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一元函数微分学--复习要点收藏
一元函数微分学--复习要点高等数学这门科也叫做微积分学，足可见微分学的地位.微分学分为一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是多元微分学的基础.这两部分有一些相近或相似的概念和结论，例如可（偏）导、可微以及两者之间的关系，同学们在学习的时候一方面要认真的理解这些概念，另一方面要注意比较一元和多元微分学在有些概念和结论上的区别和联系.回到一元函数微分学.导数与微分是基本概念，导数与微分的计算是基本计算，导数与微分的应用，特别是利用导数研究函数性态是微积分的基本内容.本章考试内容相对比较多，其中包括基本概念(导数与微分)，基本方法(微分法)，基本理论(微分中值定理)，相关应用(函数性态)，故本章是每年必考内容，也是考题所占比例较大的一章，同时有些相对较难的试题也会出现在本章. 本章的内容归纳起来，包括下列四个方面：1.基本概念方面：重点是导数和微分的定义，要掌握可导的充要条件即，这一点常用来讨论分段函数在分段点处的可导性，还要理解连续、可导与可微的关系；有必要掌握二阶导数和高阶导数的定义，它们实际上是低阶导函数再次求导.
上面这些概念也出现在多元函数微分学中，同学们不妨做一下比对.2.理论方面：重点是微分中值定理，即罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理.要记住各个定理的条件和结论，同时要清楚每个定理的相关题型.罗尔定理考研中常利用来证明中值等式（不含端点），或者证明导函数和高阶导函数零点的存在性和个数.其中中值等式的证明往往需要引入辅助函数，我们要熟悉常见辅助函数的构造.拉格朗日中值定理也常用来证明含有中值的等式，与罗尔定理不同的是结论里会出现区间的端点；此外，它还可用作不等式的证明或研究函数的性态，有时甚至可以用来辅助求极限，例如：，其中在之间，所以也趋；进行过这个处理后，等式右端的极限就非常容易求了.柯西中值定理，用来证明含有中值的等式，这个等式中将出现端点，且出现两个函数.有时两个函数之一是确定的，端点也可能取定，这个我们要注意观察.泰勒定理建立了函数与高阶导数的关系.对于泰勒定理，我们要掌握基本的5个麦克劳林展开式，在某些极限题型中利用泰勒展式处理可能更快速更便捷.其次要掌握它的一个应用，即求取一点处的高阶导数.最后重要的，它可以用做不等式的证明，这种证明题的特征是结论中出现高阶导数或高阶导数的估计.3. 计算方面：重点是导数的计算，包括基本初等函数的求导公式，导数的四则运算和复合运算性质，常见函数如积分上限函数、反函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导公式，也要会求某些函数的二阶导数或高阶导数.像反函数、隐函数、参数方程确定的函数，其二阶导数公式可以不记，但一定要掌握求解方法，明确每一步是对哪个函数关于哪个变量求导，其实这个运算无非是复合函数求导罢了.鉴于可微与可导的等价关系，微分的运算实质上只是求导运算.4. 应用方面：重点是利用导数研究函数的性态.(1)导数的几何意义即曲线的斜率，我们要会求切线方程和法线方程.(2)能利用导数的符号判断函数的单调性，同时要求同学们能利用单调性证明一些不等式，或证明函数零点的唯一性.(3)能利用极值的第一充分条件和第二充分条件判断一点是否极值点，以及是取得极大值还是极小值；除此之外，还要会求函数的最大值和最小值，这实际上只需要找出所有可能的最值点，比较他们的函数值大小；求极值或最值都有相对固定的步骤和程序，我们要熟悉.(4)能够利用二阶导数的符号判断函数图形的凹凸性，能利用第一充分条件和第二充分条件确定拐点；能利用凹凸性证明一些不等式.同时，还要将“凹凸性和拐点”与“单调性和极值”相比较，看一下它们的判定是极为相似的，以此来强化我们的理解和记忆.(5)根据渐近线的概念，能够求出曲线的铅直、水平和斜渐近线.实质上，求渐近线就是求极限.我们可以分类别来求，并注意到同一趋势上水平和斜渐近线的不共生现象，避免不必要的计算.在掌握了上述函数性态的研究方法之后，我们要能绘出函数的图形.实际上只需要把上述关键点（极值点、拐点、区间端点等，也可加上一些函数值容易求得的点）先描出来，根据各个区间内函数的单调性和凹凸性分别画出图象.(6)除了上述函数性态相关的内容，还要求能利用导数解决物理、经济等领域的最值等应用问题.
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高等数学第二章 一元函数微分学
一元函数微分学 §2.1
导数与微分
一．导数与微分概念
1．导数的定义
设函数y f x 在点x0的某邻域内有定义，自变量x在x0处有增量 x，相应地函数增量
f x0 。如果极限lim
数（也称微商）
lim存在，则称此极限值为函数f x 在x0处的导
x 0 x x 0 x
dydf x ，等。 x xdxdxx x00
并称函数y f x 在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则称函数y f x 在点x0处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x0
x， x x x0，
x 0x x0 xf x
我们也引进单侧导数概念。
则有f x 在点x0处可导 f x 在点x0处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义
如果函数y f x 在点x0处导数f
x0 存在，则在几何上f
x0 表示曲线y f x 在点 x0,f x0
处的切线的斜率。
切线方程：y f x0
法线方程：y f x0
设物体作直线运动时，路程S与时间t的函数关系为S f t ，如果f
t0 存在，则f
t0 表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数y f x 在点x0处可导，则f x 在点x0处一定连续，反之不然，即函数y f x 在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。
例如，y f x
x，在x0 0处连续，却不可导。
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第四章 一元函数微分学的应用
一元函数微分学的应用
本章教学要求
1. 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.
2. 熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.
3. 掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.
4. 理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.
5. 会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.
重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.
难点：函数的最大值与最小值及其应用问题.
中值定理与洛必达法则
一、罗尔定理
1、罗尔定理
（a ，b ）内可导，且在区间端点罗尔定理
如果函数f (x ) 在团区间[a ，b ]上连续，在开区间
（a ，b ）内至少有一点ξ(a &ξ&b ) ，使得函数f (x ) 在该点的函数值相等，即f (a ) =f (b ) ，那末在
的导数等于零：f '(ξ) =0。
在曲线弧AB 上至少有一点C ，在该点处的切线是水平的。
由于f (x ) 在闭区间[a,b ]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f (x ) 在闭区间[a,b ]上必定取得它的最大值M 和最小值m ，这样只有两种可能情形：
（1）M =m 。这时f (x ) 在区间[a,b ]是必然取相同的数值M ：f (x ) =M 。由此有f '(x ) =0，因此可以取（a,b ）内任意一点作为ξ而有f '(ξ) =0。
（2）M &m 。因为f (a ) =f (b ) ，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于f (x ) 在区间[a,b ]的端点处的函数值。为确定起见，不妨设M ≠f (a ) （如果设m ≠f (a ) ，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b ）内有一点ξ使f (ξ) =M 。下面证明f (x ) 在点ξ处的导数等于零：f '(ξ) =0。
因为ξ是开区间（a,b ）内的点，根据假设可知f '(ξ) 存在，即极限
lim f (ξ+?x ) -f (ξ)
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