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无理数如何求近似值?精确到十分位、百分位只会求个位……如何求十分位百分位?
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只能利用计算器了,因为这个我们是算不了的,即使数学很厉害的人也不一定能算.
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十分位就是有两位小数，百分位就是有三位小数。
知道……是问如何求上面的数……
那个？你把题目写上。
扫描下载二维码若函数f上是连续不断的.且在区间(2.3)内有惟一的无理数零点x0.那么用“二分法 求精确度为0.001的x0的近似值时.需要计算 次区间中点的函数值． 题目和参考答案——精英家教网——
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若函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续不断的，且在区间（2，3）内有惟一的无理数零点x0，那么用“二分法”求精确度为0.001的x0的近似值时，需要计算次区间中点的函数值．
考点：二分法求方程的近似解
专题：计算题
分析：每一次二等分都使区间的长度变为原来的一半，区间&（1，2）的长度等于1，二分9次后，区间（1，2）长度变为11024，满足精度要求，从而得到结论．
解：每一次二等分都使区间的长度变为原来的一半，区间&（1，2）的长度等于1，二分3次后，区间（1，2）长度变为 123=18＞11000，不满足精度要求．二分4次后，区间（1，2）长度变为 124=116＞11000，不满足精度要求．…二分9次后，区间（1，2）长度变为 129=11024＜11000，满足精度要求．故二分的次数至多有9次，故答案为：9．
点评：本题主要考查用二分法求方程的近似解，注意利用每一次二等分都使区间的长度变为原来的一半，属于基础题．
科目：高中数学
已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，-1），则该△ABC的面积为．
科目：高中数学
如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则BCAD的值为．
科目：高中数学
袋子中放有大小和形状相同的4个小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个，从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“a+b=2”，则事件A的概率为（　　）
A、15B、34C、13D、23
科目：高中数学
若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为[-254，-4]，则m的取值范围是（　　）
A、（0，4]B、[32，4]C、[32，3]D、[32，+∞)
科目：高中数学
已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，a=3e1-2e2，b=2e1-3e2（1）在坐标纸中利用直尺圆规画出a，b；（2）求a+b与a-b的夹角．
科目：高中数学
对某电子元件寿命进行追踪调查，情况如下：寿命（h）l00～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计寿命在100～400h以内的电子元件在总体中占的比例；（4）估计寿命在450h以上的电子元件在总体中占的比例．
科目：高中数学
正四棱锥P-ABCD的底面边长是2，侧棱长是6，且它的五个顶点都在同一个球面上，则此球的半径是．
科目：高中数学
用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；（2）①求证：函数f（x）=x+4x在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？
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人教版八年级数学上册教案精选[1]
第 1 页 共 155 页人教版八年级数学上册教案 （2009――2010 学年度第一学期） 一、指导思想： 通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所 必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问 题和解决问题的能力。 二、学情分析： 八年级是初中学习过程中的关键时期， 学生基础的好坏， 直接影响到将来是否能升学。 八二(2)班和八二(4)班两班比较，八二(2)班学生单纯，优生稍多一些，后进面较小，只 有少数学生不思上进，但初八二(2)学生思维虽然非常活跃，但在学习上不思进取，大多 数学生不求进步只图贪玩，有少数同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩， 老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用， 注重方法，培养能力。 三、教材分析： 第十一章： 《全等三角形》主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全 等的特殊条件。更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和 简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质， 探索三角形全等的条件。 第十二章： 《轴对称》立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中 的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线 段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰三角形的性质和判定概念。 第十三章： 《实数》通过学习一种新的运算――开方，进而学习一种新数――无理数， 即无限不循环小数，把数的范围从有理数扩大到实数。在开方里面，重点是开平方和开立 方，出现的无理数都是带根号的数，只要求会求一个非负数的平方根和算术平方根，会求-1-第 2 页 共 155 页一个数的立方根，而不要求进行有关无理数的运算和化简。 第十四章： 《一次函数》通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究其中最 为简单的一种函数――一次函数。了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数 的观点认识现实世界的意识和能力。在教材中，通过体现“问题情境――――建立数学模 型――概念、规律、应用与拓展”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次 函数的概念，并进行探索一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关 现实问题；同时在教学顺序上，将正比例函数纳入一次函数的研究中去。教材注意新旧知 识的比较与联系，如在教材中，加强了一次函数与一次方程（组） 、一次不等式的联系等。 第十五章：整式在形式上力求突出：整式及整式运算产生的实际背景――使学生经历 实际问题“符号化”的过程，发展符号感；有关运算法则的探索过程――为探索有关运算 法则设置了归纳、类比等活动；对算理的理解和基本运算技能的掌握――设置恰当数量和 难度的符号运算，同时要求学生说明运算的根据。 四、教学措施： 1、课堂内讲授与练习相结合，及时根据反馈信息，扫除学习中的障碍点。 2、认真备课、精心授课，抓紧课堂四十五分钟，努力提高教学效果。 3、抓住关键、分散难点、突出重点，在培养学生能力上下功夫。 4、不断改进教学方法，提高自身业务素养。 5、教学中注重自主学习、合作学习、探究学习。 五、教学安排： （见下页教学进度登记表）教学进度及教案批阅登记表起止日期教学内容及要求-2-周教案批阅第 3 页 共 155 页周次授 课 时 8.24―8.30 8.31―9.6 9.7―9.13 11．1 全等三角形(2) 11．2．1 三角形 5 9.14―9.20 全等的条件（一）(2)11．2．1 的条件（二） （ 2） 11． 2． 3 三角形全等的条件 （三） (2) 11． 2． 3 5 三角形全等 5 5 5批阅 日期组长 签名1 2 3 459.21―9.27三角形全等的条件---直角三角形全等的判定 （四） （2） 11．3 角的平分线的性质（一） （2）11．3．2 轴对69.28―10.4角的平分线的性质（二） （2）12．1．1 称（一） （2）57 810.5―10.1 1 10.12―10. 18 10.19―10. 25 10.26―11. 1 11.2―11.8 11.9―11.1 5 11.16―11. 22 11.23―11. 29 11.30―12. 612．1．2 变换（2） 12．2 .2轴对称（二） （2）12．2轴对称5 5用坐标表示轴对称（2） 等12．3．1．1 等腰三角形 （2）12．3．1．1 腰三角形（二） （2） 12．3．２ 等边三角形(一)(2)12．3．295 等10 11 12 13边三角形（二）(2) 12．3．2. 中期复习等边三角形5 5 5 5中期考试14．2．2 一次函数（1）一次函数应用（2） 实践与探索（2） 14.3．1 一次函数与一元一次方程（2） 15.1.1 整式 (1) 15.1.2 整式的加减 (2) 5.2.1 同 底 数 幂 的 乘 法 (1)15.2.2 幂 的 乘 方 (1) 15.2.3积的乘方(1) 15.2.4整式的乘法(4) 15.3.1平方差公式(2)-3-145155第 4 页 共 155 页16 17 18 19 2012.7―12.1 3 12.14―12. 20 12.21―12. 27 12.28―1.3 1.4―1.1015.3.2完全平方公式(3) 15.4.1同底数幂的除 法(1) 15.4.2整式的除法(2) 15.5因式分解(1) 15.5.2公式法(3) 第十五章小结(3) 期终复习 工 作 总 总复习（3） 期终考试 结 15.5.1提公因式法(2)5 5 5 5 5§11．1 教学目标全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应 边． 教学重点:全等三角形的性质． 教学难点:找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境AA1BCB1C11、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？这两个三角形是完全重合的． 2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及 有关的数学符号． 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 要是把两个图形放在一起， 能够完全重合， ?就可以说明这两个图形的形状、 大小相同． 概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全 等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符 号表示的要求．-4-第 5 页 共 155 页Ⅱ．导入新课 利用投影片演示 将△ABC 沿直线 BC 平移得△DEF；将△ABC 沿 BC 翻折 180°得到△DBC；将△ABC 旋转 180°得△AED．ADBAD A ECBC甲EF乙DB丙C议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 不难得出： △ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变， 所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应 角相等． [例 1]如图，△OCA≌△OBD，C 和 B，A 和 D 是对应顶点，?说出这两个三 角形中相等的边和角． 问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换 可以使两三角形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为 C 和 B、A 和 D 是对应顶点，?所以 C 和 B 重合，A 和 D 重合． ∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．-5-C O ABD第 6 页 共 155 页总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、 旋转的方法． [例 2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，?指出其他的 对应边和对应角． 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来． 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找 出其余的对应元素．常用方法有： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 解：对应角为∠BAE 和∠CAD． 对应边为 AB 与 AC、AE 与 AD、BE 与 CD． [例 3]已知如图△ABC≌△ADE， 试找出对应边、 对应角． （由学生讨论完成） 借鉴例 2 的方法， 可以发现∠A=∠A， ?在两个三角形中∠A 的对边分别是 BC 和 DE，所以 BC 和 DE 是一组对应边．而 AB 与 AE 显然不重合，所以 AB?与 AD 是一组对应边，剩下的 AC 与 AE 自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角 是对应角可得∠B 与∠D 是对应角，∠ACB 与∠AED 是对应角．所以说对应边为 AB 与 AD、 AC 与 AE、BC 与 DE．对应角为∠A 与∠A、∠B 与∠D、∠ACB 与∠AED． 做法二：沿 A 与 BC、DE 交点 O 的连线将△ABC?翻折 180°后，它正好和△ADE 重合．这 时就可找到对应边为：AB 与 AD、AC 与 AE、BC 与 DE．对应角为∠A 与∠A、∠B 与∠D、∠ ACB 与∠AED． Ⅲ．课堂练习 课本 P90 练习 1． Ⅳ．课时小结 通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，?并且利用性质 可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．-6-ABDE CAE O BC D课本 P90 习题 13．1 复习巩固 1．第 7 页 共 155 页找对应元素的常用方法有两种： （一）从运动角度看 1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素． 2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素． 3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素． （二）根据位置元素来推理 1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． Ⅴ．作业:课本 P90 习题 13．1、复习巩固 2、综合运用 3． 课后反思§11．2．1 教学目标三角形全等的条件（一）1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性． 3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程． 教学重点: 三角形全等的条件． 教学难点:寻求三角形全等的条件． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 出示投影片， 回忆前面研究过的全等三角形． 已AA'BCB'C'知△ABC≌△A′B′C′， 找出其中相等的边与角． 图中相等的边是： AB=A′B、 BC=B′C′、 AC=A′C．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．-7-第 8 页 共 155 页展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？ （可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分 别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸 片全等） ． 这是利用了全等三角形的定义来作图． 那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能 少呢？现在我们就来探究这个问题． Ⅱ．导入新课 出示投影片 1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等） ，?画出的两个三角形一定全等 吗？ 2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等 吗？分别按下列条件做一做． ①三角形一内角为 30 °，一条边为 3cm ． 50°． ③三角形两条边分别为 4cm、6cm． ②三角形两内角分别为 30 °和学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单 位出示结果作补充交流．结果展示： 1．只给定一条边时： 只给定一个角时： 2．给出的两个条件可能是： 一边一内角、 两内角、 两边． 可以发现按这些条件画 出的三角形都不能保证一定 全等． 给出三个条件画三角形，你能-8-①30? 3cm30? 3cm30? 3cm③4cm 6cm4cm 6cm第 9 页 共 155 页说出有几种可能的情况吗？ 归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边． 在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探 索其余的三种情况． 已知一个三角形的三条边长分别为 6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画 的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ 1．作图方法： 先画一线段 AB，使得 AB=6cm，再分别以 A、B 为圆心，8cm、10cm 为半径画弧，?两弧 交点记作 C，连结线段 AC、BC，就可以得到三角形 ABC，使得它们的边长分别为 AB=6cm， AC=8cm，BC=10cm． 2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．?这说明这些三角 形都是全等的． 3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形 ABC，根据前面作法，同样可 以作出一个三角形 A′B′C′，使 AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪 下，发现两三角形重合．这反映了一个规律： 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” ． 用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明 三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题． [例]如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC，AD 是连结点 A 与 BC 中点 D 的支架．求证：△ ABD≌△ACD． [师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等． 证明：因为 D 是 BC 的中点 所以 BD=DC 在△ABD 和△ACD 中AB-9-DC第 10 页 共 155 页? AB ? AC ? ? BD ? CD ? AD ? AD (公共边) ?所以△ABD≌△ACD（SSS） ． 生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，? 而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定 性． 所以日常生活中常利用三角形做支架． 就是利用三角形的稳定性． ?例如屋顶的人字梁、 大桥钢架、索道支架等． Ⅲ．随堂练习 如图，已知 AC=FE、BC=DE，点 A、D、B、F 在一条直线上，AD=FB．要 用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE 以外， 还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ 2．课本 P94 练习． Ⅳ．课时小结 本节课我们探索得到了三角形全等的条件， ?发现了证明三角形全等的一个规律 SSS． 并 利用它可以证明简单的三角形全等问题． Ⅴ．作业 1．习题 13．2 复习巩固 1、2． 课后作业： 《课堂感悟与探究》 Ⅵ．活动与探索 如图，一个六边形钢架 ABCDEF 由 6 条钢管连结而成，为使这一钢架稳固， 请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？ 本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用． 习题 13．2 综合运用 9．A DCB E FA FB C结果： （1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，?把这个六边形划分成四 个三角形．如图（1）为其中的一种． （2）也可以把这个六边形划分成四个三角 形．如图（2） ．ED- 10 -第 11 页 共 155 页课后反思(1)(2)§11．2．1 教学目标三角形全等的条件（二）1．三角形全等的“边角边”的条件． 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程． 3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性． 4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题． 教学重点:三角形全等的条件． 教学难点:寻求三角形全等的条件． 教学过程 一、创设情境，复习提问 1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？ 3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全 重合： 图(1)中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边； 图(2)中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边． ４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？ 二、导入新课 1．三角形全等的判定（二） (1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三- 11 -第 12 页 共 155 页角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边 相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问 题： 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ ABO和△CDO是否能完全重合呢？ 不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的： AO＝CO， ∠AOB＝ ∠COD， BO＝DO． 如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又 因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完 全重合． (此外， 还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数， 也将与△ABD 重合．图1( 2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻 折180°．两个三角形也可重合) 由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对 应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹 角对应相等，那么这两个三角形全等． 2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验： (1)读句画图： ①画∠DAE＝45°， ②在AD、 AE上分别取 B、 C， 使 AB＝3.1cm， ＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇． (2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重 合？ 3．边角边公理． 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”) 三、例题与练习- 12 -AC第 13 页 共 155 页1．填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理 证明△ABC≌△CDA， 需要三个条件， 这三个条件中， 已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是 ___________；还需要一个条件_____________(这个条 件可以证得吗？)．(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE， 需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可 以证得吗？)． 2、例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)． 求证：△ADC≌△CBA． 问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)， 那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一 个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？ 例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE． 四、小 结： 1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件． 2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公 共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理． 五、作 业：1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求 证：△ABE≌△ACF． 2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE ∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF．- 13 -第 14 页 共 155 页课后反思§11．2．3 教学目标三角形全等的条件（三）1．三角形全等的条件：角边角、角角边． 2．三角形全等条件小结． 3．掌握三角形全等的“角边角” “角角边”条件． 4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 教学重点:已知两角一边的三角形全等探究． 教学难点:灵活运用三角形全等条件证明． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 1．复习： （1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边． （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？ 三种：①定义；②SSS；③SAS． 2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已 知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？ Ⅱ．导入新课 问题 1：三角形中已知两角一边有几种可能？ 1．两角和它们的夹边． 2．两角和其中一角的对边． 问题 2：三角形的两个内角分别是 60°和 80°，它们的夹边为 4cm，?你能画一个三角 形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能- 14 -第 15 页 共 155 页得出什么规律？ 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等． 提炼规律： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） ． 问题 3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形 ABC，?能不能作 一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？ ①先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出 AB 的边长． ②画线段 A′B′，使 A′B′=AB． ③分别以 A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB， ∠EB′A′=∠CBA．E④射线 A′D 与 B′E 交于一点，记为 C′ 即可得到△A′B′C′． 将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形 全等．DC'CABA'B'两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） ． 思考： 在一个三角形中两角确定， 第三个角一定确定． 我们是不是可以不作图， 用 “ASA” 推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 探究问题 4： 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC 与△DEF 全等吗？能利 用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180° ∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠A+∠B=∠D+∠E ∴∠C=∠F 在△ABC 和△DEF 中- 15 -A B C ED F第 16 页 共 155 页? ?B ? ?E ? ? BC ? EF ? ?C ? ?F ?∴△ABC≌△DEF（ASA） ． 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或 “AAS” ） ． [例]如下图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C． 求证：AD=AE． [分析]AD 和 AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证 AD=AE，只需证 明△ADC≌△AEB 即可． 证明：在△ADC 和△AEB 中A? ?A ? ?A ? ? AC ? AB ? ?C ? ?B ?所以△ADC≌△AEB（ASA） 所以 AD=AE． Ⅲ．随堂练习 （一）课本 P99 练习 1、2． （二）补充练习 图中的两个三角形全等吗？请说明理由．D BE CDDA45? 45? 50? 50?CE29?29?B (1)AC (2)B答案：图（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB．图（2）由“AAS”可证得△ACE≌△ BDC． Ⅳ．课时小结 至此，我们有五种判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．- 16 -第 17 页 共 155 页Ⅴ．作业 1．课本习题 13．2─5、6、11 题． 课后反思§11．2．3 教学目标三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四）1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的 推理。 教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学过程 Ⅰ．提出问题，复习旧知 1、判定两个三角形全等的方法： 2、如图，Rt△ABC 中，直角边是 斜边是 3、如图，AB⊥BE 于 C，DE⊥BE 于 E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC 与△DEF 根据 （填“全等”或“不全等” ） （用简写法） 、 、 、 ， 、（2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC 与△DEF 根据 （填“全等”或“不全等” ） （用简写法）- 17 -第 18 页 共 155 页（3）若 AB=DE，BC=EF， 则△ABC 与△DEF 根据 （填“全等”或“不全等” ） （用简写法）（4）若 AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC 与△DEF 根据 Ⅱ．导入新课 （一）探索练习： （动手操作） ： 已知线段 a ，c (a&c) 和一个直角 ? 利用尺规作一个 Rt△ABC，使∠C=∠ ? ， AB=c ，CB= a 1、按步骤作图： ① 作∠MCN=∠ ? =90°， ② 在射线 CM 上截取线段 CB=a， ③以 B 为圆心，C 为半径画弧，交射线 CN 于点 A， ④连结 AB 2、与同桌重叠比较，是否重合？ 3、从中你发现了什么？ 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等． （ＨＬ） （二）巩固练习： 1． 如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是高， （填“全等”或“不全等” ） （用简写法） a c （填“全等”或“不全等” ） （用简写法）?则△ADB 与△ADC 根据2． 如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E、F， （1）若 AC//DB，且 AC=DB，则△ACE≌△BDF， 根据 （2）若 AC//DB，且 AE=BF，则△ACE≌△BDF，- 18 -第 19 页 共 155 页根据 （3）若 AE=BF，且 CE=DF，则△ACE≌△BDF， 根据 （4）若 AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF， 根据 （5） 若 AC=BD，CE=DF（或 AE=BF） ，则△ACE≌△BDF， 根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ （A） 两条直角边对应相等 ）（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等 4、如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC 于 F，DE⊥BC 于 E， AB=DC，BE=CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由 答： 理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知） ∴ ∠AFB=∠DEC= 在 Rt△ 和 Rt△ °（垂直的定义） 中? _______? ________ ? ? _______? _________∴ ∴∠ ∴ 两直线平行） 5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线 AB 与 DE 是平行的， 经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一 样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。 （三）提高练习：- 19 -≌ = ∠（ （） ）（内错角相等，第 20 页 共 155 页1、判断题： （1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。 （ （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ （3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ （4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ （5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ （6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ） ） ） ） ） ） ） ）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（2、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在 添加的条件后的（ （1） （2） （3） （4） 课时小结 至此，我们有六种判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 4．角边角（ASA） 2．边边边（SSS） 5．角角边（AAS） 3．边角边（SAS） ）内写出判定全等的依据。 （ （ （ （ ） ） ） ）６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）作业:课本习题 13．2 １０、1２题． 课后反思§11．3 教学目标角的平分线的性质（一）1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．- 20 -第 21 页 共 155 页2．会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点:利用尺规作已知角的平分线． 教学难点:角的平分线的作图方法的提炼． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 问题 1：三角形中有哪些重要线段． 问题 2：你能作出这些线段吗？ Ⅱ．导入新课 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题： 在∠AOB 的两边 OA 和 OB 上分别取 OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC 与 NC 交 于 C 点． 求证：∠MOC=∠NOC． 通过证明 Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线 OC 就是 ∠AOB 的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB 的两边上分别截取 OM=ON，再分别过 M、N 作 MC⊥OA，NC⊥OB，MC?与 NC 交于 C 点，连接 OC，那么 OC 就是∠AOB 的平分线了． 思考：这个方案可行吗？ （学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC．将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明 AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够．- 21 -第 22 页 共 155 页? AB ? AD ? ? BC ? DC ? AC ? AC ?所以△ABC≌△ADC（SSS） ． 所以∠CAD=∠CAB． 即射线 AC 就是∠DAB 的平分线． 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N． （2）分别以 M、N 为圆心，大于1 MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点 C． 2（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1 MN 的长”这个条件行吗？ 22．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 总结： 1．去掉“大于 平分线． 2．若分别以 M、N 为圆心，大于1 MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的 2 1 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB?的 2内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，?否则两弧交点与顶点 连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了． 3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，?所以第二步中的两个限制缺 一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．- 22 -第 23 页 共 155 页练一练： 任意画一角∠AOB，作它的平分线． 探索活动 按以下步骤折纸 1、 在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角 A 对折，使得这个角 的两边重合。 2、 在折痕（即平分线）上任意找一点 C， 3、 过点 C 折 OA 边的垂线，得到新的折痕 CD，其中，点 D 是折痕与 OA 的交点，即 垂足。 4、 将纸打开，新的折痕与 OB 边交点为 E。 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 下面用我们学过的知识证明发现： 如图，已知 AO 平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。 求证：OE=OD Ⅲ．随堂练习 课本 P106 练习． 练后总结： 平角∠AOB 的平分线 OC 与直线 AB 垂直．将 OC 反向延长得到直线 CD，直线 CD 与 AB? 也垂直． Ⅳ．课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识， ?探究得到了角平分线仪器的操作原 理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质． Ⅴ．课后作业 1．课本 P108 习题 13．2─1、2． 课后反思- 23 -第 24 页 共 155 页§11．3．2 教学目标 1、 角的平分线的性质角的平分线的性质（二）2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上” ． 3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． 教学重点:角平分线的性质及其应用． 教学难点:灵活应用两个性质解决问题． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起， 再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什 么？ 分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且 这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． Ⅱ．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 折出如图所示的折痕 PD、PE．画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所 画 PD、PE 是否等长？- 24 -第 25 页 共 155 页投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的． 结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线， 而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求． 问题 1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等． 问题 2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请 填下表： 已知事项：OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距 离相等． [ 师 ] 那么到角的两边距离相等的点是 否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题 3： 根据下表中的图形和已知事项， 猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语 言填写下表： [生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以 Rt△PEO≌△PDO（HL） ．于是可 得∠PDE=∠POD． 由已知推出的事项：点 P 在∠AOB 的平分线上． 由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性 质有什么联系吗？ 分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换． 思考： 如图所示，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距 离相等， ?离公路与铁路交叉处 500m， 这个集贸市场应建于何处 （在- 25 -第 26 页 共 155 页图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个 问题？ 2．比例尺为 1：20000 是什么意思？ 结论： 1．应该是用第二个性质．?这个集贸市场应该建在公路与 铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500 米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又 是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所 以比例尺为 1：20000，其实就是图中 1cm?表示实际距离 200m 的意思．作图如下： 第一步：尺规作图法作出∠AOB 的平分线 OP． 第二步：在射线 OP 上截取 OC=2.5cm，确定 C 点，C 点就是集贸市场所建地了． 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，?使问题简单化．所 以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，?我们可以直接利用性质解决问题． III 例题与练习 例 如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． 分析：点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点 到三边的距离，?也就是说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、 ∠C 的平分线，?根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个 问题． 证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D、E、F． 因为 BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上． 所以 PD=PE．- 26 -第 27 页 共 155 页同理 PE=PF． 所以 PD=PE=PF． 即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． 练习： 1．课本 P107 练习． 2．课本 P108 习题 13．3─2． 强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等． IV．课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相 等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解 决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利 用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等． Ⅴ．课后作业 1、课本习题 13．3─3、4、5 题． 课后反思§12．1．1 教学目标轴对称（一）1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． 教学重点:轴对称图形的概念． 教学难点:能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往 往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对 称性??对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一- 27 -第 28 页 共 155 页些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐． 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我 们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴． Ⅱ．导入新课 出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征． 这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合． 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常 生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些 具有对称特征的例子． 我们的黑板、课桌、椅子等． 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的． 如课本的图 14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断） ，?再打 开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图 14．1．1 中的图形，你能发 现它们有什么共同的特点吗？ 窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折， 使直线两旁重合，上面图 14．1．1 中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重 合． 结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）? 对称． 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做． 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，?将纸打开 后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流． 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合． 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全 重合．- 28 -第 29 页 共 155 页接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有 的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4） 有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．(1)(2)(3)(4)(5)展示挂图，大家想一想，你发现了什么？像这样，?把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，?这条直线叫做对称轴，折 叠后重合的点是对应点，叫做对称点．- 29 -第 30 页 共 155 页Ⅲ．随堂练习 （一）课本 P117 练习 Ⅳ．课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴 对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称． Ⅴ．作业 （一）课本习题 14．1─1、2、6、7、8 题． 课后反思 （二）P118 练习§12．1．2 教学目标轴对称（二）1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质． 3．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察． 教学重点:1．轴对称的性质． 教学难点:体验轴对称的特征． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界 非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质． Ⅱ．导入新课 观看投影并思考． 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线 MN 对称，点 A′、B′、C′ 2．线段垂直平分线的性质．- 30 -第 31 页 共 155 页分别是点 A、?B、C 的对称点，线段 AA′、BB′、CC′与直线 MN 有什么关系？ 图中 A、A′是对称点，AA′与 MN 垂直，BB′和 CC′也与 MN 垂直． AA′、BB′和 CC′与 MN 除了垂直以外还有什么关系吗？ △ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，点 A′、B′、C′分别是点 A、B、C 的 对称点，设 AA′交对称轴 MN 于点 P，将△ABC 和△A′B′C′沿 MN 对折后，点 A 与 A′重合，于是有 AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以 AA′、BB′和 CC′与 MN 除了垂直以外，MN 还经过线段 AA′、BB′和 CC′的中点． 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中 点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系． 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，?对称轴所在直线经过对称点 所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 归纳图形轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称， ?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分 线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线． 下面我们来探究线段垂直平分线的性质． [探究 1] 如下图．木条 L 与 AB 钉在一起，L 垂直平分 AB，P1，P2，P3，? 是 L 上的点，?分别量一量点 P1，P2，P3，?到 A 与 B 的距离，你有什 么发现？ 1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段 AB，过 AB 中点作 AB 的垂直平分线 L，在 L 上取 P1、P2、P3?，连结 AP1、AP2、BP1、 BP2、CP1、CP2? 2．作好图后，用直尺量出 AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2?讨论发现什么样的规律． 探究结果： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即 AP1=BP1，AP2=BP2，?- 31 -第 32 页 共 155 页证明． 证法一：利用判定两个三角形全等． 如下图，在△APC 和△BPC 中，?P C? P C ? t ??P C A? ? P C B? R? ? A C? B C ?? △APC≌△BPC ? PA=PB.证法二：利用轴对称性质． 由于点 C 是线段 AB 的中点，将线段 AB 沿直线 L 对折，线段 PA 与 PB 是重合的，? 因此它们也是相等的． 带着探究 1 的结论我们来看下面的问题． [探究 2] 如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓” ， “箭” 通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 活动： 1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段 AB，取其 中点 P，过 P 作 L，在 L 上取点 P1、P2，连结 AP1、AP2、 BP1、BP2．会有以下两种可能． 2．讨论：要使 L 与 AB 垂直，AP1、AP2、BP1、BP2 应满足什么条件？ 探究过程： 1．如上图甲，若 AP1≠BP1，那么沿 L 将图形折叠后，A 与 B 不可能重合，也就是∠ APP1≠∠BPP1，即 L 与 AB 不垂直． 2．如上图乙，若 AP1=BP1，那么沿 L 将图形折叠后，A 与 B 恰好重合，就有∠APP1= ∠BPP1，即 L 与 AB 重合．当 AP2=BP2 时，亦然． 探究结论： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[?探究- 32 -第 33 页 共 155 页2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直． [师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线 上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在 它的垂直平分线上． ?所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的 集合． Ⅲ．随堂练习 课本 P121 练习 1、2． Ⅳ．课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，?了解了线段的垂直平分线的有关性质，同 学们应灵活运用这些性质来解决问题． Ⅴ．课后作业 （一）课本习题 14．1─3、4、9 题． 课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞ Ⅵ．活动与探究 如图甲，△ABC 和△A′B′C′关于直线 L 对称，延长对应线段 AB 和 A′B′，两条延 长线相交吗？交点与对称轴 L 有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC 与 A?′ C′又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？ 过程：在图甲中，AB 与 A′B′不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对 称轴 L 的关系． 问题 1：点和直线有几种位置关系？ 有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上． 问题 2：先来假设一下交点不在对称轴 L 上，看是否成立． 如果交点 （P） 不在对称轴 L 上， 那么在 L 的另一侧一定有另外一点 （P′） 与交点 （P） 关于直线 L 对称，且该点（P′）也是两延长线的交点．?但是由于两条直线相交只可能有 一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P）只能在对称轴 L 上．所以交点一定在对称- 33 -第 34 页 共 155 页轴上．延长其他的对应线段，结果也一样． 再看图乙，我们来讨论下一个问题． AC 与 A′C′是平行的，它们的两条延长线也不会相交． 结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对 应线段的延长线如果不相交， 也就是对应线段所在的直线平行， ?那么它们也与对称轴平行． 课后反思 ．§12．2 教学目标轴对称变换1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换． 2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形． 教学重点 1．轴对称变换的定义． 2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形． 教学难点 1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．2．利用轴对称进行一些图案设计． 教学过程 Ⅰ．设置情境，引入新课 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上 节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一 下同学们完成的怎么样． 将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，?得到的两个图案是 关于折痕成轴对称的图形． 准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速 对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，?位于折痕两侧的墨迹图案也- 34 -第 35 页 共 155 页是对称的． ?这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形． Ⅱ．导入新课 ?由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可 以得到美丽的图案． 对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏 幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在 图案设计中的奇妙用途． 下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠 描图，?再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又 得到了什么？同学们互相交流一下． 结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线 L 对称的图形，?这个图形与原图形 的形状、 大小完全相同； 新图形上的每一点， 都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点； 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一 个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的． 取一张长 30 厘米，宽 6 厘米的纸条，将它每 3 厘米一段，?一正一反像“手风琴”那 样折叠起来， 并在折叠好的纸上画上字母 E， 用小刀把画出的字母 E 挖去， 拉开 “手风琴” ， 你就可以得到以字母 E 为图案的花边．回答下列问题． （1） 在你所得的花边中， 相邻两个图案有什么关系？?相间的两个图案又有什么关系？ 说说你的理由． （2） 如果以相邻两个图案为一组， 每一组图案之间有什么关系？?三个图案为一组呢？ 为什么？ （3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴” ，?然后继续上面的- 35 -第 36 页 共 155 页步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做． 注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些． Ⅲ．随堂练习 （一）如图（1） ，将一张正六边形纸沿虚线对折折 3 次，得到一个多层的 60°角 形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2） ． （1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？ （2）这个图形有几条对称轴？ （3）如果想得到一个含有 5 条对称轴的图形，你应取什么 形状的纸？应如何折叠？ 答案： （1）轴对称图形． （2）这个图形至少有 3 条对称轴． （3）取一个正十边形的纸， 沿它通过中心的五条对角线折叠五次，?得到一个多层的 36°角形纸，用剪刀在叠好的纸 上任意剪出一条线，?打开即可得到一个至少含有 5 条对称轴的轴对称图形． （二）回顾本节课内容，然后小结． Ⅳ．课时小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形， ?并且利用 轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位 置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案． Ⅴ．动手并思考 （一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，?得到一个等腰直角三角 形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含 90°角的部分，拆开折 叠的纸，并将其铺平． （1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一 做． （2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？ 应用学过的轴对称的知识试一试． （3）如果将正方形纸按上面方式折 3 次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，?展开- 36 -第 37 页 共 155 页后结果又会怎样？为什么？ （4）当纸对折 2 次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3 次呢？ 答案： （1）得到一个有 2 条对称轴的图形． （2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的 2 条对称轴；因此（1）?中的图 案一定有 2 条对称轴． （3）按题中的方式将正方形对折 3 次，相当于折出了正方形的 4 条对称轴，?因此得 到的图案一定有 4 条对称轴． （4）当纸对折 2 次，剪出的图案至少有 2 条对称轴；当纸对折 3 次，?剪出的图案至 少有 4 条对称轴． （二）自己设计并制作一个花边． 课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞ Ⅵ．活动与探究 如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字” ，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能 少． 过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应 用． 结果： “小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图． “十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可． 课后反思12．2 .2 教学目标用坐标表示轴对称在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，再利 用轴对称的性质作出成轴对称的图形 教学重点:用坐标表示轴对称- 37 -第 38 页 共 155 页教学难点:利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点 教学过程： 一、复习轴对称图形的有关性质 二、新授： 1．学生探索： 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标(x,－y)； 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标(－x,y)； 点(x,y) 关于原点对称的点的坐标(－x,－y) 2．例 3 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形 ABCD 关于 x 轴和 y 轴对称的图形． （1）归纳：与已知点关于 y 轴或 x 轴对称的点的坐标的规律； （2）学生画图 （3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次 连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形． 3、探究问题 分别作出△PQR 关于直线 x=1(记为 m)和直线 y=－1(记为 n)对称的图形，你能发现它们 的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？ （1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系 （2）若△P 1 Q 1 R 1 中 P 1 (x 1 ,y 1 )关于 x=1(记为 m)轴对称的点的坐标 P 2 (x 2 ,y 2 ) ， 则x1 ? x 2 ? m ，y 1 = y 2 ． 2若△P 1 Q 1 R 1 中 P 1 (x 1 ,y 1 )关于 y=－1(记为 n)轴对称的点的坐标 P 2 (x 2 ,y 2 ) ， 则 x1 = x 2 ，y1 ? y 2 =n． 2三、小结本节内容 四、训练：课本 135 页的第 1～3 题 五、作业：课本 136 页的第 5～7 题- 38 -第 39 页 共 155 页课后练习〈课堂感悟与探究〉 §12．3．1．1 教学目标 1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点 1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用． 教学难点 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，?并且能够作出一个 简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，?还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图 案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形 是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． 问题：那什么样的三角形是轴对称图形？ 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形， ?也就是将三角形沿某一条直线对折后两 部分能够完全重合的就是轴对称图形． 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三 角形． Ⅱ．导入新课 要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形． 等腰三角形AAB作一条直线 L，在 L 上取点 A，在 L 外取点 B，作出点 B 关 于直线 L 的对称点 C，连结 AB、BC、CA，则可得到一个等腰三B I角形．C I等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另 一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等 腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．- 39 -第 40 页 共 155 页思考： 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？ 结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰 三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它 的对称轴是顶角的平分线所在的直线． 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什 么关系． 沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰 三角形的两个底角相等，?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的 高． 由此可以得到等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） ． 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三 线合一” ） ． 由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等 的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过 程） ． 如右图，在△ABC 中，AB=AC，作底边 BC 的中线 AD， 为 因A, ? A B? A C ? , ? B D? C D ? A D? A D , ?所以△BAD≌△CAD（SSS） ． 所以∠B=∠C．- 40 -BDC第 41 页 共 155 页]如右图，在△ABC 中，AB=AC，作顶角∠BAC 的角平分线 AD，因为, ? A B? A C ? ??B A D ? ? C A, D ? A D? A D , ?所以△BAD≌△CAD． 所以 BD=CD，∠BDA=∠CDA=ABDC1 ∠BDC=90°． 2A[例 1]如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD， 求：△ABC 各角的度数． 分析： 根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，? 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为 180°，?就可求出△ABC 的三个内角． 把∠A 设为 x 的话，那么∠ABC、∠C 都可以用 x 来表示，这样过程就更简捷． 解：因为 AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD（等边对等角） ． 设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x． 于是在△ABC 中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得 x=36°． 在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°． [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习- 41 -D B C第 42 页 共 155 页（一）课本 P141 练习 1、2、3． （二）阅读课本 P138～P140，然后小结． Ⅳ．课时小结 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是 轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角） ，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线， 并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．作业 （一）课本 P147─1、3、4、8 题． 课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞ 课后反思参考练习 一、选择题 1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A．某一条边上的高; C．平分一角和这个角对边的直线; B．某一条边上的中线 D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是 100°，它的顶角的度数是（ ） A．80° 答案：1．C B．20° 2．C C．80°和 20° D．80°或 50°二、已知等腰三角形的腰长比底边多 2cm，并且它的周长为 16cm． 求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为 xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得- 42 -第 43 页 共 155 页2（x+2）+x=16． 解得 x=4． 所以，等腰三角形的三边长为 4cm、6cm 和 6cm．§12．3．1．1 教学目标 1、 理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论等腰三角形（二）2、 能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点:1.正确区分等腰三角形的判定与性质. 2.能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系. 教学过程： 一、复习等腰三角形的性质 二、新授： I 提出问题，创设情境 出示投影片． 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度， 选择河流北岸上一棵树 (B 点)为 B 标， 然后在这棵树的正南方(南岸 A 点抽一小旗作标志)沿南偏东 60°方向走 一段距离到 C 处时，测得∠ACB 为 30°，这时，地质专家测得 AC 的长度就可知河流- 43 -第 44 页 共 155 页宽度． 学生们很想知道， 这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题， 引导学生学习 “等 腰三角形的判定” ． II 引入新课 1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容――在△ABC 中，苦∠B=∠C， 则 AB= AC 吗？ 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？ 2．引导学生根据图形，写出已知、求证． 2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名 称)． 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似 于性质定理可简称“等角对等边” ． 4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据． III 例题与练习 1．如图 2其中△ABC 是等腰三角形的是 [ ] 2．①如图 3，已知△ABC 中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)． ②如图 4， 已知△ABC 中， ∠A=36°， ∠C=72°， △ABC 是______三角形(根据什么？)． ③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，判断图 5 中等腰三角 形有______． ④若已知 AD＝4cm，则 BC______cm． 3．以问题形式引出推论 l______．- 44 -第 45 页 共 155 页4．以问题形式引出推论 2______． 例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角 形． 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 练习：5．(l)如图 6，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE//BC，交 AB 于点 D，交 AC 于 E．问图中哪些三角形是等腰三角形？ (2)上题中，若去掉条件 AB=AC，其他条件不变，图 6 中还有等腰三角形吗？ IV 课堂小结 1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？ 2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？ 3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？ 4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？ V 布置作业 1．阅读教材 2．书面作业：教材第 150 页第 12 题 3、 《课堂感悟与探究》 课后反思12．3．２ 教学目的等边三角形(一)1． 使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。 2． 熟识等边三角形的性质及判定． 2．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。 教学重点：等腰三角形的性质及其应用。- 45 -第 46 页 共 155 页教学难点：简洁的逻辑推理。 教学过程 一、复习巩固 1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角” 。把等腰三角形对折，折叠两 部分是互相重合的，即 AB 与 AC 重合，点 B 与点 C 重合，线段 BD 与 CD 也重合，所以 ∠B＝∠C。 等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和底边上的高线互相重合， 简称 “三线合一” 。 由于 AD 为等腰三角形的对称轴， 所以 BD＝ CD， AD 为底边上的中线； ∠BAD＝∠CAD， AD 为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 又为底边上的高，因此“三线合一” 。 2．若等腰三角形的两边长为 3 和 4，则其周长为多少? 二、新课 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形具有什么性质呢? 1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。 2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠ A ＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。 3．上面的条件和结论如何叙述? 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°。 等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 等边三角形也称为正三角形。 例 1．在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，∠B＝30°，求∠1 和∠ADC 的 度数。 分析：由 AB＝AC，D 为 BC 的中点，可知 AB 为 BC 底边上的中线，由“三线合一”- 46 -第 47 页 共 155 页可知 AD 是△ABC 的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于 ∠C＝∠B＝30°，∠BAC 可求，所以∠1 可求。 问题 1：本题若将 D 是 BC 边上的中点这一条件改为 AD 为等腰三角形顶角平分线或 底边 BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样? 问题 2：求∠1 是否还有其它方法? 三、练习巩固 1．判断下列命题，对的打“√” ，错的打“×” 。 a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( ) )b．有一个角是 60°的等腰三角形，其它两个内角也为 60°(2．如图(2)，在△ABC 中，已知 AB＝AC，AD 为∠BAC 的平分线，且∠2＝25°， 求∠ADB 和∠B 的度数。四、小结 由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为 60°。 “三线合一”性 质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找 其中一个结论成立的条件。 五、作业 1．课本 P147─７，９ 2、补充：如图(3)，△ABC 是等边三角形，BD、CE 是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC， ∠EOD 的度数。 （一）课本 P147─1、3、4、8 题． 课后反思- 47 -第 48 页 共 155 页§12．3．2.2 教学目标 掌握等边三角形的性质和判定方法． 培养分析问题、解决问题的能力． 教学重点：等边三角形的性质和判定方法． 教学难点：等边三角形性质的应用 教学过程 I 创设情境，提出问题 回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识等边三角形（二）1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．2．等边三角形每一个角相等，都是 60° 3．三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形． 其中 1、2 是等边三角形的性质；3、4 的等边三角形的判断方法． II 例题与练习 1．△ABC 是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE 都是等边三角形吗，为什么? ①在边 AB、AC 上分别截取 AD=AE．②作∠ADE＝60°，D、E 分别在边 AB、AC 上． ③过边 AB 上 D 点作 DE∥BC，交边 AC 于 E 点． 2．已知：如右图，P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点， ，并且 PB ＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC 的大小． 分析：由已知显然可知三角形 APQ 是等边三角形，每个角都 是 60°．又知△APB 与△AQC 都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可 推得∠PAB＝30°．- 48 -第 49 页 共 155 页III 课堂小结 1、 等腰三角形和性质 V 布置作业 1．教科书第 147 页练习 1、2 2．选做题： 2.等腰三角形的条件(1)教科书第 150 页习题 14．3 第 ll 题． (2)已知等边△ABC，求平面内一点 P，满足 A，B，C，P 四点中的任意三点连线都构成等 腰三角形．这样的点有多少个? 课后反思§12．3．2.1 教学过程 一、复习等腰三角形的判定与性质 二、新授：等边三角形（三）1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是 60°；三边上的中线、高、角平分线相等 2．等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 注意：推论 1 是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论 2 说明在等腰三角形 中，只要有一个角是 600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角 形。推论 3 反映的是直角三角形中边与角之间的关系. 3．由学生解答课本 148 页的例子； 4．补充：已知如图所示, 在△ABC 中, BD 是 AC 边上的中线, DB⊥BC 于 B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC 分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是 30o 的直角三角形, 斜边是 AB,30o 角所对的边是与 BC 相等的线段,问题就得到解决了.- 49 -第 50 页 共 155 页证明: 过 A 作 AE∥BC 交 BD 的延长线于 E ∵DB⊥BC(已知) ∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等) 在△ADE 和△CDB 中B??E ? ?CBD(已证) ? ??ADE ? ?BDC (对顶角相等) ? AD ? CD(已知) ?∴△ADE≌△CDB(AAS) ∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o 在 Rt△ABE 中,∠ABD=30o ∴AE=1 AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于 30o, 2 1 AB 2那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC= 点评 即 AB=2BC本题还可过 C 作 CE∥AB5、训练：如图所示,在等边△ABC 的边的延长线上取一点 E,以 CE 为边作等边△CDE,使它 与△ABC 位于直线 AE 的同一侧,点 M 为线段 AD 的中点,点 N 为线段 BE 的中点,求证:△ CNM 是等边三角形. 分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得 BE=AD,∠EBC=∠DAE,而 M、 N 分别为 BE、AD 的中点， 于是有 BN=AM， 要证明△CNM 是等边三角形， 只须证 MC=CN， ∠MCN=60o， 所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△ NBC≌△ MAC 证明：∵等边△ABC 和等边△DCE， ∴BC=AC，CD=CE， （等边三角形的边相等） ∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是 60）- 50 -第 51 页 共 155 页∴∠BCE=∠DCA ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等） BE=AD（全等三角形的对应边相等） 又∵BN=1 1 BE，AM= AD（中点定义） 2 2∴BN=AM ∴△NBC≌△MAC（SAS） ∴CM=CN（全等三角形的对应边相等） ∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等） ∴∠MCN=∠ACB=60o ∴△MCN 为等边三角形（有一个角等于 60o 的等腰三角形是等边三角形） 解题小结 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路 ,较复杂的几何 问题经常用这种方法进行分析 2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN 是一个 含 60o 角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是 证题的关键. 三、小结本节知识 四、作业：课本 151 页第 13，14 题§13．.1平方根（一）教学目标1.了解算术平方根的概念， 会用根号表示正数的算术平方根， 并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究 活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 算术平方根的概念。- 51 -教学难点 知识重点第 52 页 共 155 页教学过程（师生活动） 同学们，2003 年 10 月 15 日，这是我们每个中国人值得骄傲 的日子．因为这一天， “神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成 功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五 号飞船升空时的画面） ．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨 道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇 宙速度 v1 （米／秒）而小于第二宇宙速度： v 2 （米／秒） ． v1 、 v 2 的大小满足 v1 ? gR, v 2 ? 2 gR .怎样求 v1 、 v 2 呢？这就要用到平 情境导入 方根的概念，也就是本章的主要学习内容． 这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 请看下面的问题．2 2设计理念 “神舟”五号成功发 射和安全着陆，标志 着我国在攀登世界科 技高峰的征程上又迈 出具有重大历史意义 的一步，是我们伟大 祖国的荣耀．此内容 有感染力，使学生对 本章知识的应用价值 有一个感性认识，同 时激发学生的好奇心 和学习的兴趣．这里 的计算实际上是已知 幂和乘方的指数求底 数的问题，是乘方的 逆运算，学生以前没 有见过，由此引出了 本章所要研究的主要 内容，以及研究这些 内容的大体思路． 练习：教科书第 160 页的填表．这个问题 抽象成数学问题 就是已知正方形的面 积求正方形的边长， 这与学生以前学过的 已知正方形的边长求 它的面积的过程互 逆，教学时可以让学 生初步体会这种互逆 的过程，为后面的学 习做准备。多媒体展示教科书第 160 页的问题（问题略） ，然后提出问题： 你是怎样算出画框的边长等于 5dm 的呢？ （学生思考并交 流解法） 这个问题相当于在等式扩=25 中求出正数 x 的值． 练习：教科书第 160 页的填表． 提出问题 感知新知- 52 -第 53 页 共 155 页上面的问题， 可以归纳为 “已知一个正数的平方， 求这个正数” 的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个 数． 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x =a，那么这个正 数 x 叫做 a 的算术平方根．a 的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数．规定：0 的算术平方根是 0. 归纳新知 也就是，在等式 x =a (x≥0)中，规定 x = a . 思考：这里的数 a 应该是怎样的数呢？ 试一试：你能根据等式：12 2 =144 说出 144 的算术平方根是多 少吗？并用等式表示出来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关 系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如 25 表示 25 的算术平方根，因为?? 例． （课本第 160 页的例 1）求下列各数的算术平方根：2a 也可以写成22a ,读作 “二次根号a” 。 算术平方根的概 念比较抽象，原因之 一是学生对石这个新 的符号的理解要有一 个过程． 通过此问题， 使学生对符号“而” 表示的具体含义有更 具体、 更深刻的认识． 例题的解答展示了求 数的算术平方根的思 考过程． 在开始阶段， 宜让学生适当模仿， 熟练后可以直接写出 结果．49 （1）100；(2)1；(3) ；(4)0.0001 64应用新知 建议： 首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等 式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再求出结果，例如求 100 的算术平方根，就是求一个数 x，使 x =100，因为 10 ? 1002 2提出问题： （课本第 160 页）怎样用两个面积为 1 的小正方形 拼成一个面积为 2 的大正方形？ 方法 1：课本中的方法，略； 方法 2：可还有其他方法，鼓励学生探究。 问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？ 探究拓展 大正方形的边长是 2 ，表示 2 的算术平方根，它到底是个多大的 数？你能求出它的值吗？ 建议学生观察图形感受 2 的大小．小正方形的对角线的长是 多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值 我们将在下节课探究．教科书在边空提出问 题“小正方形的对角 线的长是多少” ， 这是为在 10．3 节介 绍在数轴上画出表示2 的点做准备．- 53 -第 54 页 共 155 页小结与作业 课堂小结 提问:1、这节课学习了什么呢？ 2、算术平方根的具体意义是怎么样的？ 3、怎样求一个正数的算术平方根？ 1、 必做题：课本第 167 页习题 10.1 第 1、2、3 题；168 页第 11 题。 2、 备选题： （1）判断下列说法是否正确： i. 是 25 的算术平方根； ii. iii. iv. 一 6 是 ?? 6 ? 的算术平方根； 0 的算术平方根是 0； 0.01 是 0.1 的算术平方根； ⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方2布置作业根． （2）下列各式哪些有意义，哪些没有意义？ ①－ 3 ②?3 ③?? 3?2④ 10?2（3）一个正方形的面积为 10 平方厘米，求以这个正方形的边 为直径的圆的面积。在本节的第一个 “探究”栏目之前， 重点是介绍算术平方 根的概念，因此所涉 及的数（包括例题中 的数）都是完全平方 数（能表示成一个有 理数的平方） ， 所求的 是这些完全平方数的 算术平方根．课后反思§13．1 平方根（二）教学目标1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩 大（或缩小）的规律； 2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值； 3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。 夹值法及估计一个（无理）数的大小。 教学过程（师生活动） 设计理念 在 2 出现之前，教学难点 知识重点情境导入我们已经知道：正数 x 满足 x =a,则称 x 是 a 的算术平方根．当- 54 -2第 55 页 共 155 页a 恰是一个数的平方数时， 我们已经能求出它的算术平方根了， 例如， 学生已经知道利用乘 方运算，通过观察的 16 =4；但当 a 不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥 方法求一些完全平方 数的算术平方根，但 求呢？例如课本第 161 页的大正方形的边长 2 等于多少呢？ 是对于像 2 这样的非 完全平方数，如何求 问题： 2 究竟有多大？ 它的算术平方根，对 建议：1、先让学生思考讨论并估计大概有多大，在此基础上按书本 学生来讲是一个新问 讲解并板书．可以这样提出问题并讲解：由直观可知招大于 1 而小于 题． 教科书给出两种 2，那么了 2 是 1 点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近 2 求 2 的方法：一种 的 1 位小数是 1.4， 而平方数大于 2 且最接近的 1 位小数是 1.5， 2 是估算，一种是使用 大于 1.4 而小于 1.5...... 计算器．对于第一方 法，教科书利用夹值 这里默认了非负数 a 和 b 当 a＜b 时， a ? b 这里可以从 的办法，夹值法是重 要的有效的求近似值 4 ? 9 得到。 的方法，所以应详细 2、用夹值法去逼近一个（无理）数，是一个重要的求近似数的 讲解． 方法，也是一种无限逼近的数学思想，教师应加以重视，让学生体验 对于无限不循环 它的妙处． 小数这个概念，教学 时可以适当回忆以前 3、关于 2 是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为 学生学过的数，通过 无理数的概念的提出打下基础． 比较，了解无限不循 环小数的特征，为后 归纳（提出问题） ：你对正数 a 的算术平方根 a 的结果有怎样 面学习实数做铺垫。 的认识呢？a 的结果有两种情：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；当 a 不是一个完全平方数时， a 是一个无限不循环小数。用计算器 求一个正 有理数的 算术平方 根例 1（课本第 162 页的例 2)用计算器求下列各式的值： （1） 3136 （2） 2 （精确到 0.001） 可按照书本讲．注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是 近似值， 但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的 近似值．通过例题，使学生掌 握使用计算器求算术 平方根的方法，可以 和上面所估计的 2 的大小比较。- 55 -第 56 页 共 155 页安排学生独立解决引言中的问题，利用计算器求出 v1 和 v 2 的值． 例 2（用多媒体显示课本第 163 页的例 3）题略． 建议：1、首先要注意学生是否弄清了题意；然后分析解题思路： 能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意， 例题给出了一个实际 易知正方形的边长是 20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形 问题背景，学生一般 的长和宽分别是 3xcm 和 2xcm, 求得长方形的长为 3 50 cm 后，接下来的问题是比较 3 50 和 会认为一定能用一块 20 的大小，这是个难点，要让学生思考，充分发表自己的意见，然 面积大的纸片裁出一 块面积小的纸片，通 后再比较． 2、视学生掌握知识的情况在例 3 前可先解决下面的问题：比较 过学习可以纠正学生 的认识．重点使学生 4 和 15 ，2 7 和 27 大小． 掌握通过平方数比较 有理数与无理数大小 的一种方法．综合应用课本第 164 页的练习（其中第 2 题要求不用计算器） 练习 课本第 163 页中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与它的 算术平方根扩大（或缩小）的规律． 对于（1）应有如下的规律：当被开方数扩大（或缩小）100 倍， 10000 倍?时，其算术平方根相应地扩大（或缩小）10 倍，100 倍? 小结与作业 1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩 小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值； 2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值； 3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规 律是怎样的呢？ 4、怎样的数是无限不循环小数？ 课本第 167~168 页习题 10.1 第 5、6、9、10 题；探究规律课堂小结布置作业课后反思§13． 1- 56 -平方根（三）第 57 页 共 155 页教学目标 教学难点 知识重点1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别； 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系； 3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 平方根和算术平方根的联系与区别 平方根的概念和求数的平方根。 教学过程（师生活动） 设计理念 如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？ 这个思考题是引入 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是 3 和 平方根概念的切入点， 要 －3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3 这个数，这时可提 让学生有充分的时间进 行思考和体验． 2 醒学生，这里的这个数可以是负数．注意 ?? 3? ? 9 中括号的作 在等式中求出 x 的 用． 值，为填表做准备． 4 通过填表中的 x 的 2 又如： x ? ，则 x 等于多少呢？ 值，进一步加深时“两个 25 使学生完成课本 165 页的填表练习． 互为相反数的平方等于 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数 同一个数”的印象，为平 方根的引入做准备． 2 就叫做 a 的平方根．即：如果 x =a，那么 x 叫做 a 的平方根． 教学中可以引导学 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 生通过查阅资料等方式， 例如： ? 3 的平方等于 9，9 的平方根是 ? 3，所以平方与开 了解平方根产 平方互为逆运算． 生发展的过程． （通常称 观察：课本 165 页中的图 10.1-2. 为平方根．在研究有关 n 图 10.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运 次方根的问题 算过程，揭示了开平方运算的本质． 时， 为使各次方根的说法 让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出 协调起见， 常采用二次方 1,4,9 的平方根． 根的说法． 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平 ? 3 表示＋3 和一 3 两个 方根的符号，给出的数是完全平方数． 数． 这种写法学生不太习 惯， 在以后的教学中宜不 断提到。 通过此例使学生明白 例 1： （课本 165 页的例 4） 。求下列各数的平方根。 平方根可以从平方运算 9 中求得， 并能规范地表述 （1） 100 （2） （3） 0.25 一个数的平方根． 这个例 16 题也为后面探讨平方根 建议教师要规范书写格式。 的特征做好准备． 按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方 根吗？- 57 -思考归纳 导入概念讨论归纳 深化概念通过讨论， 使学生对有理 数的平方根有一个全面 的认识． 也是平方根概念第 58 页 共 155 页建议： 可引导学生通过观察 x 2 =a 中的 a 和 x 的取值范围和取 值个数得出． 根据上面讨论得出的结果填课本 166 页的表． 注：学生刚开始接触平方}