3A///review/5447403/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&美在重构 (评论: 数学之美)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br& 没有剧透，仅抛砖引玉。 &br& —————————— &br& 盛传大学有一棵树叫高树，许多童鞋在上面吊死了。后来发现一棵长在数学系的树，叫分析树，它足够高，很多人趴在上面往下看，结果吓死了。 &br&&br& 在大街上随机采访一些读过大学的年轻人，问微积分是什么，十有八九回答不上来，这个结论基本上是不会错的，并非学子不爱学，实在是教材编的太烂，老师讲的太差了。如果问他e^(πi)+1=0是不是很美，十有八九被其像外星人一样盯着看半天。 &br&&br& 大学时稀里糊涂进了数学系，方向是图论，那教材编的怎一个烂字了得！作者是北京某知名高校一位姓王的老教授，抄袭、乱下定义、结构混乱不一而足。 &br&&br& 感谢老王成功的培养了本人的绝望，有一半的时间自己翘课躲在了图书馆里，系统的“研究”了一下哲学、心理学，也抽空瞄了金融理论、美学、社会学等乱七八糟的东西。当然成绩仅能正常毕业而已，保研是妄想。 &br&&br& 好在当时院长有一个癖好：教授、院士、长江学者全部下基层，给大四的学生代一学期的课，大约每人三四课时。 &br&&br& 从那时起，发现数学可爱了。突然明白，不是那一摞摞的教材面目可憎，实在是授课老师面目可憎。把一个深奥的问题讲的简单很难，需要相当的功底，所以很多人都是反着来的，把简单的问题讲复杂。 &br&&br& 高手们不愿不屑于编写普及教材，庸手写书只为赚钱，因此想发现数学可爱很难，至于数学之美就更是奢谈，所以对探索者表示尊敬！&br&&br&=====&br&在&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何简单形象又有趣地讲解神经网络是什么？ &/a&里，引用了《数学之美》第二版中“&b&Google大脑与人工神经网络&/b&”的部分内容，有兴趣的同学或可一读。&br&&br&另推荐：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&数学该不该被踢出高考？数学有什么用处？ - 周筠的回答&/a&&br&&br&下面这个系列也值得推荐，作者是 &a data-hash=&be0d3bb133ad0151eefd188& href=&///people/be0d3bb133ad0151eefd188& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@田渊栋& data-hovercard=&p$b$be0d3bb133ad0151eefd188&&@田渊栋&/a& 博士（卡耐基梅隆大学机器人系博士，Facebook人工智能组研究员）&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946behvn.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（一）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bemco.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（二）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bewp9.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（三）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bqa.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（四&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&另推荐他的：&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bw6.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&在谷歌无人车组的工作感想&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
突然明白，不是那一摞摞的教材面目可憎，实在是授课老师面目可憎。把一个深奥的问题讲的简单很难，需要相当的功底，所以很多人都是反着来的，把简单的问题讲复杂。 ——在这篇回答里我推荐了吴军博士的《数…
&p&微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：&/p&&ul&&li&&p&对于导数的链式法则， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}& eeimg=&1&& ，可以理解为 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 可以约去，所以两者相等。但假如有 &img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29& alt=&F(x,y)& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%2F%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+F%2F%5Cpartial+y%7D& alt=&\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}& eeimg=&1&& ，通过消去我们是否可以推出 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=-\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&& ？&/p&&/li&&li&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7Ddx%5Cimplies+%5Cint+_+a%5E+b+dy%5Cimplies+y%5Crvert+_+a%5E+b& alt=&\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx\implies \int _ a^ b dy\implies y\rvert _ a^ b& eeimg=&1&& ，这里好像实实在在的消去了 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 。&/p&&/li&&li&&p&&img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3D%28u%2Bdu%29%28v%2Bdv%29-uv%3Dudv%2Bvdu%2Bdudv& alt=&d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv& eeimg=&1&& ，然后说 &img src=&///equation?tex=dudv& alt=&dudv& eeimg=&1&& 太小了，所以忽略，得到了微分的乘法法则， &img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3Dudv%2Bvdu& alt=&d(uv)=udv+vdu& eeimg=&1&& ，难道 &img src=&///equation?tex=udv& alt=&udv& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=vdu& alt=&vdu& eeimg=&1&& 不小！！&/p&&/li&&/ul&&p&我当时脑袋一片混乱，到底 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 或者说 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=dv& alt=&dv& eeimg=&1&& 是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以？&/p&&p&其实导数和微分的定义在各个历史时期是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史上去寻找答案。&/p&&p&我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对 &img src=&///equation?tex=y%3Df%28x%29& alt=&y=f(x)& eeimg=&1&& 这样的一元函数。&/p&&p&&strong&1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分&/strong&&/p&&p&牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25AF%25BC%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&----维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ）。&/p&&p&&strong&1.1 导数为什么出现？&/strong&&/p&&p&导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。&/p&&p&曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和：&img src=&/7a309c5ac7dfc252bd3176a6_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/7a309c5ac7dfc252bd3176a6_r.png&&&/p&&p&直觉告诉我们，如果 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 越大，则这个近似越准确：&img src=&/5396faefd2ffaf98600d0_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/5396faefd2ffaf98600d0_r.png&&&/p&&p&无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论的，当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。&/p&&p&在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。&/p&&p&&strong&1.2 导数的古典定义&/strong&&/p&&p&在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：&img src=&/c628daac6d6219eadca6ebe_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/c628daac6d6219eadca6ebe_r.png&&&/p&&p&割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。&img src=&/88c4a488ae041a39da5c1e_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/88c4a488ae041a39da5c1e_r.png&&&/p&&p&有了切线之后我们进一步去定义导数：&img src=&/3c7eb49815dddb9a6d51_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/3c7eb49815dddb9a6d51_r.png&&&/p&&p&从这张图得出导数的定义 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&f'(x)=\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&& ，而 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 被称为 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。&/p&&p&&strong&1.3 无穷小量导致的麻烦&/strong&&/p&&p&上一节的图实际上是有矛盾的：&img src=&/61ecf4ae56111a5aecefc_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/61ecf4ae56111a5aecefc_r.png&&&/p&&p&所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。&/p&&p&无穷小量的麻烦还远远不止这一些， &img src=&///equation?tex=x%5E2& alt=&x^2& eeimg=&1&& 的导数是这样计算的：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28x%5E2%29+%26++%3D+%5Cfrac%7Bf%28x%2Bdx%29-f%28x%29%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7B%28x%2Bdx%29%5E2-x%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2xdx%2Bdx%5E2-x%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7B2xdx%2Bdx%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+2x%2Bdx+%5C%5C+%26++%3D+2x+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\frac{d}{dx}(x^2) &
= \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \\ &
= \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \\ &
= \frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \\ &
= \frac{2xdx+dx^2}{dx} \\ &
= 2x+dx \\ &
= 2x \end{align}& eeimg=&1&&&p&仔细看看运算过程， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。&/p&&p&无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？&/p&&p&无穷小量还违反了 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%2598%25BF%25E5%259F%25BA%25E7%25B1%25B3%25E5%25BE%25B7%25E5%2585%25AC%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&阿基米德公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。&/p&&p&一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。&/p&&p&&strong&1.4 对于古典微积分的总结&/strong&&/p&&ul&&li&切线：通过无穷小量定义了切线&br&&/li&&li&导数：导数就是切线的斜率&br&&/li&&li&微分：微分是微小的增量，即无穷小量&br&&/li&&/ul&&p&&strong&2 基于极限重建微积分&/strong&&/p&&p&莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补，但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。&/p&&p&解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。&/p&&p&&strong&2.1 极限&/strong&&/p&&p&现在都是用 &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon+-%5Cdelta+& alt=&\epsilon -\delta & eeimg=&1&& 语言来描述极限：&img src=&/0afe3d0aafdf90f085a07_b.png& data-rawwidth=&871& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&871& data-original=&/0afe3d0aafdf90f085a07_r.png&&&/p&&p&可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。&/p&&p&&strong&2.2 导数的极限定义&/strong&&/p&&blockquote&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cdisplaystyle+f%27%28x_0%29%26+%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5C%5C+%26+%3D%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D%5C%5C+%26+%3D%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28x_0%2B%5CDelta+x%29-f%28x_0%29%7D%7B%5CDelta+x%7D+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\displaystyle f'(x_0)& =\frac{dy}{dx}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}& eeimg=&1&&&p&维基百科&/p&&/blockquote&&p&用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。&/p&&p&不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7B%5CDelta+x%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D%3Df%27%28x_0%29+%26+%5Cimplies+%5Clim+_%7B%5CDelta+x%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D-f%27%28x_0%29%3D0%5C%5C+%26+%5Cimplies+%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D-f%27%28x_0%29%3Da%2C%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7Da%3D0%5C%5C+%26+%5Cimplies+%5CDelta+y%3Df%27%28x_0%29%5CDelta+x%2Ba%5CDelta+x+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) & \implies \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=0\\ & \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=a,\lim _{\Delta x \to 0}a=0\\ & \implies \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x \end{align}& eeimg=&1&&&p&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+y%3Df%27%28x_0%29%5CDelta+x%2Ba%5CDelta+x& alt=&\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x& eeimg=&1&& 可以得出， &img src=&///equation?tex=%5CDelta+y& alt=&\Delta y& eeimg=&1&& 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：&img src=&/38aaa6cecba6_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/38aaa6cecba6_r.png&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=dy%3Df%27%28x%29%5CDelta+x& alt=&dy=f'(x)\Delta x& eeimg=&1&& ，这是 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&我们令 &img src=&///equation?tex=y%3Dx%5Cimplies+dy%3D1%5CDelta+x%5Cimplies+dx%3D%5CDelta+x& alt=&y=x\implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x& eeimg=&1&& ，这个 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&最后我们可以得到 &img src=&///equation?tex=dy%3Df%27%28x%29dx%5Cimplies+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df%27%28x%29& alt=&dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x)& eeimg=&1&& ：&img src=&/05fd17484_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/05fd17484_r.png&&&/p&&p&&strong&2.3 对于极限微积分的总结&/strong&&/p&&ul&&li&导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率&br&&/li&&li&微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值&br&&/li&&li&切线：有了导数之后就可以被确定下来了&br&&/li&&/ul&&p&&strong&3 疑问的解答&/strong&&/p&&p&微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。&/p&&p&&strong&3.1 古典微积分与极限微积分的对比&/strong&&/p&&ul&&li&古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。&br&&/li&&li&古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。&br&&/li&&li&古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。&br&&/li&&li&古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。&br&&/li&&li&古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。&br&&/li&&li&古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。&br&&/li&&/ul&&p&古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。&/p&&p&&strong&3.2 疑问的解答&/strong&&/p&&p&之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。&/p&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}& eeimg=&1&& ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 实际上是不同的函数。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7Ddx& alt=&\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx& eeimg=&1&& 古典微积分中， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中， &img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+dx& alt=&\int _ a^ b dx& eeimg=&1&& 是求黎曼和，我们可以把 &img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b& alt=&\int _ a^ b& eeimg=&1&& 当作左括号， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 当作右括号，就好比 &img src=&///equation?tex=%282%2B6%29%3D8& alt=&(2+6)=8& eeimg=&1&& ，计算完毕之后，括号自然就消失了。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3D%28u%2Bdu%29%28v%2Bdv%29-uv%3Dudv%2Bvdu%2Bdudv& alt=&d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv& eeimg=&1&& 在古典微积分中这么计算没有错误，只是 &img src=&///equation?tex=dudv& alt=&dudv& eeimg=&1&& 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。&br&&/li&&/ul&&p&古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，重新从极限的角度去认识微积分。&/p&&p&&strong&3.3 古典微积分的用处&/strong&&/p&&p&我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。&/p&&p&并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。&/p&&p&&strong&4 无穷小量的逆袭&/strong&&/p&&p&有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数， &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25B6%%25AE%259E%25E6%_%28%25E9%259D%259E%25E6%25A0%%E5%E6%259E%2590%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&超实数&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&/p&&p&基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的，基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。我对于超实数并不了解，大家感兴趣可以去学习非标准分析课程。&/p&
微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：对于导数的链式法则， \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} ，可以理解为 du 可以约去，所以两者相等。但假如有 F(x,y) ， \frac{dy}{dx} = -\fra…
更新：尝试解答评论区问题&br&&br&========== 原答案开始 ==========&br&&br&说说我的理解。&br&&br&在一元函数中，导数就是函数随自变量的变化率。一般一元函数的自变量使用字母&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，那么函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的导数其实就是它在&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&轴上的变化率。&br&&br&在多元函数中，自变量是多个标量，或者理解成一个多维的向量。那么，函数随自变量的变化怎么刻画呢？一个方法，就是衡量函数在&b&给定方向&/b&上的变化率，这就是方向导数。方向导数的特例，就是函数随各个自变量（标量）的变化率，即函数的偏导数，也就是函数沿各个坐标轴正方向的方向导数。&br&&br&假如一个多元函数是可微的，我要是没记错，它在各个方向上都有方向导数。那么，函数可能在一些方向上增长的快（方向导数的值比较大），一些方向上增长的慢。所有这些方向中，会有一个增长最快的。梯度就是一个向量，其模为这个增长最快的速率（方向导数值），其方向为这个最快增长方向。&br&&br&这里发现一份课件，感觉解释得比较清楚。&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D5ojQuDHuZP-ifsY-k0zEgSNtCTUxOXKlvJE_mVbvaaYS78BwwPnkBEo9thwehxqhm_Ek6sFB2pxW_IxlPs-gFgG214vnO20BXKI4KYn6MPG& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)_图文&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&不知道是否能对题主有所帮助。&br&&br&========== 尝试解答 &a data-hash=&c4cb0c5d5e228bccb52ef4e9971d12ad& href=&///people/c4cb0c5d5e228bccb52ef4e9971d12ad& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@白萄& data-hovercard=&p$b$c4cb0c5d5e228bccb52ef4e9971d12ad&&@白萄&/a& 和 &a data-hash=&8e5edced923e257fa031a70& href=&///people/8e5edced923e257fa031a70& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@巴扎勒大帝& data-hovercard=&p$b$8e5edced923e257fa031a70&&@巴扎勒大帝&/a& 的疑问 ========== &br&首先说明，我是学工科的，对数学理解其实非常有限。但既然评论区有疑问，我就尝试回答一下。&br&&br&&b&第一&/b&，&b&&img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&F(x,y)=x^2+y^2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=z%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&z=x^2+y^2& eeimg=&1&&有什么区别？它应该用三维空间去表示吗？遇到&img src=&///equation?tex=z%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&z=x^2+y^2& eeimg=&1&&我们是应该用&img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&F(x,y)=x^2+y^2& eeimg=&1&&还是&img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%2Cz%29%3Dx%5E2%2By%5E2-z& alt=&F(x,y,z)=x^2+y^2-z& eeimg=&1&&去表示呢？&/b&&br&&br&我们从一元函数来说。假定 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E2& alt=&f(x)=x^2& eeimg=&1&& 是一个一元函数，那么左边的 &img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 实际上是对右边具体表达式的一种抽象（映射规则），即我是一个以 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 为自变量的函数，这函数也许有、也许没有解析形式的表达方法，而且这个函数值用哪个变量表示，这里并没有指明。进一步，如果写出 &img src=&///equation?tex=y+%3D+x%5E2& alt=&y = x^2& eeimg=&1&&，就是指把等式右边的函数值给了 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 这个新的变量。于是在这个上下文里，&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 就是因变量。这个写法可以抽象为 &img src=&///equation?tex=y+%3D+f%28x%29& alt=&y = f(x)& eeimg=&1&&，指一个函数，&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 为自变量而 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 为因变量。由于这俩变量之间建立了一种用 &img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 来表示的映射规则，于是可以在笛卡尔坐标系 &img src=&///equation?tex=xOy& alt=&xOy& eeimg=&1&& （二维）中画出 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 关于 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 在映射规则 &img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 下的图形。&br&&br&将上述说法推广到二元乃至多元函数，就可以得到上面问题的答案了。至于 &img src=&///equation?tex=F_1%28x%2C+y%2C+z%29+%3D+x%5E2+%2B+y%5E2+-+z& alt=&F_1(x, y, z) = x^2 + y^2 - z& eeimg=&1&&，它就是个三元函数了。只是满足方程 &img src=&///equation?tex=F_1%28x%2C+y%2C+z%29+%3D+0& alt=&F_1(x, y, z) = 0& eeimg=&1&& 的所有三元组 &img src=&///equation?tex=%28x%2C+y%2C+z%29& alt=&(x, y, z)& eeimg=&1&& 刚好组成 &img src=&///equation?tex=z+%3D+F%28x%2C+y%29& alt=&z = F(x, y)& eeimg=&1&& 这个二元函数的图形（三维）。&br&&br&&b&第二&/b&，&b&&img src=&///equation?tex=y%3Dx%5E2& alt=&y=x^2& eeimg=&1&&微分是&img src=&///equation?tex=dy%3D2xdx& alt=&dy=2xdx& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D2x& alt=&f'(x)=2x& eeimg=&1&&，线性近似是&img src=&///equation?tex=%5CDelta+y%3D2x+%5CDelta+x& alt=&\Delta y=2x \Delta x& eeimg=&1&&，是通过切线去线性近似的，而&img src=&///equation?tex=z%3Df%28x%2Cy%29& alt=&z=f(x,y)& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=dz%3DF_x%5E%5Cprime%28x%2Cy%29dx%2BF_y%5E%5Cprime+%28x%2Cy%29dy& alt=&dz=F_x^\prime(x,y)dx+F_y^\prime (x,y)dy& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%28F_x%5E%5Cprime+%28x%2Cy%29%2CF_y%5E%5Cprime+%28x%2Cy%29%29& alt=&(F_x^\prime (x,y),F_y^\prime (x,y))& eeimg=&1&&是梯度，线性近似形式和&img src=&///equation?tex=dz& alt=&dz& eeimg=&1&&差不多。很奇怪，&img src=&///equation?tex=y%3Dx%5E2& alt=&y=x^2& eeimg=&1&&通过切线近似，而&img src=&///equation?tex=z%3Df%28x%2Cy%29& alt=&z=f(x,y)& eeimg=&1&&通过梯度或者说法向量近似，这不是矛盾吗？&/b&&br&&br&不矛盾。一元函数可以通过切线来近似，这就是一元函数微分/导数的意义。二元函数的线性近似，如你所学，实际上比一元函数的条件复杂。二元函数的图形一般是个曲面，在某点附近用该点的切平面近似。而你会发现，它在某处的梯度向量，实际上就是在该处切平面的法向量。
更新：尝试解答评论区问题 ========== 原答案开始 ========== 说说我的理解。 在一元函数中，导数就是函数随自变量的变化率。一般一元函数的自变量使用字母x，那么函数f(x)的导数其实就是它在x轴上的变化率。 在多元函数中，自变量是多个标量，或…
&p&线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。&/p&&br&&p&在中学的初等数学里，我们知道，函数f(x)=kx+b（k和b
是不变量），称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，就是变量（包括自变量和因变量）之间的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数；如果b=0 ，这个函数的外观就变成f(x)=kx的形式了，这是一条过原点的直线。显然，过原点的直线是最简单的线性函数。&/p&&br&&p&在大学的代数里面，为了线性函数的进一步推广（如推广至双线性函数、多线性函数、线性空间、线性泛函…）的远大未来，我们忍痛割“尾”，把一元线性函数
f (x)= kx + b的b割舍掉，成了f(x)=kx的形式。呵呵，简单点说，只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数。&/p&&br&&p&为什么？只因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。&/p&&br&&p&线性函数表现为直线，这只是几何意义。那么所谓“线性”的代数意义是什么呢？实际上，最基本的意义只有两条：&b&可加性和比例性。&/b&用数学的表达来说就是：&b&对加法和数乘封闭。&/b&&/p&&br&&p&然后说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一。对于空间的理解需要更抽象一些，&b&简单的说，能装东西的就是空间。&/b&比如计算机内有存储单元，那么就有内存空间；我们上课有课表，那么就有课表空间；有一个能装载梦境的东西，我们可以叫它盗梦空间。对于数学来说，数学家定义的空间里装载的当然是能运算的东西。从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间，如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。&/p&&br&&p&总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。&/p&&br&&p&我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：&/p&&br&&p&1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成&/p&&p&2. 这些点之间存在相对的关系&/p&&p&3. 可以在空间中定义长度、角度&/p&&p&4. 这个空间可以容纳运动&/p&&br&&p&&b&这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动&/b&，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构或关系，并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说：&b&容纳运动是空间的本质特征&/b&。&/p&&p&认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，&b&“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。&/b&&/p&&br&&p&下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：&/p&&br&&p&1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？&/p&&p&2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？&/p&&br&&p&我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。&b&线性空间中的任何一个对象，通过选取坐标系(基)和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。&/b&通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：&/p&&br&&p&L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以&b&x0, x1, ..., xn&/b&为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量&b&ai&/b&其实就是多项式中&b&x(i-1)&/b&项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。&/p&&br&&p&L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1 了。后面就不用再重复了。&/p&&br&&p&&b&所以说，只要你找到合适的坐标轴（也就是基），就建立了一个坐标系，就可以用坐标（表示成向量的形式）表示线性空间里任何一个对象。换句话说，给你一个空间，你就能用基和坐标来描述这个空间中的对象！&/b&这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是由于向量的有序性，&b&除了这些数本身携带的信息之外，还在对应位置上携带信息&/b&。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。&/p&&br&&p&由三维扩展到四维的空间的确难以想象，我想给出个人的几点认识供读者参考：对于笛卡儿坐标系，二维坐标系的两个坐标轴互相正交并构成一个平面空间；三维坐标系的坐标轴互相正交且第三个坐标轴垂直于其余两个坐标轴平面，三个坐标轴构成一个立体空间；则四维坐标系中的四个坐标轴互相正交，第四轴必然与其余的三维立体空间垂直，四个坐标轴构成一个超多面体空间…&/p&&br&&p&四维空间的物理解释就是爱因斯坦的时空理论，三维物理空间之外增加了一个与之垂直的}
一、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每
来源：网整理&&&&作者：若冰&&&&-04-01 06:40:57
标签：说两句
一、实数与数轴
1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
二、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。
三、实数的运算 1、加法：
(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：
(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：
(1)两数相除，同号得正，，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
四、有效数字和科学记数法
1、科学记数法：设N&0，则N= a&n10(其中1&a&10，n为整数)。
2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。
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教学目标：
1.使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度，能将已知数在数轴上
表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数，知道有理数都可以用数轴上的点表示；
2.向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想。 3.使学生进一步理解有理数与数轴上的点的对应关系；巩固在数轴上由
数找点、由点读数的方法；
4.会借用数轴直观的进行有理数的大小比较，体会数形结合的数学思想。
教材分析：数轴是在引入了负数及对有理数进行分类后给出的，它是我们数学
学习和研究的一个重要工具。本节课从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发，通过实际情景类比出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法。它将有助于我们后面将要学习的相反数、绝对值概念的理解，更直观地进行有理数大小的比较和对有理数运算法则的推导。
重点难点：1.掌握数轴的正确画法。
2.利用数轴比较有理数的大小。
3.体会数形结合的数学思想，加深对有理数的认识。
教学过程：
一、复习过程：
1. 有理数包括那些数？说出有理数的分类方法？ 整数和分数统称有理数，有理数可以这样进行分类
Ⅰ. 在分类时，一定要保证使每个数只能在同一层次中的一个集合
Ⅱ. 在所有含“正”“负”字眼的集合中，都不能出现“0”. 因为
“0”既不是正数也不是负数.
Ⅲ. 在有理数的分类中，未出现小学学过的“小数”“自然数”，是因为有理数中的小数都可以化为分数的形式；而“自然数”又包含在整数范围
-7，+，-3,0,100填入相应的集合中： 2. 将有理数：+2，-,0.3，292
正数集合：{
} 负数集合：{
} 正数集合：{
二、引入新课：
1. 利用温度计可以测量温度，请同学们说出温度计的结构？（同学讨论）
温度计上有刻度，刻度上有读数，可根据液面的不同位置读出不同的数，从而测得温度。
如：在0上10个刻度，表示100C; 在0下5个刻度，表示-50C;等等
类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些？（直尺、弹簧秤等）
2.出示温度计：
① 你是怎样读出上面的温度的？
② 温度计刻度的正负是怎样规定的？以什么为基准？基准刻度线表示多少摄氏度?
③ 每摄氏度两条刻度之间的距离有什么特点？
总结：与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，并用直线上的点来表示数。
像这样的直线就是我们今天要学习的内容――数轴。
把温度计横放与数轴进行对比归纳出数轴的画法。
三、讲解新课：
1.数轴的画法
1）画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温
度计上的0℃）；
2）规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指的方向），那么从原点向左为负方向（相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负）；
3）选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，?从原点向左，每隔一个长度单位
取一点，依次表示为－1，－2，－3，?
于是+3可以用数轴上位于原点右边3个单位的点表示；
-4可以用数轴上位于原点左边4个单位的点表示；
在原点右边
个单位的点表示；在原点左边1.5个单位的点表示1.5. 44
判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？
总结：1.画数轴时容易漏掉正方向；
2.画数轴时单位不统一；
3.容易把原点左边的数变成正数；
4.标错点。特别是对负数标错点。如：
-3标到+3 处；-标到-处。
2.数轴的定义：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
①画数轴时，原点、正方向和单位长度三个条件缺一不可。称这三个条件为数轴的“三要素”；
②数轴定义中的“规定”二字，这就说原点的选定，正方向的取向，单位长度的大小的确定都是根据需要“规定的”。一旦确定了，不能随意更改。
③所有的有理数都可以用数轴上的点表示。反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。
3. 利用数轴比较有理数的大小
通过学习数轴可知：在数轴上表示的两个数，右边数总比左边的数大。正数都大于零，负数都小于零。
4.例1.将下列所给的数在数轴上表示出来：1，-3，-2.5，2 ，0
例2.比较-3，
四、小结提高
1．数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，
例3.指出数轴上A 、B、C、D 个点分别表示什么数？
，0 ，2 ，3.5的大小。 2
它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；
2．画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，
注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。
五、课后思考
1．一个点从原点开始，按下列条件移动两次后到达终点，说出它是表示什么数的点？
（1）向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位。
（2）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度。
2．数轴上表示3和-3的点离开原点的距离是多少？这两个点的位置有什么不同？
3．数轴上到原点的距离是5的点有几个？它们分别表示什么数？
六、课后作业
三亿文库包含各类专业文献、专业论文、中学教育、高等教育、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、行业资料、51初中数学数轴教案等内容。
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请输入姓名
请输入手机号初一数学数轴的长度单位是什么意思？比如一个单位长度是3 向右移动2个单位长度 是移动3分之一格 还是2格_百度知道
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。
初一数学数轴的长度单位是什么意思？比如一个单位长度是3 向右移动2个单位长度 是移动3分之一格 还是2格
长度单位是1右移2个单位就是右移2格（格长为1的情况下）
长度单位只能1吗？一般地什么意思？
默认单位就是1但是长度单位你也可以说是厘米，分米什么的，数学抽象的单位叫1
如果一格是5cm 那说他有多少个分数单位 5个么？
如果有些题目说长度单位是a的话 默认是1？
一般地什么意思？
数轴的长度单位为1，高二学了负数，还有个i其他的你暂时用不到了
采纳率：48%
两个单位长度就是 题目规定的长度*2
比如一个单位长度是3 向右移动2个单位长度 是移动3*2=6格
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初一数学的相关知识
等待您来回答（&b&本帖最新更新记录：&/b&&br&&b&增加&/b&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bqa.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（四）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&——；&br&&b&增加&/b&：&a href=&///?target=http%3A///blog/754& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&何三畏 ： 谁家的孩子该学数学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&——；&br&&b&增加&/b&：BBC纪录片&a href=&///?target=http%3A//www.bilibili.tv/video/av487963/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 视频链接）&br&&br&&br&昨天读到了近期最让俺有感触的一篇文章，恰好是一位旅美的数学学者写的。&br&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_c5c0b.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&旅美学者changshou：中美教育体系的比较(转载）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&====节选一：&b&讨论美国中小学数学教育存在的严重问题====&/b&&br&&br&&br&&p&&b&在D的经历和思考&/b&（上） &/p&&p& 毕业后我在大学D任教。D是老牌名校，是美国综合性大学第二梯队的一个典型代表（BC属第一梯队）。我在D大学教过从大一到大四的来自各个院系专业的学生，有的课还是人数颇多的大课。和以前一样我只能通过数学能力来了解学生。 &/p&&br&&p&&b&本科生入学水平远弱于BC&/b&&/p&&p& 有些人在我看来需要重修高中乃至初中的一些数学课。个别人连小学数学（如分数的四则运算）都不熟！这绝不是我个人的偏激看法。比如学校出的关于新生数学能力的诊断性考试题竟然要考察自然数的四则运算，分数的四则运算，一元一次方程等（当然后面会考到高中的复数极限导数等）。而多数新生在这样简单的考题上竟只能拿到一半分。更可怕的是，他们中很多竟然敢于免修第一门微积分课（直接上第二门）…… &/p&&br&&p&&b&教学困境&/b&&/p&&p& 显然，在这样的情况下想让学生知其然也知其所以然已成了几乎不可能的任务。一些刚从象牙塔毕业的青年教师（我是其中一员）对此没有思想准备。我试图保住一条底线：最起码我要解释教科书上写了的东西让他们在学完后能看懂教科书。但即便这样低的目标我也根本达不到而以惨败结束。比如我一直耿耿于怀的一件事是：我教的微积分学生可能几乎没有人明白积分的定义……直到第二年我才从更有经验的人那儿了解到：不要试图准确描述基本概念，也不要花较多时间解释主要思路动机或多问为什么（因为这对学生来说实在太难了……而且会遭到学生的强烈反对）。 &/p&&p& 那么是不是说在所谓“素质/启发性/创造性/实质性”教学完全走不通后只有“填鸭”教育一条路让学生会算一些题就行了呢？事实上由于没有大学B那样强的（类似于中国高中的）管控体系，我们连“填鸭”的能力也没有。 &/p&&p& 最终的结果是通常已经有所放水的期末考试常常是&b&多数人无法及格&/b&。而且低年级的劣质情况积累影响中高年级，甚至导致系里不得不把一些有多年历史的中高年级的课程内容砍掉1/3以上（但之后仍是大多数人考不及格……） &/p&&p& 我刚到学校时曾与系里一位老教授攀谈，&b&当谈及基础教育失败导致学生数学能力极差且有越来越差之势时，这位曾上过战场的老头竟然控制不住在我面前哭起来&/b&。我在教了好几门课后开始明白他的痛苦了。 &/p&&br&&p&&b&学生有自由但反受耽误&/b&&/p&&p& 另一件让我印象深的事是：D没有让我觉得学术上拔尖的本科学生。到了高年级确有一些功课学得很好也有心向学的人。我给过他们一些进一步发展的意见指导，但无一例外地发现他们学过的东西非常非常少，对学科的理解则基本还停留在新生和科普水准。在了解了他们在本科三四年中的学习经历后我发现他们基本上都有几个问题： &/p&&p& 1 &b&在中低年级并没有完全想清楚自己未来要干什么&/b&，因此花了不少时间去体验其他的专业以及很多“通识课”。大学自由灵活的体制也鼓励他们这么做。&/p&&p& 2 以为自己所有的专业课都学得很好就行了。 &/p&&p& 这样做有啥问题呢？问题在于&b&他们被真正拔尖的孩子（其他学校的和外国的）甩开得太多太多&/b&了：三四年前大家的起点差不多，而现在别人“轻舟已过万重山”高出他们好几个境界去了。怎么会这样呢？这是因为最拔尖的学生具有很强的目的性（我一定要当科学家），自我指导性（给他足够的书，他自己就能钻研出来）和自我激发性（学得越好就越不满足甚至越焦虑）。 &/p&&br&&p& D大学的好学生没有这么强。但是如果他们从大一开始就坚持贯彻明确的专业培养计划，他们和最顶尖学生的差距不至于这么大（起码学的专业课会多得多）。而现在我只能指出他们的学术基础太薄弱（很多基础专业课没学），并开出长长的课单书单。但我知道他们没时间了：毕业期申请期快到了，一些孩子也痛苦地意识到：自己看似没有什么问题的学术之路，实际上导致自己已经输在起跑线附近（如果以成为一流学者为目标的话）。 &/p&&p&&b&坚持贯彻明确的专业培养计划这其实是中国大学的办法。中国大学给学生转专业和定专业的自由远不及美国学校。这当然导致了众所周知的学生不得不学不喜欢的专业的问题，但也保证了次好的学生在愿意走此专业道路时不至于落后先进太多&/b&。这些次好的学生（假设在中国最顶尖学校）的学术竞争力强于大学D的上述好学生（虽然D的科研和教授实力目前肯定强于中国最顶尖学校）。 &/p&&br&&p& 我知道中国一些大学近年来喜欢搞所谓“宽基础”的综合性强的“XX班”，并赋予这些班的学生广泛的专业选择权。但我也了解到&b&很多这样的尝试产生了不小的负面后果（比如事实上削弱了学生的竞争力）&/b&，在有些学校甚至导致了公开的矛盾冲突。D大学和中国的实践提醒我们，“宽基础”、“通识”培养体制存在的弱点：最顶尖学生不会因此更厉害，但次顶尖学生可能会严重落后（并在某个时候遭遇信心重挫）。&/p&&br&&br&&p&&b&在D的经历和思考（下）&/b&&/p&&p& 上文讲到大学D的新生基础太差，导致教学质量很差。这其实对学生的伤害最大。最直接的一个表现就是： &/p&&p&&b&数学科学死亡行军&/b&（math-science death march） &/p&&p& 这是纽约时报一篇长篇文章链接出处中强调的一个词。这篇文章主要讲的是：&b&为什么有很多爱好科学有志于学习理工科的孩子，到了大学学习两三年后纷纷转专业？——因为理工科实在是太难了（so darn hard），特别是孩子们无法战胜低年级的数学科学死亡行军（math-science death march）。&/b&&/p&&p& But, it turns out, middle and high school students are having most of the fun, building their erector sets and dropping eggs into water to test the first law of motion. The excitement quickly fades as students brush up against the reality of what David E. Goldberg, an emeritus engineering professor, calls “the math-science death march.” Freshmen in college wade through a blizzard of calculus, physics and chemistry in lecture halls with hundreds of other students. And then many wash out.&/p&&p& 这篇文章本身没什么大不了，&b&最有价值的其实是后面的1000多条读者评论&/b&。其中有大量认真撰写的长评论，我强烈推荐英文好的人看一看（顺便说一下，英文主流媒体常有读者评论比正文有意思的情况）。除了一些有些离题的抨击外国人或华尔街抢饭碗外，评论中出现了两派：一派有很多学生，指责大学要负极大责任：如教授高高在上，所学内容过于晦涩，教学方式过于呆板等等；另一派有很多大学教师和老工程师（很多人上来先亮身分：我做XX/我教XX已经多少年了……），这一派认为主要是学生水平太次，不如自己这一代人。我虽然比学生大不了多少，但我属第二派（屁股决定脑袋？）。大学教学固然可以挑出毛病，&b&但在学生的极薄弱理科基础（尤其是数学）面前都属于小问题了。&/b&&/p&&p& 我对这件事（数学科学死亡行军）有直接的体会，亲见一些有梦想上进心强人其实也算聪明的学生由于搞不定我讲的课（也许还有其他课）而基本上丧失掉了追求梦想（探索科学或者做工程师）的可能。我观察过一些常来问问题的学生，发现&b&糟糕的中小学教育导致他们脑子里的知识点处于一团乱麻的状态（可能比没学过还糟糕）&/b&，而&b&这种状态又进一步导致他们有条理的梳理组织思路的能力极为欠缺&/b&。即使我问一些他们中学学过的东西，他们往往都会很快暴露出这些问题来。 &/p&&br&&p&&b&把问题带到下一个阶段 &/b&&/p&&p& 也许有读者会说，我这个学究要求太高，很多学生准备做应用技术或商业金融，不需要把基础课学那么好。但我强调的其实是，即使是只要求不求甚解、照虎花猫地使用，不少学生也有不小困难。如果要打一个比方，我觉得可能类似于要一个只认识1000个汉字的人读报纸。&b&以我们输出的学生水平看，很多人要想在实际工作中（比方说）考虑优化问题分析处理信号或者分析稍复杂的统计数据，势必感到吃力而且缺乏变通能力（这点从他们做应用题就能看出）&/b&。 &/p&&br&&p& 一些对中学教育很愤怒的大学教授用“garbage in, garbage out”来描述这种情况：高中送给我们基础太差的学生，导致应用专业毕业的也是基础很差的学生，而这又进一步影响到工业界。我可以告诉在工业界工作的朋友一个秘密：除非你的工程师来自第一梯队大学（最有名的那六七所），否则你得假设他的成绩可能水分很大，特别是数学基础课（因为数学系通常在学校里较弱势不敢得罪人）。比如如果他的成绩为B，这其实可能意味着他实际成绩不及格…… &/p&&br&&p&====&b&节选二：分析美国目前获得第一流地位的客观因素&/b&====&br&&/p&&br&&p&
美国获得第一流地位的“经验”对中国借鉴意义不大。&/p&&p& 那么美国是如何做到这么强的呢？我的看法是： &/p&&p& 1 &b&美国的人口&/b&对任何其他发达工业国都具有压倒优势。从科学圈的角度看，这人口不仅指美国的三亿人，也包括加澳两国和部分英国的。 &/p&&p& 2 &b&二战导致了人类近现代史上最大规模的科学人才转移&/b&。&b&转移目的地是美国&/b&。其实虽然美国在19世纪末就是第一工业国，直到20世纪30年代初世界科学中心仍在欧洲，特别是受一战重创的德国法国。然而仅用短短10多年，希特勒就重画了世界科学版图。我愿举一个很有代表性的例子。国际数学家大会是4年一次的全世界所有分支数学均参与的大会，具有很广的代表性（其他学科没有这么全面的大规模的全行业大集会）。1932年国际数学家大会，20个全会报告只有两个是用英语作的（读者可以由此想想当时美英在国际学术界的地位）。之后希特勒上台，二战来临，在1936之后就14年没开会。到再下一次（1950）时，22个全会报告有20个是用英语作的，英语也从此有了国际学界的绝对统治地位。 &/p&&p& 3 &b&苏联解体导致了人类近现代史上第二大规模的科学人才转移&/b&。苏联人才转移对生化可能影响小一些，但对数理科学来说可是极为壮观：这是&b&从20出头的天才大学生到80多岁的泰山北斗的全体系的迁移&/b&。转移的人少数被欧盟吃了，大部分被美国吞了。 &/p&&p& 4 在美国的基础科学于二战后取得西方阵营的独大地位，以及冷战后取得全世界的独大地位后，&b&有能力输出第一流后备人才的国家（如中印等）的一流学生蜂拥而至，更使美国如虎添翼&/b&。 &/p&&p& 其他的因素（比如很多人津津乐道的“体制”、“创新精神”、“自由”等），即使是有利因素，其影响力也和上述因素不在一个量级上。 &/p&&p& 对中国而言：因素1天然具备，在经济赶上来自然就会发挥作用；因素2、3可遇而不可求（多半是不可遇）；因素4属于已经成第一科学强国后的锦上添花，对如何做到第一没什么用。&/p&&br&&p&====&b&节选到此为止&/b&====&/p&&br&&p&这篇文章让我再次回顾以往思考过的老问题，即中国科举制度真的全都是坏处吗？&b&泼洗澡水把孩子也泼掉&/b&的事情我们以往干得还少吗？简单否定高考制度应试教育，包括这种所谓的“让数学滚出高考”的群众呼声，是不是依然是极端思路的老调重弹，背后反映的不过是思考上的偷懒呢？&/p&&br&&p&两年前读一本书&a href=&///?target=http%3A///subject/6811366/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&禅与摩托车维修艺术 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，发现原来就在上个世纪70年代（距今也不过40年），美国中学的写作教学水平还那么低啊，老师出大而空的作文题，学生无法下手写作。书的作者慢慢摸索出写作应该是从写一个具体的小事情入手，可这一切在工业革命先驱的英国（初等教育的普及也远早于美国），早就解决了呀。读这本书，感叹：美国到底历史浅，好些事情也只能从头一点点摸索。&/p&&br&&p&而读&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_c5c0b.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&旅美学者changshou：中美教育体系的比较(转载）&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 则再次认识到，若非天时（客观条件）所赐，仅凭本土中小学教育的积累，美国基础科学不可能在短短几十年里取得这样巨大的进步。&/p&&br&&p&回头看写作&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 的吴军博士，他的恩师贾里尼克便来自东欧捷克的犹太家庭（&a href=&///?target=http%3A///article/.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美系列八：贾里尼克的故事和现代语言处理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），二战期间逃到美国。&/p&&br&&p&再来看看下面几个说到了&b&数学为什么重要&/b&的故事：&/p&&br&&p&&b&第一个故事&/b&：&a href=&///?target=http%3A//.tw/blog/blogTopic.action%3Fid%3D5%26nid%3D2074%26page%3D1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&愛迪生的九十天教育&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&br&&p&节选：&/p&&p&&b&「发明之父」为什么债台高筑？&/b&&/p&&br&&p&正规教育和非正规教育的差别，可从爱迪生和特斯拉（Nikola Tesla）在直流电和交流电之争看出。&b&特斯拉是塞尔维亚工程师，受过严谨的数学教育&/b&（现在核磁共振所用的单位即为Tesla，它是测量磁场通量密度的国际单位）。&/p&&br&&p&他刚到美国时，是替爱迪生做事，他看到直流电的不可行，主张交流电。但因爱迪生只上过三个月的学，不懂交流电理论，加上他已投资直流电，便坚持直流电。最后，爱迪生为此债台高筑，连他创办的爱迪生奇异公司（Edison General Electric），也被改为GE，把他除名了。&/p&&br&&p&&b&爱迪生有创造力和企业力，但缺乏数学和复杂理论的洞察力&/b&。所以特斯拉说，&b&爱迪生用的方法效率很低，做事情是事倍功半。他说，爱迪生若知道一些起码的理论和计算方式，就能节省90%的力气。&/b&&/p&&br&&p&（作者&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D1QnmFVJfhy-m-_PoDDdXX2e8uXUUBr2Hk9FMcCIxUahOECPOdmYCOLOwFDL5RyWEAAR7k54-3xWcrVlLjeKUWa& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&洪兰_百度百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a&是台湾著名教育专家）&/p&&br&&p&&b&第二个故事&/b&：大出版家、商务印书馆总经理王云五为何重视数学&/p&&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///book//content_8065271.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&王云五：自称杂家的大出版家(组图)_读书频道&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_52fdbd1f0100av7k.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&中国近代著名出版家王云五(2)_寒江醉儒&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&自称为杂家的出版人王云五，在谈及出版体会时，又特别强调&b&数学和图书馆学&/b&的重要性，以为是&b&出版人必备的基本功&/b&。王云五的数学体会，是来自他12岁回广东老家时，因经常与一位堂房伯父一起赶集，得有机会随这位伯父学习心算和珠算，“&b&由此一生养成计算的习惯；无论做任何事，须要计算其利害得失，究竟利与害孰多，藉为判断的标准&/b&。”他说“我一生得之于算学很大”，批评“中国人不注重算学，这是很坏的现象”，认为&b&要得到正确的思想，一要靠幻想，因为这是创新的源泉，但同时，又不能不有数学的训练，只有这样，才能保证“思想正确”，“一加一一定是二，二加二一定是四，那末，不独学理工的人要学高等算学，就是学文学的人也要学高等算学&/b&”。王云五在商务出版了许多超大型丛书，成本既高，风险亦大，结果往往成功，这与他事前反复的持筹握算、周密的风险预估，是密不可分的。王云五的学生、曾任台湾商务印书馆总编辑兼总经理兼发行人的徐有守回忆说：笔者任职数年期中，每年必发行大部头丛书二、三种，所费资金庞大。若其中有一部滞销，则书馆有立即倒闭之可能。因而每筹印一书，师生二人，常在云五先生窄约仅二坪局促之董事长办公室反复核计、预测、讨论其印行之可能性。踌躇再四，数月始决。&br&&/p&&br&&br&&p&&b&第三个故事&/b&：巴菲特的合伙人查理芒格非常重视数学&/p&&br&&p&”他是我遇到的最渊博的思想家。从经商原则到经济规律，从学生宿舍的设计到游艇的设计，他都没有对手。“——&b&比尔.盖茨&/b&&/p&&br&&p&能得到曾经的世界首富这般夸赞的，世间恐寥寥无几，甚至只有一个人当得起这样的赞誉，他，就是连巴菲特都由衷敬佩的合伙人——&b&查理.芒格&/b&。&a href=&///?target=http%3A///subject/5346110/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&穷查理宝典 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ——这本汇集了查理.芒格智慧箴言的好书，每天都放在我桌子上，时不时都会拿起来翻几页，想一想。&/p&&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D6L9VhlTIFJCPWW_pJRS19M97r0oqPPctD0yEr6JQsMNL0mJtz4qeLLCvrwFv-QithXLd4YZOV0a7G1i9GkvHaa& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&查理·芒格_百度百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a&毕业于哈佛大学法学院，但他却终生喜爱数学，经常强调学习数学的重要性。他有一段关于对商业进行分析和评估的著名论述——&/p&&br&&p&「&/p&&p&&b&你必须知道重要学科的重要理论，并经常使用它们&/b&——要全部都用上，而不是只用几种。这些学科包括历史学、心理学、生理学、数学、工程学、生物学、物理学、化学、统计学、经济学等。&/p&&br&&p&首先要掌握的是数学。很明显，&b&你必须能够处理数字和数量问题，也就是基本的数学问题&/b&。&/p&&br&&p&除了&b&复利原理&/b&之外，一个非常有用的思维模型是基本的&b&排列组合原理&/b&。这是非常简单的数学知识，帕斯卡和费马在一年的通信中完全解决了这个问题。要掌握排列组合原理并不难。真正困难的是你在日常生活中习惯于几乎每天都应用它。费马-帕斯卡的系统与世界运转的方式惊人地一致。它是基本的公理，所以你真的必须得拥有这种技巧。&/p&&br&&p&...在哈佛商学院，所有一年级学生都必须学习的定量分析方法，是他们所谓的“决策树理论”。他们所做的只是把高中代数拿过来，用它来解决现实中的问题。那些学生很喜欢这门课程。他们为高中代数能够在生活中发挥作用而感到惊奇。
」&/p&&br&&p&查理芒格提到的决策树理论，可参见这篇文章：&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_498e50cf0100bpy1.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&决策树分析法_蓝风&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&&b&节选&/b&：&/p&&p&数学在技术经济研究中起着很重要的作用。常用的数学方法有以下几种：&/p&&p&①普通数学法主要是运用加、减、乘、除、等式运算、代数等方法计算各种技术经济指标，例如计算成本、投资、经济效果等。&/p&&p&②数学分析法，数学分析法主要是微分方法和矩阵方法。矩阵方法在技术经济中的应用最主要就是投入产出法的应用。&/p&&p&③运筹学方法，在技术经济评价中应用较多的运筹学方法，一般是线性规划、非线性规划、静态规划和动态规划这几种。&/p&&p&④数理统计和概率论方法，在技术经济评价中，需要处理许多社会经济现象和自然现象，而它们有不少是比较复杂的、在目前还没有找到一定的规律性，因此，必须利用概率论和数理统计方法来处理这些现象，为解决技术经济问题提供科学依据。概率论和数理统计在不确定情况下的技术经济评价中的应用有以下几种方法：技术经济期望值法、技术经济模拟法、技术经济决策树法。&br&&/p&&br&&br&&p&===&/p&&br&&p&我们也许很难像查理芒格那样，成为世界首富巴菲特的合伙人，需要面对复杂的投资项目来做投资决策。但是，在不可能再忽视学习理财知识的现代商业社会，我们每个人都面临着如何让自己的财产增值的切身问题。创业开办公司的自不必说，就是工薪阶层，也得懂得复利原理，了解各种金融产品的投资回报率，学会用决策树分析法来为自己投资理财。&/p&&br&&br&&p&&b&第四个故事&/b&：&a href=&///?target=http%3A///math/6.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美系列十二：余弦定理和新闻的分类&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&这是&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&书中的一章，也因为书中讲到了这么有趣的数学应用，不少文科生也买来阅读。&/p&&br&&p&余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事，但是它们确有紧密的联系。具体说，新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。&br&&/p&&p&&br&Google 的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。（有兴趣的读者点开&a href=&///?target=http%3A///math/6.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美系列十二：余弦定理和新闻的分类&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 看全文，便会发现中学学到的余弦定理，居然有着这么大的用处！）&br&&/p&&br&&br&&p&=&b&=数学之美&/b&==&/p&&br&&br&&p&&&&清华大学的李星教授在给&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学之美 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&写的推荐序（&a href=&///?target=http%3A///note//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&（转）李星：《数学之美》序言&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）中写道：&/p&&br&&p&我读这本书有下面几点体会，供大家参考。&br&（1）&b&追根寻源&/b&&br&本书用了大量篇幅讲了各个领域的典故，读起来令人兴趣盎然。典故最核心的是相关历史事件中的人物。我们必须要问：&b&提出巧妙数学思想的人是谁，为什么是“他/她”提出了这个思想&/b&？其思维方法有何特点？成为一个领域的大师有其偶然性，但更有其必然性。其必然性就是大师们的思维方法。&br&（2）&b&体会方法&/b&&br&从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：&br&牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“&b&从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。&/b&”这个原理也贯穿了《数学之美》本身。&/p&&p&&br&WWW的发明人蒂姆o伯纳斯o李谈到设计原理时说过：“简单性和模块化是软件工程的基石；分布式和容错性是互联网的生命”。虽然在软件工程和互联网领域的从业人员数量极其庞大，但能够真正体会到这些核心思想的人能有多少呢？我给学生出过这样的考题“把过去十年来重要IT杂志的封面技术介绍找来，看一看&b&哪些技术成功了，哪些技术是昙花一现&/b&，分析一下原因？其答案是很有意思的“有正确设计思想方法的技术”未必能够成功，因为还有非技术的因素；但&b&“没有正确设计思想方法的技术”一定失败，无一例外&/b&。因此，我也建议本书的读者结合阅读，体会凝练创造《数学之美》的方法论。&/p&&p&&br&（3）&b&超越欣赏&/b&&br&数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。《数学之美》把数学在IT领域，特别是语音识别和搜索引擎方面的美丽之处予以了精彩表达。但在这里我想说的是欣赏美不是终极目的，更值得追求的是创造美的境界。希望本书的读者，特别是年轻读者能够欣赏数学在IT技术上的美，学习大师们的思想方法，使自己成为大师，创造新的数学之美。&br&&/p&&br&&br&&p&还推荐大家看看吴军老师的视频：&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/v/b/0618281.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数学之美》发布会吴军精彩演讲“怎样才能不山寨”&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a class=&video-box& href=&///?target=http%3A//.cn/v/b/0618281.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&《数学之美》发布会吴军精彩演讲“怎样才能不山寨”& data-poster=&http://p1./848/607/.jpg& data-lens-id=&&&
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&span class=&title&&《数学之美》发布会吴军精彩演讲“怎样才能不山寨”&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&.cn/v/b/0618281.html&/span&
&/a&&/p&&br&&br&「何三畏先生的这篇&a href=&///?target=http%3A///blog/754& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&何三畏 ： 谁家的孩子该学数学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&写出了有识之士对“反智”的忧思：&br&&p&数学不赚钱为什么外国人照样钻研，为什么西方和美国取得那么多数学成就。不是说他们生活节奏快，心理浮燥吗？他们都是傻的不如中国人会赚钱吗？那当然不是。依法赚钱他们都比中国人强。法治水平高的国家里的国民，才是又会赚钱又喜欢“无用的科学”。中国人什么都讲实用，没有收益的表情都懒得浪费，无故的笑脸连对孩子都舍不得施舍一个，哪里会主动选择学习没有实用功能，不会赚钱的学问。&/p&&p&中国人正在实用和成功，浮华和享乐的流水线上高速旋转。本文的观点显然很不合时宜。但是，我感到困惑的是，我们不是有一代人已经非常有钱，无论怎样征遗产税，他们的孩子们（就算明里暗里有限地超生了几个吧），也会享不尽的荣华，而断无物质方面的忧虑。这样的家庭，正应该让孩子发挥天性，追求自由和个性。如果他是一个数学天才，为什么不让他成长为真正的数学家呢？如果穷人的孩子读书难免要为了求生存，那么，富贵人家的孩子，为什么不可以去追求“无用的知识”呢？&/p&&p&但是，看起来我们这一代富贵的长辈们还没有这么想。他们无论有几个孩子，都想送到富贵道路上去做他们的接班人。更何况穷人的孩子。另一方面，全社会也没有追求纯粹知识和理性的土壤。&/p&&p&那么，中国的未来仍然不会有人类最好的数学家和哲学家。而这不是一个有着辉煌未来的民族的气象。一个国家在超越了“求生存”的界线之后，就应该求发展。而一个民族的高度不是以有多少天才的头脑在做官和发财，而是以数学和哲学这种抽象能力和成就来衡量的。上帝奖赏追求纯粹知识和理性的民族。」&/p&&br&&br&&p&&&推荐一个讨论&b&数学的用处&/b&的系列文章，作者是毕业于卡耐基梅隆大学的&a href=&/people/tian-yuan-dong& class=&internal&&田渊栋&/a&博士，他目前是美国谷歌无人车项目组的工程师：&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946behvn.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（一）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bemco.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（二）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bewp9.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（三）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bqa.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（四）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&br&&p&&&推荐BBC系列纪录片：《数学的故事》&/p&&p&【BBC记录片：《数学的故事》】学好数理化，走遍天下都不怕！那些曾经被数学虐过的小伙伴们快看过来！第一集 宇宙语言&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYQboTk& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 第二集 东方奇才&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYWNgfc& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事(2)&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 第三集 空间边缘&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYWWQz6& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事(3)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&第四集 超越无限&a href=&///?target=http%3A//t.cn/zYWpplY& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&BBC 数学的故事(4)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&br&&br&&br&&img src=&/1bbe9d5b275b4e_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&309&&
（本帖最新更新记录： 增加——； 增加：——； 增加：BBC纪录片 视频链接） 昨天读到了近期最让俺有感触的一篇文章，恰好是一位旅美的数学学者写的。
&blockquote&突然明白，不是那一摞摞的教材面目可憎，实在是授课老师面目可憎。把一个深奥的问题讲的简单很难，需要相当的功底，所以很多人都是反着来的，把简单的问题讲复杂。&/blockquote&&br&&a href=&/question//answer/?group_id=544512& class=&internal&&计算机系的高数，离散，线代都是用在哪些方面的？ &/a&——在这篇回答里我推荐了吴军博士的《数学之美》。&br&&a href=&///?target=http%3A///subject//reading/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数学之美 （第二版）》试读&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&我把清华大学李星教授为《数学之美》写的推荐序贴在这里：&br&&a href=&///?target=http%3A///note//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&（转）李星：《数学之美》序言&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&（李星教授是中国互联网的先驱，18年前他和吴建平教授一起建设了中国的教育科研网。）&br&&br&《数学之美》是一本非常值得读的书。这本书表达了吴军博士在他科研经历中对于科学问题的理解和思考。&br&&br&我于1991年从美国回到清华大学电子工程系工作，与吴军是同事，对于他在汉语语音识别方面的深入研究印象非常深刻。后来他到美国工作，出版了一本介绍硅谷的书&a href=&///?target=http%3A///subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&浪潮之巅（第2版）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，使我对他的写作激情和水平有了新的认识。这些年来我在清华大学教书，一直考虑如何让学生真正欣赏和热爱科学研究，这有助于使他们能逐渐发展成为所在领域内的大师和领军人物。在这一过程中，恰好发现了吴军博士在Google中国的官方博客——谷歌黑板报上连载的《数学之美》。因此，我在很多场合都建议学生跟踪阅读这个系列的博客文章。今天本书出版，与原博客文章相比，其内容的系统性和深度又上升到了一个新的境界。&br&&br&我读这本书有下面几点体会，供大家参考。&br&（1）追根寻源&br&本书用了大量篇幅讲了各个领域的典故，读起来令人兴趣盎然。典故最核心的是相关历史事件中的人物。我们必须要问：&b&提出巧妙数学思想的人是谁，为什么是“他/她”提出了这个思想？其思维方法有何特点？&/b&成为一个领域的大师有其偶然性，但&b&更有其必然性。其必然性就是大师们的思维方法。&/b&&br&（2）体会方法&br&从事科学研究，&b&最重要的是掌握思维方法&/b&。在这里，我举两个例子：&br&牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”这个原理也贯穿了《数学之美》本身。&br&WWW的发明人蒂姆o伯纳斯o李谈到设计原理时说过：&b&“简单性和模块化是软件工程的基石；分布式和容错性是互联网的生命”。&/b&虽然在软件工程和互联网领域的从业人员数量极其庞大，但能够真正体会到这些核心思想的人能有多少呢？我给学生出过这样的考题“把过去十年来重要IT杂志的封面技术介绍找来，看一看哪些技术成功了，哪些技术是昙花一现，分析一下原因？其答案是很有意思的：“有正确设计思想方法的技术”未必能够成功，因为还有非技术的因素；但&b&“没有正确设计思想方法的技术”一定失败，无一例外&/b&。因此，我也建议本书的读者结合阅读，体会凝练创造《数学之美》的方法论。&br&（3）超越欣赏&br&数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。&b&《数学之美》把数学在IT领域，特别是语音识别和搜索引擎方面的美丽之处予以了精彩表达&/b&。但在这里我想说的是欣赏美不是终极目的，更值得追求的是创造美的境界。希望本书的读者，特别是年轻读者能够欣赏数学在IT技术上的美，学习大师们的思想方法，使自己成为大师，创造新的数学之美。&br&&br&================================&br&&img src=&/f46e2c69ce4d546ca3dd25f380ba0a53_b.jpg& data-rawwidth=&797& data-rawheight=&260& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&797& data-original=&/f46e2c69ce4d546ca3dd25f380ba0a53_r.jpg&&&br&&a href=&///?target=http%3A///review/5447403/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&美在重构 (评论: 数学之美)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br& 没有剧透，仅抛砖引玉。 &br& —————————— &br& 盛传大学有一棵树叫高树，许多童鞋在上面吊死了。后来发现一棵长在数学系的树，叫分析树，它足够高，很多人趴在上面往下看，结果吓死了。 &br&&br& 在大街上随机采访一些读过大学的年轻人，问微积分是什么，十有八九回答不上来，这个结论基本上是不会错的，并非学子不爱学，实在是教材编的太烂，老师讲的太差了。如果问他e^(πi)+1=0是不是很美，十有八九被其像外星人一样盯着看半天。 &br&&br& 大学时稀里糊涂进了数学系，方向是图论，那教材编的怎一个烂字了得！作者是北京某知名高校一位姓王的老教授，抄袭、乱下定义、结构混乱不一而足。 &br&&br& 感谢老王成功的培养了本人的绝望，有一半的时间自己翘课躲在了图书馆里，系统的“研究”了一下哲学、心理学，也抽空瞄了金融理论、美学、社会学等乱七八糟的东西。当然成绩仅能正常毕业而已，保研是妄想。 &br&&br& 好在当时院长有一个癖好：教授、院士、长江学者全部下基层，给大四的学生代一学期的课，大约每人三四课时。 &br&&br& 从那时起，发现数学可爱了。突然明白，不是那一摞摞的教材面目可憎，实在是授课老师面目可憎。把一个深奥的问题讲的简单很难，需要相当的功底，所以很多人都是反着来的，把简单的问题讲复杂。 &br&&br& 高手们不愿不屑于编写普及教材，庸手写书只为赚钱，因此想发现数学可爱很难，至于数学之美就更是奢谈，所以对探索者表示尊敬！&br&&br&=====&br&在&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何简单形象又有趣地讲解神经网络是什么？ &/a&里，引用了《数学之美》第二版中“&b&Google大脑与人工神经网络&/b&”的部分内容，有兴趣的同学或可一读。&br&&br&另推荐：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&数学该不该被踢出高考？数学有什么用处？ - 周筠的回答&/a&&br&&br&下面这个系列也值得推荐，作者是 &a data-hash=&be0d3bb133ad0151eefd188& href=&///people/be0d3bb133ad0151eefd188& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@田渊栋& data-hovercard=&p$b$be0d3bb133ad0151eefd188&&@田渊栋&/a& 博士（卡耐基梅隆大学机器人系博士，Facebook人工智能组研究员）&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946behvn.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（一）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bemco.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（二）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bewp9.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（三）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bqa.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学的用处（四&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&另推荐他的：&a href=&///?target=http%3A//.cn/s/blog_946bw6.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&在谷歌无人车组的工作感想&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
突然明白，不是那一摞摞的教材面目可憎，实在是授课老师面目可憎。把一个深奥的问题讲的简单很难，需要相当的功底，所以很多人都是反着来的，把简单的问题讲复杂。 ——在这篇回答里我推荐了吴军博士的《数…
&p&微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：&/p&&ul&&li&&p&对于导数的链式法则， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}& eeimg=&1&& ，可以理解为 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 可以约去，所以两者相等。但假如有 &img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29& alt=&F(x,y)& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%2F%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+F%2F%5Cpartial+y%7D& alt=&\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}& eeimg=&1&& ，通过消去我们是否可以推出 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=-\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&& ？&/p&&/li&&li&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7Ddx%5Cimplies+%5Cint+_+a%5E+b+dy%5Cimplies+y%5Crvert+_+a%5E+b& alt=&\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx\implies \int _ a^ b dy\implies y\rvert _ a^ b& eeimg=&1&& ，这里好像实实在在的消去了 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 。&/p&&/li&&li&&p&&img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3D%28u%2Bdu%29%28v%2Bdv%29-uv%3Dudv%2Bvdu%2Bdudv& alt=&d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv& eeimg=&1&& ，然后说 &img src=&///equation?tex=dudv& alt=&dudv& eeimg=&1&& 太小了，所以忽略，得到了微分的乘法法则， &img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3Dudv%2Bvdu& alt=&d(uv)=udv+vdu& eeimg=&1&& ，难道 &img src=&///equation?tex=udv& alt=&udv& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=vdu& alt=&vdu& eeimg=&1&& 不小！！&/p&&/li&&/ul&&p&我当时脑袋一片混乱，到底 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 或者说 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=dv& alt=&dv& eeimg=&1&& 是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以？&/p&&p&其实导数和微分的定义在各个历史时期是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史上去寻找答案。&/p&&p&我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对 &img src=&///equation?tex=y%3Df%28x%29& alt=&y=f(x)& eeimg=&1&& 这样的一元函数。&/p&&p&&strong&1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分&/strong&&/p&&p&牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25AF%25BC%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&----维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ）。&/p&&p&&strong&1.1 导数为什么出现？&/strong&&/p&&p&导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。&/p&&p&曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和：&img src=&/7a309c5ac7dfc252bd3176a6_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/7a309c5ac7dfc252bd3176a6_r.png&&&/p&&p&直觉告诉我们，如果 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 越大，则这个近似越准确：&img src=&/5396faefd2ffaf98600d0_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/5396faefd2ffaf98600d0_r.png&&&/p&&p&无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论的，当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。&/p&&p&在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。&/p&&p&&strong&1.2 导数的古典定义&/strong&&/p&&p&在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：&img src=&/c628daac6d6219eadca6ebe_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/c628daac6d6219eadca6ebe_r.png&&&/p&&p&割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。&img src=&/88c4a488ae041a39da5c1e_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/88c4a488ae041a39da5c1e_r.png&&&/p&&p&有了切线之后我们进一步去定义导数：&img src=&/3c7eb49815dddb9a6d51_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/3c7eb49815dddb9a6d51_r.png&&&/p&&p&从这张图得出导数的定义 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&f'(x)=\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&& ，而 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 被称为 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。&/p&&p&&strong&1.3 无穷小量导致的麻烦&/strong&&/p&&p&上一节的图实际上是有矛盾的：&img src=&/61ecf4ae56111a5aecefc_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/61ecf4ae56111a5aecefc_r.png&&&/p&&p&所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。&/p&&p&无穷小量的麻烦还远远不止这一些， &img src=&///equation?tex=x%5E2& alt=&x^2& eeimg=&1&& 的导数是这样计算的：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28x%5E2%29+%26++%3D+%5Cfrac%7Bf%28x%2Bdx%29-f%28x%29%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7B%28x%2Bdx%29%5E2-x%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2xdx%2Bdx%5E2-x%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7B2xdx%2Bdx%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+2x%2Bdx+%5C%5C+%26++%3D+2x+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\frac{d}{dx}(x^2) &
= \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \\ &
= \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \\ &
= \frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \\ &
= \frac{2xdx+dx^2}{dx} \\ &
= 2x+dx \\ &
= 2x \end{align}& eeimg=&1&&&p&仔细看看运算过程， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。&/p&&p&无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？&/p&&p&无穷小量还违反了 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%2598%25BF%25E5%259F%25BA%25E7%25B1%25B3%25E5%25BE%25B7%25E5%2585%25AC%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&阿基米德公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。&/p&&p&一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。&/p&&p&&strong&1.4 对于古典微积分的总结&/strong&&/p&&ul&&li&切线：通过无穷小量定义了切线&br&&/li&&li&导数：导数就是切线的斜率&br&&/li&&li&微分：微分是微小的增量，即无穷小量&br&&/li&&/ul&&p&&strong&2 基于极限重建微积分&/strong&&/p&&p&莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补，但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。&/p&&p&解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。&/p&&p&&strong&2.1 极限&/strong&&/p&&p&现在都是用 &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon+-%5Cdelta+& alt=&\epsilon -\delta & eeimg=&1&& 语言来描述极限：&img src=&/0afe3d0aafdf90f085a07_b.png& data-rawwidth=&871& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&871& data-original=&/0afe3d0aafdf90f085a07_r.png&&&/p&&p&可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。&/p&&p&&strong&2.2 导数的极限定义&/strong&&/p&&blockquote&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cdisplaystyle+f%27%28x_0%29%26+%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5C%5C+%26+%3D%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D%5C%5C+%26+%3D%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28x_0%2B%5CDelta+x%29-f%28x_0%29%7D%7B%5CDelta+x%7D+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\displaystyle f'(x_0)& =\frac{dy}{dx}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}& eeimg=&1&&&p&维基百科&/p&&/blockquote&&p&用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。&/p&&p&不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7B%5CDelta+x%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D%3Df%27%28x_0%29+%26+%5Cimplies+%5Clim+_%7B%5CDelta+x%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D-f%27%28x_0%29%3D0%5C%5C+%26+%5Cimplies+%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D-f%27%28x_0%29%3Da%2C%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7Da%3D0%5C%5C+%26+%5Cimplies+%5CDelta+y%3Df%27%28x_0%29%5CDelta+x%2Ba%5CDelta+x+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) & \implies \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=0\\ & \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=a,\lim _{\Delta x \to 0}a=0\\ & \implies \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x \end{align}& eeimg=&1&&&p&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+y%3Df%27%28x_0%29%5CDelta+x%2Ba%5CDelta+x& alt=&\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x& eeimg=&1&& 可以得出， &img src=&///equation?tex=%5CDelta+y& alt=&\Delta y& eeimg=&1&& 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：&img src=&/38aaa6cecba6_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/38aaa6cecba6_r.png&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=dy%3Df%27%28x%29%5CDelta+x& alt=&dy=f'(x)\Delta x& eeimg=&1&& ，这是 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&我们令 &img src=&///equation?tex=y%3Dx%5Cimplies+dy%3D1%5CDelta+x%5Cimplies+dx%3D%5CDelta+x& alt=&y=x\implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x& eeimg=&1&& ，这个 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&最后我们可以得到 &img src=&///equation?tex=dy%3Df%27%28x%29dx%5Cimplies+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df%27%28x%29& alt=&dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x)& eeimg=&1&& ：&img src=&/05fd17484_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/05fd17484_r.png&&&/p&&p&&strong&2.3 对于极限微积分的总结&/strong&&/p&&ul&&li&导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率&br&&/li&&li&微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值&br&&/li&&li&切线：有了导数之后就可以被确定下来了&br&&/li&&/ul&&p&&strong&3 疑问的解答&/strong&&/p&&p&微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。&/p&&p&&strong&3.1 古典微积分与极限微积分的对比&/strong&&/p&&ul&&li&古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。&br&&/li&&li&古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。&br&&/li&&li&古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。&br&&/li&&li&古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。&br&&/li&&li&古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。&br&&/li&&li&古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。&br&&/li&&/ul&&p&古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。&/p&&p&&strong&3.2 疑问的解答&/strong&&/p&&p&之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。&/p&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}& eeimg=&1&& ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 实际上是不同的函数。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7Ddx& alt=&\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx& eeimg=&1&& 古典微积分中， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中， &img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+dx& alt=&\int _ a^ b dx& eeimg=&1&& 是求黎曼和，我们可以把 &img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b& alt=&\int _ a^ b& eeimg=&1&& 当作左括号， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 当作右括号，就好比 &img src=&///equation?tex=%282%2B6%29%3D8& alt=&(2+6)=8& eeimg=&1&& ，计算完毕之后，括号自然就消失了。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3D%28u%2Bdu%29%28v%2Bdv%29-uv%3Dudv%2Bvdu%2Bdudv& alt=&d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv& eeimg=&1&& 在古典微积分中这么计算没有错误，只是 &img src=&///equation?tex=dudv& alt=&dudv& eeimg=&1&& 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。&br&&/li&&/ul&&p&古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，重新从极限的角度去认识微积分。&/p&&p&&strong&3.3 古典微积分的用处&/strong&&/p&&p&我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。&/p&&p&并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。&/p&&p&&strong&4 无穷小量的逆袭&/strong&&/p&&p&有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数， &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25B6%%25AE%259E%25E6%_%28%25E9%259D%259E%25E6%25A0%%E5%E6%259E%2590%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&超实数&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&/p&&p&基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的，基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。我对于超实数并不了解，大家感兴趣可以去学习非标准分析课程。&/p&
微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：对于导数的链式法则， \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} ，可以理解为 du 可以约去，所以两者相等。但假如有 F(x,y) ， \frac{dy}{dx} = -\fra…
更新：尝试解答评论区问题&br&&br&========== 原答案开始 ==========&br&&br&说说我的理解。&br&&br&在一元函数中，导数就是函数随自变量的变化率。一般一元函数的自变量使用字母&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，那么函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的导数其实就是它在&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&轴上的变化率。&br&&br&在多元函数中，自变量是多个标量，或者理解成一个多维的向量。那么，函数随自变量的变化怎么刻画呢？一个方法，就是衡量函数在&b&给定方向&/b&上的变化率，这就是方向导数。方向导数的特例，就是函数随各个自变量（标量）的变化率，即函数的偏导数，也就是函数沿各个坐标轴正方向的方向导数。&br&&br&假如一个多元函数是可微的，我要是没记错，它在各个方向上都有方向导数。那么，函数可能在一些方向上增长的快（方向导数的值比较大），一些方向上增长的慢。所有这些方向中，会有一个增长最快的。梯度就是一个向量，其模为这个增长最快的速率（方向导数值），其方向为这个最快增长方向。&br&&br&这里发现一份课件，感觉解释得比较清楚。&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D5ojQuDHuZP-ifsY-k0zEgSNtCTUxOXKlvJE_mVbvaaYS78BwwPnkBEo9thwehxqhm_Ek6sFB2pxW_IxlPs-gFgG214vnO20BXKI4KYn6MPG& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)_图文&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&不知道是否能对题主有所帮助。&br&&br&========== 尝试解答 &a data-hash=&c4cb0c5d5e228bccb52ef4e9971d12ad& href=&///people/c4cb0c5d5e228bccb52ef4e9971d12ad& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@白萄& data-hovercard=&p$b$c4cb0c5d5e228bccb52ef4e9971d12ad&&@白萄&/a& 和 &a data-hash=&8e5edced923e257fa031a70& href=&///people/8e5edced923e257fa031a70& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@巴扎勒大帝& data-hovercard=&p$b$8e5edced923e257fa031a70&&@巴扎勒大帝&/a& 的疑问 ========== &br&首先说明，我是学工科的，对数学理解其实非常有限。但既然评论区有疑问，我就尝试回答一下。&br&&br&&b&第一&/b&，&b&&img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&F(x,y)=x^2+y^2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=z%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&z=x^2+y^2& eeimg=&1&&有什么区别？它应该用三维空间去表示吗？遇到&img src=&///equation?tex=z%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&z=x^2+y^2& eeimg=&1&&我们是应该用&img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29%3Dx%5E2%2By%5E2& alt=&F(x,y)=x^2+y^2& eeimg=&1&&还是&img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%2Cz%29%3Dx%5E2%2By%5E2-z& alt=&F(x,y,z)=x^2+y^2-z& eeimg=&1&&去表示呢？&/b&&br&&br&我们从一元函数来说。假定 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E2& alt=&f(x)=x^2& eeimg=&1&& 是一个一元函数，那么左边的 &img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 实际上是对右边具体表达式的一种抽象（映射规则），即我是一个以 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 为自变量的函数，这函数也许有、也许没有解析形式的表达方法，而且这个函数值用哪个变量表示，这里并没有指明。进一步，如果写出 &img src=&///equation?tex=y+%3D+x%5E2& alt=&y = x^2& eeimg=&1&&，就是指把等式右边的函数值给了 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 这个新的变量。于是在这个上下文里，&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 就是因变量。这个写法可以抽象为 &img src=&///equation?tex=y+%3D+f%28x%29& alt=&y = f(x)& eeimg=&1&&，指一个函数，&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 为自变量而 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 为因变量。由于这俩变量之间建立了一种用 &img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 来表示的映射规则，于是可以在笛卡尔坐标系 &img src=&///equation?tex=xOy& alt=&xOy& eeimg=&1&& （二维）中画出 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 关于 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 在映射规则 &img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 下的图形。&br&&br&将上述说法推广到二元乃至多元函数，就可以得到上面问题的答案了。至于 &img src=&///equation?tex=F_1%28x%2C+y%2C+z%29+%3D+x%5E2+%2B+y%5E2+-+z& alt=&F_1(x, y, z) = x^2 + y^2 - z& eeimg=&1&&，它就是个三元函数了。只是满足方程 &img src=&///equation?tex=F_1%28x%2C+y%2C+z%29+%3D+0& alt=&F_1(x, y, z) = 0& eeimg=&1&& 的所有三元组 &img src=&///equation?tex=%28x%2C+y%2C+z%29& alt=&(x, y, z)& eeimg=&1&& 刚好组成 &img src=&///equation?tex=z+%3D+F%28x%2C+y%29& alt=&z = F(x, y)& eeimg=&1&& 这个二元函数的图形（三维）。&br&&br&&b&第二&/b&，&b&&img src=&///equation?tex=y%3Dx%5E2& alt=&y=x^2& eeimg=&1&&微分是&img src=&///equation?tex=dy%3D2xdx& alt=&dy=2xdx& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D2x& alt=&f'(x)=2x& eeimg=&1&&，线性近似是&img src=&///equation?tex=%5CDelta+y%3D2x+%5CDelta+x& alt=&\Delta y=2x \Delta x& eeimg=&1&&，是通过切线去线性近似的，而&img src=&///equation?tex=z%3Df%28x%2Cy%29& alt=&z=f(x,y)& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=dz%3DF_x%5E%5Cprime%28x%2Cy%29dx%2BF_y%5E%5Cprime+%28x%2Cy%29dy& alt=&dz=F_x^\prime(x,y)dx+F_y^\prime (x,y)dy& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%28F_x%5E%5Cprime+%28x%2Cy%29%2CF_y%5E%5Cprime+%28x%2Cy%29%29& alt=&(F_x^\prime (x,y),F_y^\prime (x,y))& eeimg=&1&&是梯度，线性近似形式和&img src=&///equation?tex=dz& alt=&dz& eeimg=&1&&差不多。很奇怪，&img src=&///equation?tex=y%3Dx%5E2& alt=&y=x^2& eeimg=&1&&通过切线近似，而&img src=&///equation?tex=z%3Df%28x%2Cy%29& alt=&z=f(x,y)& eeimg=&1&&通过梯度或者说法向量近似，这不是矛盾吗？&/b&&br&&br&不矛盾。一元函数可以通过切线来近似，这就是一元函数微分/导数的意义。二元函数的线性近似，如你所学，实际上比一元函数的条件复杂。二元函数的图形一般是个曲面，在某点附近用该点的切平面近似。而你会发现，它在某处的梯度向量，实际上就是在该处切平面的法向量。
更新：尝试解答评论区问题 ========== 原答案开始 ========== 说说我的理解。 在一元函数中，导数就是函数随自变量的变化率。一般一元函数的自变量使用字母x，那么函数f(x)的导数其实就是它在x轴上的变化率。 在多元函数中，自变量是多个标量，或…
&p&线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。&/p&&br&&p&在中学的初等数学里，我们知道，函数f(x)=kx+b（k和b
是不变量），称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，就是变量（包括自变量和因变量）之间的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数；如果b=0 ，这个函数的外观就变成f(x)=kx的形式了，这是一条过原点的直线。显然，过原点的直线是最简单的线性函数。&/p&&br&&p&在大学的代数里面，为了线性函数的进一步推广（如推广至双线性函数、多线性函数、线性空间、线性泛函…）的远大未来，我们忍痛割“尾”，把一元线性函数
f (x)= kx + b的b割舍掉，成了f(x)=kx的形式。呵呵，简单点说，只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数。&/p&&br&&p&为什么？只因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。&/p&&br&&p&线性函数表现为直线，这只是几何意义。那么所谓“线性”的代数意义是什么呢？实际上，最基本的意义只有两条：&b&可加性和比例性。&/b&用数学的表达来说就是：&b&对加法和数乘封闭。&/b&&/p&&br&&p&然后说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一。对于空间的理解需要更抽象一些，&b&简单的说，能装东西的就是空间。&/b&比如计算机内有存储单元，那么就有内存空间；我们上课有课表，那么就有课表空间；有一个能装载梦境的东西，我们可以叫它盗梦空间。对于数学来说，数学家定义的空间里装载的当然是能运算的东西。从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间，如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。&/p&&br&&p&总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。&/p&&br&&p&我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：&/p&&br&&p&1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成&/p&&p&2. 这些点之间存在相对的关系&/p&&p&3. 可以在空间中定义长度、角度&/p&&p&4. 这个空间可以容纳运动&/p&&br&&p&&b&这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动&/b&，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构或关系，并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说：&b&容纳运动是空间的本质特征&/b&。&/p&&p&认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，&b&“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。&/b&&/p&&br&&p&下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：&/p&&br&&p&1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？&/p&&p&2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？&/p&&br&&p&我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。&b&线性空间中的任何一个对象，通过选取坐标系(基)和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。&/b&通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：&/p&&br&&p&L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以&b&x0, x1, ..., xn&/b&为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量&b&ai&/b&其实就是多项式中&b&x(i-1)&/b&项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。&/p&&br&&p&L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1 了。后面就不用再重复了。&/p&&br&&p&&b&所以说，只要你找到合适的坐标轴（也就是基），就建立了一个坐标系，就可以用坐标（表示成向量的形式）表示线性空间里任何一个对象。换句话说，给你一个空间，你就能用基和坐标来描述这个空间中的对象！&/b&这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是由于向量的有序性，&b&除了这些数本身携带的信息之外，还在对应位置上携带信息&/b&。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。&/p&&br&&p&由三维扩展到四维的空间的确难以想象，我想给出个人的几点认识供读者参考：对于笛卡儿坐标系，二维坐标系的两个坐标轴互相正交并构成一个平面空间；三维坐标系的坐标轴互相正交且第三个坐标轴垂直于其余两个坐标轴平面，三个坐标轴构成一个立体空间；则四维坐标系中的四个坐标轴互相正交，第四轴必然与其余的三维立体空间垂直，四个坐标轴构成一个超多面体空间…&/p&&br&&p&四维空间的物理解释就是爱因斯坦的时空理论，三维物理空间之外增加了一个与之垂直的}
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