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若A为四阶矩阵且r(A)=2则r(A*)=
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r(A*)=0因为r(A)=2所以A的所有三阶代数余子式全部为0而A*是由A的所有三阶代数余子式构成的,所以所有的元素都是0,所以秩为0
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线性代数对于n阶矩阵A B如何证r(AB)＞=r(A)+r(B)-n
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B 的像 S = {Bx | x ： n维列向量} 的维数 = r(B).Ax = 0 的解集 的维数 = n- r(A)所以 {ABx | x ： n维列向量} 的维数 = {As | s 属于 S} 的维数 >= S的维数 - (Ax = 0 的解集 的维数) = r(B) - (n- r(A))= r(A)+r(B)-n即： r(AB)＞=r(A)+r(B)-n
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年高二数学新人教A版选修4-2课件
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& 【新步步高】2017版高考数学（理）大二轮总复习与增分策略配套练习：专题8 系列4选讲 第2讲（江苏专用）
【新步步高】2017版高考数学（理）大二轮总复习与增分策略配套练习：专题8 系列4选讲 第2讲（江苏专用）
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资料概述与简介
第2讲　矩阵与变换
1.(2016·江苏)已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.
解　B＝(B－1)－1＝＝.
2.(2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.
解　由已知，得Aα＝－2α，
所以矩阵A＝.
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，
所以矩阵A的另一个特征值为1.
3.(2015·福建)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)求矩阵C，使得AC＝B.
解　(1)因为|A|＝2×3－1×4＝2，
所以A－1＝＝.
(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故
C＝A－1B＝
本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.
热点一　常见矩阵变换的应用
1.矩阵乘法的定义
一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵的乘法规则为[a11，a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.
说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.
一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.
2.几种常见的平面变换
(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换.
例1　已知曲线C：xy＝1.
(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.
解　(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy＝1上的任一点，
点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为
P′(，)，则
又x0y0＝1，∴(y′0＋x′0)×(y′0－x′0)＝1.
∴y′－x′＝2，即曲线C：xy＝1旋转后所得到的曲线C′的方程为y2－x2＝2.
(2)曲线C′的焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，渐近线方程为y＝±x.
再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标为(－，－)和(，)；渐近线方程为x＝0，y＝0.
思维升华　把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解.
跟踪演练1　已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标.
解　(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′).
由＝＝，得
又点M′(x′，y′)在l′上，
所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1，
依题意得解得
(2)由A＝，得解得y0＝0.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
故点P的坐标为(1,0).
热点二　二阶矩阵的逆矩阵
矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念
对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.
(2)逆矩阵的求法
一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝.
(3)逆矩阵的简单性质
①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.
②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.
(4)逆矩阵与二元一次方程组
对于二元一次方程组 (ad－bc≠0)，若将X＝看成是原先的向量，而将B＝看成是经过系数矩阵A＝(ad－bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX＝B，＝，则X＝A－1B，其中A－1＝.
例2　设矩阵M＝(其中a>0，b>0).
(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值.
解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，
则MM－1＝.
所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
故所求的逆矩阵M－1＝.
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1.
则＋b2y2＝1为曲线C的方程.
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，
故又a>0，b>0，所以
思维升华　对于二阶矩阵，若有AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.
跟踪演练2　若圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a>0，b>0)对应的变换下变成椭圆E：＋＝1，求矩阵A的逆矩阵A－1.
解　设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′(x′，y′)，
因为点P′(x′，y′)在椭圆E：＋＝1上，
所以＋＝1，
又圆的方程为x2＋y2＝1，
又a>0，b>0，所以a＝2，b＝.
所以A－1＝.
热点三　求矩阵的特征值与特征向量
二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量.
(2)特征向量的几何意义
特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ0)，或者方向相反(λ0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵.
解　(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是P′(x′，y′).
由＝＝，得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
依题意得解得或
因为a>0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝＝.
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
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