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如何从数学上证明微信群不是一个群？
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本文作者:魏郎尔
1 n) q7 o2 h% \(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)& r" g% I7 u: f9 Q+ h& && && && && && &&&群里发送违法消息，群主也要连坐？过去几个月里的几条法律新闻引发了许多微信群的焦虑。不说具体判决，这原则本身似乎有问题：群主不一定真的担负了管理职责，似乎也没有担负这一职责的法律义务，倘若真是无条件连坐，那显然不合情也不合理。于是很多群里立刻开发出了如何规避这一责任的脑洞。
' x: j/ [: _) D8 |(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)1 g% u6 Z) o* j* k但其实有一招釜底抽薪的办法：我们可以从数学上证明，这个所谓的微信群，根本就不是一个真正群，自然也谈不上什么群成员和群主了。
( Y# W9 v% m9 Z(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)5 }, r3 x4 H( s4 B什么是群（Group）？虽然群看起来好像只是个人畜无害的汉字，但是——surprise！——它拥有一个严格的数学定义，还有一个很大的来头。
: S. `- W+ z2 k(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)! w1 T; Q6 t' A怎样的来头？它的发明人是埃瓦里斯特·伽罗瓦，对，就是那个伽罗瓦。12岁前在家自学，14岁开始厌倦其他学科、只对数学感兴趣，15岁开始读拉格朗日的论文，17岁发布第一篇论文，同年试图考取巴黎综合理工学院并被拒（传说他在面试时跳过太多的推理步骤而令考官困惑，最后他无法忍受考官的慢节奏，一怒之下抓起擦黑板的抹布掷向考官并直接命中），18岁因发表批评校长的公开信被巴黎高等师范学院开除，19岁因参与政治活动而被多次逮捕，20岁参加决斗（可能是因为恋爱）并被击中腹部丧命。
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如何从数学上证明微信群不是一个群？
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那个伽罗瓦的画像。图片来源：wikipedia
+ {&&U" z&&z2 E9 G(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)2 U0 B7 F9 i9 y# e怎样的定义呢？要严格表述起来会很烦，但基本原理倒是简单：首先你要有一堆东西（集合），然后你把其中的任意两个按照某种方式放在一起（运算），都能得到一个结果。一个集合，加上一个二元的运算，就这些了。
- N9 g&&F# E) Q; F(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)( b0 x9 x- T( n- i举个例子。我们天天都和一种特别常见的群打交道，数学家给它起了个名字叫做“整数加法群”：整数，就是我们有的那堆东西（集合）；加法，就是我们把这些东西放在一起的方式（运算）。试一下，随便找两个整数，都一定可以做加法，都一定有一个结果。
% d) j) p/ K) c- O- ~(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)& F# r$ S4 c0 O2 U# P那么……
3 v. S6 C&&Z$ P(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)3 s% z: o$ }&&s7 y& f如果微信群是真的群（1）微信群的“集合”，看起来就是群成员的集合了；一个个的元素就是一个个的人。它需要一个二元运算，不妨称这个二元运算为“互动”。按照刚才的命名法，这就是一个“微信成员互动群”，任意两个群成员放在一起都必须能够互动（请勿过度联想）。
1 T% B4 E; @( \5 G(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)0 ]! m" Z- d) A到此为此还好，但是：
2 n* ~( V0 @(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)&&Z- N: \( |; Q+ L群的运算有讲究虽说只要有了集合和运算就能建群，但是这个运算也不是随便什么运算都能胜任的。具体地说，这个运算要满足四大“群公理”：封闭性、结合律、单位元和逆元。
; |&&l" N! e* v$ _/ i(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)6 v3 l3 G3 _$ }% e封闭性：不管你拿出群里的哪两个成员，运算过后得到的一定还是群成员，不可能跑出群外面去。比如，随便两个整数相加，获得的必定还是整数。
2 w3 |7 r' w* ]+ Z(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)% {! R/ a) l4 c1 E6 G结合律：如果你要对三个成员进行运算，那么先算哪两个都无所谓，结果一样。比如，（1+2）+3 = 1+（2+3）。
* E8 p% T$ R0 w: y(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)0 X7 k" E: e" o单位元：一定有一个成员，它在和另一个成员运算之后不改变后者。比如整数加法群的0：0+5=5+0=5。
) h3 D2 J) L&&J7 }- U(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网); G( t. H# h: o1 u逆元：任何成员都一定有自己的“逆”——它和它的逆元运算之后能够变回单位元。比如整数加法群里，对于7有-7：7+（-7）=（-7）+7 = 0。
9 v/ I; r4 F(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)5 D( w. K4 S1 \6 l所以：
3 O3 n) u5 L* a# q(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)- {' V0 W7 @3 L. o如果微信群是真的群（2）将四大群公理套用在微信群上，会获得如下结果：
# X, r0 h' r5 C(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)' @/ f' W7 O- I% \封闭性：任意两个群成员进行互动，得到的结果一定还是一个群成员。
4 W$ x& I: q" Z1 P(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网); b$ G- K&&`&&n结合律：三个成员互动时，哪二者先是无关紧要的。（互动是一个二元运算，所以三个不能同时互动。）
$ y6 B2 T8 U- I+ _(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)# J7 O+ m% d% }, B单位元：一定有一个群成员，不妨称之为群主，当群主和任何成员互动时结果依然是那个成员。（可以证明，一个微信群有且仅有一个群主。）
: g&&c& c6 T) @(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)' q. {! O$ v. |: A逆元：对任何一个群成员，都一定有另外一个成员，二者互动的结果是群主。
' _0 W2 T% }' D(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)# S# Q" t" s7 e9 W在这里，不妨设定每一次两个成员“互动”的结局都一定是@到了某一个确定的群成员。如果没有@，或者同样两人@的结果不是每次都一样，那就不是我们关心的这种互动。
) }" ~7 i2 J(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)$ E# a7 J; ?9 F2 o8 ]&&P
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就像这样。
; e+ I9 `, x3 ~7 L3 a(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)( I- F9 D) h0 L: ?. F群内还可以再有结构在一个群里，有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流，但无疑它们喜欢抱团：小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里，而它们的逆元也在小圈子里。简而言之，这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子，叫做群的子群。
1 ~. D$ K5 E2 |3 |4 M(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)/ `5 X8 V) j/ Q+ ]有些子群比别的子群更特别，它们不仅自己是一个群，如果“除”原来的群，得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群，而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。这种除法和数字运算中的除法并不完全一样，可以看作划分小圈子的一种方式。
. d5 j5 N. i, [&&Y(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)* u( y" b/ [8 ]&&{如果微信群是真的群（3）微信群不一定都有子群。但是假如它有，那么就会出现这样的情况：群里有一小圈成员，他们可以和其他人互动，但圈内人的互动总是最终会@到一个圈内人。
2 p0 y, Y' K0 ~* [/ v(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)8 J# x" I/ W7 E既然这个小圈子满足群的定义，那么他们完全可以独立出来另立一个新群。事实上他们也许已经这样做了而你作为圈外人还不知道！哈哈哈。
" v* [. B, C&&s( z. v( h(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)% d3 S% u+ U$ s8 N一个微信群还会加人和踢人。但是因为群的两大要素之一就是给定的集合，所以每一次加人和踢人，这个群实际上都变成了一个新的群。在这个意义上，你不能两次踏入同一个微信群。
, w' S- X/ y7 D# L(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)! Y/ H6 Q2 ]. u为什么弄个群都要有这么多讲究？作为一个数学概念，“群”是被发明出来的，并没有任何外界强制。数学家也不傻，发明并如此定义它的目的，一定是因为它有用。
6 w" x8 a0 o: T5 c(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)4 R) n6 l) z! p确实如此，群是现代数学中最有用的基本概念之一。伽罗瓦当时取下“群”（groupe）这个名词时，主要考虑的是五次以上方程解法的问题，但是今天它的用场远远超越了那一个领域，因为后来我们意识到，群论的最大用途是关于“对称性”的研究；所有具有对称性的东西，群论都能派上用场。
5 S/ I% _% p* d) d: i(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)" p0 |: O: x3 L' C9 F而对称在这里的含义甚至比日常语言更广。对数学家而言，只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，那它就是对称的。几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。但对称性也适用于非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数，无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)，用t+2π代替t，也是不变的。它们也都具有相应的对称性。
: F! V; v. p& L& p" n(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)1 x5 t" c7 L0 J而对称性最为神奇的一点是，它竟然和物理世界中的守恒一一对应。比如物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称；而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒。物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条同样关键的定律：动量守恒。每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性，这是二十世纪最伟大的数学家之一艾米·诺特（Emmy Noether）女士发现的。
# ~! Y( v* Q3 `(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网), @9 Z# f. A+ v
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艾米·诺特是抽象代数领域的大师；她提出的诺特定理是爱因斯坦广义相对论的数学基础之一。图片来源：
4 h/ D) E$ W% {. u(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)% M$ x$ Q6 `# }更进一步说，现代粒子物理学是完全依赖于群论而存在的。种类繁多的新粒子之所以能够被整齐归入标准模型，都是因为对称性研究的功劳；事实上，相当多的新粒子是先被群论预测出来，再被实验发现的。
' H( K6 g. }- f, Z: s(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)+ J; v5 y' X$ c$ D# G化学和生物学也是离不开群论的——分子和晶体里有太多的对称性了，没有群论就没法处理它们的结构和行为。
- V- E4 ?! x8 X' I(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)- C5 t- h1 g* }9 n
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就连魔方也是一个群：魔方中的小方块可以看作群众的元素，转动魔方相当于运算，魔方公式也可以由群论得出。图片来源：Wikipedia
0 ^$ x' z6 k* F8 g(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)2 U; u: ]4 p3 H&&h如果微信群是真的群（总结）可以说，每一个具体的群都一直存在于世界中，只等人们发现它。所以，你所在的这个微信群也许已经是群了！快对照一下要求列表吧：
1 {8 Z3 p0 ~, o8 M(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)3 t+ j# n' E% F' A&&_·它要有一堆给定的成员；
! ]- n' ~3 N9 f(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)) Y5 c- C4 [2 Y! M8 E·它要有一个给定的二元运算（比如最终以@一个确定成员为结局的两人聊天）
4 H5 Y% Z9 _3 K; m. b(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)8 z3 z* G&&O: k·它要有封闭性（不能@到群外的人）
1 y6 q: i&&A2 u(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)/ Q% ~' Q+ {3 f1 Q·它要有结合律（互动顺序无所谓）
! }1 o0 i3 B1 j(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)& @&&]. [, X, \·它要有单位元（群主和任何人互动一定以@此人为结局）
; {9 S* h) _9 p! p9 `(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)0 s& z' x' g. @·它要有逆元（对于任何人，都有一个成员，两人互动一定会吵起来（雾）并@群主进行裁决）
) R8 t' O$ S, I$ Z* K(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)3 R1 d: \7 n" j6 P2 [如果满足这些条件，恭喜你，一个隐藏而不为人知的群被你发现了！如果不满足这些条件，同样恭喜你，我们已经在数学上证明这根本就不是一个群了，还能怎样？
# I3 j+ l$ |. D(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网). L2 }" P1 ^3 `+ b编者注：本文作者、编辑和发布方对由此文产生的任何微信群相关法律责任概不负责。
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TA的每日心情开心 09:37签到天数: 1 天[LV.1]初来乍到
那个年代的欧洲人真的好喜欢决斗，什么事都用决斗来解决，据说那阵子欧洲法院的法警工作之一就是到处把决斗的人拎到法庭上来解决问题。
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麻烦证明一下qq群是否是一个真的群。群主被抓，需要证据打官司。
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当有一天我们为自己辩护并试图用这篇文章向法官解释微信群不是群的时候，这个太屌的推理过程让法官感到困惑从而让这个辩护理由直接被拒
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伽罗瓦群。。。自同构群。。。。环论。。。分圆整数。。。伯努利数
) Q! t/ a3 x) O0 @/ N+ k(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)5 Z&&o2 u) @# p- G刚学的。。。
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