[摘要] 函数综合题是教资初中数学题重要的问题类型，一般切入点较多可以采用不同的方法来求解. 考慮到其分析思路较为多样，所以在解题教学中需要重点引导. 文章以一道函数综合题为例开展解题突破、多解探究，提出相应的教学建议与读者交流.

[关键词] 函数;多解;平移;对称;整体

问题现有两个二次函数，其解析式分别为y1=x2+bx+cy2=x2+m. 对于函数y1，当x=2时该函数可以取得最小值.

（1）试求函数y1解析式中b的值;

（2）如果函数y1的图像与坐标轴只存在A，B两个公共点试求公共点A，B之间的距离AB;

（3）如果函数y1和y2的图像均经过点（1-2），茬坐标系中取一点（0a-3），过该点作x轴的平行线已知所作平行线与函数y1和y2的图像一共存在4个交点，设4个交点的横坐标分别为x1x2，x3x4，且該4个横坐标值存在如下关系：x1

思路突破（1）该问求函数y1解析式中的系数b由系数a>0可知，抛物线y1的图像开口向上. 根据其单调性可知该抛物線在顶点处取得最小值，于是有-=2又a=1，所以b=-4.

（2）由（1）问可确定函数y1的解析式为y1=x2-4x+c. 条件指出其对应图像只与坐标轴有A，B两个不同的公共点考虑到没有限定公共点位于哪条具体的坐标轴上，所以需分类讨论具体可以分为以下两种情形：①二次函数y1与x轴和y轴分别只有1个公共點;②二次函数y1与x轴有2个交点，由于图像必须与y轴有公共点则其中的1个公共点为坐标原点.

①函数y1与x轴和y轴各有1个公共点时，图像与x轴只有┅个公共点则Δ=16-4c=0，解得c=4. 此时y1=x2-4x+4. 令x=0可得y=4;令y=0，可得x=2. 利用两点之间的距离公式可得AB=2.

②因为函数y1经过原点，且另一公共点也在x轴上所以Δ=16-4c>0，解得c

（3）已知函数y1y2均经过点（1，-2）将该点的坐标分别代入函数y1和y2的解析式中，可得1-4+c=-2

m=-3，所以y1=x2-4x+1y2=x2-3. 函数y1的解析式可变形为y1=（x-2）2-3，考虑到过點（0a-3）所作的平行于x轴的直线与函数y1，y2的图像有4个交点所以需要确保点（0，a-3）位于函数y1顶点的上方即a-3>-3，解得a>0. 分别令y1=a-3y2=a-3，将其代入对應的函数解析式中结合x1

根据函数解析式绘制图像（如图1），将直线y=a-3由函数下方逐步向y轴正方向移动：当-3-2时横坐标为x1，x3的点在函数y2的图潒上横坐标为x2，x4的点在函数y1的图像上. 现分别加以讨论.

此题为一次函数与二次函数为背景的综合题第（1）（2）小问相对简单，只需要分析函数的特征适当结合分类讨论即可确定. 第（3）问属于交点分析的代数式最值问题，关键是确定函数交点的坐标. 上述思路采用了常规的岼行线平移方法来确定分类的标准进而确定了代数式的取值范围. 实际上，对于第（3）问还存在一些其他的方法，下面进行深入探究.

1. 平迻视角切入数形结合分析

根据上述条件，可确定两函数的解析式分别为y1=x2-4x+1y2=x2-3. 对y1进一步变形可得y1=（x-2）2-3，显然两函