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立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题1.概念： 将平面图形沿某直线翻折成立体图形， 再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何 量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。 （最值问题）1、把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A、B、C、D 四点
为顶点的三棱锥体 积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为_______.（两点间距离，全品 83 页）2、把长宽分别为 2 3 、2 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 60o 的二面角，求顶点 B 和 D 的距离。3、 （全品 70 页）给出一边长为 2 的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三 棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三 棱锥的体积。4、 （2005 江西文）矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B― AC―D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 （ ） A．125 12?B．125 9?C．125 6?D．125 3?解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化， 折叠后位置关系怎样变化， 通过空间想象 折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。立体几何中的折叠问题 第 1 页 共 4 页
高考题中的折叠问题 1、在正方形 SG1G2G3 中 E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现在沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1、 2、 3 三点重合,重合后的点记为 G.那么,在四面体 S―EFG G G 中必有 (A)SG⊥△EFG 所在平面 (C)GF⊥△SEF 所在平面 (B)SD⊥△EFG 所在平面 (D)GD⊥△SEF 所在平面2、如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点， G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点.将△ABC 沿 DE， EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．0°3、 （2005 浙江理科）12．设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的 中点，DE⊥AB 于 E(如下图)．现将△ADE 沿 DE 折起，使二 面角 A－DE－B 为 45° ，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为 点 B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_____．DCMNAEB4、 （2006 山东）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB=60° 为 AB 的中点，将△ADE ,E 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)4 3? 27(B)6? 2(C)6? 8(D)6? 245、 （2009 浙江） 如图， 在长方形 A B C D 中， A B ? 2 ，B C ? 1 ，E 为 D C 的中点，F 为线段 E C （端点除外）上一动点．现将 ? A F D 沿 A F 折起，使平面 A B D ? 平面 A B C ．在平面 A B D 内 过点 D 作 D K ? A B ， K 为垂足．设 A K ? t ，则 t 的取值范围是 ．6． （2010 上海）在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O,剪去 ? AO B ,将剩余部分 沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、 、C、D、O 为顶点的四面体的体积为 。 （B）立体几何中的折叠问题 第 2 页 共 4 页
7、 （2010 浙江）如图，在矩形 A B C D 中，点 E , F 分别在线段 A B , A D 上，AE ? EB ? AF ?A' E ? 平面 F2 3FD ? 4 . 沿 直 线 EF将 V AEF翻 折 成 V A ' E F， 使 平 面B. E F(I)求二面角 A '? F D ? C 的余弦值； (II)点 M , N 分别在线段 F D , B C 上，若沿直线 M N 将四边 形 M N C D 向上翻折，使 C 与 A ' 重合，求线段 F M 的长.8、(2009 浙江备) 如图, 在平面内直线 EF 与线段 AB 相交于 C 点, ∠BCF＝ 30 , 且 AC = CB = 4, 将此平面沿直线 EF 折成 60 的二面角 ? －EF－ ? , BP⊥平面 ? , 点 P 为垂足.??(Ⅰ) 求△ACP 的面积;(Ⅱ) 求异面直线 AB 与 EF 所成角的正切值. B E A C F E A C P B F??立体几何中的折叠问题第 3 页 共 4 页9、 （2007 广东）如图所示，等腰 △ A B C 的底边 A B ? 6 6 ，高 C D ? 3 ，点 E 是线段 B D 上异 于点 B， D 的动点，点 F 在 B C 边上，且 E F ⊥ A B ，现沿 E F 将 △ B E F 折起到 △ P E F 的位 置，使 P E ⊥ A E ，记 B E ? x ， V ( x ) 表示四棱锥 P ? A C F E 的体积． （1）求 V ( x ) 的表达式； （2）当 x 为何值时， V ( x ) 取得最大值？ A C D F 图6 E B P（3）当 V ( x ) 取得最大值时，求异面直线 A C 与 P F 所成角的余弦值．10、 （2006 辽宁）已知正方形 A B C D ， E， F 分别是边 A B， C D 的中点，将 △ A D E 沿 D E 折 起，如图所示，记二面角 A ? D E ? C 的大小为 ? （ 0 ? ? ? π ） ． （1）证明 B F ∥ 平面 A D E ； （2）若 △ ACD 为正三角形，试判断点 A 在平面 B C D E 内的射影 G 是否在直线 E F 上，证明你 的结论，并求角 ? 的余弦值． ABCEFB D E AC F D立体几何中的折叠问题第 4 页 共 4 页服务热线：
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立体几何的斜二侧画法怎么画？？（含有Z轴的，附带图）
[高二数学]
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题型:简答题
立体几何的斜二侧画法怎么画？（含有Z轴的，要附带图）
问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下
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2017年全国高考数学考前复习大串讲专题4.3高考中的立体几何问题(含答案).doc
题型一 求空间几何体的表面积与体积 例 1 (1)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ______. (2)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F 分别在 C1D1与 C1B1上，且 C1E＝ 4， C1F＝ 3，连结 EF， FB， DE， BD 则几何体 EFC1－ DBC 的体积为 ________. 【答案】 (1)12 (2)66 故所求几何体 EFC1－ DBC 的体积为 66. 【思维升华】 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 . (2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差 .求解时注意不要多算也不要少算 . 【跟踪训练 1】 已知球 O 的直径 PQ＝ 4， A， B， C 是球 O 球面上的三点，△ ABC 是正三角形，且∠APQ＝∠ BPQ＝∠ CPQ＝ 30°，则三棱锥 P— ABC 的体积为 ________. 【答案】 9 34 题型二 空间点、线、面的位置关系 例 2 (2014·课标全国Ⅱ )如图，四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD， E 为 PD 的中点 . (1)证明： PB∥平面 AEC； (2)设二面角 D－ AE－ C 为 60°， AP＝ 1， AD＝ 3，求三棱锥 E－ ACD 的体积 . 【解析】 (1)证明 连结 BD 交 AC 于点 O，连结 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 . 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥ PB. 因为 EO?平面 AEC， PB?平面 AEC， 所以 PB∥平面 AEC. (2)解 因为 PA⊥平面 ABCD， ABCD 为矩形， 所以 AB， AD， AP 两两垂直 . 如图， 三棱锥 E－ ACD 的体积 V＝ 13× 12× 3× 32× 12＝ 38 . 【思维升华】 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用 . 【跟踪训练 2】 (2015·湖南 )如图，已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形， AA1＝ 6，且 AA1⊥底面 ABCD，点 P， Q 分别在棱 DD1， BC 上 . (1)若 P 是 DD1的中点，证明： AB1⊥ PQ； (2)若 PQ∥平面 ABB1A1，二面角 P-QD-A 的余弦值为 37，求四面体 ADPQ 的体积 . 【解析】 【方法一】 由题设知， AA1， AB， AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， AB， AD， AA1 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)， B1(3,0,6)， D(0,6,0)，D1(0,3,6)， Q(6， m,0)，其中 m＝ BQ,0≤ m≤ 6. (1)证明 若 P 是 DD1的中点，则 P??? ???0， 92， 3 ， ＝ ??? ???6， m－ 92，－ 3 ， 又＝ (3,0,6)，于是·＝ 18－ 18＝ 0， 所以⊥，即 AB1⊥ PQ. 【方法二】 (1)证明 如图 a，取 A1A 的中点 R，连结 PR， BR. 图 a 因为 A1A， D1D 是梯形 A1ADD1的两腰， P 是 D1D 的中点，所以 PR∥ AD，于是由 AD∥ BC 知， PR∥ BC，所以 P， R， B， C 四点共面 . 由题设知， BC⊥ AB， BC⊥ A1A，因为 AB∩ A1A＝ A， 所以 BC⊥平面 ABB1A1， 因为 A1A⊥平面 ABCD，所以 PM⊥平面 ABCD，过点 M 作 MN⊥ QD 于点 N，连结 PN，则 PN⊥ QD，∠ PNM 为二面角 P-QD-A 的平面角，所以 cos∠ PNM＝ 37，即 MNPN＝ 37，从而 PMMN＝ 403 .③ 连结 MQ，由 PQ∥平面 ABB1A1及② PM∥平面 ABB1A1， PM∩ PQ＝ P 知，平面 PQM∥平面 ABB1A1， 所以 MQ∥ AB. 又四边形 ABCD 是正方形，所以四边形 ABQM 为矩形，故 MQ＝ AB＝ 6. 设 MD＝ t，则 MN＝ MQ· MDMQ2＋ MD2＝ 6t36＋ t2 .④ 过点 D1作 D1E∥ A1A 交 AD 于点 E，则四边形 AA1D1E 为矩形，所以 D1E＝ A1A＝ 6， AE＝ A1D1＝ 3，因此 ED＝ AD－ AE＝ 3. 于是 PMMD＝ D1EED＝ 63＝ 2，所以 PM＝ 2MD＝ 2t. 再由③，④得 36＋ t23 ＝403 ，解得 t＝ 2，因此 PM＝ 4. 故四面体 ADPQ 的体积 V＝ 13S△ ADQ· PM＝ 13× 12× 6× 6× 4＝ 24. 题型三 平面图形的翻折问题 例 3 (2015·陕西 )如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC，∠ BAD＝ π 2 ， AB＝ BC＝ 1， AD＝ 2， E 是 AD的中点， O 是 AC 与 BE 的交点 .将△ ABE 沿 BE 折起到△ A1BE 的位置，如图 2. (1)证明： CD⊥平面 A1OC； (2)若平面 A1BE⊥平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值 . (2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 又由 (1)知， BE⊥ OA1， BE⊥ OC， 所以∠ A1OC 为二面角 A1BEC 的平面角， 所以∠ A1OC＝ π 2 . 图 2 即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 63 . 【思维升华】 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 .一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 . 【跟踪训练 3】 (2014·广东 )如图 (1)，四边形 ABCD 为矩形， PD⊥平面 ABCD， AB＝ 1， BC＝ PC＝ 2，作如图 (2)折叠，折痕 EF∥ DC.其中点 E， F 分别在线段 PD， PC 上，沿 EF 折叠后，点 P 叠在线段 AD上的点记为 M，并且 MF⊥ CF. (1)证明： CF⊥平面 MDF； (2)求三棱锥 M－ CDE 的体积 . 题型四 线面位置关系中的存在性问题 例 4 (2014·四川 )在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形 . (1)若 AC⊥ BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1； (2)设 D， E 分别是线段 BC， CC1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请证明你的结论 . 由已知，点 O 为 AC1的中点 . 连结 MD， OE，则 MD， OE 分别为△ ABC，△ ACC1的中位线， 所以 MD 綊 12AC， OE 綊 12AC， 因此 MD 綊 OE. 连结 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO. 因为直线 DE?平面 A1MC， MO?平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点 )，使直线 DE∥平面 A1MC. 【思维升华】 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设 . 【跟踪训练 4】 如图，在三棱柱 ABC－ A1B1C1中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形 .平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB＝ 3， BC＝ 5. (1)求证： AA1⊥平面 ABC； (2)求二面角 A1－ BC1－ B1的余弦值； (3)证明：在线段 BC1上存在点 D，使得 AD⊥ A1B，并求 BDBC1的值 . 【解析】 (1)证明 在正方形 AA1C1C 中， A1A⊥ AC. 又平面 ABC⊥平面 AA1C1C，且平面 ABC∩平面 AA1C1C＝ AC， AA1?平面 AA1C1C，∴ AA1⊥平面 ABC. 题型五 空间向量与立体几何 例 5 (2015·天津 )如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD， AB⊥ AC， AB＝ 1， AC＝ AA1＝ 2， AD＝ CD＝ 5，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点 . (1)求证： MN∥平面 ABCD； (2)求二面角 D1ACB1的正弦值； (3)设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 13，求线段 A1E 的长 . 【解析】 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(2， 0,0)， D(1，－2， 0)， A1(0,0,2)， B1(0,1,2)， C1(2,0,2)， D1(1，－ 2,2)，又因为 M， N 分别为 B1C 和 D1D 的中点， 得 M??? ???1， 12， 1 ， N(1，－ 2,1). (3)解 依题意，可设＝ λ ，其中 λ ∈ 0,1]， 则 E(0， λ ， 2)，从而＝ (－ 1， λ ＋ 2,1)，又 n＝ (0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量， 由已知，得 |cos〈， n〉 |＝ ＝ 11 2 λ ＋ 2 2＋ 12＝ 13， 整理得 λ 2＋ 4λ － 3＝ 0，又因为 λ ∈ 0,1]，解得 λ ＝ 7－ 2， 所以，线段 A1E 的长为 7－ 2. 【思维升华】 用向量法解决立体几何问题，可使复杂问题简单化，使推理论证变为计算求解，降低思维难度，使立体几何问题“公式”化，训练的关键在于“归类、寻法” . 【跟踪训练 5】 (2014·北京 )如图，正方形 AMDE 的边长为 2， B， C 分别为 AM， MD 的中点，在五棱锥 P－ ABCDE 中， F 为棱 PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD， PC 分别交于点 G， H. (1)求证： AB∥ FG； (2)若 PA⊥底面 ABCDE，且 PA＝ AE，求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小，并求线段 PH 的长 . 【解析】 欢迎 访问 “高 中试卷网 ”——http://sj.fjjy.org
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