&原理简介/海伦公式
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]&和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明过程/海伦公式
证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导cosC&=&(a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2&C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]& & =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][2]证明⑵中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px&2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2&]^2}当P=1时，△&2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2&]^2}因式分解得△&^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]=1/4[(c+a)&^2-b&^2][b^&2-(c-a)^&2]=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2&]^2}&.其中c&b&a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形=&根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)&（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）代入解得s=8√&3证明⑶在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c&O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴&r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明⑷通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明&（具体可以参考证明方法1）
&推广相关/海伦公式
介绍关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p&=&(a+b+c)/2，则S△ABC=1/2&aha=1/2&ab×sinC=&r&p=&2R^2sinAsinBsinC=&√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC&=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]&就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p&=&(a+b+c），则s△abc&=&aha=&ab×sinc&=&r&p=&2r2sinasinbsinc其中，s△abc&=&就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、&海伦公式的变形
二、的证明证一&勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc&=&aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得：x&=&y&=ha&=&=&=∴&s△abc&=&aha=&a×&=
此时s△abc为变形④，故得证。证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理：△abc边bc上任取一点d，若bd=u，dc=v,ad=t.则t&2&=证明：由证一可知，u&=&v&=∴&ha&2&=&t&2&=&－∴&s△abc&=&aha&=&a&×此时为s△abc的变形⑤，故得证。证三：余弦定理分析：由变形②&s&=&可知，运用余弦定理&c2&=&a2&+&b2&－2abcosc&对其进行证明。证明：要证明s&=则要证s&===&ab×sinc此时s&=&ab×sinc为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用s△abc&=r&p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠a+∠b+∠c&=180○那么tg&·&tg&+&tg&·&tg&+&tg&·&tg&=&1证明：如图，tg&=&①tg&=&②tg&=&③根据恒等式，得：+&+&=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)&=&xyz&④如图可知：a+b－c&=&(x+z)+(x+y）－（z+y)&=&2x∴x&=&同理：y&=&z&=代入&④，得：r&2&·&=两边同乘以&，得：r&2&·&=两边开方，得：r&·&=左边r&·&=&r·p=&s△abc&右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理半角定理：tg&=tg&=tg&=证明：根据tg&=&=&∴r&=&×&y&①同理r&=&×&z&②&r&=&×&x&③①×②×③，得：r3&=&×xyz应用由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=，则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA&=&e&EB&=&f∵∠1+∠2&=180°&∠2+∠3&=180°∴∠1&=∠3&∴△EAB≌△ECD∴&=&=&=解得：e&=&①&f&=&②由于S四边形ABCD&=&S△EAB将①，②跟b&=&代入公式变形④，得到：∴S四边形ABCD&=所以，海伦公式的推广得证。
证明过程/海伦公式
证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导cosC&=&(a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2&C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]& & =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明⑵中国代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的来求三角形的？直到南宋，中国著名的数学家提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的作为“实”，作1作为“隅”，开后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px&2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2&]^2}当P=1时，△&2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2&]^2}因式分解得△&^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]=1/4[(c+a)&^2-b&^2][b^&2-(c-a)^&2]=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦——秦九韶”。
海伦公式S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2&]^2}&.其中c&b&a.根据海伦，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的这里用海伦公式的S圆内接四边形=&根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)&（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）代入解得s=8√&3证明⑶海伦公式在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、cO为其内切圆，r为其内切半径，p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴&r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明⑷通过使用正弦定理和的结合证明&（具体可以参考证明方法1）
推广/海伦公式
关于三角形的面积公式在解题中主要的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p&=&(a+b+c)/2，则S△ABC=1/2&aha=1/2&ab×sinC=&r&p=&2R^2sinAsinBsinC=&√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC&=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]&就是的海伦公式，在数学家海伦的著作《测地术》中有。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的，p&=&(a+b+c），则s△abc&=&aha=&ab×sinc&=&r&p=&2r2sinasinbsinc&其中，s△abc&=&就是著名的海伦公式，在数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、&海伦公式的s==&①=&②=&③=&④=&⑤二、&的证明证一&勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc&=&aha入手，运用勾股推导出海伦公式。：如图ha⊥bc，根据勾股，得：x&=&y&=ha&=&=&=∴&s△abc&=&aha=&a×&=此时s△abc为变形④，故得证。证二：斯氏分析：在证一的基础上运用斯氏直接求出ha。斯氏定理：△abc边bc上任取一点d，若bd=u，dc=v,ad=t.则t&2&=：由证一可知，u&=&v&=∴&ha&2&=&t&2&=&——∴&s△abc&=&aha&=&a&×=此时为s△abc的变形⑤，故得证。证三：余弦分析：由变形②&s&=&可知，运用&c2&=&a2&+&b2&——2abcosc&对其进行。证明：要s&=则要证s&===&ab×sinc此时s&=&ab×sinc为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用s△abc&=r&p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠a+∠b+∠c&=180○那么tg&·&tg&+&tg&·&tg&+&tg&·&tg&=&1：如图，tg&=&①tg&=&②tg&=&③根据恒，得：+&+&=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)&=&xyz&④如图可知：a+b——c&=&(x+z)+(x+y）——（z+y)&=&2x∴x&=&同理：y&=&z&=代入&④，得：r&2&·&=两边同乘以&，得：r&2&·&=两边开方，得：r&·&=左边r&·&=&r·p=&s△abc&右边为海伦公式变形①，故得证。证五：半角定理：tg&=tg&=tg&=证明：根据tg&=&=&∴r&=&×&y&①同理r&=&×&z&②&r&=&×&x&③①×②×③，得：r3&=&×xyz
应用/海伦公式
海伦公式证明证一：勾股定理海伦勾股定理证明海伦公式证二：斯氏定理证三：分析：由变形②&S&=&可知，运用余弦斯氏定理证明海伦公式定理&c^2&=&a^2&+&b^2&——2abcosC&对其进行证明。证明：要S&=则要证S&=&ab×sinC此时S&=&(ab×sinC)/2为三角形计算，故得证。海伦公式证四：恒等式恒证恒等式证明⑵证五：半角∵由证一，x&=&=&——c&=&p——cy&=&=&——a&=&p——az&=&=&——b&=&p——b∴&r3&=&∴&r&=∴S△ABC&=&r·p&=&故得证。
海伦公式推广由于在实际应用中，往往需四边形的，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=，则S四边形=现根据猜想进行。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA&=&e&EB&=&f∵∠1+∠2&=180°&∠2+∠3&=180°
海伦公式∴∠1&=∠3&∴△EAB≌△ECD∴&=&=&=解得：e&=&①&f&=&②由于S四边形ABCD&=&S△EAB将①，②跟b&=&代入公式变形④，得到： ∴S四边形ABCD&=所以，海伦公式的推广得证
例题/海伦公式
海伦公式C语言版：如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD&=,AD&=&1,AB&=&1,CD&=&2.求：四边形可能为。解：设BC&=&x由海伦公式的推广，得：（4——x）（2+x)2&=27x4——12x2——16x+27&=&0x2(x2—1）——11x(x——1）——27(x——1）&=&0（x——1）（x3+x2——11x——27）&=&0x&=&1或x3+x2——11x——27&=&0当x&=&1时，AD&=&BC&=&1∴&四边形可能为等腰。在中实现（VBS):dim&a,b,c,p,q,sa=inputbox("请输入三角形第一边的长度")b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")a=1*ab=1*bc=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=（1/4）*qmsgbox("三角形面积为"&s),,"三角形"在VC中实现#include&stdio.h&#include&math.h&main()int&a,b,c,s;printf("输入第一边\n");scanf("%d",&a);printf("输入第二边\n");scanf("%d",&b);printf("输入第三边\n");scanf("%d",&c);s=(a+b+c)/2;printf("面积为：%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));C#版：using&Susing&System.Collections.Gusing&System.Tnamespace&CST09078class&Programstatic&void&Main(string[]&args)double&a,b,c,p,s;Console.WriteLine("输入第一条边的：\n");a&=&Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine("输入第二条边的：\n");b&=&Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine("输入第三条边的长度：\n");c&=&Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p&=(a+b+c)/2;s&=&Math.Sqrt(p*(p&-&a)*(p&-&b)*(p&-&c));Console.WriteLine("我算出来的是{0}",s);Console.Read();pascal版：program&x;vara,b,c:function&xb(x,y,z:real):varp,s:beginp:=(x+y+z)/2;s:=sqrt(p*(p-x)*(p-y)*(p-z));xb:=s;beginreadln(a,b,c);writeln(xb(a,b,c):0:2）；end.&&
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C语言编程,已知三角形的三边长a,b,c,计算求三角形面积的公式为：s=1/2(a+b+c),area=根号下[s(s-a)(s-b)(s-c)]要求编写程序,从键盘输入a,b,c的值,计算并输出三角形的面积.[提示：程序运行时应保证输入的a,b,c值满足三角形成立的条件,这样计算得到的三角形面积才有意义.另外,将面积计算的数学公式写成合法的C语言表达式如下：area = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))注意写成：area = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))是不错误的.= ,写成如下C语言表达式：s = 0.5*(a+b+c)
浑浑噩噩gcTT
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#include#includevoid main(){float a,b,c,s,printf("依次输入a,b,c(空格识别一个数)：");scanf("%f%f%f,",&a,&b,&c);s=(float)0.5*(a+b+c);area = (float)sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));printf("面积为：%f",area);}代码如上 很简单的 自己多动手
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C++ 编程 关于用海伦公式计算三角形面积的一个程序#includevoid main (){ int a,b,c,s,area,d;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);s=(a+b+c)/2;d=s*(s-a)*(s-b)*(s-c);area=sqrt(d);if (a+b>c,b+c>a,a+c>b)printf("三角形面积=%d\n",area);else printf("无法构成三角形\n");}我是初学者,刚刚接触,编的程序是错误的,错误一是sqrt公式那里的运用,还有就是总是说找不到与else对应的if.
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#include#includevoid main (){ float a,b,c,d;scanf("%f%f%f",&a,&b,&c);if (a+b>c&&b+c>a&&a+c>b)//&&代表逻辑和{s=(a+b+c)/2;d=s*(s-a)*(s-b)*(s-c);area=sqrt(d); printf("三角形面积=%d\n",area);}else {printf("无法构成三角形\n");}}
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