《高等数学》专题讲解（五）；一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20；?5?；1．极限lim?1???；x??；?x?；2．函数y?x2在点(3,9)处的切线方程是3．；?x2满足初始条件yx?2?5的特解是x；1?；?xsin,x?0；4．设函数f(x)??在点x?0处连续，则a?．；??a?cosx,x?0；12；5．行列式；
《高等数学》专题讲解（五）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分。把答案书写在答题纸相应番号的横线上）
1．极限lim?1???
2．函数y?x2在点(3,9)处的切线方程是 3．一阶线性微分方程y??
?x2满足初始条件yx?2?5的特解是 x
4．设函数f(x)??在点x?0处连续，则a?
??a?cosx,x?0
二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸相应番号的横线上）
6．函数z?x?y在点(1,1)处的全微分dz(1,1)等于（
（A）dx?dy
（B）2dx?2dy
（C）2dx?dy
（D）dx?2dy 7．设un?
）． v?nn3收敛，
8．函数y?x?3x的单调递减区间为（
（A）(??,?1]
（B）[?1,1]
（C）[1,??)
（D）(??,??)
9．设f(x,y)为连续函数，二次积分（A）（C）
． dx?f(x,y)dy交换积分次序后等于（
（B）f(x,y)dx
dy?f(x,y)dx
dy?f(x,y)dx
10．设A，B，C，I为同阶方阵，I为单位矩阵．若ABC?I，则下列各式中总成立的有（
（A）ACB?I
（B）BAC?I
（C）BCA?I
（D）CBA?I
三、计算、应用与证明题（本大题共10小题，每小题8分，满分80分。解答应写出推理、演算步骤）
11．求极限lim12
．求定积分
x?0ex?cosx?x?2
13．设函数z?yx?cos(xy)，求dz． 14．计算二重积分
??edxdy，其中D是由直线y?0，y?x和x?1所围成的区域． D
15．求微分方程y???4y??5y?0满足初始条件yx?0?2，y?x?0?7的特解． 16．求幂级数
的收敛半径和收敛区域． xn
17．求线性方程组?
?2x2?x2?4x2?x2
?3x3?5x3?x3
?x4?2x4?6x4?3x4
?3x5?6x5?3x5?x5
18．设矩阵A??0
0?，已知A?1BA?6A?BA，求矩阵B． ??1?7??
19．求函数f(x)?3x?4x?12x?1在区间[?3,3]上的最大值与最小值． 20．证明：当x?0时，e?1?x．
《高等数学》专题讲解（五）参考答案
一、填空题
2、6x?y?9?0
3、解：由题可知，该微分方程为一阶线性微分方程，又P(x)?
，Q(x)?x2，可知该为分方程的x
11dx?dx?1?1C?1??2
通解为y?ex??xexdx?C???x4?C??x3?，将yx?2?5代入通解，得C?6，所以
该微分方程的特解为y?
二、选择题
解：因为ABC?E?A(BC)?E?A?1?BC，所以BCA?(BC)A?A?1A?E.
三、计算与应用题
、解：令t?
x?t2，dx?2tdt，当x?0时，t?0；当x?
?tarctantdt?td(t)?tarctan0
??4??(t?arctant?????33?
?yxlny?ysin(xy)，?xyx?1?xsin(xy)，所以 ?x?y
13、解：因为
dx?dy?[yxlny?ysin(xy)]dx?[xyx?1?xsin(xy)]dy. ?x?y
14、解：（图形同学们自己画）由图所示可知，积分区域为D?{(x,y)0?x?1,0?y?x}，
所以??edxdy??dx?edy??(ey)dx??xedx?ex?(e?1).
15、解：因为该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为r?4r?5?0，解得
r1,2?2?i，所以该微分方程的通解为y?e2x(C1cosx?C2sinx)，又y??2e2x(C1cosx?C2sinx) ?e(?C1sinx?C2cosx)，将yx?0
?C1?2?C1?2
??，所以?2,yx?0?7代入通解和y，可得???
2C?C?7C?3?12?2
该微分方程的特解为y?e2x(2cosx?3sinx).
16、解：因为an?
，所以该级数收敛半径为R?lim
1n(n?1)?2n?1 ?lim?limnn??n??n?2(n?1)?2n?1
?lim?1???2?2． n??
xn(?2)n?n1
当x??2时，原级数?为交错级数且收敛，
当x?2时，原级数??(?1)??nn
nn?1n?2n?1n?2n?1
为调和级数是发散的，所以该级数的收敛区间为[?2,2)． ?????nn
n?2n?2nn?1n?1n?1?
17、解：A?(AB)??
1?35?2?61?? 6?312?
314??123?0?3?6
r1?(?2)?r2r1?(?3)?r3r1?(?1)?r41?35?00?9?? 36?3?
?1?r3????3??1?r4????2?
?1?r2?????3?
?0?1?2?1?0??0??0
?0r2?(?2)?r1
003???????
?036?3?r2?r4
24?1??01?3?1?003?? 121?
?1?0??0??0
1?3?1?003?? 363?
242?0?5?2?003?? 121?
r3?(?1)?r1
r3?(?1)?r4
可见r(A)?r(A)?3?5，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
?x1??2?x3?5x5?
（其中x3,x5为自由未知量）. ?x2?3?2x3
?x1??2?k1?5k2?x1??2?1?k1?5?k2
?x?3?2k?x?3?(?2)?k?0?k21212????
令x3?k1,x5?k2，则有?x3?k1，即?x3?0?1?k1?0?k2.
?x?1?2k?x?1?0?k?(?2)?k4212??4???x5?k2?x5?0?0?k1?1?k2?x1???2??1??5??x??3???2??0?2????????
所以，该方程组的通解为?x3???0??k1?1??k2?0?（k1,k2?R）.
????????x10?4???????2?????0???0???1???x5???
18、解：因为A?1BA?6A?BA?A?1BA?BA?6A?(A?1?E)BA?6A，又
1?，A?1?E?030?36?0，即 0??0，即A可逆，且A?1??040??84
?006?007??1
A?1?E可逆，且(A?E)??0
???0???300??.
?6(A?1?E)?1??020??
0?，所以B?6(A?1?E)?1AA?1?6(A?1?E)?1 ??1??6?
19、解：f?(x)?12x?12x?24x?12x(x?x?2)?12x(x?1)(x?2)，令f?(x)?0，得
x?0,?1,2，又f(0)?1，f(?1)??4，f(2)??31，f(?3)?244，f(3)?28，所以f(x)在
[?3,3]上的最大值为244，最小值为-31.（注意：求出的驻点必须在规定区间内，不在的必须舍去，而本
题的驻点都在规定区间内.）
20、证明：令f(x)?e?1?x，则f(x)在(??,??)上连续.
（1）当x?0时，f?(x)?e?1?0，即f(x)在[0,??)上严格单调增加，又f(0)?0，所以,当x?0
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已知向量a=(sinx,-2cosx),向量b=(sinx+根号3cosx,-cosx),x属于R,f(x)=a.b,求f(x)的最小正周期
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f(x)=a.b=sin^2x+根号3cosx sinx+2cos^2 x=根号3/2 sin2x +1/2 cos2x +3/2=sin(2x+30°)+3/2T=π【【不清楚,再问；满意,祝你好运开☆!】】
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cosx-sinx的辅助角问题为什么用公式算出来不对?我用公式asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+θ）其中tanθ=b/a来对cosx-sinx 进行化简,以下是我的步骤：cosx-sinx=（-1）sinx+cosx=√（（-1）^2+(1)^2)sin(x-π/4） =√2sin（x-π/4） 我是严格按公式算的,而答案却是-√2sin（x-π/4）
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把-1提出来,后面是(sinx-cosx),开方的时候-1还在外边呢
不懂……能不能详细说下大神
你说得是第一种吧～我知道，您看下第二种怎么回事？代公式为什么错了
一个技巧：在 asinx+bcosx 的形式中，保持 sinx 系数为正数：cosx-sinx=-(sinx-cosx)=-√（（1）^2+(-1)^2)sin(x-π/4）=-√2sin（x-π/4）
三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a+b)[asinx/√(a+b)+bcosx/√(a+b)] 令a/√(a+b)=cosφ，b/√(a+b)=sinφ asinx+bcosx=√(a+b)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a+b)sin(x+φ) 其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同
如果不管符号，则是这样子，最后还需要看辅助角的终边位置
你下面写的这个，得出辅助角为 -π/4就是没有考虑终边位置
使用上面技巧的话，可以缩小辅助角的取值范围。相当于前面做了一步简单的处理，则后面判断终边位置的步骤就省了
太厉害了～～大神～谢谢亲啊！！！
～以后遇到这种问题把sinx前面保持正就可以不用考虑终边问题相当于把终边锁定在一四象限是吗～
同学你大几了
我猜你高一
我大四！！！！！马上考研～前面算一个二重积分答案差了个负号……急死我了
呃，我记得这块应该是高一时候的。你在北京吗？加油！
不在～在南昌～～你大几了哈哈
我已经毕业了…
好吧学长好哇！
哈哈！学弟？有空来北京玩
等考上了是要来北京玩玩哈哈，学长在北京工作了啊，膜拜
是的…oh my！没啥可膜拜的。复习+休息&运动+营养
好嘞！谢谢学长哈
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你的答案错了。你对公式没有理解透彻。按你的解法得出来应该是√2sin(x+3π/4).
～～没错～～是我没考虑终边，角度在第三象限
打错了……角度在第二象限～四分之三pai
cosx-sinx=(-1)sinx+cosx=√[(-1)^2+(1)^2]sin(x+θ） tanθ=b/a=1/(-1)=-1，但点(-1,1)在第二象限，∴θ=3π/4故cosx-sinx=(-1)sinx+cosx=√[(-1)^2+(1)^2]sin(x+3π/4)=-√2sin(x-π/4）
谢谢亲！！四年没学忘记要考虑终边了哈哈
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