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Minitab两因素方差分析续
注解1：关于平衡两因素和平衡设计方差分析的区别使用双因子方差分析 (ANOVA) 过程可在存在两 个固定因子时检验总体平均值的相等性。此过程 要求因子水平每一组合的观测值数必须相同（平 衡）。 仅当需要拟合可加性模型（Fit additive model） （无交互作用项的模型）时，其中一个或这两个 因子才可以为随机值。 双因子方差分析过程不支持多重比较。
注：如果数据平衡，且您需要检查涉及随机因子 的交互作用，那么可以使用统计 & 方差分析 & 平 衡方差分析。如果需要使用多重比较对平均值进 行比较，或者如果数据不平衡，那么可以使用统 计 & 方差分析 & 一般线性模型。注解2：关于平均值分析? 平均值分析的英文缩写 ANOM 是看上去像方差分 析的英文缩写 ANOVA，平均值分析可检验总体 平均值的相等性。 ? Minitab 显示的图形类似于控制图，该图显示因子 的每个水平的平均值如何与总体平均值（也称为 总均值）进行比较。Minitab 对与总体平均值显著 不同的平均值进行标记。因此，平均值分析可以 说明水平平均值何时不同以及差异是什么。 ? 通过方差分析，如果可以假定响应大致按正态分 布，那么可以使用平均值分析。另外，当响应由 比率（二项数据）和计数（Poisson 数据）组成 时，可以使用特殊的平均值分析版本。使用二项 数据时，样本数量 (n) 必须为常数。均值分析图示例De nsit y 的双因子正态平均值分析Alpha = 0.05交互效应2 1.578 0 -1.578 1 10 2 3 1 15 2 3 1 18 2 3效应0 -2 Strength MinutesMinutes 的主效应7 7.145 8Strength 的主效应平均值平均值66.222 5.3006 4 2 1 2 Strength 37.145 6.222 5.3005 10 15 Minutes 18? 图例分析 ? 使用平均值分析的主效应图可检验“每个因子的 水平平均值等于指定 a 水平时的总体平均值”这 一假设。Minitab 为双因子设计中的每个因子显示 一个主效应图。主效应图显示： ? 标绘点 － 每个因子水平中的样本平均值。 ? 中心线（绿色）－ 总体平均值。 ? 决策的上限和下限（红色）－ 用来检验此假设。 Minitab 查找位于决策限之外的样本平均值，并用 红色符号对其进行标记。? 如果样本平均值超出决策限，那么可以否 定“平均值等于总体平均值”这一假设。? 如果样本平均值未超出决策限，那么不能 否定“平均值等于总体平均值”这一假设。注解3：等方差检验? Bonferroni 置信区间 ? Bonferroni 置信区间使用全族误差率。假设 该过程的全族置信水平为 95%。全族误差 率等于 1 - 置信水平 = 1 - 0.95 = 0.05。 ? Bonferroni 法通过将全族误差率分割在各个 区间之中。假设有六个区间。将每个区间 的单个误差给定为 0.05 / 6 = 0.00833，计 算单个置信水平 1 - 0.0083 = 0.9917。由 于置信水平较大 (0.9917)，因此单个区间 通常相当宽。这种方法使得一个或多个置 信区间不能覆盖其相关总体标准差的概率 最多为 0.05。? 与单元（配对因素）对应的总体标准差的 点估计值是指该单元中观测值的样本标准 差。一个单元至少要有两个观测值来计算 样本标准差。如果没有，那么该单元的点 估计值在输出中为空白。 ? 标准差的置信区间以卡方分布为基础。此 分布为非对称，因此，置信区间也是非对 称的。示例? ? ? ? ? ? ? ? ?95% 标准差 Bonferroni 置信区间 方法 类型 经验 N 下限 标准差 1 0 4 2.84 1 1 4 1.98 2 0 4 2.95 2 1 4 1.33 3 0 4 2.30 3 1 4 2.02上限 40.0 32.1 41.2示例注解：? ? ? ?标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容： 公路类型：第一个因子。 经验：第二个因子。 N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平 组合的每一单元中有四个观测值。 ? 下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区 间时的下端点值和上端点值。每个区间提供对应 单元的总体标准差的一个估计值。例如，区间 (2.80) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。注解4：minitab方差齐性检验? Minitab 显示了用于判断方差是否相等的两种检验 的结果：Bartlett 检验和 Levene 检验。在两种检 验中，原假设 (Ho) 是考虑的总体方差（或等效的 总体标准差）相等，备择假设 (H1) 指并非所有的 方差都相等。 ? 检验的选项取决于分布属性： ? 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于 偏离正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大。 ? 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。注解5：主效应图? 将主效应图与方差分析一起关联使用。当 平均响应值跨因子水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图? 检查每个因子的水平平均值 ? 比较多个因子的水平平均值? 具有多个因子时，主效应图将是最佳选择。可以 将水平平均值中的更改进行比较，以查看哪些因 子对响应（反应变量）的效应最大。某一因子的 不同水平对响应具有不同效应时，便会出现主效 应。对于有两个水平的因子，可能会发现一个水 平会提高平均值，而另一个水平则不然。这种差 异就是主效应。 ? Minitab 通过绘制每个因子水平的平均响应值创建 主效应图。以线连接每个因子水平的各个点。 ? Minitab 还在总体平均值处绘制了一条参考线。查 看此线可以确定对某个因子是否存在主效应。? 当线为水平时（与 x 轴平行），则不存在 主效应。因子的每个水平以相同的方式影 响响应，响应平均值在所有因子水平中相 同。 ? 当线不水平时（与 x 轴不平行），则存在 主效应。不同因子水平对响应的影响不同。 标绘点之间垂直位置的差异越大（线与 X 轴不平行的程度越大），主效应的量值就 越大。方差分析基础?寻找因素与反应变量关系式的方法论 ?一元配置分散分析(DATA形态为 Stack 的时候) ?一元配置分散分析(DATA形态为 Unstack 的时候) ?二元配置分散分析Minitab?平均分析?平衡方差分析(在各水准反复相同的时候) ?一般线型模型 ?支份分散分析?检定方差的同一性?区间 Plot?主效果 Plot ?交互效果 PlotOne Way ANOVA(单因素方差分析)?因子为一个, 反复数为对所有水准不相同也可, Radom实验。 ?在数据为一个 Col中以 Stack 形态保存时使用。Minitab(先需要检定 RESPONSE值的 正态性)EXH_AOV.MTW?Response:指定反应变量 ?Factor:指定说明变量(要因) ?Comparisons:检定多重比较 ?Store residuals:保存残差 ?Store fits:保存水准平均值?DF:自由图(Degree of Freedom) ?SS:乘方的和(Sum of Square) ?MS:不偏分散(Mean of Square) ?F:F-概率值 ?P:P-value(留意概率) ?留意水准比 p-value 大则有影响。 即水准间有差。 (级区间有变动) -& 上面的 p值大于 0.05，故没有影响。One Way ANOVA(单因素方差分析)Graphs...Minitab?Dotplots / Boxplots 图象输出 option ?Residual Plots:对残差提供多样的 plot -& 残差只有随正态性时，它的结果值才能 判断为正确。?存在各范围间的重叠区间?各点呈现直线状态时，意味着正态性One Way ANOVA(Unstacked))?当数据按水准类别指定在 Col 时使用(Unstack 形态) ?剩余事项与 Stack 情况相同Minitab?Responses:指定按各水准别 有反应值的ColTwo-way ANOVA（两因素方差分析）? 因子为 2个，把因子各水准的组合全部Radom实施的实验。 ? 数据应为 Stack 形态。MinitabEXH_AOV.MTW?Response:实验结果数据 ?Row factor:B因子 ?Column factor:A因子 ?Store residuals:保存残差 ?Fit additive model:选择交互作用的有无?Lake与 Interaction 的 p值 大于 0.05，故不会 引起效果。 ?Suppleme的 p值 小于 0.05，故 Suppleme 的 水准间有差。 ?看左图可知道 Suppleme 的平均间有差。?看左图可知道 Lake 的平均间没有差。Analysis of Means（均数分析）Minitab?用 Graph 来显示因子的平均值，检讨因子的哪个水准有影响 &方差分析与平均分析的差别& -&方差分析是对水平间有无差别的分析 -&平均分析是对全体平均与各水平平均间有无差 别的分析EXH_AOV.MTW?Response:反应(结果)值 ?Distribution of Data:资料的分布形态 -Normal:正态分布, Factor 1:因子水准 Col (单因素) Factor 2:因子水准第二 Col (两因素) -Binomial:二项分布 -Poisson:Poisson分布 ?Alpha level:留意水准?脱离管理线则有影响 ?用两个因子的交互作用效果 ?Main Effect:主要因 ?Minutes 的 3水平(值=18)时有影响 ?Strength 的 3水平(值=3)时有影响Balanced ANOVA（平衡设计方差分析）? 所有单元的观察个数相同时使用MinitabEXH_AOV.MTW?Response:反应变量数据 ?Model:指定需分析的因子 ?Random factors:指定变量因子 ?Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用 效果的计算实施.?Probtype, Calculat, Probtype*Calculat 等比留意水准(0.05) 小，故判断为 各因子的水准间存在散布的差。Engineer 为变量因子故无统计意义。Test for Equal Variances（等方差检验）? 检定2总体以上的方差是否一致 - 原假设 : 所有水平的方差一致 - 对立假设 : 至少一个以上的方差不一样MinitabEXH_AOV.MTW?正态分布数据时:Bartlett’s Test ?包括正态分布的连续性数据时:Levene’s Test ?因 p-value 比留意水准(0.05)大，故选择归属假设，即所有水平的方差一致。Main Effects Plot（主效应图）?对主效应的水平间差异比较MinitabEXH_AOV.MTW?Responses:指定反应值 ?Factors:指定因子 ?Base plots on:指定plot基准?Supplement 在2水平时值特大。?Lake在各水准间无太大的变动。Interactions Plot（交互效应图）?交互作用的水平间差异比较MinitabALFALFA.MTW?Display full interaction plot matrix: 作成为 matrix?可知道按 Field 水准变更的 Variety 各水准的 变动及平均值。 -平均是 Variety 4,6水准比别的水准小。 -变动是 Variety 2 水准比别的水准大。 -水准间 Cross 角度越大，交互作用效果就 越大。MinitabDOE(实验设计)正交设计Minitab多因子试验与正交表无交互作用情况下的正交设计有交互作用情况下的正交设计裂区法多指标的数据分析多因子试验与正交表Minitab多因子试验问题 在实际问题中，影响指标的因子往往有很多个，要考察它们 就要涉及多因子的试验设计问题。 多因子试验遇到的最大困难是试验次数太多，有时让人无法 忍受。如果有十个因子对指标有影响，每个因子取两个水平进行 比较，那么就有 210=1024 个不同的水平组合，每个水平组合就是 一个试验条件，这里需要对 1024 个试验条件进行比较，假定每个 因子取三个水平的话， 那么就有 310=59049 个不同的试验条件需要 进行比较，这在实际中是不可行的，因此我们只能从中选择一部 分进行试验。 为了减少试验次数，传统采用“单因子轮换法” ，即逐个改变 因子的水平，而将其它因子的水平固定，找出最好的水平并将其 固定，这样反复进行。它把多因子试验问题化为若干个单因子试 验问题。但在每个单因子试验中选出的最好水平其组合不一定是 全局最好的水平组合。Minitab在某化工生产中要考察反应温度（A）与反应时间（B）对 产品收率的影响，这两个因子各取三个水平，希望找出使收率最 高的条件。 因子A A1：低温 A2：中温 A3：高温 因子B B1：4小时 B2：6小时 B3：8小时 若在试验中采用一次一个因子的单因子轮换试验方法，先把 因子B固定在B1水平上，分别对条件 A1 B1 A2 B1 A3B1 做试验，结果是A3B1好（见表4.1.1） ，然后再把因子A固定在A3水 平上，改变B的水平，分别对 A3 B1 A3 B2 A3B3 做试验（补做两个试验） ，发现仍然是A3B1好。 于是得出结论： “A3B1为最好水平组合” 。实际上，这是不正 确的。Minitab这是因为还有四个条件的试验没有进行，如果我们补 做另外四个试验，其结果在表中的括号内，那么实际上最 好的条件是A2B2。 表 单因子轮换法的试验结果 A1 B1 B2 B3 50 （56） （54） A2 56 （70） （60） A3 62 60 58Minitab从这个例子可以看出，多因子试验问题远比单因子试 验问题复杂，它不仅要考察每个因子的作用，还要考察因 子间的交互作用。关于“交互作用”将在下一小段给出它 的含义。在多因子试验中，试验的设计与分析更为重要. 常用的多因子试验设计方法有：? 正交设计法（田口设计） ? 参数设计法 ? 回归设计法（反应曲面设计） ? 均匀设计法 ? 混料设计法交互作用Minitab一个因子的水平好坏或好坏的程度受另 一因子水平制约的情况，称为因子 A 与 B 的 交互作用，记为 A×B 或 AB。 因子 A 与 B 的交互作用可以用图形直观 地表示。Minitab因子 A 与 B 的交互作用示意图 B2 B1A1A2a. 无交互作用Minitab因子 A 与 B 的交互作用示意图(续) B2 B1 B1 B2 A1 A1 A2 b. 有（正向）交互作用 A2c. 有（反向）交互作用Minitab因子间的交互作用随着因子个数的增加而增加。 如四个因子 A，B，C，D 间的交互作用有以下几类： ? 二级交互作用有 6 个：AB，AC，AD，BC，BD， CD ABC， ABD， ACD， BCD ? 三级交互作用有 4 个： ? 四级交互作用 1 个：ABCD 共有 11 个，比因子个数还多。实际经验表明，多数交 互作用是不存在的或很小以至可以忽略不计，实际中 主要考虑部分二级交互作用，具体考察哪些二级交互 作用还要依赖专业知识来决定。正交表正交表是正交设计的工具。 一、正交表及其特征 下表便是一张 9 行 4 列的正交表，记为 L9(34)。 L9(34) 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 列号 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1Minitab? 这里“L”是正交表的代号，Minitab? L 的下标“9”表示表的行数，表示用这张表安排试验 要做 9 个不同条件的试验。 ? 圆括号中的指数“4”表示表的列数，表示用这张表最 多可安排 4 个因子。 ? 圆括号中的底数“3”表示表的主体只有 3 个不同的数 字： 1,2,3，在试验中它代表因子水平的编号，即用这张表安 排试验时每个因子应取 3 个不同水平。 ? 称这张表为三水平的正交表。Minitab ? 下表也是一张正交表，记为 L8(27)，它有 8 行 7 列，表的主体 仅有 1 与 2 两个数字，若用这张正交表安排试验，需要做 8 个不同条件的试验，最多可以安排 7 个二水平的因子。这是 一张二水平正交表。试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 列号 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 L8(27) 3 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2正交表具有正交性，这是指它有如下两个特征： Minitab (1) 每列中不同的数字重复次数相同。在表 L9(34) 中，每列有 3 个不同数字：1,2,3，每一个各出现 3 次。 在表 L8(27)中，每列有 2 个不同数字：1,2，每一个各出 现 4 次。 (2) 将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一 切可能数对重复次数相同。 在表 L9(34)中， 任意两列有 9 种可能的数对：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)，每一对各出现一次。在表 L8(27)中，任意两 列有 4 种可能的数对： (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)， 每一对各出 现二次。Minitab二、正交表的分类 正交表可以按其水平数分类，若记正交表为 Ln(qp)， 则称其为 q 水平的正交表。譬如：? 二水平正交表：L4(2 )、L8(2 )、L16(2 )、L12(2 )等； ? 三水平正交表：L9(34) 、L27(313) 、L18(37)等； ? 四水平正交表：L16(45)等； ? 五水平正交表：L25(56)等； ? 混合水平正交表：L18(2×37)等。3 7 15 11常用的正交表也可以按其行数 n、列数 p、水平数 q 之 间的关系分为两大类： 一类正交表的行数 n、列数 p、水平数 q 之间有如下两 个关系： n ?1 k n ? q , k ? 2,3,? p? q ?1 它们被称为完全正交表，譬如上述的 L9(34) 、L8(27)。Minitab另外一类正交表，上述两个关系中至少有一个不成立。 如 L18(37)、L12(211)等。无交互作用情况下的正交设计Minitab用正交表进行整体设计 例 某化工厂希望寻找提高产品转化率的生产工艺 条件。 在安排试验时，一般应考虑如下几步： 一、明确试验目的 在本例中试验的目的是提高转化率。 二、明确试验指标 在本例中直接用转化率作为考察指标，该指标越大表 明水平组合越好，即它是一个望大特性。试验指标用来判 断水平组合的好坏。Minitab三、确定因子与水平 在上例中，经分析影响转化率的可能因子有三个： A：反应温度 B：反应时间 C：加碱量 根据各因子的可能取值范围，经专业人员分析研究，决定 在本试验中采用如下水平，见下表。 表 因子水平表 因子 A：反应温度（℃） B：反应时间（分） C：加碱量（%） 水平 一 80 90 5 二 85 120 6 三 90 150 7四、选用合适的正交表，进行表头设计 1．选正交表：先根据在试验中所考察的因子水平数选择具 有该水平数的一类正交表，再根据因子的个数具体选定一张表。 例中所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表， 又由于现在只考察三个因子，所以选用 L9(34)是合适的。 2．进行表头设计：选定了正交表后把因子放到正交表的列 上去，称为表头设计。在不考虑交互作用的场合，可以把因子 放在任意的列上，一个因子占一列。 例中将三个因子分别置于前三列，将它写成如下的表头设 计形式： 表头设计 L9(34)的列号 A 1 B 2 C 3 4MinitabMinitab五、列出试验计划 只要将放置因子的列中的数字换成因子的相应水平即可列出 试验计划，不放因子的列就不予考虑。 例子的试验计划见下表： 表 试验计划与试验结果 因子 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 反应温度 ℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90 反应时间 分 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 加碱量 试验结果 y % 转化率(%) （1）5 31 （2）6 54 （3）7 38 （2）6 53 （3）7 49 （1）5 42 （3）7 57 （1）5 62 （2）6 64Minitab 上表中第一号试验的水平组合是反应温度取 80℃，反应时 间取 90 分钟，加碱量取 5%的水平组合。其它各号试验的水平 组合类似得到。 由此可见， 用正交表 L9(34)安排试验共有 9 个不同的水平组 合，由于它们是一起设计好的，而不是等一个试验结束后再决 定下一个试验的水平组合，因此称这样的设计为“整体设计” 。 在例中我们考虑了三个三水平因子，其所有不同的水平组 合共有 27 个，现在仅做了其中的 9 个，这是一个部分实施的设 计方案，由于仅做了 1/3 的试验，也称为 1/3 实施。 我们现在选出的 9 个试验是从一切可能的 27 个水平组合中 用正交表选出来的，表头设计不同，选出的 9 个试验也不同， 但是效果是相同的。Minitab六、 进行试验和记录试验结果 ? 试验的次序要随机化，以避免事先某些考虑不周而产生系统误 差，这可以用抽签的方式决定。 ? 在试验中应尽量将其它条件控制得一致，尽可能使试验中除所 考察的因子外的其它因素固定，在不能避免的场合可以增加一 个“区组因子” 。 ? 在可能的条件下，应在同一水平组合下进行若干次重复试验。 这样不仅可以观察试验结果的稳定性，还可以对误差的方差进 行估计。 ? 试验要由经过专业培训的人员去做，试验结果要用合格的测量 仪表进行测量，测量仪表要经过校正，以保证结果准确、可靠。 还要防止记录错误。 ? 按试验计划进行试验后，将试验结果记录在对应的水平组合后 面。Minitab七、数据分析 在例中数据分析的目的是找出哪些因子对指标 是有明显影响的，各个因子的什么样的水平组合最 好。 数据分析有多种方法：? 直观分析法 ? 方差分析法 ? 贡献率分析法数据的直观分析Minitab一、综合可比性 ? 例中，y9=64 最大， 其水平组合 A3B3C2 是 9 个试验中最好的。 它是不是在全部 27 个试验中也是最好的？ ? 记试验结果分别为 y1,y2,?,y9（直观分析表的最右列） ? 在第一列中，因子 A 的三个水平所对应的数据分别为： “1” ：{ y1,y2,y3}， “2” ：{ y4,y5,y6}， “3” ：{ y7,y8,y9}。 ? “1”对应的三个试验都采用因子 A 的一水平进行试验，但因 子 B 的三个水平各参加了一次试验，因子 C 的三个水平也各 参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别记为： T11 =y1+y2+y3=31+54+38=123, T11 = T11 /3=41 ? 同样“2”对应和“3”对应的三个试验结果的和与平均值分 别为： T12 =y4+y5+y6=53+49+42=144, T12 = T12 /3=48 T13 =y7+y8+y9=57+62+64=183, T13 = T13 /3=61Minitab ? T11 、 T12 、 T13 （ T11 、 T12 、 T13 ）之间的差异只反映了因子 A 的三个水平间的差异，可通过比较这三个平均值的大小看出因 子 A 的水平的好坏。从这三个数据可知因子 A 的三水平最好， 因为其指标均值最大。?这种比较方法称为“综合比较” ，它是由正交表的正交性决定的。 ? 类似的计算还可对第二、第三列和第四列进行。可见，因子 B 取二水平好，因子 C 取二水平好。 ?第四列中，按其中的 1,2,3 分别将数据分为三组，但是三组的水 平组合相同，因此该列仅反映误差。 ?综上可知使指标达到最大的水平组合是 A3B2C2，即反应温度取 90℃，反应时间取 120 分钟，加碱量取 6%可以使转化率达到最 大。Minitab直观分析计算表表头设计 试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 123 144 183 41 48 61 20 B 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 141 165 144 47 55 48 8 C 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 135 171 144 45 57 48 12 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 144 153 153 48 51 51 3 y 31= 54= 38= 53= 49= 42= 57= 62= 64=RT1 T2 T3 T1 T2 T3y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9Minitab二、用极差分析各因子对指标影响程度的大小 ? 一个因子的极差：指的是该因子各水平均值的最大值与最 小值的差。 ? 因为极差大的话，则改变这一因子的水平会对指标造成较 大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，影响就小。 ? 在例中各因子的极差分别为： RA=61－41=20 RB=55－47=8 RC=57－45=12 它们被置于直观分析计算表的最下面一行。 从三个因子的极 差可知因子 A 的影响最大，其次是因子 C，而因子 B 的影 响最小，通常记为 RA & RC & RB。Minitab三、水平均值图 可将每个因子不同水平的均值画成一张图。例子的水平均值 图见下图，从图上可以明显看出每一因子的最好水平分别为 A3， B2，C2，也可以看出每个因子水平间的最大差异。A60BC55y5045401 2 3 1 2 3 1 2 3各因子的水平均值图Minitab利用直观分析法可以得到如下结论： ? 获得最佳或满意的水平组合 在例中最好的水平组合是 A3B2C2，它与 9 个试验中最 好的水平组合 A3B3C2（第 9 号试验）有所不同。因为直观 分析法是从 27 个可能水平组合中比较出来的，至于 B2 与 B3 对指标影响多大，还需要进一步分析，或作验证试验。 ? 区分因子的主次 在例中，因子 A 是主要因子，因子 C 次之，因子 B 再 次之，而空白列的极差最小，这表明试验误差较小。数据的方差分析一、统计模型Minitab? y ijk ? μ ? ai ? b j ? c k ? ε ijk , i,j,k ? 1,2,3 ? ?a1 ? a 2 ? a3 ? 0, b1 ? b2 ? b3 ? 0, c1 ? c 2 ? c3 ? 0 ?各? 相互独立同分布~ N (0, ? 2 ) ijk ?其中 ? y ijk 是在 AiBjCk 水平组合下的试验结果，如： y1 ? y111 ? ? ? a1 ? b1 ? c1 ? ?1 其它类似。 ? ? 是一般平均， a i 是因子 A 第 i 水平的主效应， b j、ck 分别 是因子 B 第 j 水平的主效应、因子 C 的第 k 水平的主效应。 ? 在例 4.2.1 中，AiBjCk 水平组合下均值 ?ijk ? ? ? ai ? b j ? ck 。 ? 这种模型称为效应可加模型。Minitab在上述诸假定下， 方差分析的任务就是对如下三对假设 分别作出检验：? H A0：a1 ? a2 ? a3 ? 0， H A1：a1 , a2 , a3不全为0 ? H B0：b1 ? b2 ? b3 ? 0， H B1：b1 , b2 , b3不全为0 ? H C 0：c1 ? c2 ? c3 ? 0， H C1：c1 , c2 , c3不全为0Minitab二、总平方和分解 方差分析的第一步是作总平方和分解，考察引起y1 , y 2 ,?, y n 波动的原因。数据的总平方和： ni ?1ST ? ? ( yi ? y ) 2 ，其自由度 f T ? n ? 1。4其中 n 是试验次数， y =T/n 是试验结果的总平均， T ? 对正交表 L9 (3 ) ，第 j 列的平方和为?yi ?1ni。S j ? 3? (T jk ? y ) 2，f j ? 2，k ?13j ? 1,2,3,4其中 T jk 为第 j 列第 k 水平均值。可以证明ST ? S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ， f T ? f1 ? f 2 ? f 3 ? f 4 。Minitab对行数为 n、列数为 p、水平数为 q 的正交表有n?qk( k ? 2,3,? ),n ?1 p? ， q ?1总平方和分解公式：ST ? S1 ? S 2 ? ? ? S p ， f T ? f1 ? f 2 ? ? ? f p 。其中 ST 是正交表第 j 列的平方和：n p 2 S j ? ? (T jk ? y ) ，f j ? q ? 1， q k ?1j ? 1,2,?, p 。Minitab三、各因子的平方和 ? 因子 A 的平方和：S A ? S1 ? ? 3(T1i ? y ) 2 ， f A ? f1 ? 3 ? 1 ? 2 。其中i ?131 T11 ? ( y1 ? y 2 ? y 3 ) ? ? ? a1 ? ? A1 ， ? A1 ? (?1 ? ? 2 ? ? 3 ) / 3 。 3 同理有 1 9 T12 ? ? ? a2 ? ? A2 , T13 ? ? ? a3 ? ? A3 ， y ? ? ? ? ? i ? ? ? ?? 。 9 i ?1 故S A ? ? 3(a i ?? Aii ?132 ， 。 E ( S ) ? 3 ( a ? a ? a ) ? 2 ? ??) A 1 2 32这说明了 SA 中除了误差外只反映因子 A 的效应间的差异。Minitab同理有 SB=S2，SC=S3，fB=fC=22 S B ? ? 3(b i ?? Bi ? ? ) 2 ， E(S B ) ? 3(b1 ? b2 ? b3 ) ? 2? 。i ?1 3 3S C ? ? 3(c i ?? Aii ?12 ， 。 E ( S ) ? 3 ( c ? c ? c ) ? 2 ? ??) C 1 2 32第四列上没有放置因子，称为空白列。S 4 ? ? 3(? 4i ? ? ) 2 ， E(S 4 ) ? 2? 2 。i ?13S4 仅仅反映了由误差造成的数据波动，称它为误差的平方和， 记为 Se，即 Se =S4， fe=f4=2Minitab四、F 检验 ?同方差分析中一样，称平方和与其自由度的比为均方和。 由前定理可得： ?正交表各列的平方和 S j 间相互独立 ? Se / ? 2 ~? 2 (2) ；2 2?在假设 H A0 成立时， S A / ? ?在假设 H B 0 成立时， S B / ?~ ? 2 (2) ； ~ ? 2 (2) ；?在假设 H C 0 成立时， SC / ? ~2? (2)2Minitab? 当因子的效应均为 0 时，有F因 ?其中S因 /(? 2 f因 ) S e /(? f e )2? MS因 / MSe ~ F ( f因 , f e )MS因 ? S因 / f因 是因子的均方和， f因 是对应因子的自由度， MSe ? S e / f e 是误差的均方和， f e 是误差的自由度。 ? 当 F因 ? MS因 / MSe ? F1?? ( f因 , f e ) 时，认为在显著性水平 ? 上因子是显著的，即该因子的效应不全为 0，其中 F1?? 是相 应自由度的 F 分布的 1 ? ? 分位数。Minitab五、计算 可用列表的方法计算各列的平方和（见下页表） 。L9 (34 ) 各列平方和与总平方和的计算公式：Ti 2 T 2 Sj ? ? ? , j ? 1,2,3,4 ， n i ?1 332 T 。 ST ? ? yi2 ? n i ?1 9其中 n 是试验次数，在例中 n=9，T 是所有试验数据的总和。Minitab各列平方和的计算表 表头设计 A B C 试验号 列号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 T1 123 141 135 144 T2 144 165 171 153 T3 183 144 144 153 S 618 114 234 18?31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984y六、方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表（见下表）中继续进行计算。 方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00MinitabF0.90(2,2)=9.0, F0.95(2,2)=19.0因 FC&F0.90(2,2)=9.0，FA&F0.95(2,2)=19.0，故因子 A 与 C 分别 在显著性水平 0.05 与 0.10 上是显著的，因子 B 不显著。Minitab对显著因子应该选择其最好的水平， 因为其水平变化会 造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平， 实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选 择。 在例中因子 A 与 C 是显著的，所以要选择其最好的水 平，按前所述，应取 A3C2，对因子 B 可以选任意水平，譬 如为了节约时间可选 B1。 综上， 我们在直观分析中从 9 个结果看到的最好水平组 合是 A3B2C2，而通过方差分析可以得到各因子最佳水平组 合是 A3 B C2， 因子 B 可以选任意水平， 它是从 27 个可能结 果中选出的，两者并不完全相同。Minitab七、最佳水平组合均值的估计 可以求在最佳水平组合 A3C2 下的指标均值 ? 3?2 的估计。 例如：点估计 ? ? y。 ?一般平均 ? 的最小二乘估计是： ? ?i ? T1i ? y ， ?Ai 的主效应 a i 的最小二乘估计为： a 其中 T1i 表示 Ai 水平下数据的均值。 ?其它主效应的估计可类似得到。其均为相应参数的无偏估计。 ?在例中：? ? y ? 50 ， a ?3 ? T13 ? y ? 61? 50 ? 11， ??2 ? T32 ? y ? 57 ? 50 ? 7 ， c?A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ? 3?2 ? ? ? ?a ?3 ? c ?2 ? 50+11+7=68。 ?实验设计基础? 如何实施实验如何选取数据, 如何解释才能以最少的实验次数 迅速获得最大的信息量的计划方法. ? 实验的成败，只有把以往的经验或者理论性、 技术性知识等的原有技术与 依照实验计划法的知识结合起来才有可能.Minitab?Create Factorial Design:析因实验设计 ?Define Custom Factorial Design:在变更当前的 实验设计而再指定时使用。 ?Analyze Factorial Design:得出实验分析结果 ?Factorial Plot:主效果, 交互效果 plot 作成 ?Contour/Surface(Wireframe)Plots:展现实验的 反应表面 ?Overlaid Contour Plot:以视觉性展示多个反应 变量的妥协领域 ?Response Optimizer:寻找满足目标值因子的 最佳组合 ?Factorial:析因设计 ?RS Design:反应曲面设计 ?Mixture Design:混合试验设计 ?Modify Design:修正试验设计 ?Display Design:实验计划后生成的内容通过 Worksheet 可见创建田口设计Minitab使用“创建田口设计”可以在工作表中设置田口正交表设计。 设计的每行都指定 一个用于试验游程的因子级别的组合。 田口设计用于稳健参数设计（试验设计的一种），其中的主要目标是在调整（或 保持）目标的同时，找出使响应变异最小化的因子设置。田口设计为设计在各种 条件下始终运行优良的产品提供了一种强大而高效的方法。 田口正交表设计的创建方法是从标准田口表中提取某些或全部列。有两种方式可 以指定为哪列分配哪些因子。您可以： 自己向表列分配因子 让 Minitab 向可以用于对所选交互作用进行估计的表列分配因子 注 如果怀疑因子之间可能真的存在交互作用，则在向表列分配因子时就需 要多加谨慎。否则，交互作用可能与主效应或彼此之间相混淆，而这使得很难得 出结论。如果不知道使用哪些列号可以用于估计交互作用而不产生混淆，则可以 让 Minitab 向可以用于对某些交互作用进行估计的表列分配因子。创建田口设计Minitab? Minitab 显示设计规格，其中对已创建的设 计加以描述。应对这些结果进行检查，以 验证是否就是所需的设计。? 田口表示法表明设计中每个因子的游程、 因子和级别的数量。表示法 L8(2**5) 表示 田口正交表有 8 个游程和 5 个因子，每个 因子有 2 个级别。游程? ? ? ? ? ? 运行（run）Minitab通过指定试验中所有因子的水平而定义的过程条件集。 游程数是基本田口正交表中的行数。它指出要在试验中运行的不同因子组合 的数量。 假设您的设计有 3 个因子，每个因子有 2 个水平： 1 1 1 2 1 2? ??2 21 22 1对于第二个游程（位于第二行中），将因子 A 设置为低，因子 B 设置为高， 因子 C 设置为高。稳健参数设计Minitab? 在稳健性参数设计中，主要目标是在调整（或保持）目标 的同时，找出使响应变异最小化的因子设置。 ? 确定影响变异的因子之后，您就可以尝试找出将减小变异、 使产品对不可控（噪声）因子的变化不敏感或同时实现这 两种效果的可控制因子设置。? 为此目标设计的过程会产生更一致的输出。 ? 以此目标设计的产品可以提供更一致的性能，而无论使用 该产品的环境如何。
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