数列的极限与运算规则及性质
xn=n+1（发散），yn=?n（发散），但xn±yn=1（收敛）；
xn=n+1（发散），yn=±n（发散），但xn±yn=2n+1（发散）．
② {xn · yn}的敛散性不定．如
xn=(-1)n+1（发散），yn=(-1)n（发散），则xn · yn=-1（收敛）；
xn=n2（发散），yn=n（发散），则xn · yn=n3（发散）．
③ {xn}的敛散性不定．如 yn
xn=(-1)n+1（发散），yn=(-1)n（发散），则
xn=n2（发散），yn=n（发散），则 xn=-1（收敛）； ynxn=n（发散）． yn
（C） 若{xn±yn}、{xn · yn}、{xn}收敛，但{xn}、{yn}的敛散性不定． yn
例4（分子分母同除一因子求极限）
3n2+n-1求 lim． n→∞5n2-1
lim(3+-2lim3+lim-lim23n+n-13n→∞n→∞=limn→∞=n→∞=解 limlim． =n→∞n→∞n→∞5n2-155-2lim(5-2)lim5-lim2n→∞n→∞n→∞nnn2
例5（拆项求极限）
求 lim[n→∞1111+++…+]． 1?22?33?4n(n+1)
=-，于是 +++…+=1-，故 n(n+1)nn+11?22?32?3n(n+1)n+1解 因为
n→∞lim[11111+++…+]=lim1-lim=1． n→∞n→∞1?22?32?3n(n+1)n+1
+++…+]=lim+lim+lim+…+lim]． n→∞1?2n→∞2?3n→∞3?4n→∞n(n+1)1?22?33?4n(n+1)易错点： n→∞lim[
例6（Sn的组合求极限） 已知lim2n-1，求lim(+++…+)． n→∞n→∞22n22232n
解 设Sn=n-1+2+3+…++++，则 2S=1+…+ nn1
n-1+2+3+…+n1-(+2+3+…+) n于是 Sn=2Sn-Sn=1+
数列的极限与运算规则及性质
n-32n-1-)+(2-2)+(3-3)+…+(n1-n1)- n
=1+1++2+…+n-2-n=1+
lim(+2+3+…+)=limSn=3．
n→∞2n→∞222n
四、 收敛数列的性质
【性质1】（极限的唯一性）
收敛的数列{yn}不能收敛于两个不同的的极限．
证 假设同时有limyn=A，limyn=B，则有极限的运算规则得
A-B=limyn-limyn=lim(yn-yn)=0，
即A=B，故数列有唯一极限．
【性质2】（收敛数列的有界性）
如果数列{yn}收敛，那么数列{yn}一定有界．
● 数列的有界性：对于数列{yn}，如果存在着正数M，使得对于一切yn都满足不等式
则称数列{yn}是有界的；如果这样的正数不存在，就说数列{yn}是无界的．
≤1，有界；而yn=2n，可以大于任何正数，故无界． n+1
● 数列收敛，数列一定有界；数列有界，数列不一定收敛．数列无界，数列一定发散． 【性质3】（极限的保序性，保号性）
若数列xn→A（n→∞），数列yn→B（n→∞），且A&B，则总有正整数N存在，当n&N时，必有
特别地，若xn→A（n→∞），且A&B，则必存在一个正整数N，当n&N时，有
若B&0，则有
同理，若xn→A（n→∞），且A&B，则有一个正整数N存在，当n&N时，xn&B．若B&0，则有一个正整数N存在，当n&N时，有xn&0．（证略）
【推论】若数列xn→A（n→∞），数列yn→B（n→∞），且有正整数N存在，当n&N时，有不
等式xn&yn成立，则必有
数列的极限与运算规则及性质
A=limxn≥limyn=B． n→∞n→∞
特别地，若xn→A（n→∞），且有一个正整数N存在，当n&N时，有xn&B，则
A=limxn≥limyn=B． n→∞n→∞
如：xn=11&yn=，但xn、yn→0． n2n
证 用反证法．如果B&A，由性质3，必有xn&yn，这与条件相矛盾．证毕．
【性质4】（ 收敛数列与其子数列的关系）
若数列{xn}收敛于A，那么它的任一子数列{xnk}也收敛，且极限也是A．
（1）若数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么该数列必定发散．
（2）一个发散的数列可能有收敛的子数列．如在数列{(-1)n}中取子数列
1，1，1，…
即为收敛的．
（3）{xnk}发散 =& {xn}一定发散；{xnk}收敛 ≠& {xn}一定收敛．
（4）若数列{xn}的奇数项所组成的子数列{x2n-1}及偶数项所组成的子数列{x2n}都收敛于同一极限l，则数列{xn}必收敛于同一极限值l．
【参考内容】
一、 极限的认识问题
极限是初学数学分析的读者难于理解不易掌握的一个概念．有以下三个问题应予弄清：
1. 正确认识无限
读者在以前的生活与学习中，没有遇到过无限的数学模型，更没有无限变化过程的实践．可是在数列{xn}以A为极限的定义中，恰巧有两个“无限”：一个是“自然数n无限增大”；另一个就是“xn无限接近于A”．而这两个“无限”又是数列极限定义的核心．从字面来说，这两个“无限”似乎并不难理解，但是追究它们的实质又觉得很茫然．读者对无限没有全面正确的认识是极限难学的原因之一．为此，通过无限的实例，逐步对无限有个全面正确的认识，是深刻理解数列极限定义的前提．
2. 掌握辩证的认识方法
人们为了认识某些客观事物的本质，必须把它们放在无限的过程之中，才能完成这个认识．例如，人们为了认识圆的周长，必须把圆的周长放在该圆的无限多个内接正多边形的周长数列之中，才能认识圆的周长．人们的客观实践永远也不可能完成无限的过程，但是人们的认识总要发展，总不能停留在有限过程上．与此相适应的存在着人们认识无限的思维方法，即飞跃式的思维方法．这种科学的思维方法不仅引导人们看到，无限过程是没完没了的永无终结的，同时它又指导人们飞跃式的看到无限过程的“终结”．例如，圆的无限多个内接正多边形的周长数列{Pn}的变化是没完没了，永无终结的．如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去，人们永远也不能认识圆的周长．但是，飞跃式的思维方法不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了的，永无终结的，同时又使人们看到了无限变化过程飞跃式的“终结”，从而人们也就认识了圆的面积．这就是说，一个无限过程的结果，可以通
看过本文章的还看过。。。
高等数学《第六版》电子教案及习题 同济大学_理学_高等教育_教育专区。§1 ......
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 同济大学第六版高等数学上册课后答案全集_理学_高等教育_教育.........
高等数学《第六版》教案 同济大学_理学_高等教育_教育专区。第一章 x , 2 ...( 总习题 > 1 a b 0 1 x 2 1 x 4 n t, x x x 1 f ( x) x.........
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。高等数学第六版上册课后习题答案 第一章习题 1?1
设 a=(?∞, ?5) ∪(5, +∞) ,.........
同济第六版《高等数学》教案word版-第01章 函数与极限_理学_高等教育_教育专区...ac ?bc. (a?b)c?ac ?bc 的证明: 2 内蒙古财经大学统计与数学学院公共.........
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档同济大学第六版高等数学上册课后答案全集_理学_高等教育_教育.........
同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。同济版大学高等数学课后答案 文档贡献者 小狼叫了 贡献于 .........
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集_理学_高等教育_教育专区。同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题 1?1 1? 设 a?(??? ?5)?(5? ??)? b?[.........
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。 文档贡献者 ......
高等数学第六版第同济版六章教案_理学_高等教育_教育专区。授课教案 课程名称:...a b 这个方法通常叫做元素法. 练习设计 教学反思 课后习题 2 (4-6) 与学生.........
同济第六版《高等数学》教案word版-第02章 导数与微分_理学_高等教育_教育专区...取 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案 第二章 导数与.........
高等数学_同济第六版_上册课后习题全解_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高等数学_同济第六版_上册课后习题全解_理学_高等教育_教育.........
同济大学第六版高等数学课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题 1?1
设 a=(?∞, ?5)∪(5, +∞), b=[?.........
高等数学同济大学第六版 总复习六答案_理学_高等教育_教育专区。总习题六 1? ...同济大学《高等数学》第... 221页 1下载券 高等数学同济大学第六版... 暂无.........
同济大学第六版高等数学课后答案全集_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 同济大学第六版高等数学课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。.........
高等数学同济版第五章第六版教案_理学_高等教育_教育专区。授课教案 课程名称:...练习设计 教学反思 课后习题 2 与学生一起做练习,边讲边练 注:每 2 学.........
同济大学第六版高等数学的课后典型题_理学_高等教育_教育专区。同济大学第六版高等数学的课后典型题同济六版高等数学典型题 习题1--5:习题 习题1--6:习题.........
同济大学第六版高等数学课后答案全集_理学_高等教育_教育专区。同济六版高等数学课后答案全集今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 .........
高等数学_同济第六版(上册)习题全解_理学_高等教育_教育专区。习题 1?1 .....
《同济大学第六版上》较全高数1习题_理学_高等教育_教育专区。还可以的哦。第一、......
■ 24小时热门信息
高等数学(下)模拟试卷一填空题(每空 3 分,共 15 分) 一、 填空题 1 1 ...高数习题集 25页 免费
高数总结 31页 1下载券
高数练习题 89页 1下载券.........
高等数学复习题及答案 隐藏>> 一、单项选择题(本大题共 5 小题,......
高等数学上册习题讲解_理学_高等教育_教育专区。高等数学上 复习 高等数学期末辅......
高等数学习题集答案(第一章)_理学_高等教育_教育专区。第一章 函数、极限与连续......
■ 相关热门内容
高等数学复习题及答案_理学_高等教育_教育专区。高等数学复习题及答案中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学一、填空题 a x + a x 设 f .........
高等数学练习题(附答案)_理学_高等教育_教育专区。《高等数学》专业 年级 学号......
高数练习题及答案_理学_高等教育_教育专区。高数的练习题,包你能过。高等数学(下......
高数习题集_理学_高等教育_教育专区。第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 §......
第二学期《高等数学 b(下) 》练习题说明: 1、 此练习供自学后和考前复习用; 2、 注意批注的题型归纳,自己练习时注意总结方法和举一反三; 3、 .........
大一高数练习题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 填空题 1、当 x ......
高等数学上册习题讲解_理学_高等教育_教育专区。高等数学上 复习 高等数学期末辅......
高等数学_同济第六版_上册课后习题全解_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高等数学_同济第六版_上册课后习题全解_理学_高等教育_教育.........
■ 热门推荐您的访问出错了(404错误)
很抱歉，您要访问的页面不存在。
1、请检查您输入的地址是否正确。
进行查找。
3、感谢您使用本站，1秒后自动跳转}