您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
第八节多元函数的极值及其求法解析.ppt 47页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
需要金币：300 &&
你可能关注的文档：
··········
··········
目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为所求四面体的体积约束条件在条件下求V的最小值,约束条件令由目标函数可得即当切点坐标为四面体的体积最小解为简化计算,令是曲面上的点,它与已知点的距离为问题化为在下求的最小值.目标函数约束条件设(1)(2)(3)(4)由于问题确实存在最小值，故得唯一驻点还有别的简单方法吗用几何法!2002年考研数学(一),7分设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为小山的高度函数为(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说,要在D的边界线上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.也就解(1)由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h(x,y)在点M(x0,y0)处沿梯度方向导数的最大值为该梯度的模,所以(2)令由题意,只需求在约束条件下的最大值点.令则(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)+(2):从而得由(1)得再由(3)得由(3)得于是得到4个可能的极大值点可作为攀登的起点.多元函数极值的概念条件极值拉格朗日乘数法多元函数取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念三、小结(上述问题均可与一元函数类比)多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法第八节多元函数的极值及其求法第九章多元函数微分法及其应用一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域,为极大值.则称注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.例例函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).椭圆抛物面下半个圆锥面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).例在(0,0)点无极值.马鞍面函数2.极值的必要条件定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:证有极大值,不妨设都有说明一元函数有极大值,必有类似地可证推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为均称为函数的驻点极值点(对于可偏导函数)仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,驻点,但不是极值点.注3.极值的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.例解又在点(0,0)处,在点(a,a)处,故故即的极值.在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,0&取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数2003年考研数学(一),4分选择题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,解(1)求函数在D内的驻点由于所以函数在D内无极值.(2)求函数在D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例D＊在边界线＊在边界线由于最小,由于又在端点(1,0)处,所以,最大.有驻点函数值有单调上升.D＊在边界线所以,最值在端点处.由于函数单调下降,(3)比较D对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值二、条件极值拉格朗日乘数法解例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为,18=++zyx且长方体体积一定有最大值,体体积最
正在加载中，请稍后...第1页/共8页
第八节多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定
方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点，如果都适合不等式
f(x,y)&f(x0,y0)，
则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值f(x0,y0)。如果都适合不等式 f(x,y)&f(x0,y0)，
则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。
22例1 函数z=3x+4y在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任
一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从
22z=3x+4y几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面
第1页/共8页
寻找更多 ""二元函数极值存在的判别方法_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
二元函数极值存在的判别方法
上传于|0|0|暂无简介
阅读已结束，如果下载本文需要使用3下载券
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩11页未读，继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢您的位置： &
& &&&自考《高等数学（一）》真题练习：二元函数极值点的判断（3.26）
自考《高等数学（一）》真题练习：二元函数极值点的判断（3.26）
09:25&&自考365 【
　　单选题
　　1.【2011年1月】若，则点（x0，y0）是函数f（x，y）的（　）。
　　A.极小值点
　　B.极大值点
　　C.最值点
　　D.驻点
　　正确答案：D
　　答案解析：本题考察二元函数极值点的判断。满足二阶导数为零，则为二元函数极值点，若为极值点，还要满足。
本文转载链接：
欢迎访问：
自考真题库手机应用
& & & & & &
热门搜索：　　　　}