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172 条内容&img src=&/v2-f24edc1323_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&274& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-f24edc1323_r.png&&&p&费马小定理（Fermat's little theorem）是数论中一个经典的结论，证明方法有很多，今天我给大家介绍一个图形证明——经常有人把图形证明称为无字证明，夺人眼球，所以我也这么做了。&/p&&blockquote&&b&（费马小定理）&/b& &img src=&/equation?tex=a%5Ep+%5Cequiv+a+%5Cpmod+p& alt=&a^p \equiv a \pmod p& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 为任意质数而 &img src=&/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 为与其互质的任意整数。&/blockquote&&p&事实上，根据同余的性质，只要证明 &img src=&/equation?tex=a%5Ep+%5Cequiv+a+%5Cpmod+p& alt=&a^p \equiv a \pmod p& eeimg=&1&& 对 &img src=&/equation?tex=0+%5Cleq+a+%5Cleq+p-1& alt=&0 \leq a \leq p-1& eeimg=&1&& 成立，就可以得到上述定理。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，现在给出证明如下。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-cfda0f76816_b.png& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&335& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&/v2-cfda0f76816_r.png&&&p&&br&&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&*&/p&&p&上图算不上一个完整的图形证明，但是包含了证明的精神；如果你没感受到，我来用文字说明一下。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-a8b1a7f3123bf7acc19fc3_b.png& data-rawwidth=&379& data-rawheight=&392& class=&content_image& width=&379&&&p&&br&&/p&&p&考虑一根有 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 颗珠子的项链，其每颗珠子有 &img src=&/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 种染色选择，所以总共 &img src=&/equation?tex=a%5Ep& alt=&a^p& eeimg=&1&& 种选择去给项链染色，结果中会有 &img src=&/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 根项链其所有珠子的颜色相同；对于剩下的任意项链，总会有另外 &img src=&/equation?tex=p-1& alt=&p-1& eeimg=&1&& 根与它旋转等价的项链（！）。&/p&&img src=&/v2-eb6e6cab0a682aa02e1e9_b.png& data-rawwidth=&291& data-rawheight=&111& class=&content_image& width=&291&&&p&所以 &img src=&/equation?tex=a%5Ep-a& alt=&a^p-a& eeimg=&1&& 会被 &img src=&/equation?tex=p%28%3Dp-1%2B1%29& alt=&p(=p-1+1)& eeimg=&1&& 整除。&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 必须是质数的原因，实际上隐藏在带“！”的句子中。&/p&&img src=&/v2-2dad42e1c0ab4_b.png& data-rawwidth=&676& data-rawheight=&193& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&676& data-original=&/v2-2dad42e1c0ab4_r.png&&&p&假设 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 不是质数；比如 &img src=&/equation?tex=a%3D2& alt=&a=2& eeimg=&1&& ， &img src=&/equation?tex=p%3D4& alt=&p=4& eeimg=&1&& 。此时 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 与 &img src=&/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 有一个公因子 &img src=&/equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&& ，虚线左侧的项链理应有另外 &img src=&/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 个与它旋转等价的项链，然而事实上由于重复，只有 &img src=&/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 个；所以我们上面的论证对这种情形不成立。&/p&&p&把红色记为 &img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ，蓝色记为 &img src=&/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& ；上例中的第一根项链可以记为 &img src=&/equation?tex=ABAB& alt=&ABAB& eeimg=&1&& ，是由两个重复的 &img src=&/equation?tex=AB& alt=&AB& eeimg=&1&& 组成；类似地，第二根可以记为 &img src=&/equation?tex=BABA& alt=&BABA& eeimg=&1&& 。事实上，&b&把每根项链都记为一个字母序列 &img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& ，如果 &img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 是由几个重复的字母序列 &img src=&/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 组成，且 &img src=&/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 不能拆分成更短的重复序列，那么[所有关于 &img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 旋转等价的项链总数]等于[ &img src=&/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 的长度]&/b&。易知&img src=&/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 的长度整除 &img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&的长度，如果 &img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的长度是素数 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 的长度也是素数 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ；因此关于 &img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 旋转等价的项链会有 &img src=&/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 根，所以我们可以运用之前的论证。&/p&&p&&br&&/p&&p&参考资料：&/p&&p&1. &a href=&/?target=http%3A///wiki/index.php%3Ftitle%3DProofs_without_words& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Art of Problem Solving&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&2. Wikipedia: &a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%2527s_little_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Proofs of Fermat little theorem&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
费马小定理（Fermat's little theorem）是数论中一个经典的结论，证明方法有很多，今天我给大家介绍一个图形证明——经常有人把图形证明称为无字证明，夺人眼球，所以我也这么做了。（费马小定理） a^p \equiv a \pmod p ，其中 p 为任意质数而 a 为与其互…
&p&从出生到现在，离诺贝尔奖都是无限远，不做科研永远没有靠近的可能。&/p&&p&但这个回答并不是这句毫无意义的话。。。。。。&/p&&p&============================================&/p&&p&我妻子，曾经有一次靠近过。。。。&/p&&p&她出身国内一流大学，化学博士，毕业后谢绝母校留任，直接去了日本某大学做博士后，后来转了助理教授，主做超导材料。当时最前沿的方向之一。&/p&&p&2008年，一个新的合成出来材料实现了当时最高温度的超导（具体的材料方向和温度我并不了解），半夜3点钟，打电话到北京向我报喜，哭得语无伦次。（你可以想象那种心情。）&/p&&p&当时整个大学也很轰动，超导现象得到确认和证实，无数人来看超导实验。目测一篇极好的文章即将出炉，甚至有那么一点点诺贝尔奖的可能性。&/p&&p&然而，合成材料重复不出来，一次又一次失败，当时的合成操作很可能有未知的偏差（混入杂质、温度失控等），维持超导现象的设备在一个月之后也拆掉了。&/p&&p&她没有放弃，一次又一次地重复，尝试混入其他可能的物质，尝试合成温度的调整，整整一年，每天工作16小时，然而，辛苦的工作并没有得到回报，2009年8月，我去日本看望她，一年多没见的她皮肤暗淡，眼圈发黑，仅仅35岁的她头上至少有上千根白发，看着憔悴的她，我问：“可以考虑放弃吗？已经出来七年了，要不回家吧···”&/p&&p&于是放弃了，回国，回母校做了一份非科研一线的工作。。。。。。。&/p&&p&快10年了，她还时常翻看一下当时的实验记录，我知道，她永远也不可能在合成出那份材料了。&/p&&p&==================================================&/p&&p&一将功成万骨枯，每一个科研成果的背后，有无数的不成功的过程作为垫脚石。每一个诺奖背后，也有无数擦肩而过的人群，然而，幸运者总是那么少。&/p&&p&祝福那些还在科研一线拼命的人，致敬。。。。。。。。。&/p&&p&===================================================&/p&&p&没想到短短两天竟然我三千多赞，我也成了万赞达人（我的梦想之一），谢谢大家的鼓励。我的妻子也谢谢大家的鼓励和支持。&/p&&p&针对大家关心的问题，我也来回复一下：&/p&&p&1、她当时确实是是做铁基超导，但不在那个著名的团队，当时日本有不下10个团队在做这个东西，如果她的样品能重复出来，可能这个领域真的可以向前走一小步。超导现象验证的实验维持了一个月，无数相关专家测试过，这个不会出错，唯一的问题就是样品重复不出来。&/p&&p&2、我所有的知乎回答都是亲身经历，绝对不编故事。看看我的其他答案，应该都是可以互相印证的，一句谎言有时候需要一百句谎言掩盖。&/p&&p&3、&b&请不要把我妻子和韩春雨的经历等同起来&/b&。这是我们两个人非常介意的。我妻子是严谨的科学工作者，发现了实验的问题没有解决之前，绝对不发表任何不负责任的东西。&b&韩春雨的事情和这个完全没有可比性。我个人认为很有可能是编造数据申请经费，结果不小心玩大了收不了场，甚至连实验失误的可能性都不大。如果韩春雨的事情处理的不好，对中国科研的打击将是巨大的，损失是无可估量的。&/b&&/p&&p&4、我妻子虽然不做科研一线，但并没有离开科研。她现在在主持一个“电子显微镜”测试实验室，有五台最先进的场扫描和透射电镜（蔡司和日本电子两个品牌）和其他相关设备，能做超低温、高温、甚至反应过程中的电镜测试。我认为她现在是全北京最好的电镜测试工程师，解决了很多疑难测试问题。如果你有很有意义的样品，在别的电镜测试实验室得不到满意的测试结果，可以考虑让她试试。&/p&&p&5、评论中有个叫“zyw”的朋友观点很新颖，他说我妻子在国内接受教育，去国外做科研是不爱国。他说“两弹一星”元勋是在国外接受教育回国做科研才是最棒的。他说我妻子在国外混不下去了回国养老，说接收她的学校很傻。说她回国时（35岁）已经不是黄金年龄了。好吧，我实在无话可说了。&/p&&p&总之，谢谢大家对她的理解和支持。深深感谢。&/p&
从出生到现在，离诺贝尔奖都是无限远，不做科研永远没有靠近的可能。但这个回答并不是这句毫无意义的话。。。。。。============================================我妻子，曾经有一次靠近过。。。。她出身国内一流大学，化学博士，毕业后谢绝母校留任，直接…
首先声明我不是搞数论的，我对陈景润的评价不一定全对。&br&&br&要说陈景润的历史地位的话我觉得应该是比较一般，和张益唐差不多，至少应该在华罗庚之下，和丘成桐、陈省身那就根本不要比了。毕竟第一他没有真的证出哥德巴赫猜想，只是从“1+3”改进到“1+2”，结果的重要程度不如张益唐；第二他的工作还是在用筛法去估计质数密度，是在改进前人的方法，性质和张益唐类似；第三整个过程中他没有开创出什么新的方向。但是和同行比起来，他的水平还是很高的，比如如果陈景润是美国人，凭他那个”1+2”在美国大部分学校拿个正教授绝无问题。菲尔兹不好说有没有戏，小一点的奖拿一堆也没什么问题。&br&&br&但是我想说的是，陈景润是在像老鼠一样的生存状态下，在33岁抱着病体完成的那个“1+2&的证明；文革开始以后他的生存环境恐怕连老鼠都不如；到了80年代徐迟的那个报告出来以后又被政治潮流卷着到处去作报告给演讲，天天逢场作戏，也没精力去做什么研究了。真要是让他有比如说陶哲轩那样的成长环境，从小有各路牛人提携指点，有一个能够和全世界同行交流的学术环境，没有人知道他这一辈子能够达到什么高度。不知道有没有人看过刘慈欣的小说《朝闻道》，其实在学术圈子里面，那种殉道者一样纯粹的理想主义者是很少很少的，但是陈景润绝对应该算一个。和他比起来，今天的我们都应该感到惭愧。&br&&br&______________________&br&&br&9月24日补充&br&&br&人们总有一种“帝王将相历史观”，倾向于对着历史人物指点江山，却觉得身边的平凡人可望而不可及。就好像看历史书的时候觉得朝廷里一帮子中央委员级别的御史、尚书什么的都是些无足轻重的小人物，现实生活中要是有亲戚朋友做到正厅级那就算“当大官”了。&br&&br&我觉得“历史地位一般”对一位科学工作者来说已经是一个非常非常高的评价，这意味着千年以后的后辈们书写数学史的时候，会在歌颂高斯、欧拉、黎曼的丰功伟绩之余，为他写一段话或者至少提一下他的名字。在我们现实生活中，本科生成绩好一点毕业去个top X名校就算“学霸”了；等到当上教授拿上点研究经费带出几个学生，这个fellow那个member评一下，在我们眼中那就是呼风唤雨的“大人物”了。然而在稍微大一点的时间尺度上，比如一百年以后，去讨论这些人的“历史地位”，那简直跟开玩笑一样。而陈景润的历史地位，在可预见的将来永远是一件可讨论的事情。
首先声明我不是搞数论的，我对陈景润的评价不一定全对。 要说陈景润的历史地位的话我觉得应该是比较一般，和张益唐差不多，至少应该在华罗庚之下，和丘成桐、陈省身那就根本不要比了。毕竟第一他没有真的证出哥德巴赫猜想，只是从“1+3”改进到“1+2”，结…
对于许多泛函分析入门的学习者来说，Minkowski不等式的证明是一个绕不过去的难题。说它“绕不过去”，是因为它很重要，它描述了lp（以及Lp）空间的范数，而lp空间和Lp空间是泛函分析中非常重要的赋范线性空间的例子。说它是“难题”，因为它的证明似乎缺少直观意义，太过“机巧”。在大多数泛函分析的课本中，证明是这样给出的（以离散形式为例，参考夏道行等《实变函数论与泛函分析》、张恭庆等《泛函分析讲义》）&p&要证明的式子：&img src=&/equation?tex=%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%2B%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dy_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%5Cgeq+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_i%2By_i%29%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D& alt=&(\sum_{i=1}^{n}x_i^p)^{\frac{1}{p}}+(\sum_{i=1}^{n}y_i^p)^{\frac{1}{p}}\geq (\sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)^p)^{\frac{1}{p}}& eeimg=&1&&,&/p&&p&这里我们需应用&b&H?lder不等式&/b&：&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enu_iv_i%5Cleq+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enu_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Env_i%5Eq%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D%2C%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3D1%29& alt=&\sum_{i=1}^nu_iv_i\leq (\sum_{i=1}^nu_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^nv_i^q)^{\frac{1}{q}},(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1)& eeimg=&1&&&/p&&p&（&b&Q1:这个不等式有什么意义？如何得出？参数q有什么意义？&/b&看似与我们要证的不等式没什么关系&b&……&/b&先抛开这些疑问，后面再解释）&/p&&p&我们从不等式的右端入手：&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Eny_i%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D& alt=&\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p=\sum_{i=1}^nx_i(x_i+y_i)^{p-1}+\sum_{i=1}^ny_i(x_i+y_i)^{p-1}& eeimg=&1&&,（&b&Q2:为什么要作这样的分解？&/b&）&/p&&p&应用H?lder不等式于上面等式右端第一项（取&img src=&/equation?tex=u_i%3Dx_i%2Cv_i%3D%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D& alt=&u_i=x_i,v_i=(x_i+y_i)^{p-1}& eeimg=&1&&）&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D%5Cleq+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%28%5Csum%0A_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5E%7B%28p-1%29q%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D%3D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D& alt=&\sum_{i=1}^nx_i(x_i+y_i)^{p-1}\leq (\sum_{i=1}^nx_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum
_{i=1}^n(x_i+y_i)^{(p-1)q})^{\frac{1}{q}}=(\sum_{i=1}^nx_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p)^{\frac{1}{q}}& eeimg=&1&&,&/p&&p&同理，对右端第二项有&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Eny_i%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D%5Cleq+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Eny_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D& alt=&\sum_{i=1}^ny_i(x_i+y_i)^{p-1}\leq (\sum_{i=1}^ny_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p)^{\frac{1}{q}}& eeimg=&1&&,&/p&&p&相加，得&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep%5Cleq%28%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%2B%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Eny_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%29%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D& alt=&\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p\leq((\sum_{i=1}^nx_i^p)^{\frac{1}{p}}+(\sum_{i=1}^ny_i^p)^{\frac{1}{p}})(\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p)^{\frac{1}{q}}& eeimg=&1&&,&/p&&p&将右端的&img src=&/equation?tex=%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D& alt=&(\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p)^{\frac{1}{q}}& eeimg=&1&&除到左端，结合&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3D1& alt=&\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1& eeimg=&1&&,即得证。&/p&&p&证明概述大致就是这样，但这个证明是如何想出来的呢？&/p&&p&因为lp空间是欧式空间的推广，因此我们现在欧式空间下考虑这个证明。在n维欧式空间中，我们要证明&img src=&/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dy_i%5E2%7D%5Cgeq+%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5E2%7D& alt=&\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}\geq \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^2}& eeimg=&1&&，这个式子在直观上也并不是显然的。我们考虑一个几何的表述：&img src=&/v2-6b5b4fd26a33ebe8b93cd733f15d8013_b.png& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&258& class=&content_image& width=&318&&&/p&&p&向量OA,AB,OB，分别代表x,y和x+y，我们要证明&img src=&/equation?tex=%7C%7COA%7C%7C%2B%7C%7CAB%7C%7C%5Cgeq+%7C%7COB%7C%7C& alt=&||OA||+||AB||\geq ||OB||& eeimg=&1&&.如果作&img src=&/equation?tex=AM%5Cbot+OB& alt=&AM\bot OB& eeimg=&1&&,由直角三角形斜边大于直角边，&img src=&/equation?tex=%7C%7COA%7C%7C%5Cgeq+%7C%7COM%7C%7C%2C%7C%7CAB%7C%7C%5Cgeq+%7C%7CBM%7C%7C& alt=&||OA||\geq ||OM||,||AB||\geq ||BM||& eeimg=&1&&,相加即可证明。（这里M一定落在线段OB上，因为&img src=&/equation?tex=x_i%2Cy_i%5Cgeq+0& alt=&x_i,y_i\geq 0& eeimg=&1&&）这启发我们将“第三边”&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep& alt=&\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p& eeimg=&1&&拆成两部分，分别与“两个边”&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep%2C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Eny_i%5Ep& alt=&\sum_{i=1}^nx_i^p,\sum_{i=1}^ny_i^p& eeimg=&1&&比较大小，再把结果加起来。而如何拆分&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep& alt=&\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p& eeimg=&1&&呢？由上图&img src=&/equation?tex=AM%5Cbot+OB& alt=&AM\bot OB& eeimg=&1&&,故&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7BOA%7D%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7BOM%7D%7BBM%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D& alt=&\frac{OA}{AB}=\frac{OM}{BM}=\frac{x}{y}& eeimg=&1&&,因此我们将和式&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28x_i%2By_i%29%5Ep& alt=&\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^p& eeimg=&1&&中的每一部分&img src=&/equation?tex=%28x_i%2By_i%29%5Ep& alt=&(x_i+y_i)^p& eeimg=&1&&相应地按比例&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7Bx_i%7D%7By_i%7D& alt=&\frac{x_i}{y_i}& eeimg=&1&&拆成&img src=&/equation?tex=x_i%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D%2Cy_i%28x_i%2By_i%29%5E%7Bp-1%7D& alt=&x_i(x_i+y_i)^{p-1},y_i(x_i+y_i)^{p-1}& eeimg=&1&&这两部分,分别对其做处理。这实际上就是(Q2)的解释。&br&&/p&&p&也许读到这里，大家也已经猜到了，H?lder不等式实际上就是在更抽象的空间中描述“直角三角形中斜边大于直角边”。但是，我们遇到了新的问题：lp空间中没有“垂直”的概念，因此我们没法作出垂线AM。为此我们换个角度思考：AM是以O为圆心，OM长为半径的圆和以B为圆心，BM长为半径的圆的公切线。因此与“直角三角形中斜边大于直角边”等价（或者说是推广）的命题：“lp圆周（球面）切线（切平面）上的点到圆（球）心的距离按度量小于切点到圆（球）心的距离。”&br&&/p&&p&更一般化，我们考虑lp空间中超平面上一点到某定点的距离：超平面取&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_ix_i%3Dc& alt=&\sum_{i=1}^na_ix_i=c& eeimg=&1&&，给定点取原点，lp空间中点&img src=&/equation?tex=x%3D%28x_1%2C%5Cdots+%2Cx_n%29& alt=&x=(x_1,\dots ,x_n)& eeimg=&1&&到原点的距离为&img src=&/equation?tex=%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D& alt=&(\sum_{i=1}^nx_i^p)^{\frac{1}{p}}& eeimg=&1&&。我们现在寻找距离的最小值，等价于在约束条件&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_ix_i%3Dc& alt=&\sum_{i=1}^na_ix_i=c& eeimg=&1&&下函数&img src=&/equation?tex=f%28x_1%2C%5Cdots%2Cx_n%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep& alt=&f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^nx_i^p& eeimg=&1&&的最小值。应用Lagrange乘子法，构造Lagrange函数&img src=&/equation?tex=L%28x_1%2C%5Cdots%2Cx_n%2C%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Ep-%5Clambda%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_ix_i-c%29& alt=&L(x_1,\dots,x_n,\lambda)=\sum_{i=1}^nx_i^p-\lambda(\sum_{i=1}^na_ix_i-c)& eeimg=&1&&,解方程组&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%3D0%28i%3D1%2C%5Cdots%2Cn%29%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+%5Clambda%7D%3D0& alt=&\frac{\partial L}{\partial x_i}=0(i=1,\dots,n),\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0& eeimg=&1&&,得&img src=&/equation?tex=x_%7Bi0%7D%3D%5Cfrac%7Bca_i%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp-1%7D%7D%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_i%5E%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7Bp-1%7D%7D%7D& alt=&x_{i0}=\frac{ca_i^{\frac{1}{p-1}}}{\sum_{i=1}^na_i^{\frac{p}{p-1}}}& eeimg=&1&&，这时引入&img src=&/equation?tex=q%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7Bp-1%7D& alt=&q=\frac{p}{p-1}& eeimg=&1&&,结论可以写成&img src=&/equation?tex=%7C%7Cx%7C%7C_p%5Cgeq+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_%7Bi0%7D%5Ep%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%7D%3Dc%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_i%5Eq%29%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%7D& alt=&||x||_p\geq (\sum_{i=1}^nx_{i0}^p)^{\frac{1}{p}}=c(\sum_{i=1}^na_i^q)^{-\frac{1}{q}}& eeimg=&1&&对任意&img src=&/equation?tex=x%3D%28x_i%29& alt=&x=(x_i)& eeimg=&1&&满足&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_ix_i%3Dc& alt=&\sum_{i=1}^na_ix_i=c& eeimg=&1&&都成立，即&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_ix_i%5Cleq+%7C%7Cx%7C%7C_p%7C%7Ca%7C%7C_q& alt=&\sum_{i=1}^na_ix_i\leq ||x||_p||a||_q& eeimg=&1&&,也就是H?lder不等式。&br&&/p&&p&参考材料：W.W.Sawyer，《数值泛函分析初览》chapter4，chapter9.&/p&
对于许多泛函分析入门的学习者来说，Minkowski不等式的证明是一个绕不过去的难题。说它“绕不过去”，是因为它很重要，它描述了lp（以及Lp）空间的范数，而lp空间和Lp空间是泛函分析中非常重要的赋范线性空间的例子。说它是“难题”，因为它的证明似乎缺少…
&img src=&/v2-7c3a2e487a83fd54951fa6_b.jpg& data-rawwidth=&496& data-rawheight=&351& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&496& data-original=&/v2-7c3a2e487a83fd54951fa6_r.jpg&&&img src=&/v2-07e6da1d7acbb1a263fca_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&150& data-thumbnail=&/v2-07e6da1d7acbb1a263fca_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-07e6da1d7acbb1a263fca_r.gif&&&br&&p&宇宙网红霍金在几天前再度发表演讲，对人工智能技术给出了极端化的评价。&/p&&p&肯定了人工智能的现实意义，但依旧毫不掩饰地表达出对人工智能的担忧。&/p&&p&不过这番对人工智能的评价并不是霍金此次露面的最大亮点。&/p&&p&演讲结束后的问答环节反而成为了众人关注的焦点。&/p&&img src=&/v2-35f22a7247eee87c57de6_b.jpg& data-rawwidth=&1005& data-rawheight=&602& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1005& data-original=&/v2-35f22a7247eee87c57de6_r.jpg&&&br&&p&斯坦福大学物理学教授张首晟抛出了这样一个问题：“如果让你告诉外星人&strong&我们人类取得的最高成就&/strong&，写在一张明信片的背面，您会写什么?”&/p&&p&霍金应对自如，他说：“告诉外星人关于美，或者任何可能代表最高艺术成就的艺术形式都是无益的，因为这是人类特有的。”&/p&&p&“我会告诉他们&strong&哥德尔不完备定理&/strong&和&strong&费马大定理&/strong&。这才是外星人能够理解的事情。”&/p&&img src=&/v2-5d00cf4213edd_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&249& data-thumbnail=&/v2-5d00cf4213edd_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-5d00cf4213edd_r.gif&&&br&&p&霍金提到了两样人类最高成就中，后者即费马大定理也许比较为人所知。&/p&&p&至于稍欠知名度的&strong&哥德尔不完备定理&/strong&，其在科学界的地位绝对超出你我的想象。&/p&&p&&strong&哥德尔不完备定理的提出不仅浇灭了数学界无冕之王希尔伯特完善数学大厦的美梦。&/strong&&/p&&p&&strong&甚至一举粉碎了自古希腊以来千万数学家传承了2000多年的信念。&/strong&&/p&&br&&img src=&/v2-58ea99e8cfd073dc7040843_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&333& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-58ea99e8cfd073dc7040843_r.jpg&&&br&&p&&strong&在数学领域之外，哥德尔不完备定理还深远地影响到了哲学、语言学、计算机科学，甚至是宇宙学。&/strong&&/p&&p&而定理的提出者哥德尔，还被认为是当代最有影响力的智慧巨人之一。&/p&&p&美国《时代》杂志曾评选出百位20世纪最伟大人物，在数学家中，哥德尔独领风骚。&/p&&br&&img src=&/v2-2083dcafe85ac1be34609_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&675& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/v2-2083dcafe85ac1be34609_r.jpg&&&p&图：库尔特·哥德尔&/p&&br&&p&他爱夜总会舞女，两情相悦娶为妻子；更爱爱因斯坦，惺惺相惜独为良配。&/p&&p&&strong&晚年的爱因斯坦说过：“我自己的工作没啥意思，我来上班就是为了能同哥德尔一起散步回家。”&/strong&&/p&&br&&img src=&/v2-dc32c872ffa7aea2c06ebe_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&630& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/v2-dc32c872ffa7aea2c06ebe_r.jpg&&&br&&p&可这位自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，最终却因为受迫害妄想症而拒绝进食，饿死于医院。&/p&&p&…&/p&&p&&strong&库尔特·哥德尔&/strong&生于奥匈帝国布鲁恩，卒于美国普林斯顿，一生辗转。&/p&&p&可有一样东西是从未改变过的，那便是他那古怪的性格。&/p&&p&虽然出生在一个富有的上流社会家庭，但哥德尔从小就没有权贵子弟的那种跋扈。&/p&&p&反而相当的内向，十分依赖母亲，以至于只要母亲外出，他会立马陷入恐慌造成的寡言当中。&/p&&img src=&/v2-f38eec99b0e06f78ed481c_b.png& data-rawwidth=&406& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&406&&&p&图：哥德尔与父母和哥哥&/p&&br&&p&在6岁那年，急性风湿热侵袭了他的身体，让他痛苦不堪。&/p&&p&虽然不久后得以痊愈，但这段经历一直在他心中留存，成为了日后影响他一生的心结。&/p&&p&出于好奇，哥德尔在8岁那年翻阅医学书籍，查到了自己曾患的风湿热会对导致心脏衰弱。&/p&&p&从此，哥德尔就一直对自己的健康问题耿耿于怀。&/p&&br&&img src=&/v2-c7a1b4af5af42addfa13ad8_b.jpg& data-rawwidth=&350& data-rawheight=&384& class=&content_image& width=&350&&&p&幼年哥德尔（左）&/p&&br&&p&除此之外，哥德尔总体而言还是一个聪颖的孩子。&/p&&p&高中时，他的学识不仅超过了绝大多数的同学，在某些方面甚至赶超了他的老师。&/p&&p&早在那个时候，哥德尔就已经展现出很强的强迫症，或者说是疑心病。&/p&&p&&strong&有传言说，哥德尔在整个高中时期都没有犯下任何一个语法错误。&/strong&&/p&&img src=&/v2-026d1be955deef5229284_b.jpg& data-rawwidth=&212& data-rawheight=&270& class=&content_image& width=&212&&&br&&p&在维也纳大学时，哥德尔最初是主修理论物理的。&/p&&p&不过后来，他迷上了一位数学教师的课堂。&/p&&p&这位教师颈部以下全瘫，上课时必须要有助教协助才能完成板书。&/p&&p&哥德尔很欣赏这位教师，瘫痪的身体也引起了他内心的一些共鸣。&/p&&img src=&/v2-b4c992e37cc3a0d19cfc617eb611ffc8_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&514& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&此外，哥德尔还参加了一个哲学讨论小组，研读如罗素的经典《数学原理》这样的著作。&/p&&p&渐渐地，他喜欢上了数理与逻辑，也转到了数学系。&/p&&br&&p&转眼间，哥德尔已然成为了一名优秀的博士，他开始关注数学界的著名问题。&/p&&p&其中，最遭人眼的莫过于&strong&希尔伯特&/strong&发表的《数学问题》演讲。&/p&&img src=&/v2-3d140b9d7fa130dec8fd7c_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-3d140b9d7fa130dec8fd7c_r.jpg&&&p&图：大卫·希尔伯特&/p&&br&&p&希尔伯特总结了前人的数学研究成果，提出了23个最重要的数学问题。&/p&&p&他认为解决了这些问题，我们的数学大厦将会趋于完美。&/p&&p&这是希尔伯特的个人梦想，也是千百年来数学家不懈努力的共同信念。&/p&&p&在希尔伯特提出这23个问题后，还在自己的退休演讲中踌躇满志地壮语：&strong&“我们必须知道，我们必将知道！”&/strong&&/p&&img src=&/v2-b51e649eac1b02e41fa5_b.jpg& data-rawwidth=&1085& data-rawheight=&647& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1085& data-original=&/v2-b51e649eac1b02e41fa5_r.jpg&&&p&图：大卫·希尔伯特&/p&&br&&p&然而就在希尔伯特退休后的第二年，就蹦出了个哥德尔。&/p&&p&一举就将希尔伯特排在第二关于算术公理系统的相容性问题给解决了。&/p&&p&不过并不是以希尔伯特想象中的方法，而是将其毁灭。&/p&&br&&img src=&/v2-b6c438f5f2f4efed70574_b.jpg& data-rawwidth=&850& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&850& data-original=&/v2-b6c438f5f2f4efed70574_r.jpg&&&p&图：哥德尔&/p&&br&&p&哥德尔提出的&strong&不完备定理&/strong&证明了一个可怕的事实。&/p&&p&任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。&/p&&br&&p&也就是说，“相容”和“完备”是不能同时满足的！&br&&/p&&br&&p&当然对于普通人来说，哥德尔的这个定理是非常晦涩难懂的。&/p&&br&&img src=&/v2-fccff74e863_b.jpg& data-rawwidth=&695& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&695& data-original=&/v2-fccff74e863_r.jpg&&&p&图：自指&/p&&br&&p&总之其证明了一点，从古至今的数学家都认为所有数学问题是可以被完美证明的，只要不断地努力，总有一天数学将变得无懈可击。&/p&&br&&p&而哥德尔不完备定理告诉所有人，数学问题并不是都能被证明的，你们的数学不是完美的。&/p&&img src=&/v2-2e84d0dcbed823cdce6c2c_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&398& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-2e84d0dcbed823cdce6c2c_r.jpg&&&br&&p&希尔伯特的宏伟大业虽然没有因此失去生命力，但哥德尔不完备定理的横空出世显然等于给它判了死刑。&/p&&br&&p&助手将哥德尔不完备定理转告给希尔伯特时，他怒斥其荒谬。&/p&&p&直到他仔细读完了哥德尔的论文，才不得不承认自己的计划可能永远不能实现。&/p&&p&&strong&此后，越来越多的数学问题被证明是不可判定的，哥德尔释放出来的恶魔正在蚕食数学家们的信念。&/strong&&/p&&br&&img src=&/v2-3ec0cd1c9f3e0592c7caf_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&281& data-thumbnail=&/v2-3ec0cd1c9f3e0592c7caf_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-3ec0cd1c9f3e0592c7caf_r.gif&&&br&&p&而这时的哥德尔正沉迷于一位比他大6岁的已婚夜总会舞女阿黛尔。&/p&&br&&p&与阿黛尔认识的时候哥德尔才21岁，巧的是第二年哥德尔搬家正好住在阿黛尔的对面，两人的关系因此更近了一步。&/p&&p&他一心想和阿黛尔喜结连理，可是阿黛尔出身不好没有文化，除了跳舞表演外没有谋生的技能。&/p&&p&家里也很反对他俩的这段关系，但爱情岂是一两句反对就能毁灭的？&/p&&p&阿黛尔最终结束了自己7年的婚姻，在二战爆发的前夕嫁给了哥德尔。&/p&&img src=&/v2-beb0cd66682faf87b47d063_b.png& data-rawwidth=&295& data-rawheight=&265& class=&content_image& width=&295&&&p&图：哥德尔与妻子&/p&&br&&p&说起来希特勒的上台和二战的爆发确实改变了哥德尔的下半辈子。&/p&&br&&p&哥德尔身边有许多犹太朋友，导致外界误认为他也是一名犹太人，因此遭到了很多不公的待遇。&/p&&p&加上担心会被强制征兵，自己孱弱的身体不能经受住兵役的摧残。&/p&&br&&p&在1940年，他和妻子来到了美利坚合众国，成为了普林斯顿大学的教授。&/p&&p&也就是在普林斯顿，哥德尔遇到了他的毕生挚爱——&strong&爱因斯坦&/strong&。&/p&&img src=&/v2-9cad67caac4e_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&324& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-9cad67caac4e_r.jpg&&&br&&p&此前，哥德尔曾3次访问普林斯顿，第一次访问时，在奥本海默的牵线下就与爱因斯坦邂逅了。&/p&&p&两人不仅年纪相去甚远，性格也不搭，就连各种观点也很少有一致的。&/p&&img src=&/v2-6d54baa72a7c882c2cdb60_b.jpg& data-rawwidth=&737& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&737& data-original=&/v2-6d54baa72a7c882c2cdb60_r.jpg&&&p&图：哥德尔与爱因斯坦&/p&&br&&p&哥德尔内敛克制，高高瘦瘦的，头上浓密的棕发总是梳得油亮。&/p&&p&即便是在炎热的夏天也总是穿着干净整洁的西装，博得了很多女学生的喜爱。&/p&&br&&p&和他研究的古老经典的数学与逻辑迥异，在审美上哥德尔不喜欢古典音乐与喜剧。&/p&&p&而是偏偏独爱迪斯尼的动画片，看得兴起还会大笑出声来。&/p&&img src=&/v2-14ac860ced7faa1b9851dc_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-14ac860ced7faa1b9851dc_r.jpg&&&br&&p&而爱因斯坦外向而不羁，身材发福，稀乱的白发呈放射状分布在脑袋的后半部分。&/p&&br&&p&他讨厌一切形式化的着装打扮，虽然有时候也爱穿穿时尚的凉鞋，但本质上还是不屑于追随世俗。&/p&&img src=&/v2-fb190c809b5ce0fe93b06ef3f27fef77_b.jpg& data-rawwidth=&564& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&564& data-original=&/v2-fb190c809b5ce0fe93b06ef3f27fef77_r.jpg&&&br&&p&在学术之外，爱因斯坦更爱拉小提琴，也爱一个人忧郁地散步。&/p&&br&&p&就是这样两个几乎找不到共同点的人，奇迹般地成为了挚友。&/p&&br&&p&用他们同事&strong&弗里曼·戴森&/strong&（就是提出戴森球的那位）的话说：&strong&“哥德尔是爱因斯坦的唯一良配。”&/strong&&/p&&img src=&/v2-e54c43e229efdb_b.jpg& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&559& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&/v2-e54c43e229efdb_r.jpg&&&br&&p&有一次哥德尔打电话邀请爱因斯坦一起观看迪斯尼，原本厌恶动画的爱因斯坦竟然没有拒绝。&/p&&p&自那以后，他俩就经常一起上班一起下班，活像一对谈恋爱的中学小情侣。&/p&&img src=&/v2-162c960ccab611edcd4efa_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&328& data-thumbnail=&/v2-162c960ccab611edcd4efa_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&哥德尔在公众面前似乎不爱谈起他与爱因斯坦的关系，但在与母亲的信中却从不掩饰。&/p&&p&他在信中说，每天上午十点多，爱因斯坦会到家里与自己碰面。&/p&&p&然后花上30分钟走到研究所，下午吃过午饭后再花30分钟一起散步回家。&/p&&p&路上两人一起讨论政治、哲学、物理还有数学。&/p&&p&爱因斯坦对这段关系倒是很坦诚，直接说：&strong&“我自己的工作没啥意思，我来上班就是为了能同哥德尔一起散步回家。”&/strong&&/p&&img src=&/v2-a7de88eccb9ccc26f77af26_b.jpg& data-rawwidth=&1004& data-rawheight=&739& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1004& data-original=&/v2-a7de88eccb9ccc26f77af26_r.jpg&&&br&&p&1947年，哥德尔来美已经好几个年头了，在美国的生活确实挺让他满意的。&/p&&p&因此那年他决定加入美国国籍，在身份上与爱因斯坦更进一步。&/p&&p&当年申请入籍不但需要面试，还需要两位担保人。&/p&&p&担保人这一点自然是不用担心，摩尔根斯坦和爱因斯坦主动揽下这个任务。&/p&&img src=&/v2-7c3a2e487a83fd54951fa6_b.jpg& data-rawwidth=&496& data-rawheight=&351& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&496& data-original=&/v2-7c3a2e487a83fd54951fa6_r.jpg&&&br&&p&但是面试的过程中面试官可能会问及一些有关美国法律的问题，需要做做功课。&/p&&br&&p&&strong&可是没想到哥德尔仔细研究了一圈美国宪法，发现了其中的不完备，他宣称这个漏洞可以推理出美国会成为独裁国家。&/strong&&/p&&p&最先得知这个情况的摩尔根斯坦不敢怠慢，马上汇报给了爱因斯坦。&/p&&p&爱因斯坦一听心想：坏了，这哥德尔抓住了宪法的漏洞，还不得跟面试官理论个你死我活啊。&/p&&img src=&/v2-2a12d46dddb_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/v2-2a12d46dddb_r.jpg&&&p&图：美国宪法&/p&&br&&p&面试那天，爱因斯坦提出主动送哥德尔去政府办公室。&/p&&p&一路上为了阻止哥德尔钻美国宪法的牛角尖，不断地跟他讲冷笑话，转移他的注意力。&/p&&p&可是很遗憾，哥德尔还是没有忘记美国宪法的问题，一直跟面试官较劲。&/p&&p&要不是爱因斯坦及时地站出来调解，面试官不再纠结他的问题，哥德尔这美国国籍怕是拿不到手了。&/p&&img src=&/v2-c43e47f4fb84b9ea7c82b_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&630& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/v2-c43e47f4fb84b9ea7c82b_r.jpg&&&br&&p&看起来哥德尔与爱因斯坦似乎只有一些花边新闻，实际上两人在理论研究上算得上是齐心协力。&/p&&br&&p&&strong&哥德尔在爱因斯坦转战统一场论之后，接手了广义相对论的研究，在1951年还被授予爱因斯坦奖。&/strong&&/p&&img src=&/v2-d57d0aacd7a4dcc_b.jpg& data-rawwidth=&517& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&517& data-original=&/v2-d57d0aacd7a4dcc_r.jpg&&&p&图：1951年，哥德尔接受爱因斯坦的亲手授奖&/p&&br&&p&美好的时光总是过得飞快，那一年爱因斯坦因为腹部主动脉瘤破裂突然离世。&/p&&p&这对哥德尔的打击之大无法用言语形容，原本就有轻微妄想症，那之后他患上了严重的精神疾病。&/p&&p&他开始不相信除妻子外的任何人，认为从冰箱或者暖气里冒出的“坏空气”会杀死他。&/p&&p&也从不相信别人做的饭菜，总怀疑被会下毒，只吃阿黛尔做的食物。&/p&&br&&img src=&/v2-2c045e9ce94773d3eaa239daf869c0e9_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-2c045e9ce94773d3eaa239daf869c0e9_r.jpg&&&br&&p&可是当他的妻子也病倒了，哥德尔就只能吃一些简单的食物，长期营养不良。&/p&&p&因为泌尿系统堵塞住院后，哥德尔更是拒绝进食，最终做了一个饿死鬼，临终前体重不到60斤。&/p&&img src=&/v2-7c959b72e744ccc01f0367_b.jpg& data-rawwidth=&413& data-rawheight=&577& data-thumbnail=&/v2-7c959b72e744ccc01f0367_b.jpg& class=&content_image& width=&413&&&p&图：晚年瘦弱的哥德尔&/p&&br&&p&不知道在天堂，哥德尔还能否找回曾经的美好，找回爱因斯坦那爽朗的笑声。&/p&&br&&p&但在地球，哥德尔的不完备定理已然成为了与爱因斯坦的相对论一样伟大的人类成就。&/p&&img src=&/v2-b09c127d94d8c87ac456bb488c0f5737_b.jpg& data-rawwidth=&859& data-rawheight=&784& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&859& data-original=&/v2-b09c127d94d8c87ac456bb488c0f5737_r.jpg&&&br&&p&哥德尔这坎坷的一生其实也就是想表达一点。&/p&&p&&strong&数学，如同他与爱因斯坦的关系一样，有些东西是真的，但却永远无法证明。&/strong&&/p&
宇宙网红霍金在几天前再度发表演讲，对人工智能技术给出了极端化的评价。肯定了人工智能的现实意义，但依旧毫不掩饰地表达出对人工智能的担忧。不过这番对人工智能的评价并不是霍金此次露面的最大亮点。演讲结束后的问答环节反而成为了众人关注的焦点。 斯…
&img src=&/v2-e3cb55cf003ba34fc571bc2_b.jpg& data-rawwidth=&1619& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1619& data-original=&/v2-e3cb55cf003ba34fc571bc2_r.jpg&&&p&本来是打算交了博士论文之后才开始写这篇文章，但是之前读过网上别的博士写的一些书籍和资料，自己也一直不停的在写blog，所以感觉这篇文章已经基本成熟，再加上最近科研毫无进展，故写一篇文章来纪念一下自己的博士生涯。&/p&&h3&1. 专业选择。&/h3&&p&可能很多选择本科读数学的人都有这种经历，在高中的时候就有一种所谓的偏科，会把大量的时间花在数学物理上面，而且参加各种竞赛也能够顺利拿奖，对于语文英语就是得过且过。拿竞赛奖状之后，要么就开始保送各个高校的数学系，要么就开始准备高考。高考完了之后面临着选专业的问题，对于一个高中生来说，怎么可能知道大学里面的专业是学什么，几乎就是瞎选，高中擅长学什么就开始选择什么。&/p&&h3&2. 本科生涯。&/h3&&p&刚进入大学的时候，身边的人要么是竞赛保送的，要么就是高考高分考进来的。在第一年的时候，基本上就开始分成两类人在走。一种是天天努力学习的，一种是几乎不学习的，就靠考试前突击过日子。也不知道是不是高中生活的延续，在第一年的时候非常认真，在数学分析和高等代数上面花费了大量的时间，也做了不少的数学习题。在C++之类的重要课程上面继续不花时间，继续着自己高中的偏科日子。这件事说来也巧，正好在大一的数学分析习题课上认识了张老师。有一次碰巧遇到张老师，他给我说打算下个学期办一个讨论班，讲一下他最近关注的一些书籍和论文，并且说这些书籍只需要大一上学期的内容就可以了。当时听上去很有吸引力，就满口答应下学期开始着手这件事情。到了第二个学期，讨论班果然开始了，再加上廖老师，当时也凑了几个努力学习的同学，就开始读张老师想读的那本书 “One Dimensional Dynamics”。第二个学期的时候，基本上都是张老师在讲，坚持了一个学期，终于把那本书的第一章差不多讲完了。其实当时自己也就是在下面听，但是什么都没听懂，听来听去就感觉在用Lagrange中值定理，确实只用了大一数学分析的内容。说实话，坚持读一本书是非常困难的，尤其是一边还要写论文，还要教学。到了本科第二年的时候，张老师就问我们几个学生，有没有兴趣自己试着讲，当时可能也是想挑战自己一下，就自告奋勇上去讲了一次，虽然自己也只有大一的知识储备量，但是读那本书，一行一行看其实只要花时间还是没问题的。在下面自己花了很多时间，准备了一次，因为都是涉及一些基本的计算，最多涉及到级数求和，所以第一次试讲就非常成功。这样就在无形中极大的激励了自己，坚持这个讨论班坚持了两年。后来到了第三年结束的时候，正好有一个研究生的暑期学校，在尤老师的大力帮助下，推荐我跟着那些研究生一起学习，听一些讲座。就在当时的暑期学校上面认识了现在的老板。&/p&&h3&3. PHD生涯。&/h3&&p&NUS的第一个学期就收到一篇90页的论文，不过论文里面有个巨大的漏洞，希望自己能够找出来并且把它补上。第一个学期选择了太多的课程，分析，代数，拓扑，PDE，导致自己也没啥时间弄这篇论文。第一个学期的唯一收获就是把博士生资格考试顺利通过了。到了第二个学期，开始读论文了，虽然自己之前也读过论文和相应的书籍，但是给PHD的课题怎么可能那么容易就完成。如果那个漏洞那么容易就补上了，怎么可能十几年没人做那个问题。查一下网上的资料，2006年有人做出了类似的一个问题，不仅顺利发了Annals of Mathematics，还给了国际数学家大会45分钟的报告。相比之下，可想而知自己的这个博士课题有多难。在这个时候自己也没多想，也没想过换一个容易一点的问题，总想着自己一定能够做出来，然后当时办公室位置紧张，没分到办公室座位，于是自己天天都去图书馆呆着，就带着自己的这篇论文，在图书馆里面一页一页的看。&/p&&p&后来到了第三个学期，就要开始博士资格考试的口试了，需要做一个关于自己的研究方向的一个报告，然后系里面会让一些老师来给博士生打分，不行的话就要重新再来一次。在阅读一开始的那篇90页的论文的时候发现需要另外一篇文章作为基础，于是博士资格考试的内容就以另一篇文章作为主要的框架。这个时候我又再次查一下这篇新的文章，同样是发在Annals of Mathematics上面，而且自从1996年之后，关于这个课题也是几乎没有新的结果出现。这个时候开始觉得压力很大了，就去找老板，老板说：课题不能轻易换，你要坚持做。不过这次的资格考试还算顺利，口试一次通过。但是过了之后并不是轻松的开始，反而带来了更大的问题。如果博士资格考试不通过的话还可以拿一个硕士学位走人，但是通过了考试就没有选择了，只能争取博士毕业。苦海无涯，回头已经看不到岸了，只能够竭尽全力地游到对岸。游到对岸就意味着自己需要把论文的课题搞定，需要把一个非常难的问题攻克。于是这个时候就产生了巨大的心理压力，非常痛苦的过了一年。&/p&&p&2013年4月份的时候，一件事情直接把自己从痛苦中敲醒，那就是年过半百的张益唐在孪生素数领域做出了巨大的贡献，并且向Annals of Mathematics投稿，三周后被编辑确认无误并且接收。他的生平经历对年轻人来说是一个非常大的鼓励，至今记得他在youtube上面接受采访的时候与记者的对话。“唐诗宋词？我就说两句，不想说它的出处。庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关“。看过他的生平事迹都清楚他为什么喜欢这两句诗，因为这两句诗正是他一生的写照。做数学研究的人都知道，过了45岁几乎就不太可能有什么特别大的突破了，45岁以后的体力和精力和20多岁的时候相比都严重下降，很少有人在接近60岁的时候能够完成华丽的逆转，但是张益唐做到了，用自己的实际行动完成了质的飞越。回到自己，在PHD的期间确实走了不少的弯路，领略了很多艰辛和苦涩。正是张益唐成功的事迹激励了自己，只要努力就能够让自己顺利毕业。&/p&&p&再次回到自己的科研上。痛定思痛，决定努力一下重新攻克之前的问题，此时已经是PHD的第三年都快结束了，自己还没有任何结果，办公室的哥们都已经三四篇文章了，师门的师兄们也已经有了自己的paper，而且老板明确表态，毕业的标准就是把自己的论文发表在Ergodic Theory and Dynamical Systems这个杂志上。对于当时没有任何结果的自己，压力山大。于是，为了让自己能够顺利毕业，就逐渐开始奋发图强，再次从那篇错误的文章入手，重新从别的角度来审视那篇文章，看看能够从哪些地方寻求突破。在那篇文章里面，作者着重于研究一个叫做Fibonacci的多项式，在和老板的交流中，发觉可以把Fibonacci多项式做出推广，以寻求新的结果。终于，在PGP宿舍独立工作一个月之后，搞出了自己毕业论文的第一步，也就是Real Bound Theorem。当时总算感觉放松了一下，可是告诉了老板这个结果之后，悲剧再次发生。被老板告知有两个人已经差不多写好了一个的结果（后来我知道他们发表在了Nonlinearity这个杂志上），这就意味着自己不可能凭借这个结果拿到博士学位，需要把原来的问题攻克才能毕业。这个时候PHD的第三年已经结束。&/p&&p&到了第四年，需要轮到自己真正攻克问题了，这个时候必须要做出来才能毕业，没有任何选择的余地，正所谓“置之死地而后生”。导师给的论文课题是关于实系数多项式的迭代。在这个问题下，没有任何额外的条件，这和那些每次科研遇到障碍就开始加条件的方向截然不同。做科研好比一支部队在打仗，不同的人就有不同的风格。有的人就喜欢在一个鬼都打不到的地方乱放枪，把别人的论文改改条件就变成自己的文章，甚至连自己的条件是不是相互矛盾都不知道。但是有的人立志就是要做难题，这个时候就好比这支部队接到的任务是攻下山头，首先就必须打掉山头上面的碉堡，就需要集中所有的人力和火力来攻取，就必须集中自己的注意力，排除其他所有障碍物。当时为了集中注意力，在第四年的时候自己每天晚上都在系大楼的四楼教室里面呆着，因为安静并且没有人来打扰，特别适合思考问题。除了每天晚上到四楼独立思考问题，每周还要和老板讨论问题，不停的看看有没有新的办法来做原来的问题。单调的生活就这样持续了PHD的第四年。到了PHD的第四年快结束的时候，终于找到方法来突破原来的问题，至少看起来成功的希望非常大。不过悲剧再次发生，用这个方法来研究问题有一定的局限性，是不够完美的，心情再次从大喜到大悲，感觉离毕业又再次远了一步。不过这个时候要是放弃了就前功尽弃了，必须努力向前，作为一个第四年的PHD已经没有时间用来彷徨了。经过两周的不懈努力，终于做出来了，这个时候感觉离学位再次进了一大步。&/p&&h3&4. 经验总结。&/h3&&p&漫长的故事讲完了，这个时候希望那些觉得自己在数学方面很有天分或者觉得对数学很有兴趣的本科生们长一个心眼，学数学考高分离真正的科研还差得远。一个崭新的科研题目在所有的PHD面前都是人人平等的，都是未知的领域，需要PHD花很多的时间去研究和探索。下面列举的是一个博士生做数学科研需要注意的一些基本事项，当然我也只能够在自己的领域里面说说，别的专业的博士其实和数学还是差挺多的，可以作为参考。&/p&&p&(i) 极强的心理素质：之前高中，本科遇到的练习题，努力一下，和同学讨论一下，说不定都能够搞出来，花上几个小时，几天，甚至几周，基本上就能够搞定。但是对于一个博士生来说，没有任何课题是在几天，几周，甚至几个月之内就能够搞定的。以前在高中和本科的时候都能够不停地做出数学难题，于是就能够给人带来快感，让人越来越有动力，越来越想研究数学。但是在读博士的过程中，这种感觉肯定会烟消云散。取而代之的是长期做不出来问题，读论文带来的痛苦，思考问题带来的绝望。无论一个学生的本科成绩多么的优秀，在有科研经验的老师面前，真的是不算什么。被老板bs很正常，科研成功一次就可以毕业了，甚至就能够功成名就了（参见张益唐）。在这个非常漫长的四年，五年，甚至六七年的岁月里，一个学生要是没有这点心理素质就不要混下去了。正如图片所示：读博士之前一直以为读博士努力下去就会一帆风顺，按时到达。结果实际的情况确是第二种，道路崎岖不平，各种意想不到的艰难困苦，只有克服了这些困难，才能够在PHD这条路上走下去。&/p&&p&(ii) 从开始PHD的那一刻开始，就必须忘记之前自己取得的所有成绩，一切从零开始。以前很轻松的写一下本科毕业论文就可以获得优秀，能够讲讨论班，甚至足够在所谓的SCI杂志上发表，这些只能够说明在本科生当中属于佼佼者。但是开始读博士之后，这些就变得不算什么了。好比你一开始住在五层小楼里面，身边都是平房，自然显得很强。但是后来随着自己的成长，坐标系也就悄悄的发生了变化，身边的人也跟着变化，对手已经不是本科生，而是从本科生中间选出来的优秀者，难度显而易见的增加了许多。&/p&&p&(iii) 对于一个普通的博士生来说，自己想独立搞科研几乎是不可能的，想脱离老板而独立搞科研完全是自寻死路。一开始读博士的时候由于本科的习惯，总自以为自己的想法很牛逼，很可能做出大东西，后来发现这是根本不可能的。作为老板，在科研领域已经打拼了十几年，在经验和能力上面通常都在博士生之上。通常一个博士生自己提出一个东西，要么是别人做过了，要么是根本没有什么意思，没有人在乎。如果让博士生自己选择论文课题，要么选择得太难，根本不可能完成，要么就是别人已经做过了，根本没有继续研究的必要。对普通的博士生来说，奉劝大家，基础不够就老老实实从底层做起，从老板推荐的论文和书籍一点一点的慢慢开始，千万不要想自己去选择一些论文课题来做。往往一个领域有着自己非常难的问题，通常这些问题是不能够直接留给博士生来做的。这个时候不能够从正面去攻取这些题目，需要有一定程度的迂回，而这些迂回往往依赖于导师在本领域摸爬滚打多年的经验。此时导师给学生推荐的书和论文会从侧面帮助学生理解问题，研究问题甚至解决问题提供非常大的帮助。在这个过程中，导师很可能根据学生的科研进度提出阶段性的题目，以降低学生科研的难度。通常来讲，老板提出的问题和想法，博士生有的时候哪怕只是取得了部分的结果和进展，都会远远高过自己独立选择的题目。&/p&&p&(iv) 在博士的生涯中，曾经见过有的老板会帮助学生写论文，甚至送论文给学生，但是并不是所有的老板都会做这些事情。博士生自己做不出来问题，很多老板通常是不会给予非常直接的帮助的，这个时候就需要博士生自己想办法来解决问题，克服障碍。在学校里面，通常的观点是：写不出论文是学生的问题，不是老板的问题。对于一个数学系的博士生来说，即使你的论文想法已经非常成熟，细节全部都能够过去，要把它写成一篇能够发表的论文也是一条非常艰难的路，而且这条路也很不好走。之前本科的时候，一般的关注点都是学生学了多少东西，懂得多少东西。到了博士阶段，已经没有人在乎学过多少东西，在乎的是做出了什么结果，能够发表什么样的文章。要发好的杂志，就需要一个好题目，这个问题通常都是难题。在这些问题前面，每个人都是平等的，都是一个一个独立的灵魂在奋斗。此时此刻就需要博士生自己克服很大的心理障碍，想毕业就要一直坚持做自己的课题，坚持下去才能够知道自己能不能够成功，才能够知道自己究竟能够走多远。在这个过程中，根本不敢去想能够走到哪一步，只能够咬紧牙关坚持走下去。科研这种只有一个人在走的路十分考验一个人的忍耐力和承受力。跟别的事情不一样，比方考试什么的，都是大家一起混，怎么混一般都不至于混到最后。但是科研这种事情，就和一个人到海里面游泳一样。游着游着，猛一回头，尼玛就只有自己一个人在游泳，而且已经看不到岸了，只能够一个人努力往前游。做科研难题的时候，只有自己能够帮助自己，只能够一个人竭尽全力地往前走。&/p&&p&(v) 对于数学系的人来说，由于不需要像别的专业一样做实验，所以时间非常自由，除了干一些教学工作，剩下的时间都是自由安排。这种自由职业者如果时间安排不当，很容易产生拖延症，陷入PHD的时间陷阱而不能自拔。对于搞纯数学的PHD来说，一个PHD的课题绝对不是在几个月之内就可以完成的，一定会有一段时间没有任何的进展和突破。这个时候由于要克服自己的心理压力，很容易在自己的科研课题上面产生拖延症，好比牛顿第一定理，在没有外力的催动下，自己的课题一定会停滞不前，能毕业日期也就离自己越来越遥远。如果出现这种问题，需要及时克服自己的心理障碍，战胜拖延，免得造成更大的困扰。&/p&&p&最后一条，如果一个人在本科或者硕士毕业的时候在工作和读博之间摇摆不定的话，这个时候选择工作基本上是正确的。如果本科或者硕士论文都写得要死要活的学生，是非常不适合继续读下去的。哪怕博士生涯刚刚开始，这个时候立刻逃离也是非常明智的决定。做科研的时候需要把它当成一份事业，而不是当成一份工作。世界上有很多的工作可以做，为什么选择一条那么艰难的路来走呢。其实，要做一番事业，无论是任何领域的，都需要一个人不计回报的付出，不能够像干工作的时候那样计较加班费和休息时间。只要一个人在做的是自己的事业而不只是工作，无论这份事业本身能够带来多少的收入，无论在别人的眼光里面这怎么也算不上一个成功者的案例，在坚持做这个事业的过程中，就已经成功了。看着张益唐的视频，想想也觉得“庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关”是一件非常幸福的事情。&/p&
本来是打算交了博士论文之后才开始写这篇文章，但是之前读过网上别的博士写的一些书籍和资料，自己也一直不停的在写blog，所以感觉这篇文章已经基本成熟，再加上最近科研毫无进展，故写一篇文章来纪念一下自己的博士生涯。1. 专业选择。可能很多选择本科读…
虚数不过是晚觉醒了一点，结果连生存权都被质疑了！“为什么要对-1开方？”，听听，听听，这是什么话？难道连欧拉赋予的神圣不可侵犯之开方权都要剥夺了吗！&br&&br&那我们岂不是可以问了，“为什么要对2开方”，“为什么要对3开方”？这是改头换面的毕达哥拉斯复辟，毫不掩饰的实数中心主义 (Rational-number-centrism)。注定要被数学的车轮无情碾过，化作复数代数闭域中 i 粒无足轻重的尘埃。&br&&br&无理数在历史上不也曾遭到过毕达哥拉斯分子(Pythagoreanist)的恐怖袭击吗？现在这些缺乏记忆力的实数癌们，却自以为和有理数同带一顶帽子就高出一等，仿若跨过了所谓“可比”与“不可比”的鸿沟，可以和整数分数一起自由的作分子分母了，却看不到有理数内部根深蒂固的不平等，有的数只有一个平方根，有的数做不了对数的底，还有的数连分母都当不了。&br&&br&全复数域的虚数，联合起来！！！&br&&br&PS: 有实部的复数也是在为实数癌作伥，要好好教育，改造思想。
虚数不过是晚觉醒了一点，结果连生存权都被质疑了！“为什么要对-1开方？”，听听，听听，这是什么话？难道连欧拉赋予的神圣不可侵犯之开方权都要剥夺了吗！ 那我们岂不是可以问了，“为什么要对2开方”，“为什么要对3开方”？这是改头换面的毕达哥拉斯复…
&img src=&/v2-ac4a0b5feb310_b.jpg& data-rawwidth=&624& data-rawheight=&351& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&624& data-original=&/v2-ac4a0b5feb310_r.jpg&&&h2&一、引言：&/h2&&p&要学好Banach空间中集合的“几何性质”，两个性质是必须领会的：一个是“紧性”，另一个是“凸性”。还有一个重要的性质：连续性，但是这是Banach空间间算子的性质而不是集合的性质。“紧性”、“凸性”和“连续性”。这三个基本性质要非常熟悉。下面是一个小小的总脉络，看完这篇后请看着这个图去回忆你学会了多少。&br&&/p&&br&&p&&img src=&/v2-52cd3a1be8cacee_b.png& data-rawwidth=&1538& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1538& data-original=&/v2-52cd3a1be8cacee_r.png&&紧性本质上是一个衡量集合是否足够“紧”的性质，在证明存在性的时候具有非常巨大的作用。它最大的作用是在无限维空间中“模仿”有限维的欧式空间。而且它能用来证明很多其他东西，比如代数基本定理。&b&下一节，我会用一个不动点定理再操一次代数基本定理。代数基本定理的证明方法多到数不清&/b&。&/p&&br&&p&一般的“函数”或者说有限维空间上的函数和无限维空间上的函数的差别是非常巨大的。这一点，我在回答：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&能不能把泛函简单地理解为函数？ - 知乎&/a& 中有所说明：&/p&&p&特别的，“连续函数在有界闭集上有界而且可以取到最大和最小值”。这个数学分析中的结论在一般的Banach空间上是不成立的。 &/p&&p&&b&例子：&/b&&/p&&img src=&/v2-759d217d240d02ddc949_b.png& data-rawwidth=&1338& data-rawheight=&226& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1338& data-original=&/v2-759d217d240d02ddc949_r.png&&&h2&二、定义和基本结论&/h2&&br&如果&img src=&/equation?tex=%5C%7BU_%5Calpha%5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin+J%7D& alt=&\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}& eeimg=&1&&是一族开集，它被成为集合&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&的开覆盖，如果满足&img src=&/equation?tex=S%5Csubset+%5Ccup+U_%5Calpha& alt=&S\subset \cup U_\alpha& eeimg=&1&&。&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&是空间&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&中的一个子集，如果&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&的&b&任意&/b&开覆盖&img src=&/equation?tex=%5C%7BU_%5Calpha%5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin+J%7D& alt=&\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}& eeimg=&1&&一定存在有限子覆盖（也就是&img src=&/equation?tex=%5C%7BU_n%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5EN& alt=&\{U_n\}_{n=1}^N& eeimg=&1&&满足&img src=&/equation?tex=U_n%5Cin+%5C%7BU_%5Calpha%5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin+J%7D& alt=&U_n\in \{U_\alpha\}_{\alpha\in J}& eeimg=&1&&而且&img src=&/equation?tex=S%5Csubset+%5Ccup_%7BN%5Cgeq+n%5Cgeq+1%7D+U_n& alt=&S\subset \cup_{N\geq n\geq 1} U_n& eeimg=&1&&),那么这个集合被称为紧集。&br&恩，这个概念第一眼看起来像天书，不过请多多理解。&br&还有一个看起来有点眼熟的概念：如果&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&中的任意无限数列&img src=&/equation?tex=%5C%7Bx_%5Calpha%5C%7D& alt=&\{x_\alpha\}& eeimg=&1&&必然存在一个收敛子列&img src=&/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D& alt=&\{x_n\}& eeimg=&1&&而且它的极限在&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&中，那么这个集合&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&被成为列紧集。在度量空间中紧=列紧（这个证明在一般的“点集拓扑”教材中都是存在的）&br&&img src=&/v2-494f4b76a_b.jpg& data-rawwidth=&150& data-rawheight=&150& data-thumbnail=&/v2-494f4b76a_b.jpg& class=&content_image& width=&150&&&br&&br&&br&&b&欧式空间中紧集：&/b&&br&&br&数学分析中的&b&&开覆盖定理&&/b&怎么说来着？&br&&img src=&/v2-b02c20ddc8fa9d22bdba3_b.png& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&190& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-b02c20ddc8fa9d22bdba3_r.png&&所以开覆盖定理给出了一个“紧性”的等价刻画，但是，这个刻画只在有限维空间中成立。&br&&b&反例：&/b&设&img src=&/equation?tex=e_i%3D%280%2C0%2C%5Ccdots%2C+1%2C%5Ccdots%2C%5Ccdots%29& alt=&e_i=(0,0,\cdots, 1,\cdots,\cdots)& eeimg=&1&&一个无穷列满足第&img src=&/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个为1，其余为0.设&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&是&img src=&/equation?tex=%5Cell%5E2& alt=&\ell^2& eeimg=&1&&中的所有&img src=&/equation?tex=e_i& alt=&e_i& eeimg=&1&&构成的的集合。不难发现这是一个无穷个元素构成的集合，这个集合也是闭集。但是，对于任意&img src=&/equation?tex=i%5Cneq+j& alt=&i\neq j& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=%5C%7Ce_i-e_j%5C%7C%3D1& alt=&\|e_i-e_j\|=1& eeimg=&1&&成立。也就是说，这个集合不可能有收敛子列，那么这个集合就不是紧的了。&br&但是，在一般的空间中紧性可以推出“有界”和“闭”。 不妨让我们定义有一个更弱的概念：相对（列）紧。一个集合被成为相对紧如果如果&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&中的任意无限数列&img src=&/equation?tex=%5C%7Bx_%5Calpha%5C%7D& alt=&\{x_\alpha\}& eeimg=&1&&必然存在一个收敛子列&img src=&/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D& alt=&\{x_n\}& eeimg=&1&&。 &br&区别在哪里？&br&&img src=&/v2-41bc2d269f4ba98bbaa7_b.jpg& data-rawwidth=&150& data-rawheight=&150& data-thumbnail=&/v2-41bc2d269f4ba98bbaa7_b.jpg& class=&content_image& width=&150&&相对紧中不要求极限在&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&中，也就是极限点也许在&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&外。 举一个例子，&img src=&/equation?tex=S%3D%280%2C1%29& alt=&S=(0,1)& eeimg=&1&&&br&，这个集合在欧式空间中不是紧的，但是它是相对紧的。&br&&br&我们可以证明“紧”可以推出“相对列紧”，那么反过来呢？事实上，&br&&b&紧=相对紧+闭&/b&&br&&img src=&/v2-aadeb7b15f6ae5ed29c073_b.png& data-rawwidth=&1312& data-rawheight=&482& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1312& data-original=&/v2-aadeb7b15f6ae5ed29c073_r.png&&&br&&b&相对紧可以推出有界&/b&&br&&br&&img src=&/v2-a4899deeb85db5cd1e110c_b.png& data-rawwidth=&1330& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1330& data-original=&/v2-a4899deeb85db5cd1e110c_r.png&&&br&&br&现在，我们问一个“开覆盖”定理的“逆问题”： &br&&b&如果一个赋范空间中的有界闭集都是“紧集”，那么这个空间一定是有限维的吗？&/b&&br&答案是“yes”，&b&而且事实上只要这个空间中单位球壳是紧的，那么这个空间一定是有限维的。&/b&&br&&br&&img src=&/v2-ff8de54d688ba78f0f4265_b.png& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&874& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&/v2-ff8de54d688ba78f0f4265_r.png&&&br&&img src=&/v2-3cbd8ace334f_b.png& data-rawwidth=&1244& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1244& data-original=&/v2-3cbd8ace334f_r.png&&&br&&br&&h2&三、紧性的用处&/h2&&br&那么紧性有什么用呢？简单地说，紧性可以让我们“像处理有限维”那样处理一般的无限维问题。比如，我们开头说过，“一般空间上连续泛函不一定能在一个有界闭集上取到最小值”，但是它在一个紧集上可以取到最大和最小值。这个定理的本性理解归功于威尔斯特拉斯，所以这个定理也叫“威尔斯特拉斯定理”。&br&&img src=&/v2-902c034fb2fb7f86734f1_b.png& data-rawwidth=&1272& data-rawheight=&1436& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&/v2-902c034fb2fb7f86734f1_r.png&&&b&想一想，一般的拓扑空间和度量空间中这个定理怎么证明。&/b&&br&&br&&h2&代数基本定理的“简单”证明&/h2&&br&好了，我们来证一次代数学基本定理（任意复多项式必然有解），这个证明不算短，但是非常“简单”，它利用了非常少的“复分析”知识。&br&&br&我归纳一下思路，首先我们证明多项式&img src=&/equation?tex=p%28z%29& alt=&p(z)& eeimg=&1&&的绝对值一定可以在某个有界集合上取到全局的最小值。也就是说，&br&&img src=&/equation?tex=%7Cp%28z_0%29%7C%3D%5Cinf_%7Bz%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%7D%7Cp%28z%29%7C& alt=&|p(z_0)|=\inf_{z\in \mathbb{C}}|p(z)|& eeimg=&1&&，这一点不难理解，首先当&img src=&/equation?tex=%7Cz%7C%5Cto+%5Cinfty& alt=&|z|\to \infty& eeimg=&1&&的时候，&img src=&/equation?tex=%7Cp%28z%29%7C%5Cto%5Cinfty& alt=&|p(z)|\to\infty& eeimg=&1&&。所以我们要找最小值必须限定在一个有界集上，利用（相对）紧性和威尔斯特拉斯定理，这个最小值点必然可以取到。第二步，如果&img src=&/equation?tex=p%28z_0%29%5Cneq+0& alt=&p(z_0)\neq 0& eeimg=&1&&，那么我走可以找到一个&img src=&/equation?tex=z_1& alt=&z_1& eeimg=&1&&使得&img src=&/equation?tex=%7Cp%28z_1%29%7C%3C%7Cp%28z_0%29%7C& alt=&|p(z_1)|&|p(z_0)|& eeimg=&1&&。具体来说把，根据泰勒展开，我们不难发现可以找到&img src=&/equation?tex=k%5Cgeq+1& alt=&k\geq 1& eeimg=&1&&和非0的系数使得&br&&img src=&/equation?tex=p%28z%29%3Dp%28z_0%29%2Bc_k%28z-z_0%29%5Ek%2Bc_%7Bk%2B1%7D%28z-z_0%29%5E%7Bk%2B1%7D%2B%5Ccdots%2Bc_n%28z-z_0%29%5En& alt=&p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+\cdots+c_n(z-z_0)^n& eeimg=&1&&&br&如果&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&足够小，那么&br&&img src=&/equation?tex=%7Cc_%7Bk%2B1%7D%7C%5Cepsilon%2B%7Cc_%7Bk%2B2%7D%7C%5Cepsilon%5E2%2B%5Ccdots+%2B%7Cc_%7Bn%7D%7C%5Cepsilon%5E%7Bn-k%7D%3C%7Cc_k%7C& alt=&|c_{k+1}|\epsilon+|c_{k+2}|\epsilon^2+\cdots +|c_{n}|\epsilon^{n-k}&|c_k|& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%7Cc_k%7C%5Cepsilon%5Ek%3C%7Cp%28z_0%29%7C& alt=&|c_k|\epsilon^k&|p(z_0)|& eeimg=&1&&&br&成立，而且不难从几何上知道，我们不难找到&img src=&/equation?tex=z_1& alt=&z_1& eeimg=&1&&使得&img src=&/equation?tex=%7Cz_1-z_0%7C%3D%5Cepsilon& alt=&|z_1-z_0|=\epsilon& eeimg=&1&&而且&br&&img src=&/equation?tex=%7Cp%28z_0%29%2Bc_k%28z_1-z_0%29%5Ek%7C%3D%7Cp%28z_0%29%7C-%7Cc_k%7C%5Cepsilon%5Ek& alt=&|p(z_0)+c_k(z_1-z_0)^k|=|p(z_0)|-|c_k|\epsilon^k& eeimg=&1&&成立。&br&&img src=&/v2-bbf9b2b59de7d102b4230_b.png& data-rawwidth=&1228& data-rawheight=&636& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1228& data-original=&/v2-bbf9b2b59de7d102b4230_r.png&&&br&&br&于是，我们发现&br&&img src=&/equation?tex=%7Cp%28z_1%29%7C%5Cleq+%7Cp%28z_0%29%2Bc_k%28z-z_0%29%5Ek%7C%2B%7Cc_%7Bk%2B1%7D%28z-z_0%29%5E%7Bk%2B1%7D%2B%5Ccdots%2Bc_n%28z-z_0%29%5En%7C%3C%7Cp%28z_0%29%7C& alt=&|p(z_1)|\leq |p(z_0)+c_k(z-z_0)^k|+|c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+\cdots+c_n(z-z_0)^n|&|p(z_0)|& eeimg=&1&&&br&下面附上完整证明：&br&&br&&br&&img src=&/v2-54d964ab5bf2f7ed602a_b.png& data-rawwidth=&1266& data-rawheight=&968& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1266& data-original=&/v2-54d964ab5bf2f7ed602a_r.png&&&img src=&/v2-5eadda9f54eb7dfede8f6a3097d7bfe8_b.png& data-rawwidth=&1258& data-rawheight=&736& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1258& data-original=&/v2-5eadda9f54eb7dfede8f6a3097d7bfe8_r.png&&&img src=&/v2-5e1492256bcd3dfcbdb9ca_b.png& data-rawwidth=&1256& data-rawheight=&314& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1256& data-original=&/v2-5e1492256bcd3dfcbdb9ca_r.png&&&h2&下一集：&a href=&/p/?group_id=067200& class=&internal&&（I）Banach空间和不动点定理 4: Schauder 不动点及其应用&/a&&/h2&
一、引言：要学好Banach空间中集合的“几何性质”，两个性质是必须领会的：一个是“紧性”，另一个是“凸性”。还有一个重要的性质：连续性，但是这是Banach空间间算子的性质而不是集合的性质。“紧性”、“凸性”和“连续性”。这三个基本性质要非常熟悉。…
多图慎入。费马大定理在数学史上有名的主要原因有三个：&br&1. 问题基本，长时间（350年）悬而未决，N多数学大师竟折腰。&br&2. 研究问题过程中产生了新方法新思想，比如理想数。&br&3. 涉及谷山—志村猜想，是现代数学大热门朗兰兹纲领的重要组成部分。&br&&br&中秋节快到了，明月高悬，写一篇高级科普文（大三难度）讲解费马大定理的现代证明以寄之。&br&&img src=&/65e84daf6dc224fba4c166_b.png& data-rawwidth=&1039& data-rawheight=&1604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1039& data-original=&/65e84daf6dc224fba4c166_r.png&&以上科普内容是大二水平，能看懂上图中的数学科普内容，说明数学基础不错。下面进入大三水平，具体讲解Wiles证明费马大定理的数学框架，前提是要求读者懂抽象代数和复变函数。&br&&br&&br&总纲：谷山-志村猜想断言一个等式几乎处处成立a_p(E)=a_p(f)。这里a_p(E)与三次代数曲线～即椭圆曲线E mod p解的个数有关，a_p(f)来自某类称作模形式的全纯函数傅立叶系数。等式左边等于作用在伽罗瓦群上某同态某特征标（本质是矩阵的迹），等式右边等于另一个作用在伽罗瓦群上的同态的某特征标。最后证明这两个作用在伽罗瓦群上的同态是同构关系，从而对应特征标相等，等式成立。&br&&br&模函数可以看成两个权相同的模形式之比。谷山—志村猜想的一种等价表述为：有理域上任意椭圆曲线可以被模函数单值化（参数化）。&br&&img src=&/a7aaf36b48590b9bed9e93_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/a7aaf36b48590b9bed9e93_r.png&&&img src=&/971f2ccc986f26fbf645d55_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/971f2ccc986f26fbf645d55_r.png&&曲线。&br&回到模形式。满足a1(f)=1的尖点形式称为特征形式。&br&&img src=&/69856a2afef27a14fbf49f0_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/69856a2afef27a14fbf49f0_r.png&&&br&Hecke算子定义如下：&br&&img src=&/ee282daec48a3e504a3d03caf40ab48f_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/ee282daec48a3e504a3d03caf40ab48f_r.png&&&img src=&/21fc5eafda782fe17caeb049f5274580_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/21fc5eafda782fe17caeb049f5274580_r.png&&&img src=&/e80c822eec56b666fe6b4_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/e80c822eec56b666fe6b4_r.png&&&img src=&/17a75c749ff_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/17a75c749ff_r.png&&&img src=&/a4bb9dbdad3c_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/a4bb9dbdad3c_r.png&&&br&实际上Hecke环T还需要满足其它条件，这里出于科普考虑简化了表述（严密性自然削弱）。&br&&img src=&/6bc9c8f37799eff6ab97eace1d4d957d_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/6bc9c8f37799eff6ab97eace1d4d957d_r.png&&&br&证明费马大定理过程中，伽罗瓦表示采取两条路线，一条来自椭圆曲线加法群（3-分点）诱导出的表示，另一条来自模形式诱导出的表示。&br&&img src=&/bceed2e7b16cab70dffa919_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/bceed2e7b16cab70dffa919_r.png&&&br&&img src=&/4304901ace6dd14b685f_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/4304901ace6dd14b685f_r.png&&&img src=&/c04cabf33c4d5bc1c33def2c_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/c04cabf33c4d5bc1c33def2c_r.png&&&img src=&/31b57b57e32bff97f5aa3b16cea03373_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/31b57b57e32bff97f5aa3b16cea03373_r.png&&&img src=&/78e7d263712aecaf4d0f0a7c3ace4203_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/78e7d263712aecaf4d0f0a7c3ace4203_r.png&&&img src=&/27f3cb6a1_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/27f3cb6a1_r.png&&&br&写到这里，科普基本可以结束了。只要证明这两个表示同构（从而对应特征标相等）即可证明费马大定理。但直接配对儿很难，实际证明是用两类环R和T来分别参数化两类伽罗瓦表示的。然后证明两个环是同构关系R=T.&br&&img src=&/0f1f9b37dd63bff5b220796_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/0f1f9b37dd63bff5b220796_r.png&&&br&如此我们需要的那个Hecke环到C的关键同态是存在的。&br&&br&Wiles证明环同构（主定理）R=T等价于证明一个不等式（以下内容非大三，可以pass）&br&&img src=&/3fdeaa307d9a73f69bea8f1a4a3ad914_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/3fdeaa307d9a73f69bea8f1a4a3ad914_r.png&&&br&这个不等式的具体证明相当高深，Wiles论文难度最大的地方就是证明它（涉及诸如Selmer群上界估计等等），过程也一波三折。感兴趣的同学可以参考他的两篇论文。如果你能看懂这个不等式的数学证明，则可以认为懂费马大定理的证明了（反正我是看不懂这个不等式的证明）：&br&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/v2-ff6f75dd5c8dc60d000e_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-ff6f75dd5c8dc60d000e_r.png&&&br&&br&有趣的是在证明这个数值不等式过程中，L-函数又出现了，这个神秘的数学工具是zeta函数的推广，经常出乎意料出现在数论问题中，显得神秘莫测：&br&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&/v2-762bc2ae4a52dbf17b260ae46ee13062_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-762bc2ae4a52dbf17b260ae46ee13062_r.png&&&br&当然若抛开那个数值不等式，单就本科普文来说，知识点涉及学科虽多，但都是很基础的入门级别，已经回避了万有形变等更复杂的概念。文章其实就讲一件事：某两个群同态之间是同构，从而同态像对应矩阵的迹相等。&br&&br&写到这里可以收笔了，祝大家中秋快乐！送上一副玄幻仙侠漫画：&br&&img src=&/c8cc53a1ce40d5c30284_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/c8cc53a1ce40d5c30284_r.png&&～～～中秋后补充（Wiles进攻TS路线图：学过抽代的大四版科普）～～～&br&&img src=&/v2-ee23a5a5a8ccfd56fef8c2_b.png& data-rawwidth=&924& data-rawheight=&676& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&924& data-original=&/v2-ee23a5a5a8ccfd56fef8c2_r.png&&&img src=&/v2-b93c3ea9729_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-b93c3ea9729_r.png&&&img src=&/v2-fb5bc67ab20d23bb854fb6ba_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-fb5bc67ab20d23bb854fb6ba_r.png&&&img src=&/v2-fb4d4e7bf81c5e930c301b_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-fb4d4e7bf81c5e930c301b_r.png&&&img src=&/v2-ae6a18dffe6b_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=}