．（填“左侧”或“右侧”）（3）在（2）的条件下，设过D，O，B′三点的抛物线的对称轴为直线x=m．求当k为何值时，|m|=．
科目：初中数学
（;宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
科目：初中数学
（;鹰潭模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC边的中点O上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别交AB、AC于点E、F．（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段AE与CF相等．请你证明小明发现的结论；（2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．当0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．请你从中任选一种方法进行证明；（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
科目：初中数学
如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
科目：初中数学
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG（如图3）．请你选择其中的一种方法证明小敏的发现的是正确的．
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请输入手机号课本第五册第65页有一题:已知一元二次方程ax2-2bx+c=0的两个根满足|x1-x2|=2.且a.b.c分别是△ABC的∠A.∠B.∠C的对边．若a=c.求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120° 后.思考以下问题.请你帮助解答．(1)若在原题中.将方程改为ax2-3bx+c=0.要得到∠B=120°.而条件“a=c 不变.那么应对条件中的|x1- 题目和参考答案——精英家教网——
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课本第五册第65页有一题：已知一元二次方程ax2-bx+c=0的两个根满足|x1-x2|=，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x1-x2|的值作怎样的改变并说明理由；（2）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x1-x2|的值应改为多少？（不必说明理由）
分析：（1）因为∠B=120°，a=c，所以b=3a，代入原方程得△=5a2＞0，故可根据一元二次方程根与系数的关系解答；（2）同（1）．解答：解：（1）∵∠B=120°，a=c．∴b=3a．则原方程可化为ax2-3ax+a=0．△=9a2-4a2=5a2＞0．又∵|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=3b2a2-4ca．∴|x1-x2|=5；（2）若∠B=120°．则b=3a代入原方程得ax2-3nax+c=0．由一元二次方程根与系数的关系可得，x1+x2=3naa=3n．x1•x2=ca=1．故|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(3n)2-4=3n-4．点评：解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根的和与两根的积，理解|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2这一等量关系．
科目：初中数学
来源：2004年全国中考数学试题汇编《三角形》（07）（解析版）
题型：解答题
（;绍兴）课本第五册第65页有一题：已知一元二次方程ax2-bx+c=0的两个根满足|x1-x2|=，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120&”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0，要得到∠B=120&，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x1-x2|的值作怎样的改变并说明理由；（2）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120&，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x1-x2|的值应改为多少？（不必说明理由）
科目：初中数学
来源：2004年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》（05）（解析版）
题型：解答题
（;绍兴）课本第五册第65页有一题：已知一元二次方程ax2-bx+c=0的两个根满足|x1-x2|=，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120&”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0，要得到∠B=120&，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x1-x2|的值作怎样的改变并说明理由；（2）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120&，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x1-x2|的值应改为多少？（不必说明理由）
科目：初中数学
题型：解答题
课本第五册第65页有一题：已知一元二次方程ax2-bx+c=0的两个根满足|x1-x2|=，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x1-x2|的值作怎样的改变并说明理由；（2）若在原题中，将方程改为ax2-bx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x1-x2|的值应改为多少？（不必说明理由）
科目：初中数学
来源：绍兴
题型：解答题
课本第五册第65页有一题：已知一元二次方程ax2-2bx+c=0的两个根满足|x1-x2|=2，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为ax2-3bx+c=0，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x1-x2|的值作怎样的改变并说明理由；（2）若在原题中，将方程改为ax2-nbx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x1-x2|的值应改为多少？（不必说明理由）
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＞＞＞如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，..
如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）DB′＝EC′，见解析&&&（2）60°解：(1)DB′＝EC′.理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝AE＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′，∴∠B′AD＝∠C′AE＝a，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，在△B′AD和C′AE中，∵&∴≌∴DB′＝EC′；(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°，在Rt△B′DA中，∵AD＝AB＝AB′，∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，即旋转角α的度数为60°.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，..”主要考查你对&&轴对称，用坐标表示平移，平移，尺规作图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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轴对称用坐标表示平移平移尺规作图
轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。平移后图形的位置改变,形状、大小不变。在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（x-a,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,y-b）。定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向和距离决定的。这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。平移作图的步骤：（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
发现相似题
与“如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，..”考查相似的试题有：
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2亿+学生的选择
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2亿+学生的选择
已知a=（1,1),b=（0,-2）,当k为何值时ka-b与a+b的夹角为120°
妙妙°油栔FDR
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2亿+学生的选择
你好! 由 ka-b与a+b的夹角为120°得 （ka-b）*（a+b）=|ka-b|*|a+b|*cos120° 其中, ka-b=(k,k+2) a+b=(1,-1) 所以 （ka-b）*（a+b）=k-（k+2）=-2 |ka-b|=根号[k^2+(k+2)^2] |a+b|=根号2 把上述各值分别带入前面的等式, -2=根号[k^2+(k+2)^2]*根号2*（-0.5） 解方程 即可求出k的值
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2亿+学生的选择
将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF．（1）如图1，若α=60°，DF=2AF，请直接写等于______；（2）若DF=mAF，（m＞0，且m≠1）①如图2，求；（用含α，m的式子表示）②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于sin．（用含α，m的式子表示）
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2亿+学生的选择
（1）连接AD，G是DF的中点，连接AG，∵∠BAC=∠BDE，∴∠ABD=∠AFG=60°，∵DF=2AF，∴AF=GF，∴AG=AF=GF=DG，∴∠ADG=∠DAG=30°，∵AB=DB，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，BD=AD，∴∠ADF=∠BDF=30°，在△BDF与△ADF中∴△BDF≌△ADF（SAS），∴AF=BF，∴=1．故答案为1．（2）①如图2，在DF上截取DG=AF，连接BG，由旋转知，DB=AB，∠D=∠A，在△DBG与△ABF中∴△DBG≌△ABF（SAS），∴BG=BF，∠GBF=α，过点B作BN⊥GF于点N，∴点N为GF中点，∠FBN=，在RT△BNF中，NF=BFosin，∴GF=2BFosin，∵DF=DG+GF，∴mAF=AF+2BFosin，∴（m-1）AF=2BFosin，∴=sin．②如图3，依题意补全的图形，延长FD到G，使DG=AF，连接BG，由旋转知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，∴△DBG≌△ABF（SAS），∴BG=BF，∠GBF=α，过点B作BN⊥GF于点N，∴点N为GF中点，∠FBN=，在RT△BNF中，NF=BFosin
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（1）连接AD，G是DF的中点，连接AG，然后证得△ABD和△AGF是等边三角形，再证得△BDF≌△ADF，得出BF=AF即可求得；（2）①在DF上截取DG=AF，连接BG，由旋转知，DB=AB，∠D=∠A，从而证得△DBG≌△ABF，然后通过解直角三角形即可求得；②延长FD到G，使DG=AF，连接BG，先证得△DBG≌△ABF，然后解直角三角形即可求得；
本题考点：
几何变换综合题．
考点点评：
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，应用直角三角函数解直角三角形等，本题的根据是构建直角三角形，通过解直角三角形求得结果．
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