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2015国考数量关系：排列组合与概率问题
　　中公教育专家通过对真题的深入研究发现，排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多地涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被重视。
　　在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。
　　一、基础原理
　　二、基本解题策略
　　面对排列组合问题，中公教育专家通过多年的研究经验找出了其常用的三种解题策略：
　　1.合理分类策略
　　①类与类之间必须互斥(互不相容)；②分类涵盖所有情况。
　　2.准确分步策略
　　①步与步之间互相独立(不相互影响)；②步与步之间保持连续性。
　　3.先组后排策略
　　当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。
　　【例题1】奶奶有6&颗口味各不相同的糖，现分给3&个孙子，其中1&人得1&颗、1&人得2&颗、1人得3颗，则共有(&&&&)种分法。
　　中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题(参加6颗口味各不同的糖)，又涉及组合问题(分给三个孙子，每人分得糖数不同)，应该先组后排。
　　三、概率问题
　　概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。
　　1.传统概率问题
　　【例题2】田忌与齐威王赛马并最终获胜被传为佳话。假设齐威王以上等马、中等马和下等马的固定顺序排阵，那么田忌随机将自己的三匹马排阵时，能够获得两场胜利的概率是(&&&&)。
　　中公解析：此题答案为C。
　　2.条件概率
　　在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。
　　P(AB)为AB同时发生的概率，P(B)为事件B单独发生的概率。
　　【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少？
　　四、排列组合问题特殊解法
　　排列组合问题用到的方法比较特殊，缘于这些方法都是在对问题进行变形，把不容易理解的问题转化为简单的排列组合问题。
　　1.捆绑法
　　排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。
　　【例题4】&某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共(&&&&)种。
　　2.插空法
　　排列时如要求几个元素不相邻，则把不能相邻的元素插到其他元素形成的“空隙”中去。
　　【例题5】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有多少种不同的方法？
　　3.插板法
　　若要求把n个元素分成m堆(每堆至少有1个)，则把(m-1)个木板插入这n个元素形成的(n-1)个“空隙”中去可实现上述要求。
　　【例题6】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？
　　【例题7】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？
　　5.分析问题对立面
　　很多问题分类讨论起来很麻烦，但是它的对立面却很好计算，此时只需要算出总体的情况数再减去对立面的情况数。
　　【例题8】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式？
　　中公解析：从中公的命题分析来看，题中的事件有多种情况，最直接的方法自然是分类讨论，但类别太多，此时应优先考虑它的对立面，看是不是要比问题本身简单。
　　“至少1种，至多4种”，结合题干，其反面是“1本都不订”。每种报纸有订或不订2种选择，则共有2×2×2×2=16种订法，反面情况为1种，则所求就是16－1=15种。
　　五、经典问题模型
　　排列组合中有若干经典问题分析起来较复杂，我们可直接利用这类问题的结论。其中主要介绍以下三类经典问题：环线排列问题、错位重排问题、传球问题。我们需要记住这些问题的结论。
　　本文由中公教育供稿
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看过本文的人还看过概率问题：胜率代表了什么？
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概率问题：胜率代表了什么？
【猪小宝的回答(184票)】:
举个不那么严谨的、直观的例子，NBA 常规赛，马刺60胜20负，山猫32胜48负，假设两队在第一轮季后赛相遇，问各自的胜率有多少？
第一个问题：已知积累足够多的数据，A 的胜率60%，B 的胜率40%，那么 A 和 B 相遇，一场定生死，则 A 胜出的是多少？
现实中有没有这种实例呢？有！美国职业棒球联盟就是个例子，比赛本身偶然性不是那么的强，数据记录已经延续了几十年。
通过这些数据的分析，Bill James 提出了用于估算美国职业棒球联赛胜率的
A=0.6，B=0.4，则 A 赢的概率是
事实上，它的来源是 Bill James 提出的另一个公式 。按照这个公式，A 60胜40负，「能力值」是60除以40等于1.5；B 40胜60负，「能力值」是40除以60，等于0.666。A 赢的概率是
通过与这些年联赛数据的对比，Bill James 也在做着相应的修正。但这两个公式起码可以提供一个近似的估算结果，与实际比赛结果也非常接近。
第二个问题：如果 A、B 连续对决多次，采用三局两胜或者七局四胜，结果如何？
如果比的局次少，输赢的概率按照胜率的相对强弱关系；比的局次足够多，胜率大的那一方总能赢。
只比一局，69.2%；三局两胜，77.42%；五局三胜，82.66%；七局四胜，86.38%；九局五胜，89.15%；十一局六胜，91.27%……17局9胜，95.30%……101局51胜，99.9972%……
一局决胜负，可能的情况有两种。A，B。按照相对强弱对比，A 概率 69.2%，B 概率 30.8%。这两个概率都远远大于5%，都是大概率事件，所以都有可能发生。A 获胜的概率较大，但并不能保证一定能获胜。比100次单场决胜负，B 大约能赢30次。
有的同学说，不对啊，虽然A胜率60%，B胜率40%，A的胜率比B高，实力也比B强，但万一 A 就是从未赢过 B 呢？没错，的确有这种可能，B 是 A 的苦主。所以，我们说 B 赢的可能性也有 30.8% ，这种情况就完全包含在这 30.8% 里。而且，A 从未赢过 B，不代表这次就不能赢 B。
三局两胜，结局共有八种，我们用A代表A胜，B代表B胜。这八种情况分别是，AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB。八种情况的概率分别为
AAA 0.692^3=0.331
AAB (0.692^2)*(0.308)=0.147
ABB (0.308^2)*(0.692)=0.066
BBB 0.308^3=0.029
A 最终胜出的情况为前四种，相加为 0.331+0.147+0.147+0.147=0.77
B 最终胜出的情况为后四种，相加为 0.066+0.066+0.066+0.029=0.23
也就是，三局两胜，A 赢的概率上升到 77%，B 赢的概率下降到23%。但是，23%还是大概率事件，依然有可能发生。也就是说，比100次三局两胜，B 依然能赢差不多 23 次。
同理，我们再考虑五局三胜的情况。
A 最终胜出的情况有
五局横扫全胜，一种情况：AAAAA，概率为 0.692^5=0.159
赢了其中的四局，五种情况：BAAAA、ABAAA、AABAA、AAABA、AAAAB，总概率为5*(0.692^4)*(0.308)=0.353
赢了其中的三局，十种情况：BBAAA、BABAA……总概率为10*(0.692^3)*(0.308^2)=0.314
A 胜出的概率为 0.159+0.353+0.314=0.826
也就是说，如果五局三胜，A 的胜率上升到82.6%。比100次五局三胜，B 依然能赢差不多17次。
如果我们认为概率小于5%的事件是小概率事件，那么就意外着，A 和 B 至少要进行17局9胜的系列赛，B获胜才是个小概率事件。
现在，你知道为什么 NBA 季后赛要七战四胜、斯诺克世锦赛甚至要35局18胜了吧？
回到我们开头的小例子，马刺60胜20负，胜率0.75，山猫32胜48负，胜率0.4。七局四胜，此时两者的相对强弱对比
。马刺赢下季后赛的概率是 97.6%，山猫爆冷上演奇迹的概率是 2.4%。但是，如果不是七局四胜，而是一场定生死，那马刺赢的概率只有81.8%，山猫可是有高达 18.2% 的概率爆冷赢马刺哦。
我们再来看看AB比赛A获胜的场次情况：
一局决胜，A 获胜的情况只有1种，A。
三局两胜，A 获胜的情况有 1+3种，全胜AAA这1种，两胜一负AAB、ABA、BAA 这三种。
五局三胜，A 获胜的情况有 1+5+10种……
七局四胜，A 获胜的情况有 1+7+21+35种……
九局五胜，A 获胜的情况有 1+9+36+84+126种……
……听说过有个叫帕斯卡三角的东西吗？在我们的中学课本里，它被叫做杨辉三角。现在你知道它的用处和来历了吧？
【Cloud的回答(7票)】:
之前答案可能带有攻击性，修改下，如果有冒犯的地方给大家陪个不是，望海涵。
既然关于这个还有争论，那我再解释下自己看法。
把题目换个说法：AB的胜率分别为60和40，然后估计下AB对战的胜率。这样可能好理解点。个人认为之所以会认为无解是对于题目里这个胜率的理解有点分歧。这里的胜率应该有两种意思，一种是抽取的AB胜率分别为60和40，此处的胜率是总体的信息，表述的是总体的分布特征。第二种是问题里所要求的胜率，这里的胜率是所抽取样本的可能分布。两者的含义应该是不同的，不少人概念混杂以至于觉得问题多余或者无解。这里叙述可能有点不清晰，举个例子吧。
有十一张卡片，上面分别写着0到10十一个数字，那么我们可以得出卡片上数字的平均数是5，确定值。对应上面的，这个平均数就是对于总体信息的描述。然后，从十一张卡片里面抽取2张卡片，取平均数。显然，这里的平均数突然就由确定变为不确定了，因为这里的平均数是对于样本分布的反映，由于样本的随机性而变为一个随机变量。同样的，这里的样本平均数就对应于上面所要求的胜率。
于是，可能有的人并未分清两者的区别，所以根据样本的随机性，并不可能求得一个像总体信息一样的确定值胜率，所以无解。不过，虽然胜率是一个随机变量，如果能求出其概率分布情况，也就能对胜率有一个充分的预估。那么有理由说胜率的概率分布有着同等的意义，而由所给的总体信息可以推导出样本胜率的分布，所以说胜率是可求的。
还是以上面的卡片为例。知道总体均值为5，于是能够推出每次样本均值的概率分布情况。即使对于每一次抽取样本的平均数没法具体确定，但是仍有理由认为样本平均数期望为5。
这就是对于胜率进行估计的基础。
虽然可能没多少人看得懂，我还是写下我之前推导的完整计算过程。
胜率为60和40的个体都是无穷的，他们之间的关系也是不确定的，所以求的是胜率的期望值而不是具体关系。题目问的是随机选取胜率为60和40的两个个体（并不知道他们之前的胜负关系），根据两者的胜率信息来估计这两个随机个体之间的对战胜率。
按照这个理解，我的思路是由无穷这一条件，对每个参赛者假定X这一随机变量，表示与随机对手对战时若赢X=1，若输X=0，那么X的均值也就是胜率是服从正态分布的，分布的均值和方差可以由伯努利分布和条件导出。
推导过程：设参赛者与随机对手比赛n次（这里n趋近于无穷），这是一个典型的伯努利实验，那么X的均值（即胜率）为P，方差为P（1－P）/n ，也就是其胜率服从均值为P，方差为P（1－P）/n的正态分布。
那么，对于最后的问题可以假设X与Y两个随机变量分别表示A和B的胜率，两者均服从已知的正态分布。
对于A选手，胜率
对于B选手，其胜率
简便起见设
现在求A与B的对战胜率相当于在X+Y=1这一限定条件下求X的期望。此时X和Y的联合分布为二维正态分布，假设其相关系数为
则联合分布函数为：
x+y=1的条件下，条件概率分布为：
已知条件分布，对X积分求期望得
根据这个题目给的条件，正好求出来的期望与假定的相关系数无关，不知道推广到其他情况是否也与相关系数无关，计算量太大，不尝试了。
【王宇睿的回答(7票)】:
以下是来自山村的思维法：
假设AB对决时，A获胜的概率为X
当X为100%时，A选手的胜率依然能够是60%（在其他选手那里多输一点），B选手的胜率依然能够为40%
当X为0%时，A选手的胜率依然能够是60%（在其他选手那里多赢一点），B选手的胜率依然能够为40%
当X为任意数时，都可以让A选手的胜率为60%，B选手的胜率为40%
所以A,B选手的胜率，并不会影响到A对B的胜率。AB对决，A获胜的概率可以是任意值。
======================
修正下答案，我结合了下后面的评论，把答案完善了一下
首先，我觉得我们基本同意了，答案是什么，会与是什么运动相关
把题目抽象为：
假设有一个无限大的运动馆，里面有无数多个运动员在不知疲倦地比赛，任意两人间已进行无数多场比赛。
已知A选手的胜率为60%，B选手的胜率为40%。
今AB对决，求A获胜的概率。
那如果这个运动是一个类似抽牌比大小的运动：A有100张牌，60张是4,40长是1；B有100张牌，100张都是3；其他选手都是60张3,40张2。这样的运动，A胜率必定是60%，A胜B的概率也必定是60%。
如果这个运动是一个类似猜拳的游戏：拳头和布，但是引入许多新的手势，新的手势之间不一定要互相对应的关系，但是会导致拳头的胜率是60%，布的胜率是40%。这样的运动，A胜率是60%，但是A胜B的概率就只有0%。
最后回到台球上来。我刚刚已经得出结论，A胜B的概率是多少，会取决于这个运动。
所以，这个问题的答案，是需要去考虑一些额外的条件的。
所以，去分析台球这项运动，会怎么样去影响这个概率，并得出一个相对准确的模型，才能得出答案。我不太了解台球，但是我至少知道斯诺克也是存在防守技巧的。我不太相信台球会和上面的抽牌的例子一样，不存在相克的关系。
【塞莱尼阿卡沙的回答(4票)】:
这么简单的问题楼上给的都是神马鸟答案啊...居然还有说无解的我擦，你们大学条件概率都学到哪去了...
也就 给出的答案还靠点谱，不过Bill James的公式原理你们理解么？...
来给出最易懂的答案：
A与B对决结果只有四种情况：A赢B赢，A输B输，A赢B输，A输B赢
根据不存在平局的可能性，所以前两种要排除掉，那么后两种的概率合是
1-A赢×B赢-A输×B输=1-（0.6×0.4）-（1-0.6）×（1-0.4）=A+B-2AB也就是Bill James公式的分母
A赢B输的概率是：A赢×B输=0.6×（1-0.4）=A（1-B）也就是Bill James公式的分子
所以A赢B输的条件概率是：以上两个式子的比值。
【谭峻的回答(0票)】:
事实上，不同级别的选手是可以辗压的。。。
首先，我们不考虑这种情况。
那么楼上@刘 同学的算法是对的，我来描述的更乡土一点吧
我们把这个问题简化成概率中常用的抽乒乓球问题。
假设题中的比赛规则如下：
1 每个选手有不同数量的球
2 比赛时，双方先把球放桶里
3 随机抽出一个球，抽到谁的算谁赢
在这个规则下，假设所有人平均有100个球。则获胜概率60%的人有
X/X+100=0.6，即150个，获胜概率40%的人为200/3个。
A获胜概率：150/（150+200/3）=9/13
结论跟楼上的@刘 同学一致。
好了，我们再来考虑真实世界。实际上，不同级别选手对战的胜率不是可以用概率来平均的。
举几个极端的例子，假设一共有101个选手，实力值分别是0—100，实力低的永远打不过实力高，显然，题中的A选手实力值是60，选手B的实力值是40。B获胜概率是100%。
再比如，选手直接是有等级之分的，低等级打不过高等级。
再再比如，高实力值的人对战低实力值胜率是90%；或者胜率按实力值差距等比递增。
结论，题设不足，此题无解。但是9/13在某些前提下是个可供参考的答案。
【王新蜂的回答(0票)】:
是不是要看他们之间历史对战情况才好下定夺啊，这种两人对战的并不能看作随机事件吧
【许可的回答(0票)】:
我也觉得无解，给的条件太少，比如厉害程度是否有传递性，如何传递这些信息都没给出来。比如A赢B的概率是0.8，B赢C的概率是0.6，那A赢C的概率是多少仅靠给出的条件是无法得出的。
我再举个极端的例子吧，不知道大家还记不得记得以前那种动物棋，大象最屌，狮子其次，过了是老虎...老鼠最渣，不过老鼠可以钻到大象鼻子里面去，所以大象遇老鼠老鼠赢。假设把各种动物混到一起让他们无穷多次相遇，如果有11种，那下来大象的总体胜率应该是0.9，老鼠的胜率应该是0.1，这时候如果让老鼠跟大象比试的话老鼠反而有100%的胜率。
在运动比赛中一般A比B厉害B比C厉害那么A还是会比C厉害一些，不像刚才说的那么极端，不过模型给的不详细的话很难定量判断这个胜率如何传递。也就无从回答题目中的问题了。
再举一个例子吧，比如说这个比赛就像比高矮一样，每两个人相遇他们的胜率只能是0和1，意思如果A能赢B，那么A总能赢B，同时如果A赢B，B赢C，那么A一定能赢C。这样在无穷多个人之中互相比试无穷多次，A胜率0.6，B的胜率0.4，假设身高是从0-1m等可能分布的(怎么分布都不影响，等可能分布更方便计算)，那A的身高应该是0.6m，B的身高应该是0.4m，A赢B的概率100%.但如果换成另外的比赛模型，那胜率就显然不同了。
【刘陈佳的回答(0票)】:
① 里面有无数多个球手在不知疲倦地比赛，那我给每个球手用大于零的有理数编一个号，则0~无穷大之间任何一个有理数X代表一个球手。这里假设代表A和B的有理数是a和b。
② 任意两人间已进行无数多场比赛，如果两人各自的实力不是随机的话，则意味A对任意一个确定的人之间的交战有一个确定的胜率，如果X表示代表选手的编号，那么A(X)可以看做A对任意一个X选手获胜的概率，则LZ问题的答案即A对B获胜的概率为A（b）。
③A选手的胜率为60%是什么意思呢，因为有60%这个确切的数据，我是不是可以认为60%是指A和其他所有人各打一局，其中六成获胜了，否则60%无法解释。那么
60%=lim(x趋近于无穷大){ [∫（0→无穷大) A（x）*dx]/x} 这个学过微积分的都能理解，因为符号太难打，有兴趣的同学写在纸上会比较直观，要符合以上的式子也就是A的胜率为百分之六十的A（x）有很多种，比如A(x)=0.6+sinx/3 或者0.6+sinx/4等等（自己验证，很简单，至于这些函数怎么得来的此处不明）。。所以同样一个b根据A（x）不同会有不同的答案。
④同理，B选手的胜率为40%，我也可以举例B(x)=0.4+sinx/2等等。
总结：①只知道A选手的胜率为60%，B选手的胜率为40%，意味着A和B的胜率函数可能有很多，只要满足第三点那个函数就好，所以AB的胜率不确定。
②我是直接告诉大家答案，中间部分过程简略或没写，欢迎疑问或指正。
【黄诺的回答(0票)】:
我试试这么解释这件事情：
假设所有这些球员每场比赛的结构都被记录下来了，这些记录叫做“原始数据”。
基于这些原始数据，统计得出的每一个球员的胜率表，叫做“报表”。
报表是基于原始数据，通过钻取，切片等方式进行分析得到的结果。生成报表的过程中，原始数据中的几乎所有个别信息都被抛弃了。例如球员A每场比赛的得分，对手等等。
而问题中想要的结果“A和B对战的胜利”，实际上是基于原始数据采用其他分析方法导出的报表（类似于郭奇贴的相性表）。这个报表所需要的个别信息在前一个胜率表中已经被抛弃了。所以要输出这张报表，需要从原始数据跑，而不是从前面那张报表来跑。
这事儿有点像盲人摸象。象是原始数据，摸的方式是输出报表所采用的分析方法。不可能指望倚靠摸腿的那个人的描述来预测摸以巴的那个人的感受。还是得用摸以巴的方式去摸一遍大象才行。
【TomHall的回答(1票)】:
相当于是已知P(A)和P(B)，要求P(A|B)。
但是P(A|B)=P(A,B)/P(B)，我们不知道P(A,B)，所以没法得到答案。
【刘煜鸿的回答(0票)】:
A赢B输的概率：60% * 60% = 36%
A输B赢的概率：40% * 40% = 16%
最终 A赢的概率：36% /（36% + 16%）
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50个概率题
1. 袜子抽屉
一个抽屉有红袜子和黑袜子，随机取出两支袜子都是红袜子的概率是0.5,(a)抽屉里最少有几只袜子？(b)如果抽屉中黑袜子的数量是偶数，抽屉里最少有几只袜子？
为了激励小明的网球生涯，如果他在三盘中连赢2盘，他爹就给他奖励，小明每盘可从他爹和俱乐部冠军中选一个作为对手，但不能连续选择一个人2次，即“爹-冠军-爹”或“冠军-爹-冠军”。冠军的水平比他爹高。小明应该选择哪种顺序？
3. 轻浮的陪审员
三人陪审团中有2位以概率p独立地做出正确的决定，第三个人靠抛硬币做决定，最后以多数原则做出最后决定。另一个陪审团只有一个人，以概率p做正确决定。哪个陪审团更公正
4. 抛到6为止
平均需要掷几次色子才会掷出6？
解法2：设平均需要掷m次色子才会掷出6，这是一个期望值。若第一次掷出的不是6（概率为q=1-p=5/6），则还需要掷m次，共掷m+1次；若第一次掷出6(概率为p=1/6)，则不需要再掷了，共掷1次。又总的期望应该是m，则有qx(m+1)+px1=m，解得m=1/p=6
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5. 方形中的硬币
在一个游戏中，一位玩家从5英尺的距离处抛掷一枚直径3/4英寸的便士到1平方英寸的方形桌面上。若便士完全落在桌子内，他将获得5先令，但无论输赢都不能拿回他的便士，如果便士落在桌子上，他赢的机会有多大。
不知道我翻译错没有，答案是1/16。
6. Chuck-a-Luck
Chuck-a-Luck是一种赌博游戏，玩家可给1，2，3，4，5，6中的任意数字下注，可同时给不同的数字下不同的筹码。庄家抛3个色子，若玩家的数字出现在1个，2个或3个色子中，他将相应地赢取所下注筹码的1倍、2倍、3倍，并赢回自己的筹码，否则输掉他下注的筹码。玩家们每单位筹码的期望损失是多少？
这个问题的理解有点难度，容易以玩家的角色带入，若把问题看作庄家每单位筹码的期望盈利是多少则会简单很多。这样我们可以合理地假设所有玩家给每个数字下注的机会是均等的，把所有玩家抽象为一个玩家，他每次给1,2,3,4,5,6都下注一个单位的筹码。
当我们(庄家)开出三个不同的数字时，玩家获利3个单位，同时损失3个单位，我们没有盈利；这种情况第一个色子有6个数字可选，第二个有5个，第三个四个，有6x5x4=120种排列，每个色子有6种取法，三个色子共有6x6x6=216种排列，发生的概率是120216；
当我们开出2个一样的数字时，玩家获利3个单位，同时损失4个单位，我们盈利1个单位，平均每单位筹码盈利16个单位筹码；该情况下从3个色子中取2个作为一样的数字，有3种取法，这两个色子的有6个数字可选，第三个色子只有5个数字可选，有(32)x6x5=90种排列，发生的概率是90216；
当我们开出3个一样的数字时，玩家获利3个单位，同时损失5个单位，我们盈利2个单位，平均每单位筹码盈利26=13单位的筹码；这种情况在6个数字中选一个作为重复3次的数字，有6种取法，三个色子都只能从这个数字中选择，共6种排列，发生的概率是6216。
三种情况的概率之和为1，不会再有别的情况了。因此我们庄家的期望收益是
0×120216+16×90216+13×6216=17216≈0.0787（比0.0398的50年中国国债收益高多了，还是不如房地产，果然是地产兴邦）。
因此玩家们的每单位筹码的损失是0.0787。 转轮相当于更多面的色子，指针或珠子停住的位置上的数字相当于色子开出的点数，比扔色子盈利更高，玩家损失更多, 所以说玩家还是要远离赌博。
7. 治疗强迫症赌徒
轮盘上有38个等可能的数字，如果玩家猜的数字中了，他将获得35倍的筹码以及他下注的筹码；否则输掉他下注的筹码。小明他爹不听小明的劝阻，总是在轮盘的13号位赌1块钱。为了帮助治疗他爹的强迫症，小明总是赌20块钱他爹将再36轮后亏本，（他爹亏本了就给小明20块钱，没亏本就挣小明20块钱），小明能让他爹吃到教训吗？
这个问题首先要搞清楚小明他爹在36轮后亏本的概率分布，什么情况下亏本，什么情况下不亏本。试着算一下，36轮中只要赢一次，+35×1+(-1)×35=0，他爹正好不亏，36轮全输了才亏本，因此他爹36轮后亏本的概率分布为
(3738)36≈0.383
1-0.383=0.617
因此小明他爹从小明那盈利的期望：20×0.617+(–20)×0.383=4.68
小明他爹每轮从赌场那盈利的期望：35×138+(-1)×3738=-238
36轮后从赌场盈利的期望：-238×36≈-1.89
最后，小明他爹36轮后盈利的总期望：4.68–1.89=2.99
哈哈，看来小明可能先吃到教训。不过要是小明运气好的话，可能小明他爹在第一次亏掉36+20=56块钱之后就不玩了。
8. 一手完美桥牌
桥牌一般是扑克去掉大小王后的52张牌，4位玩家每人发13张牌。我们常听说某人被发了13张同花顺。在一副洗好的桥牌里获得一手同花顺的概率是多少？
4(1313)(5213)=6.299×10-12
Craps，也就是掷骰子，是美国玩起来最快也最流行的赌博游戏。每次掷2个骰子并合计点数，先掷出7或11的获胜，一旦掷出2,3或12则输了。掷出了其他的点数称为point，如果你先掷出的是point，那么你需要一直掷骰子直到你再掷出一次同样的point就算赢，掷出7则算输。每个玩家赢的概率有多大？
2个骰子的和的分布律：
第一次掷骰子情况
6/36+2/36=8/36
1/36+2/36+1/36=4/36
4,5,6,8,9,10
/36+4/36+5/36+5/36+4/36+3/36=24/36
掷出point之后，需要重复掷骰子，虽然每次掷骰子有三种情况，输、赢和“再来一次”。但是总的来说你只有2个结果，输或者赢。如果你第一次掷的point是4，那么往后你掷出4就赢，掷出7就输，所以你赢的(条件)概率为p4/(p4+p7)=(3/36)/(3/36+6/36)=1/3，你可以理解为：将没事的情况里无限细分，最后所有赢的概率的和的极限就是1/3。其他的条件概率同理有：
5：p5/(p5+p7) = (4/36)/(4/36+6/36) = 2/5
6：p6/(p6+p7) = (5/36)/(5/36+6/36) = 5/11
8：p8/(p8+p7) = (5/36)/(5/36+6/36) = 5/11
9：p9/(p9+p7) = (4/36)/(4/36+6/36) = 2/5
10：p10/(p10+p7) = (3/36)/(3/36+6/36) = 1/3
因此总的来说赢的概率为
8/36 + (3/36 x 1/3 + 4/36 x 2/5 + 5/36 x 5/11 + 5/36 x 5/11 + 4/36 x 2/5 + 3/36 x 1/3) ≈0.49293
那么玩家没单位筹码的盈利期望为：1x(1-0.49293) +(– 1)x0.49293 = -0.01414, 每单位筹码的损失率是1.41%
再回头来看看条件概率的计算。假设你掷出point（赢）的概率为P，再算上你掷出7（输）的概率为6/36，那么你“再来一次”的概率为R=1-P-6/36。因此从第二次掷骰子开始(包括第二次)，你赢的概率为
P+RP+R2P+R3P+… = P(1+R+R2+R3+…) = P/(1-R) = P/[1-(1-P-6/36)] = P/(P+6/36)，与上面的计算相同。
10. 个人对于赌注的承受实验
(a) 瓮中有10个黑球和10个白球，你指定颜色黑或白，再随机取球，若球的颜色和你指定的颜色匹配，你赢的10块钱。如果玩这个游戏需要花钱，你最多愿意花多少钱去玩这个游戏，假设只玩一次。
(b) 有的朋友有许多黑球和白球，他随意往瓮里求了若干白球和黑球，这次你最多愿意花多少钱玩？
A能算出期望，是5块钱，但是大部分人真不愿意付出5块钱，就玩一次，大多数人估计只愿意付出几毛钱或者几分钱。这个赌博游戏要是真设计成这样，玩一次只要几毛钱，黑白球比例还是1:1，那么庄家肯定要亏惨，但是你要玩家至少出5块钱那肯定没人玩。
(b) 和a一样，你猜中的概率是0.5，就算瓮里全部是黑球，在你不知道的情况下，你的选项还是2个，猜中的概率还是0.5。不过这游戏恐怕更没人玩了，条件太少了，让人觉得根本就是瞎扯。哈哈，实际上两个游戏一样都是瞎猜。
沉默的合作
两个陌生人被分开地要求从所有数字中选择一个正数，如果两个人选择的数字恰好相同则会获得奖励，你会选择哪个数字？
这听起来像是个0概率事件。但是这种选择不是随机选择，每个数字对人们的吸引力是不一样的。一想到要选一个别人也很可能会选择的数，没人会选择超过个位数的数，1最自然的想法，也是最多被选择的数，有的人也选择3和7。
12. Quo Vadis? (拉丁语，你去往何处？)
2个仅通过密码联系的陌生人约定星期四中午12点在纽约会面，准备干一票大的。他们都不熟悉纽约，结果这俩2逼出发后才发现他们忘记约定在纽约的那里会面。然而他们还是想见面，你说他们会去哪里？
帝国大厦，机场，火车站信息台，自由女神像，时代广场，都是1964年能想到的地方。 当陌生人知道到达那里是多么困难的时候，自由女神像就会被排除。 机场距离城市距离很远也会被排除。 在我(作者)看来，有两个重要的火车站将被排除。 这将留下帝国大厦或时代广场。 我会选择帝国大厦，因为时代广场日益庞大。 我认为如果他们在旧金山或巴黎见过面，他们的问题会更容易，不是吗？
13. 囚犯的抉择
A,B,C三位申请假释的囚犯，有着同样良好的记录。假释委员会通过了其中2位囚犯的申请，但是囚犯们还不知道是他们3人中的哪2位。囚犯A有个预警朋友知道谁将被允许假释。囚犯A觉得不太好意思直接问自己是否被释放，于是他想问B和C是否被释放。他认为他现在被释放的概率是2/3，一旦预警回答”B将被释放”，那么它自己被释放的概率就变成了1/2。因此A打消了问预警的念头，他害怕自己被释放的概率减小。这种想法显然是错误的，请问错在哪？
他的样本空间考虑错了
谁被释放这是一个事件m：A,B,C被释放的情况有AB, AC, BC三种情况，
再考虑另一个事件n：预警回答B或C, (A只询问预警B和C的情况)
根据贝叶斯公式，当预警说B被释放时，A被释放的后验概率为
P(m=AB│n=B)====P(m=AB,n=B)P(n=B)P(m=AB)×P(n=B│m=AB)P(m=AB)×P(n=B│m=AB)+P(m=BC)×P(n=B│m=BC)13×113×1+13×1223
14. 收集优惠券
麦片盒中的优惠券有1至5号，每盒麦片里都有一张优惠券，获得每种优惠券的机会均等，集齐这5种优惠券可以得到一个奖励，平均买多少盒麦片可以集齐一套优惠券？
这跟做多少次实验首次成功差不多，可以把这个问题看作五段伯努利过程，每一段的参数不一样：
第一段伯努利过程中，获得所需优惠券的概率为1，因此只需买1盒；
第二段伯努利过程，因为已经得到一种优惠券了，我想要的优惠券变为剩下的四种，所以获得所需优惠券的概率为4/5，伯努利过程中首次成功的实验次数服从参数为p几何分布, 其分布列为
P(k)=p(1-p)k-1,k=1,2,… 几何分布的期望为1/p,因此获得第二种所需优惠券需要买1/p=1/(4/5)=5/4=1.25盒;
第三段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为3/5，需要买5/3=1.67盒;
第四段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为2/5，需要买5/2=2.5盒;
第五段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为1/5，需要买5/1=5盒;
至此收集完5中优惠券平均共需买麦片
1+1.25+1.67+2.5+5= 11.42盒
15.音乐会的一排座位
8位单身汉和7位美丽的模特随机坐在音乐会中一排座位中的任意位置。平均出现几对男女邻座？
1对邻座刚好坐着一对男女的情况为“男女”或“女男” ，发生的概率是
8/15×7/14+7/15×8/14=8/15
也就是说，1对邻座平均坐着1×8/15+0×(1-8/15)=8/15对男女。15个座位共有14对邻座，根据和的期望等于期望的和，14对邻座中男女对数的期望等于1对邻座的男女对数期望的14倍。因此15个座位产生的男女对数为14*8/15=7.4667对
16.第二好能成为亚军吗？
8位运动员参加网球比赛，赛程如下图
假设每场比赛的胜负只有运动员的水平决定。最好的运动员一定获得冠军，那么第二好的运动员获得亚军的概率是多少？
4/7，第二好的运动员要获得亚军必须在finals才与第一好相遇，那么他在第一轮要被分在和第一好不同的另一半边。第一好占了一个位置，所以是4/7
17. 双胞胎骑士
（a）亚瑟王举办Jousting比赛（两个骑士拿着长矛对冲），8位骑士参加，包括双胞胎Balin和Balan，依然按照16题中的赛程比赛，求他俩在比赛中相遇的概率?
这里不知道各个骑士水平谁好谁坏，只能假设每个骑士赢的概率都是1/2.
假设双胞胎中的一位被分在某个位置，不妨设为1，另一位和他在同一小组（如位置2）的概率为1/7, 而此时相遇大概率为1；
另一位和他在相邻的小组（如位置3或4）的概率为2/7, 而此时相遇大概率为1/4；
另一位在另一半大组（如位置5,6,7,8）的概率为4/7, 而此时相遇大概率为1/16；
因此他两相遇的概率为
17?1+27?14+47?116=14
（b）将(a)中的8改为2n?
2n中的n表示要比赛n轮，若1人被随机分到这一大半边，另一人被分到另一大半边的概率为2n-12n-1，其中一人杀到第n轮的概率为12n-1 ，两人都杀到第n轮的概率为12n-1?12n-1=122(n-1)，所以两人在第n轮相遇的概率为
2n-12n-1?122(n-1)
两人在第i轮相遇的概率为
2i-12n-1?122(i-1)
相遇的总概率为第1,2,3,…,n轮相遇的概率之和
∑i=1n2i-12n-1?122(i-1)=12n-1∑i=1n12i-1=22n-1∑i=1n12i=22n-1(1-12n)=12n-1
18.抛均匀的硬币
抛100次硬币，正好50次正面朝上的概率？
很简单，二项分布
p=(10050)(12)100=100!50!50!(12)100
难点是没有计算器怎么办？
根据斯特林公式（Stirling’s approximation）
n!≈2π--√nn+12e-n
有时也能简便一点
19.艾萨克·牛顿帮助塞缪尔·佩皮斯
佩皮斯写信给牛顿问下面那件事是最可能发生的
（a） 掷6个骰子，至少得到1个6
（b） 掷12个骰子，至少得到2个6
（c） 掷18个骰子，至少得到3个6
20. 三角决斗
A，B和C玩三角手枪决斗。 所有人都知道，A的命中率是0.3，C是0.5，B不会失误。 他们将按照A，B，C循环的顺序自由选择目标决斗，直到最后一个人活下来。A的策略应该是什么？
如上图，若A先射C, A赢的概率是0.21，若A先射击B, A赢的概率将大于0.21. 因此A应先射B。此时的局面是AC互射，A赢的情况只可能为C一直射不中A, 而A在最后一次射击时射中了C, 因此A赢的概率为
C射1次A没射中, A第1次射就射死C:
C射2次A没射中, A第2次射才射死C:
0.52×0.7×0.3+
C射3次A没射中, A第3次射才射死C:
0.53×0.72×0.3+
C射4次A没射中, A第4次射才射死C:
0.54×0.73×0.3+
这是个无穷递减等比数列求和，比值为0.5x0.7=0.35
0.5×0.3×(1+0.5×0.7+(0.5×0.7)2+(0.5×0.7)3+…)=0.5×0.3×11-0.35=3/13
因此，若A先射B, A赢的概率为0.21+0.3×3/13=0.279.
起码A的生还几率大了近7个点
21.放回抽样还是不放回抽样
两个装有红球和黑球的桶。A桶有2个红球和1个黑球，B桶有101个红球和100个黑球。桶被随机选择。在第一个球被取出并报告颜色后你可以决定它是否放回原来的桶中（当然你看不到是哪个桶），再从这个桶中取出第二个球（2个球来自同一个桶），你根据这2个球的颜色判断它们来自哪个桶，判断对了可获得奖励。
如果第一个取出的球是红色，被取出球的桶剩余的红球数与黑球数相等，这样不好做判断，因此最好放回；若第一个取出的球是黑色，被取出桶中的黑球更少了，有利于我们根据期望判断。
假设第1次取出红球，放回红球，再取出又是红球。
如果球来自A桶，这种情况发生的概率为1/2*2/3*2/3=0.222
如果球来自B桶，这种情况发生的概率为1/2*101/201*101/201=0.126
当球来自A桶，这种情况发生的概率大，因此我们推断球来自A桶
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