求下列幂函数的定义域.并指出其奇偶性.单调性． (1)y＝,(2)y＝,(3)y＝,(4)y＝x-2． 问题1:观察以上函数的解析式.你能发现解析式中对于自变量x都有哪些限制条件吗? 问题2:如何来判断函数的奇偶性呢? 3．探究:请同学们根据我们以上的分析.把上述函数图象的大概形状画出来．并总结归纳幂函数的指数变化时对幂函数定义域 题目和参考答案——精英家教网——
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求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝x－2．
问题1：观察以上函数的解析式，你能发现解析式中对于自变量x都有哪些限制条件吗？
问题2：如何来判断函数的奇偶性呢？
3．探究：请同学们根据我们以上的分析，把上述函数图象的大概形状画出来．并总结归纳幂函数的指数变化时对幂函数定义域的影响．
答案：解析：
　　解：(1)函数y＝即y＝，其定义域为[0，＋∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增．
　　(2)函数y＝即y＝，其定义域为R，是偶函数，它在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减．
　　(3)函数y＝即y＝，由x3＞0得其定义域为(0，＋∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减．
　　(4)函数y＝x－2即y＝，由x2≠0得其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此函数y＝x－2在定义域上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
　　3．(1)α∈N+时，x∈R；
　　(2)α∈Z且α≤0时，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)；
　　(3)α＝(其中m，n互质，且m，n∈N+)时，若m是偶数，则x∈{非负实数}，若m是奇数，则x∈R．
　　(4)α＝－(其中m，n互质，且m，n∈N+)时，若m是偶数，则x∈{正实数}，若m是奇数，则x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
　　点评：这两个变式考查了幂函数的定义和幂函数图象特征的综合应用，尤其是幂指数的值对幂函数的单调性以及奇偶性的影响，这是学生在充分掌握幂函数的图象和性质的基础上才能解决的问题．
　　1．结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数的解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据“分式的分母不能为0”这一限制条件来求出对应函数的定义域．
　　2．结论：首先要看函数的定义域是否关于数0对称，然后根据定义域内的任意自变量x是否有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)来进行判断．
科目：高中数学
我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．（1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？（2）判断函数h(x)=1-x2(x≥1)2-2x(x＜1)是否是和谐函数？（3）若函数φ(x)=x2-1+t(1≤x≤62)是和谐函数，求实数t的取值范围．
科目：高中数学
来源：志鸿系列训练必修一数学苏教版 苏教版
求下列幂函数的定义域：
y＝x3，y＝，y＝，y＝x－2，y＝，y＝x0．
科目：高中数学
求下列幂函数的定义域:y=x3，y=，y=，y=x-2，y=，y=x0.
科目：高中数学
来源：学年重庆一中高一（上）期末数学试卷（解析版）
题型：解答题
我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．（1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？（2）判断函数是否是和谐函数？（3）若函数是和谐函数，求实数t的取值范围．
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数学题钻牛角尖了（单调性问题,函数y = 1 / (1-x) ,x范围是“负无穷 到 1 的开区间” ,这个函数在此区间的单调性用图形比较直观是递增.可为什么把 1-x = t 代入原式后,而且t 的范围也随之变化后竟把原式变化成了y = 1 / t ,t的范围（0,正无穷）单调性和图像不是都变化了吗?难道不可以换元了吗?
冥界军团41
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因为代换后单调性是对新变量的,不是对原来变量的.新变量和原来变量之间的关系影响新函数单调性f(t) 如果是递增,t(x)递减,这f(t(x))就是递减,也就是说,如果你代换的是一个递增函数,不改变单调性,如果是递减函数,则代换后单调性变反过来,如果t不是单调函数,则代换后也变成不是单调函数.要根据单调性概念去理解,不要以为简单代换就不会有影响.
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原来是y-x的图像，换元后是y-t的图像，当然不一样了。应该把y-t，t-x（t=1-x）图像一起来分析。
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对一道经典三角题的变式探究
【摘要】：通过对一道经典三角题的证法及其变式的探究,挖掘出蕴藏的背景知识,发现原问题与变式题在证法上的联系与区别,为培养学生根据问题需要灵活选择知识、变通解决问题的方法及"思维随着问题变"的数学思想提供有益的课程资源.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G633.6【正文快照】：
问题1(1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题)已知α,β∈0,π2∈∈,且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π2.文[1]、文[2]等许多文章分别给出了不同的证法,但对多数学生来说,证明这道题难度仍然很大.下面,笔者试着从众多学生思考问题的角度,对问题1给出一种较为原生态的证
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京公网安备75号函数f(x)=xx是一个非常简洁而重要的函数.为了讨论其性质.可以利用对数恒等式将其变形:xx=e lnxx．仿照该变形.研究函数φ(x)=x 1x=x 1x在x=1处的切线方程.并讨论φ(x)=x 1x的单调性．(Ⅱ)当a＞-1时.讨论关于x的方程φ′(1x2-ax+a-12)解的个数.的导函数) 题目和参考答案——精英家教网——
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函数f（x）=xx（x＞0）是一个非常简洁而重要的函数，为了讨论其性质，可以利用对数恒等式将其变形：xx=e&lnxx．仿照该变形，研究函数φ（x）=x&1x（x＞0）（Ⅰ）求φ（x）=x&1x（x＞0）在x=1处的切线方程，并讨论φ（x）=x&1x（x＞0）的单调性．（Ⅱ）当a＞-1时，讨论关于x的方程φ′（x）=φ（x）（1x2-ax+a-12）解的个数，（φ′（x）是φ（x）的导函数）
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求得切线斜率，点斜式写出切线方程，利用导数判断函数的单调性；（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（1x2-ax+a-12）等价于x1x•1-lnxx2=x&1x（1x2-ax+a-12），即a-12x2-ax+lnx=0，设g（x）=a-12x2-ax+lnx& （x＞0），根据方程的根与函数零点的关系，利用导数判断函数的单调性，进而得出方程解的情况．
解：（Ⅰ）φ（x）=x&1x=e1xlnx，∴φ′（x）=x1x•1-lnxx2，φ′（1）=1，φ（1）=1，∴φ（x）=x&1x（x＞0）在x=1处的切线方程为y=x．令φ′（x）=0得x=e，当x∈（0，e）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，∴φ（x）在（0，e）时，单调递增，在（e，+∞）时，单调递减．（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（1x2-ax+a-12）等价于x1x•1-lnxx2=x&1x（1x2-ax+a-12），即a-12x2-ax+lnx=0，设g（x）=a-12x2-ax+lnx& （x＞0），∴g′（x）=（a-1）x-a+1x=(a-1)x2-ax+1x，①当a=1时，g′（x）=1-xx，x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，[g（x）]max=g（1）=-1＜0，此时方程无实数根；②当a＞1时，g′（x）=（a-1）x-a+1x=(a-1)x2-ax+1x=(a-1)(x-1a-1)(x-1)x，（i）当1a-1=1，a=2时，g′（x）=(x-1)2x≥0，g（x）在（0，+∞）递增，且当x→0时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→+∞，故此时方程有唯一解；（ii）当1a-1＞1，a∈（1，2）时，g（x）在（0，1）及（1a-1，+∞）递增，在（1，1a-1）递减，[g（x）]max=g（1）=-a+12＜0，且当x→+∞时，g（x）→+∞，故此时方程有唯一解；（iii）当1a-1＜1，a∈（2，+∞）时，g（x）在（0，1a-1）及（1，+∞）递增，在（1a-1，1）递减，[g（x）]max=g（1a-1）=1-2a2(a-1)+ln1a-1＜0，且当x→+∞时，g（x）→+∞，故此时方程有唯一解；③当-1＜a＜1时1a-1＜0＜1，g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，[g（x）]max=g（1）=-a+12＜0，方程无实数解．综上所述，当a∈（-1，1）时，方程无实数解；当a∈（1，+∞）时方程有唯一解．
点评：本题主要考查利用导数的几何意义求函数切线方程及利用导数判断函数的单调性求最值等知识，考查等价转化思想、分类讨论思想的运用能力，逻辑性综合性很强，属难题．
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已知函数f（x）=alnx-4x，g（x）=-x2-3．（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
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已知函数f（x）=ln|x+1|-ax2．（Ⅰ）若a=23且函数f（x）的定义域为（-1，+∞），求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=0，求证f（x）≤|x+1|-1；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象在原点O处的切线为l，试探究：是否存在实数a，使得函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方？若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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数列{an}满足an=Sn-1+n，a1=0，求{an}的通项公式．
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