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在等比数列{an}中,q=-3,a5=-9,求a3在等比数列{an}中,a1=3,s3=21,求公比q及a4
chicken0951
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扫描下载二维码& 等差数列与等比数列的综合知识点 & “已知各项均为正数的等比数列{a...”习题详情
252位同学学习过此题，做题成功率84.9%
已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜12．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若bn=-log&an+1（√2+1），Sn=b1+b2+…+bn，Tn=S1+S2+…+Sn，试用S2011&表示T2011．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-徐州模拟
分析与解答
习题“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（...”的分析与解答如下所示：
（1）由题意知数列{an}是递减正项数列，因此设ak、am、an（k＜m＜n）成等差数列，根据等差中项的定义列式并化简可得2qm-k=1+qn-k，结合公比0＜q＜12可得此方程没有实数根，故数列{an}中不存在三项成等差数列．（2））（i）化简得ak-（ak+1+ak+2）=a1qk-1[54-（q+12）2]，结合[54-（q+12）2]∈（14，1）讨论可得只有ak-（ak+1+ak+2）=ak+1，得到方程q2+2q-1=0解之得q=√2-1（舍负）；（ii）由等比数列的通项公式，结合对数运算性质得bn=1n，从而得到Sn=1+12+13+…+1n，进而得到Tn=1+（1+12）+（1+12+13）+…+（1+12+13+…+1n），对此式重新组合整理得Tn=（n+1）Sn-n，由此将n=2011代入即可得到用S2011&表示T2011的式子．
解：（1）根据题意，an=a1qn-1，其中0＜q＜12．∵an＞0，∴an+1＜an对任意n∈N+恒成立，设{an}中存在三项ak、am、an（k＜m＜n），满足成等差数列则2am=ak+an，即2qm-k=1+qn-k，由2qm-k＜1且1+qn-k＞1，可得上式不能成立．因此数列{an}中不存在三项，使其成等差数列．（2）（i）ak-（ak+1+ak+2）=a1qk-1（1-q-q2）=a1qk-1[54-（q+12）2]∵[54-（q+12）2]∈（14，1），∴ak-（aK+1+ak+2）＜ak＜ak-1＜…＜a2＜a1，且ak-（aK+1+ak+2）＞ak+2＞ak+3＞…因此，只有ak-（ak+1+ak+2）=ak+1，化简可得q2+2q-1=0解之得q=√2-1（舍负）；（ii）∵a1=1，q=√2-1，∴an=（√2-1）n-1，可得bn=-log&an+1（√2+1）=log(√2-1)n(√2+1)-1=1n，因此，Sn=b1+b2+…+bn=1+12+13+…+1n，Tn=S1+S2+…+Sn=1+（1+12）+（1+12+13）+…+（1+12+13+…+1n）=n+12（n-1）+13（n-2）+…+1n[n-（n-1）]=n（1+12+13+…+1n）-（12+23+…+n-1n）=nSn-[（1-12）+（1-13）+…+（1-1n）]=nSn-[（n-1）-（12+13+…+1n）]=nSn-[n-（1+12+13+…+1n）]=nSn-n+Sn=（n+1）Sn-n由此可得：T2011=2012S2011-2011．
本题给出公比小于12的正项等比数列，讨论它的某三项成等差数列，求数列的通项公式并依此解决数列{bn}的前n项和的问题．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列与函数的综合等知识，属于中档题．
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已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k...
错误类型：
习题内容残缺不全
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经过分析，习题“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（...”主要考察你对“等差数列与等比数列的综合”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列的综合．
与“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（...”相似的题目：
设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．&&&&
数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=2Sn+1（n∈N*）．（1）当t为何值时，数列{an}为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．&&&&
观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=&&&&192202212222
“已知各项均为正数的等比数列{a...”的最新评论
该知识点好题
1已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+1an=bn，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2已知等比数列{an}的前n项和为Sn=ao2n+b，且a1=3．（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
3已知等差数列{an}的公差为-1，且a2+a7+a12=-6，（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn＜Tm+λ恒成立，求实数λ的取值范围．
该知识点易错题
1已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+1an=bn，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2已知等比数列{an}的前n项和为Sn=ao2n+b，且a1=3．（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
3已知等差数列{an}的公差为-1，且a2+a7+a12=-6，（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn＜Tm+λ恒成立，求实数λ的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若bn=-logan+1（根号2+1），Sn=b1+b2+…+bn，Tn=S1+S2+…+Sn，试用S2011表示T2011．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若bn=-logan+1（根号2+1），Sn=b1+b2+…+bn，Tn=S1+S2+…+Sn，试用S2011表示T2011．”相似的习题。知识点梳理
数列的极限1、数列的极限定义（描述性的）：如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即无限地接近于0），a叫数列的极限，记作，也可记做当n→+∞时，an→a。 2、数列的极限严格定义：即ε－N定义：对于任何ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足，a叫数列的极限。 3、数列极限的四则运算法则： 若，则（1），； （2），； （3）。 前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。4、an无限接近于a的方式有三种：第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，；第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是；第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，。 5、一些常用数列的极限：（1）常数列A，A，A，…的极限是A； （2）当时，； （3）当|q|＜1时，；当q＞1时，不存在； （4）不存在，。 （5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则（只有在0＜|q|＜1时）。
数列的求和：1、数列求和的常用方法：（1）裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； （2）错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； （3）倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。（4）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。（5）公式法求和：所给数列的通项是关于n的，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
2、数列求和特别提醒：（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知等比数列{an}的公比为q，Sn是{an}的前n项和．（...”，相似的试题还有：
正项无穷等比数列an的前n项和为Sn，若\mathop {lim}\limits_{n→∞}\frac{S_{n}}{S_{n+1}}=1，则其公比q的取值范围是
若等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，集合M={x|x=\mathop {lim}\limits_{n→∞}&\frac{S_{n}}{S_{2n}}，q≠-1，q∈R}，则用列举法表示M=_____．
已知等比数列{an}的首项a1=1，公比为q(q＞0)，Sn为{an}的前n项和，则\mathop {lim}\limits_{n→∞}\frac{S_{n}}{S_{n+1}}=_____．百度题库旨在为考生提供高效的智能备考服务，全面覆盖中小学财会类、建筑工程、职业资格、医卫类、计算机类等领域。拥有优质丰富的学习资料和备考全阶段的高效服务，助您不断前行！
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