3-2X>=9+4X
解：3-2x≥9+4x
3-2x+2x-9≥9+4x+2x-9
其他答案（共3个回答）
0:lim(1+x)^(-1/x)=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)=1/ex->∞:limxsin(1/x)=1/x->0:lim[sin(...
答: 计算科学是一门什么样的学科？答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科还...
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这个不是我熟悉的地区八年级下册数学各章节知识点总结；第一章一元一次不等式和一元一次不等式组；一、不等关系；1、一般地,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做；2、区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等；3、准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不；非负数大于等于0(≥0)0和正数不小于0非正数小；二、不等式的基本性质；1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:；(1)不等
八年级下册数学各章节知识点总结 第一章
一元一次不等式和一元一次不等式组 一、不等关系 1、 一般地,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 种类 小于号 大于号 小于或等于号 大于或等于号 不等号
2、区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示代数式之间的不相等的关系。
列不等式的方法：从题目的问题出发==>找出题目中涉及的各种量==>分析它们的数量关系（相等或不等关系）==>然后根据题意列出等式或不等式，解决问题。
3、准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数
大于等于0(≥0)
不小于0 非正数
小于等于0(≤0)
二、不等式的基本性质 1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变 即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, ≠ ≥ 符号
≤ 实际意义 小于、不足 大于、高出 不大于、不超过、至多 不少于、不低于、至少 不相等 不等于 4≠5 大于或等于(不小于) x≥5 读法 小于 大于 举例 2+35 小于或等于（不大于） x≤8 ab?. ccab? cc1 (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变 即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,
2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是负数,那么ab
(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差是否大于零就可以做出判断.
三、不等式的解集: 1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;
一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集，不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每个值都是不等式的解。所以，不等式的解是指解集范围内的数值。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。解不等式依据的是不等式的基本性质，一定要注意不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变符号。当然，不等式两边不能乘以0.解不等式是把不等式化成“a>x(a≥x)”或者“a<x(a≤x)”的形式。
2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
3、不等式的解集可以在数轴上直观地表达出来: 用数轴表示不等式的解集时,先画数轴，再确定边界，最后确定方向：
①定“边界点”:有等号的是用实心点,无等号的是用空心点; ②定“方向”:相对于边界点尔而言，大于向右画,小于向左画。
四、一元一次不等式: 1、只含有一个未知数,左右两边都是整式,并且未知数的最高次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. 2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以同一个负数时,不等号的方向要改变. 3、解一元一次不等式的步骤： 根据不等式的基本性质
①去分母；
②去括号；
④合并同类项；
⑤系数化为1。
4、一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax0时,解为x?b a；②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解； ③当a<0时, 解为x? 5、不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式（组）解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即: ①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数; ③列: 根据题中的不等关系,列出不等式（组）; ④解: 解出所列的不等式（组）的解集; ⑤答: 写出符合题目实际要求（比如题目要求取整数）的答案,并检验答案.
6、一元一次不等式与一次函数的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化为kx+b>0或kx+b0或y0或kx+b<0，由此可见解一元一次不等式都可以当做一次函数的函数值大于0或小于0时，求相应的自变量的取值范围。 7、一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的综合运用：它们之间的关系用来解决比较型的方案选择问题（即对比两种不同的方案，再选择出某种合理的方案）：①根据条件中变量关系列出函数表达式（y=kx+b和y=k11122x+b2.②根据y和y12之间的大小关系y>y12或y=y12或y<y12）分情况求出相应的x的值。③比较所得的结果，根据问题的要求作出判断。
五、一元一次不等式组 1、定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.（至少含有两个不等式） 2、一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3、解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
4 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b) 一元一次不等式（ab 两大取较大
大小交叉中间夹
大小分离没有解 无解 ab叙述语言表达 ?x?a ?x?b??x?a ?x?b??x?a ??x?b?x?a ??x?b abx>a aba<x<b ab (是空集)
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在画不等式数轴时什么时候要涂成黑心圆,什么时候画空心圆
威武你妹的习
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在能取到那个数的时候涂黑心,比如x大于等于1,如果是x大于一则空心圈
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正数时画空心，负数时画实心
不包括这个数时空心
不等号中含有等号的一边在数轴上图成黑心圆
反之, 不等号中不含有等号的一边在数轴上图成空心圆
一看就知道你是高一学生
。。。。。现在这么前卫，初中都学着了？
扫描下载二维码北师大版八年级数学下册全套教案(精华版)
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图 1-1，用用根长度均为 l M的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于 25 M 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于 100 M 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ （3）当 l=8 时，正方形和圆的面积哪个大？l=12 呢？ （4）改变 l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为 ( ) ，圆的面积可以表示 为? ?l 42? l ? ? 。 ? 2? ?2（1） 要使正方形的面积不大于 25 M 2，就是l l2 ( ) 2 ? 25 ，即 ? 25 。 4 16（2） 要使圆的面积大于 100 M 2，就是? l ? ? ? ? ＞100， ? 2? ?即2l2 ＞100 4? 82 82 ? 5.1(cm 2 ) ， ? 4(cm2 ) ，圆的面积为 4? 161（3） 当 l=8 时，正方形的面积为4＜5.1，此时圆的面积大。122 122 2 ? 9(cm ) ，圆的面积为 ? 11.5(cm 2 ) ， 当 l=12 时，正方形的面积为 16 4?9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变 l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为 l M的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论 l 取何值，圆的面积 总大于正方形的面积，即l2 l2 ＞ 4? 16（1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面 1.5m 的地方作为测量部位。 某树栽种时的树围为 5 M，以后树围每年增加约 3 M，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过 2.4m？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为 0.2m/s，人离开的速度为 4m/s，导火线的 长度 x（m）应满足怎样的关系式？ 答案： （1）设这棵树生长 x 年其树围才能超过 2.4m，则 5+3x＞240。 （2）人离开 10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能 2. 保证人的安全：10 x ＜ 4 0 .2分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与 2 的差小于 （3） x 的2 ； 31 与 4 的和不是正数； 3（4） y 的一半与 x 的 2 倍的和不小于 3。 解答： （1）a 的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a＞0；2 2 ”即是 m-2＜ ； 3 3 1 1 1 1 （3） 的 ”就是 x， 的 与 4 的和不是正数”就是 x+4≤0； “x “x 3 3 3 3 1 （4）“y 的一半”不是 y,“x 的 2 倍”就是 2x， “不小于 3”即指大于或等于 3，故 2 1 “y 的一半与 x 的 2 倍的和不小于”就是 y+2x≥3。 2（2） “m 与 2 的差”就是 m-2， “ 差小于23.下列各数： ， ? ， 5.2， 其中使不等式 x ? 2 ＞1， -4， 0， 3 成立是 B． ? ，5.2，3 C．1 2（ D． ? ，5.2）A．-4， ? ，5.2 答案：D 4.1 ，0，3 2有理数 a， 在数轴上的位置如图 1-2 所示， b 所a?b 的值 a?b（）A．＞0 答案：BB．＜0C．＝0D．≥0小结提问，快速回答： 1. 表示不等式关系的符号有哪些? 2. 用适当的符号表示下列关系: （1）x 的 5 倍与 3 的差比 x 的 4 倍大； （2）a 的1 的相反数是非负数； 4（ ） C．2a＞a D． a ＞a2（3）x 的 3 倍不小于 y 的 8 倍。 3. 下列不等式中，总能成立的是 A． a ＞0 作业要求：作业本2B． ? a ? 0231.2 不等式的基本性质 一、教学目标 1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2．掌握不等式的基本性质。 二、教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用。 三、教学过程设计 1.比较归纳，产生新知 我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。 请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例 试一试，并与同伴交流。 类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如 3＜7， 3+1=4，7+1=8，4＜8，所以 3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a＜7+a； 3＜7,3-a＜7-a 等。都能说明猜想的正确性。 2.探索交流，概括性质 完成下列填空。 2＜3，2?5 3?5；2＜3，2?（-1） 2＜3，2?（-5）3?（-1） ； 3?（-5） ；你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。 通过计算结果不难发现：前两个空填“＜” ，后三个空填“＞” 。 得出不等式的基本性质： 不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 （通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象） 3.练习巩固，促进迁移 1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。 ① 6+2 -3+2； ② 6?（-2） -3?（-2） ； ③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2） （2）如果 a＞b，则42．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜” ： （1）若 a＞b，则 2a+1 2b+1;（2）若＜10，则 y-8；（3）若 a＜b，且 c＞0，则 ac+c bc+c； （4）若 a＞0，b＜0， c＜0， （a-b）c 0。 4.巩固应用，拓展研究. 1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。 （1）a＞b 两边都加上-4； （2）-3a＜b 两边都除以-3； （3）a≥3b 两边都乘以 2； （4）a≤2b 两边都加上 c； 2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为 x＞a 或 x＜a 的形式（a 为常数） ：5.课内深化，提升能力 比较下列各题两式的大小：6.回顾联系，形成结构 想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络， 完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 7.课外作业与拓展 课外作业：课本第 9 页“习题 1.2”51.3 不等式的解集 一、教学目标 1．理解不等式解与解集的意义。 2．了解不等式解集的数轴表示。 二、教学重难点 重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。 三、教学过程设计 1.创设情景，导出问题 （课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前 10m 以 外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为 0.02m/s，人离开的速度为 4m/s，那么导火线的 长度应为多少厘米？ （在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足 够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。 ） 设导火线的长度应为 x cm ，根据题意，得即 x&5 2.探索交流，得出概念 1．想一想： （1）你能找出几个使不等式 x&5 成立的 x 的值吗？ （2）x＝5,6,8 能使不等式 x&5 成立吗？ (字母可以表示任何数，但对于满足 x&5 中的字母 x，它能够取任意数吗？如果不能， 它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等 式解与方程解的不同之处。) 能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如，6 是不等式 x&5 一个解， 7,8,9,??也是不等式 x&5 的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式 x-5≤-1 的 解集为 x≤4；不等式 x2&0 的解集是所有非零实数。 求不等式解集的过程叫做解不等式。 2．议一议：请你用自己的方式将不等式 x&5 的解集和 x-5≤-1 的解集分别表示在数轴上， 并与同伴交流。 （引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较 大小的，让学生用具体实数对应的点加以说明） 3.练习巩固，促进迁移 1.判断下列说法是否正确： （1）x=2 是不等式 x+3＜4 的解；6（2）x=2 是不等式 3x＜7 的解集； （3）不等式 3x＜7 的解是 x=2； （4）x=3 是不等式 3x≥9 的解。 答案： （1）不正确； （2）不正确； （3）不正确； 2.在数轴上表示出下列不等式的解集： （1）x＞-1； 答案： （1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包 括这一点。 （2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。 （2）x≥-1； （3）x＜-1； （4）x≤-1 （4）正确。4.回顾联系，形成结构 想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络， 完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．） 5.课外作业与拓展 课外作业：课本第 12 页“习题 1.3”71.4 一元一次不等式(1) 教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。 教学重点和难点： 重点：一元一次不等式的解法 难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。 教学过程： 1. 观察下列不等式： （1） 2 x ? 2.5 ? 15 ； （2） x ? 8.75 （3）x＜4 （4） 5 ? 3 x ＞240 这些不等式有哪些共同特点？ 这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，象这 样的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 先阅读每（1）题的解法，然后仿做第（2）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。 （1）解不等式 解x?2 7?x ? ，并把它的解集表示在数轴上。 2 3去分母，得3( x ? 2) ? 2(7 ? x)3 x ? 6 ? 14 ? 2 x 5 x ? 20去括号，得 移项、合并同类项，得 两边都除以 5，得x?4这个不等式的解集在数轴上表示如下（图 1-13）x x?2 ? 3? ，并把它的解集表示的数轴上。 5 2 20 答案： x ? ? 3（2）解不等式 其解集在数轴上表示如下图 1-4083.解不等式 10 ? 4( x ? 3) ? 2( x ? 1) ，并把它的解集在数轴上表示出来。解答：去括号，得 10 ? 4 x ? 12 ? 2 x ? 2 ， 移项，得 10 ? 2 ? 12 ? 2 x ? 4 x 。 合并同类项，得 24 ? 6 x 系数化为 1，得 4 ? x 。得 x ? 4 。 在数轴上表示不等式解集如图4.解不等式y ?1 y ?1 y ?1 ? ? ，并把它的解集在数轴上表示出来。 3 2 6解答：去分母，得 2( y ? 1) ? 3( y) ? 1 ? y ? 1 答案： y ? 3 这个不等式的解集数轴上表示如图5. y 取何正整数时，代数式 2(y-1)的值不大于 10-4（y-3）的值。 解答：根据题意列出不等式：2( y ? 1) ? 10 ? 4( y ? 3)答案：解这个不等式，得 y ? 4 ，解集 y ? 4 中的正整数解是：1，2，3，4。 6. 解关于 x 的不等式： k(x+3)＞x+4; 解答：去括号，得 kx+3k＞x+4; 答案：若 k-1=0，即 k=1 时，0＞1 不成立，∴不等式无解。4 ? 3k 。 k ?1 4 ? 3k 若 k-1＜0，即 k＜1 时， x ? 。 k ?1 x 6m ? 1 5m ? 1 ? x? 7. m 取何值时，关于 x 的方程 ? 的解大于 1。 6 3 2若 k-1＞0，即 k＞1 时， x ? 解答：解这个方程：x ? 2(6m ? 1) ? 6 x ? 3(5m ? 1)93m ? 1 5 3m ? 1 ?1 根据题意，得 5∴x?解得 m＞2 8. 是否存在整数 m， 使关于 x 的不等式 1 ?3x x 9 x?2?m ? ? 2与 ? x ? 1 是同解不 2 m m 3 m等式？如果存在，求出整数 m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。 答案：x＞-8 因此，存在符合题意的 m，当 m=-11 时，两个不等式同解，解集为 x＞-8。 小结：本节课我们学了什么？ 作业布置10一元一次不等式（2） 目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法 及用数轴表示不等式的解集 了解不等式在生活中的应用 重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法 一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用 例。解下列不等式。并把它们的解集 s 在数轴上表示出来2?3 ? y ? 1? y ?1 ? 3? 8 4 2 x ? 1 2 x ? 5 10 x ? 17 ? ? ?1 2 3 4 7 x 11? x ? 3? x ? 13 1 ? ? ? ? 3x ? 7 ? 3 6 2 5解：在不等式的两边同时解乘以 8 得；即 化简得；8 ? [2 ?3 ? y ? 1? y ?1 ] ? [3 ? ]? 8 8 43 y ? 6 y ? 24 ? 6 ? 16 ? 3y? 11 9例一教师师范板演。其他学生模仿联系 解下列不等式．并把它们的解集在数轴上表示出来x ?1 x ?1 ? ?2 1 x 1 3 4 0.5 x ? 1.4 ? (045 ? ) ? 5 2 4例 3、 一次环保知识竞赛， 共有 25 道题， 规定答对一题得 4 分， 答错一或不答扣一分。 1 ○小明得了 85 分，他答对了多少题？112 ○小立在这次竞赛中被评为优秀（85 分或 85 分以上） ，小立可能答对了多少题？她至 少答对了多少题？ 1 解：○设小明答对了 x 道题，那么答错或不答（25-x）道题。 根据题意、得 4x-（25-x）=85 解这个方程、得 x=22 所以小明答对了 22 道题。 2 ○设小立可能答对了 x 道题，那么答错或不答（25-x）道题。 根据提意，得 4x-（25-x）&=85 解这个不等式，得 x&=22 因为 x 答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有 25 道题，因此小立可 能答对了 22，23，24，25 道题。她至少答对了 22 道题。 说明： 第一小题是列一元一次方程解应用题， 第二小题是列一元一次不等式解应用题， 目的是让学生认识两者的区别与联系。 二、出示投影片 2：例四、小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本。已知每支笔 3 元， 每个笔记本 2.2 元，她买了 2 个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。 解：设小颖还可能买 n 支笔。 根据题意，得 3n+2.2Q21 解这个不等式，得 nQ16.6M3 因为 n 表示笔的支数， 所以应取不等式的正整数解。 因此小颖还可能买 1 支， 2 支，3 支，4 支或 5 支笔。 三、 让学生交流对列不等式解应用题的认识， 归纳列不等式解应用题的基本步骤。 四、做 17 页随堂练习第二题 五、课下作业，习题 1.5,1 题，2 题 六、课后小结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未 知量之间的关系，找到题中适当的不等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不 等式。 3、解不等式。4、在不等式的解集中选取符合题意的解。5、做出正确的结论。 随堂练习 作业布置12的是 的 那0（ 2） 、x 取 何 值 时 ， y& 0 ？ 2x 5 &0 呢 ？ （ 3） 、x 取 何 值 时 ， y& 0 ？ 2x 5 &0 呢 ？ ？ （ 4） 、x 取 何 值 时1.5 一元一次不等式与一次函数 一、教学目标 1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一 次不等式与一次函数的内在联系。 2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。 3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。 二、教学重难点 教学重点初步建立“数” （一元一次不等式）与“形” （一次函数）之间的关系，根据 一次函数图象求一元一次不等式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关 系。 三、教学过程设计 1.创设情景，导出问题 小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的“草书”作品连自己都认 不出来的笑话，下决心练字，在第一周的前 3 天每天练字 6 页。设每周计划练字 x 页。你 能写出 x 与 y 之间的关系式吗？这是一个什么函数？ 若周计划为 y=38 页，则 x 取怎样的值，小明才能超额完成计划？ （由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。 回顾所学知识作好新知识的衔接。 ） 回顾：①一次函数的定义。②一次函数的图象。③直线 y=kx+b 与方程的联系。 2.探索交流，发现规律 我们来看下面这个问题。 作出函数 y=2x-5 的图象，观察图象回答下列问题： （1） 取何值时，y=0？[提示： 、x（此题摘自励 耘精品系列 丛书 《课时导 航》 北师大版 八年级（下） P9 第 8 题） (让学生认真观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题，初步建 立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数、方程、 不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间 的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。) 5.回顾联系，形成结构 通过本节课的学习，你有哪些收获？13(学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。通过学生自我总结使之进一步理解函 数的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。通过具体问题初步体 会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。使学生从整体上认识不等式，感 受函数、方程、不等式的作用。) 6.课外作业与拓展 课外作业：课本第 19 页“读一读”、第 20 页“习题 1.6” 课外拓展：参见励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P7－P10141.6 一元一次不等式组 第一课时 一、教学目标： 1. 知识目标: ①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法． ②会利用数轴较简单的一元一次不等式组 ③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况． 2. 能力目标： ①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力， ②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力． 3. 情感目标： 将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学 习习惯和转变一种观念――将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。 二、教学重难点： 教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。教学难点：借助数 形结合的方法找出不等式的解集。 三、教学过程设计： 1.回顾旧知，探索发展 回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。 （1）2x+3＞5 （2）6x―5≤1 （让学生上台演示，注意指导其解题的规范性） 探索：用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水 在 1200 吨到 1500 吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？ 分析：设需要 x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为 30x 吨。由题意，积存的 污水在 1200 吨到 1500 吨之间，因此，应有 1200≤30x≤1500 （通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。学生在研究这一具体问题时，自然 感知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引入不 等式组比较自然） 上式实际上包括了两个不等式 30x≥1200 和 30x≤1500 它说明要这个实际问题中，未知量 x 应同时满足这两个条件。 我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：（你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。学生可以 通过列表、画数轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找 不等式的公共解的方法。 ）15分别求这两个不等式的解集，得同时满足①②的未知数 x 应是个不等式的解集的公共部分。 在数轴上表示出来∴x 应取 40≤x≤50 这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要 40 到 50 分钟才能将污水抽完。 概括： 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 解一元一次不等式组，其步骤通常为： (1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集； (2)在数轴上把它们的解集表示出来； (3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。 2.练习巩固，促进迁移 (1)例题：解不等式组解：解不等式①，得 x＞2 解不等式②，得 x＞4 在数轴上表示出①②的解集∴原不等式组的解集为 x＞4 （要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础，而运用数轴表示（找 公共部分）是关键。让学生再次体会数形结合思想的魅力。 ） （2） 练习：16（3）问题探讨： 从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系：①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即： 对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图)．②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分 (如图)；③若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分 (如图 3)．(先让学生通过练习，从感性上了解不等式组解集的基本情况；其次引导学生通过“练 习解答的形式与所给图示”的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生 对不等式组解集的理解，更重要的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快 更准地找出不等式组的解集。) 3.巩固应用，拓展研究 （1）找出下列不关 x 的公共部分。17(2)解不等式组(3)求不等式组的整数解(巩固应用的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的同学的需要。其中第 1 题主 要训练学生的定向思维，巩固不等式组解集的四种情况；第 2 题则是以训练学生解不等式 组的方法。第 3 题则以发散思维为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中，培 养学生学习的意志力。) 4.回顾联系，形成结构 通过本节课的学习，你有哪些收获？ (学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。启发学生动脑思考、归纳、总结所学 知识，从而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。通过学生自我总结使之 进一步理解一元一次不等式组的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式 组的内在联系。促进学生对数学知识的记忆,并把所学知识结构化系统化。) 5.课外作业与拓展 课外作业：课本第 26 页“习题 1.8”18第二课时 一、教学目标： 1、一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。 2、让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题，让学 生进一步感受数形结合的作用。 3、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。 二、教学重难点： 教学重点：掌握一元一次不等式组的解法；会用数轴表示一元一次不等式组解集的几 种情况．教学难点：不等式组解集几种情况的灵活应用。 三、教学过程设计： 1.基础运用，例 1. 解不等式组 ，并将解集标在数轴上. (解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解 的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才 从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问 题。) 步骤：解：解不等式(1)得 x&（1）分别解不等式组的每 一个不等式解不等式(2)得 x≤4（2）求组的解集 （借助数轴找公共部分） ∴ （利用数轴确定不等式组的解集） （3）写出不等式组解集（4）将解集标在数轴上19∴ 原不等式组的解集为&x≤4∴例 2.解不等式组 解：解不等式(1)得 x&-1, 解不等式(2)得 x≤1, 解不等式(3)得 x&2,∴∵在数轴上表示出各个解为：∴原不等式组解集为-1&x≤1 (注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大 排列，解集不包括-1 而包括 1 在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来 画。) 3.巩固应用，拓展研究20例 3.求不等式组 解：解不等式 3x-2&4x-5 得：x&3，的正整数解。 步骤：1、先求出不等式组的解集。 解不等式 ≤1 得 x≤2，∴∴ 原不等式组解集为 x≤2， ∴ 这个不等式组的正整数解为 x=1 2、在解集中找出它所要求 或 x=2 的特殊解， 正整数解。例 4.m 为何整数时，方程组的解是非负数？(本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用 m 的代数式表示 x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不 等式组寻求 m 的取值范围，最后切勿忘记确定 m 的整数值。 )解：解方程组得∵方程组的解是非负数，∴21即解不等式组∴此不等式组解集为,又∵m 为整数，∴m=3 或 m=4。例 5.解不等式&0。(由”“这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数,这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1)或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。)例 6. 解不等式-3≤3x-1&5。22解法（1）:原不等式相当于不等式组解不等式组得-≤x&2，∴原不等式解集为-≤x&2。解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上 1，得-2≤3x&6, 将这个不等式的两边和中间都除以 3 得，-≤x&2, ∴原不等式解集为-≤x&2。4.回顾联系，形成结构 (1)解一元一次不等式组的步骤： ①分别求出不等式组中各个不等式的解集； ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 (2)已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与 不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问 题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。 5.课外作业与拓展 课外作业：课本第 30 页“习题 1.9”23第三课时 一、教学目标 1. 知识目标: 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的实际问题，并能 根据具体问题的意义，检验结果是否合理。 2. 能力目标： ①培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学创造性思维能力。 ②体会不等式与方程之间的内在联系。 ③通过数学建模，初步培养学生的数学建模能力。 3. 情感目标： ①体会运用不等式解决简单实际问题的过程，提高学生的学习热情.。 ②通过实际问题的解决，使学生体会数学知识在生活实际中的应用，激发学习兴趣。 二、教学重难点 教学重点: 如何构建不等式组模型。 教学难点: 如何将实际问题转化为不等式组问题。 三、教学工具：多媒体教学平台。 四、教学过程设计 1.创设情景，导出问题 （师用多媒体展示问题，然后由学生自主探究。 ） 一堆玩具发给若干个小朋友，若每人分 3 件，则剩余 4 件；若前面每人分 4 件，则最 后一人得到的玩具不足 3 件.求小朋友的人数与玩具数。（待学生解决问题后，再让几个学生说出他们思考问题的过程。 ） 2.探索思考，形成模型 （师用多媒体展示问题，再由学生分组自主合作探究，教师巡视并给予指导） (1)一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；每间住 6 人，有一间宿舍住 不满。①设有 x 间宿舍，请写出 x 应满足的不等式组： 。 ②可能有多少间宿舍、多少名学生？24(2)做一做：甲以 5 km/h 的速度进行有氧体育锻炼，2 h 后，乙骑自行车从同地出发沿同 一条路追赶甲.根据他们两人的约定，乙最快不早于 1h 追上甲，最慢不晚于 1h15min 追上 甲。乙骑自行车的速度应当控制在什么范围？ （师用多媒体课件展示动态的问题过程，然后要求学生用两种解法解，以体会不 等式与方程之间的内在联系。 ） 3.交流反思，评价结论 请各组学生代表上讲台说出各组解决问题的各种方法与过程，教师及时给予评价。然 后再通过实例引导学生归纳出解决实际问题的数学思想方法（师用多媒体投影下图） ： 4.练习巩固，促进迁移 （师用多媒体展示问题，学生自主探究.） ： （通过对如下两个问题的探究，使学生学会运用所获得的数学方法解决新的问题。 ） (1)有一个两位数，它的十位数字比个位数字大 1，并且这个两位数大于 30 且小于 42， 求这个两位数。 (2)某公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库” ，要求这两 种产品全年共新增产量 20 件，这 20 件的总产值 p（万元）满足：.已知有 关数据如下表所示，那么该公司明年应怎样安排甲、乙两种产品的生产量？ 产品 甲 乙 每件产品的产值 45 万元 75 万元5.回顾联系，形成结构 ①列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： 审题――设元――列不等式（组）――求解――检验――作答。 ②数学建模的思想方法。25③注意：要根据实际问题的意义确定数学模型的解。 （通过小结，进一步培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学建模的能力。 ） 6.巩固应用，拓展研究 让学生解决如下两个现实生活中的实际问题，以培养学生的创新精神和实践能力。 （师用多媒体展示问题，学生自主探究.学生可根据自己的实际情况选作下列的问题。 ） (1)暑假期间，柳城县实验中学两位教师计划带若干名学生去桂林旅游，他们联系了报价 都为每人 500 元的两家旅行社。经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名教师全额收费，学 生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：教师、学生都按八折收费。假设这两位教师带 x 名学生去桂林旅游,他们应该选择哪家旅行社？ (2)在举国上下众志成城，共同抗击“非典”的非常时期，南宁某医药器械厂接受了一批 高质量医用口罩的生产任务，要求在 8 天之内（含 8 天）生产 A 型和 B 型两种型号的口 罩共 5 万只，其中 A 型口罩不得少于 1.8 万只，该厂的生产能力是：若生产 A 型口罩每天 能生产 0.6 万只， 若生产 B 型口罩每天能生产 0.8 万只。 已知生产一只 A 型口罩可获利 0.5 元，生产一只 B 型口罩可获利 0.3 元。设该厂在这次任务中生产了 A 型口罩 x 万只，问： ⑴该厂生产 A 型口罩可获得利润 万元，生产 B 型口罩可获得利润 万 元。 ⑵设该厂这次生产口罩的总利润是 y 万元，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求出自变 量 x 的取值范围。 ⑶如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产 A 型口罩和 B 型口罩 的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如 何来安排生产 A 型和 B 型口罩的只数？最短时间是几天？ (3)试一试：请你设计一道关于一元一次不等式（组）的实际应用问题。 （注：如时间不够，问题 2，3 可让学生在课外继续自主研究。通过以上练习，使学生 把当堂知识运用并巩固起来。 ） 7.课外作业与拓展 课外作业：课本第 32 页“习题 1.10”26回顾与思考 ●教学目标 （一）教学知识点 1.不等式的基本性质. 2.解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集. 3.利用一元一次不等式解决实际问题. 4.一元一次不等式与一次函数. 5.一元一次不等式组及其应用. （二）能力训练要求 通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力. （三）情感与价值观要求 利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的 密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心. ●教学重点 掌握本章所有知识. ●教学难点 利用本章知识解决实际问题. ●教学方法 教师指导学生自己归纳总结法. ●教具准备 投影片五张 第一张： （记作§1.7 A） 第二张： （记作§1.7 B） 第三张： （记作§1.7 C） 第四张： （记作§1.7 D） 第五张： （记作§1.7 E） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们已经学完了本章的全部内容，这节课大家一起来进行回顾. Ⅱ.新课讲授 ［师］1.首先，大家来简要概括一下本章的知识点有哪些？ ［生］由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义，并能根据条件列出不等式； 类比等式的性质，推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同； 根据不等式的性质求解不等式，并能利用不等式解决实际问题； 一元一次不等式与一次函数； 一元一次不等式组及其应用. ［师］很好.这位同学对本章知识掌握得如此熟悉，大家应该向他学习.下面我们分别 详细地回顾总结. 2.重点知识讲解27（1）不等式的基本性质： ［生］不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的 方向不变. 不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不 变. 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改 变. ［师］不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？ ［生］不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上 （或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相 似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同. ［师］很好.两个性质可以对比如下： 投影片（§1.7 A） 等式 两边都加上（或减去）同一个数或同一个整 式，所得结果仍是等式 两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式 例题讲解 投影片（§1.7 B） 下列方程或不等式的解法对不对？为什么？ （1）－x=6,两边都乘以－1，得 x=－6 （2）－x＞6,两边都乘以－1，得 x＞－6 （3）－x≤6,两边都乘以－1，得 x≤－6 ［解］ （1）正确.因为符合等式的性质. （2）（3）错误.根据不等式的基本性质 3，在不等式两边都乘以－1，不等号的方向 、 要改变，而（2）（3）都没改变，所以错误. 、 （2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？ ［师］解一元一次不等式的步骤有哪些？ ［生］解一元一次不等式的步骤有： 去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成 1. ［师］很好.下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同. 投影片（§1.7 C） 解一元一次方程 解法步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项；28不等式 两边都加上（或减去）同一个整式，不等号 的方向不变 两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变两边都乘以（或除以）同一个负 数，不等号的方向改变解一元一次不等式 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项；（5）系数化成 1（5）系数化成 1 在上面的步骤（1）和（5） 中，要注意不等式号方向是 否改变 一元一次不等式的解集含有 无限多个数解的情况一元一次方程只有一个解［例题］下面不等式的解法对不对？为什么？ （1）7x+5＞8x+6 7x－8x＞6－5 －x＞1 ∴x＞－1 （2）6x－3＜4x－4 6x－4x＜－4+3 2x＜－1 ∴x＞1 . 2解： （1）不对.在不等式两边都乘以－1 时，不等号的方向应改变.应为 x＜－1. （2）不对.在不等式的两边都除以 2 时，不等号的方向不变，且不能丢掉“－”号， 应为 2x＜－1 ∴x＜－1 . 2（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集. 投影片（§1.7 D） 解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. （1）2（x－3）＞4; （2）2x－3≤5（x－3）; （3） ??2( x ? 2) ? x ? 5 ?3( x ? 2) ? 8 ? 2 x?x ?1 3 ? x ? 5 ? 5 ? （4） ? ? 2x ? 2 ? x ? x ? 2 ? 3 3 4 ?解： （1）去括号，得 2x－6＞4 移项、合并同类项，得 2x＞10 两边都除以 2，得 x＞5.29这个不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－43 （2）去括号，得 2x－3≤5x－15 移项、合并同类项，得－3x≤－12 两边都除以－3，得 x≥4. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－44 （3） ??2( x ? 2) ? x ? 5 ?3( x ? 2) ? 8 ? 2 x(1) ( 2)解不等式（1） ，得 x＜1 解不等式（2） ，得 x＞－2 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集： 、图 1－45 所以，原不等式组的解集为－2＜x＜1.?x ?1 3 ? x ? 5 ? 5 ? （4） ? ? 2x ? 2 ? x ? x ? 2 ? 3 3 4 ?(1) ( 2)解不等式（1） ，得 x＜1 解不等式（2） ，得 x＞2. 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集： 、图 1－46 所以，原不等式组的解集为无解. ［师］解一元一次不等式组求公共部分时要记住： “同大取大，同小取小， 大于小数小于大数居中间，30大于大数小于小数无解” （4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程. ［师］大家还可以用类比的方法，比较列方程解应用题的步骤，猜想出用不等式解决 实际问题的步骤. 投影片（§1.7 E） 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人 500 元的 两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费； 乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领 x 名学生去旅游，他 们应该选择哪家旅行社？ 解：设选择甲旅行社所需费用为 y1 元，选择乙旅行社所需费用为 y2 元，则 y1=500?2+70%?500x=350x+%?500（x+2）=400（x+2）=400x+800 当 y1=y2 时，350x+0 解得 x=4; 当 y1＞y2 时，350x+x+800 解得 x＜4; 当 y1＜y2 时，350x+x+800 解得 x＞4. 所以，当学生人数为 4 人时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当学生人数少于 4 人时， 选择乙旅行社；当学生人数多于 4 人时，选择甲旅行社. ［师］大家能总结一下基本过程吗？ ［生］可以. ①审题，设未知数； ②找不等关系； ③列不等式； ④解不等式； ⑤写出答案. （5）一元一次不等式与一次函数. ［生］如函数 y=2x－5,当 y＞0 时，有 2x－5＞0,当 y＜0 时，有 2x－5＜0. Ⅲ.课堂练习 解下列不等式或不等式组： （1）3（2x+5）＞2（4x+3）; （2）10－4（x－3）≤2（x－1）; （3）x?3 x?6 ? ; 2 5?1 ? 2 ( x ? 4) ? 2 ? （4） ? ?x ? 2 ? x ? 3 ? 2 3 ?31解： （1）去括号，得 6x+15＞8x+6 移项、合并同类项，得 2x＜9 两边都除以 2，得 x＜9 . 2（2）去括号，得 10－4x+12≤2x－2 移项、合并同类项，得 6x≥24 两边都除以 6，得 x≥4. （3）去分母，得 5（x－3）＞2（x+6） 去括号，得 5x－15＞2x+12 移项、合并同类项，得 3x＞27 两边都除以 3，得 x＞9?1 ? 2 ( x ? 4) ? 2 ? （4） ? ?x ? 2 ? x ? 3 ? 2 3 ?(1) ( 2)解不等式（1） ，得 x＜0 解不等式（2） ，得 x＞0 这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：图 1－47 所以，原不等式组的解集为无解. Ⅳ.课时小结 回顾本章的知识点，并进行有关练习. Ⅴ.课后作业 复习题 A 组 Ⅵ.活动与探究 某化工厂 2000 年 12 月在判定 2001 年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息： 1.生产该种化肥的工人数不超过 200 人； 2.每个工人全年工作时数不得多于 2100 个； 3.预计 2001 年该化肥至少可销售 80000 袋； 4.每生产一袋该化肥需要工时 4 个； 5.每袋该化肥需要原料 20 千克； 6.现库存原料 800 吨，本月还需用 200 吨，2001 年可以补充 1200 吨. 请你根据以上数据确定 2001 年该种化肥的生产袋数的范围. 解：设 2001 年可生产该化肥 x 袋.根据题意得32?4 x ?
? ) ?20x ? (800 ? 200 ? 1200 ? 1000 ? x ? 80000 ?解得 80000≤x≤90000 且 x 为整数. ［答］2001 年该化肥产量应确定在 8 万到 9 万袋之间. ●板书设计 §1.7 回顾与思考 一、1.简述本章的知识点 2.重点知识讲解 （1）不等式的基本性质、以及与等式的基本性质的异同. （2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？ （3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集. （4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程. （5）一元一次不等式与一次函数. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业332.1 分解因式 一、教学目标 1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分 解） 。 2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。 3．感受整式乘法在解决问题中的作用。 二、教学重难点 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。 三、教学过程设计 1.创设情景，导出问题 （1）读一读： 首先教师进行章首导图教学， 指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体 演示（演示章头图）. 章首图力图通过一幅形象的图画――对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家 展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法――类比思想，让学生体会因 式分解与整式乘法之间的互逆关系。 （2）想一想： 993-99 能被 100 整除吗？你能把 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？ 今天我们大家一起来研究一下这个问题。 2.探索交流，概括概念 想一想：993-99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 小时是这样做的（1） （2） 答案：小明在判断 993-99 能否被 100 整除时是怎么做的？ 993-99 还能被哪些正整数整除。（1）小明将 993-99 通过分解因数的方法，说明 993-99 是 100 的倍数，故 993-99 能被 100 整除。 （2）还能被 98，99，49，11 等正整数整除。 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。34议一议：现在你能尝试把 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。 3 鼓励学生类比数的分解将 a -a 分解。 做一做：计算下列各式： （1） （m+4） （m-4）= （2） （y-3）2= （3）3x（x-1）= （4）m（a+b+c）= 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x=（ （2）m2-16=（ ） （ ） （ ） ） ） （ ） ） ； ； . ;（3）ma+mb+mc=（ （4）y2-6y+9=（ ） （请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？ 答案： 第一组： （1）m2-16； （2）y2-6y+9； （3）3x2-3x； （4）ma+mb+mc； 第二组： （1）3x（x-1）（2） ； （m+4） （m-4）（3）m（a+b+c）（4） ； ； （y-3）2。 第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固 式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。 议一议：由 a(a+1)(a-1)得到 a3-a 的变形是什么运算？由 a3-a 得到 a(a+1)(a-1)的变形 与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？与同伴交流。 （引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念。 ） 概 括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因 式。 3.巩固应用，拓展研究 课本 P40 随堂练习。 （学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式 概念的掌握。 ） 教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求： （1） 分解的结果要以积的形式表示； （2） 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； （3） 必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。 4.练习巩固，促进迁移35（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ A． （x+3） （x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2） （x+3）+1）C．a2b+ab2=ab（a+b） 答案：CD．（2） 证明： 一个三位数的百位数字与个位数字交换位置， 则新数与原数之差能被 99 整除。 证明：设原数百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，则原数可表示为 100x+10y+z， 交换位置后数字为 100 z +10y+ x。 则： （100 z +10y+ x）-（100x+10y+z） =100 z-100x+x-z =100（z-x）-（z-x） =99（z-x） 则原结论成立。 （3） （陕西省，中考题）如图 3-1①所示，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长了 b 的小 正方形（a＞b） ，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示） ，通过教育处两个图形（阴 影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A． （a+2b） （a-b）=a2+ab-2b2 C． （a-b）2=a2-2ab+b2 B． （a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2-b2=（a+b） （a-b）答案：D。 5.回顾联系，形成结构 想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？ （如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程；如果 把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式乘法就是它的逆过程。因此，整式 乘法与多项式的因式分解互为逆过程。这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系， 另一方面又说明了两者的根本区别。 ） （通过归纳总结，使学生对多项式的因式分解与整式乘法两者的密切关系，从而更好36得理解多项式的因式分解。 ） 6.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P17－P18372.2 提公因式法 一、教学目标 1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因 式。 2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况） 。 3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。 二、教学重难点 教学重点用提公因式法把多项式分解因式 教学难点探索多项式因式分解方法的过程 三、教学过程设计 第一课时 1.创设情景，导出问题 张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定 买单价 16 元的钢笔 10 支，5 元一本的笔记本 10 本，4 元一瓶的墨水 10 瓶，由于购买物 品较多，商品售货员决定以 9 折出售，问共需多少钱。 (让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示) 关于这一问题两位同学给出了各自的做法。 方法一：16?10?90%+5?10?90%+4?10?90%=144+45+36=225（元） 方法二：16?10?90%+5?10?90%+4?10?90%=10?90%（16+5+4）=225（元） 请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？ 答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数 10?90%放在括号外，只 进行过一次计算，很明显减小计算量。 （使学生在具体的实际问题解决过程中发现提取公因数便于计算，从而使他们初步感 知提取公因式方法的实际应用。 ） 2.探索交流，概括概念 （1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式 3x2+x 呢？多项式 mb2+nb-b 呢？ （2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。 讨论概括： （1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式 b，我们把多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式。如 b 就是多项式 ab+bc 的公因式。同样，多项式 3x2+x 各项都 含有相同的公因式 x，多项 mb2+nb-b 各项都含有相同的公因式 b。 （有了上面的情景，学生在刚回顾因数意义的同时，很容易说明因式的含义。 ） （2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 3.巩固应用，拓展研究 例 1 将下列各式分解因式： （1） 3x+6； （2） 7x2-21x；38（3） 8a3b2-12ab3c+abc； （4） -24x3-12x2+28x 答案： （1）3x+6=3x+3?2=3（x+2） （2）7x2-21x=7x?x-7x?3=7x（x-3） （3）8a3b2-12ab3c+abc=ab?8a2b-ab?12b2c+ab?c =ab（8a2b-12b2c+c） （4） -24x3-12x2+28= -（24x3+12x2-28） = -（4x?6x2+4x?3x-4x?7 ） = -4x(6x2+3x-7)想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？ （进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系） 4.练习巩固，促进迁移 （1）写出下列多项式的公因式：(课本练习) ①ma+mb ②4kx-8ky ③5y3+20y2 ④a2b-2ab2+ab （2）把下列各式分解因式： ①3x2-6xy+x ② 3+16m2-26m -4m 2 答案： （1）3x -6xy+x=x（3x-6y+1） （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13） （3）利用分解因式计算： ① 33× 0.48+85× 0.48-18× 0.48 ②7.18× 2.25+28.5× 0.225-2.03× 2.25 5.回顾联系，形成结构 想一想：这节课我们学了写什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网 络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．） 6.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P12－P1339第二课时 1.课前热身，复习回顾 想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？ 做一做： （1）下列用提取公因式法分解因式正确的是（ ） A．a3+2a2+a=a(a2+2a) B．-x2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7) C．6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6) D．a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b) （2） （-3）2005+（-3）2004 等于 （通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备。 ） 2.应用拓展，深化研究 把下列各式分解因式： ①a（x-3）+2b（x-3） ②5（x-y）3+10（y-x）2。 ； 答案：①a（x-3）+2b（x-3）=（x-3） （a+2b） 3 2 ② 5（x-y） +10（y-x） =5（x-y）3+10[-（x-y）]2 =5（x-y）3+10（x-y）2 =5（x-y）2（x-y+2） （此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合 学生的认知规律。 ） 第 1 小题在教学时引导学生把 （x-3） 看作一个整体， 从而解决工艺市是多项式的情况； 第 2 小题是在第 1 小题的基础上，进一步解决符号问题。教学时要引导学生正确理解 （x-y）与（y-x）（x- y）2 与（y-x）2 的关系。 ， 3.练习巩固，促进迁移 课本练习 P45“做一做” （加强学生的符号感） 3.巩固应用，拓展研究 （1）把下列各式分解因式： ① 3x2-6xy+x ②-4m3+16m2-26m 答案：①3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） ②-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13） （2）（3）把下列各式分解因式： ①4q（1-p）3+2（p-1）2 ② 3m（x-y）-n（y-x） ③m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1） 答案：①4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）40② 3m（x-y）-n（y-x）=（x-y） （3m+n） ③m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y） （4）计算 ① 已知 a+b=13,ab=40,求 a2b+ab2 的值； ②-19992 答案：①a2b+ab2=ab（a+b）,当 a+b=13 时，原式=40?13=520 ②-1 （5）比较 3 与 2 的大小。 解答：设 2002=x ∵3-2=x? 10001（x+1）-（x+1） ?10001 x=0 ∴3=2 5.回顾联系，形成结构 想一想：这节课我们学了写什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网 络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．） 6.课外作业 北师大版八年级（下）P1－P2412.3 运用公式法 一、教学目标 1． 经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过 程，发展学生的逆向思维。 2． 会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数） 。 二、教学重难点 用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数） 三、教学过程设计 第一课时 1.创设情景，导出问题 (1) 观察多项式 x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？ （这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生 进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。 ） (2) 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。 （让学生充分交流，加深对这种方法的理解。 ） 2.探索交流，概括概念 讨论： （1）多项式的各项都能写成平方的形式。如 x2-25 中：x2 本身是平方的形式，25=52 也是平方的形式；9x2-y2 也是如此。 （2）逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2, 可知 x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y). 所以我们可以借助乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 的逆过程得到乘法公式 a2-b2= (a+b)(a-b) 3.巩固应用，拓展研究 例 1 把下列各式分解因式：（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的 a，b 在此例中分别是什么） 提问：a2-b2= (a+b)(a-b) 中 a，b 都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？ 例2 把下列各式分解因式： (1) 9(m+n)2-(m-n)2; (2) 2x3-8x; 解 (1)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n) （进一步让学生理解平方差公式中的字母 a，b 不仅可以表示数，而且可以表示其他 代数式。 ） (2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2) （引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不 能再分解为止。 ）427 . 8 π ( D + d ) ( D d ) h4.应用加强，课内深化 1 把下列各式分解因式：= 7 . 8 ? 3 . 1 4 ? 1 . 4 ? 0 . 6 ? 1 8 = 3 . 7 ? 1 022 如图，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b） ，把余下的部 分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影 部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？5.练习巩固，促进迁移 （1）把下列各式分解因式 ① -(x+y)2+z2 (让学生比较（x+y+z）(z-x-y)与-(x+y+z)(x+y-z)是否相等) ② 9（a+b）2-4（a-b）2 ③m4-16m4 （2）如图，水压机有四根空心钢立柱．每根的高 h 都是 18 米，外径 D 为 1 米，内径 d 为 0.4 米，每立方米钢的重量为 7.8 吨．求四根立柱的总重量．(π 取 3.14，结果保留两个有 效数字)． 解：设四根立柱总重量为 w 吨，则原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1 =(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2 （3）已知 a,b,c 是△ABC 的三条边，且满足 a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 试判 断△ABC 的形状。 答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 即 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0 ∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0 ∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0 ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b，b=c，a=c43( 吨∴这个三角形是等边三角形. （4）设 x+2z=3y,试判断 x2-9y2+4z2+4xz 的值是不是定值？ 答案：当 x+2z=3y 时，x2-9y2+4z2+4xz 的值为定值 0。 （5）分解因式： （6）分解因式： 5.回顾联系，形成结构 想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网 络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 6.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P23－P2444回顾与思考 ●教学目标 （一）教学知识点 1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一 步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问 题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运 算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结. ●教具准备 投影片三张 第一张（记作§2.6 A） 第二张（记作§2.6 B） 第三张（记作§2.6 C） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的 方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解 （一）讨论推导本章知识结构图 ［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? ［生］ （1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师 可给予帮助） ［生］45（二）重点知识讲解 ［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如 15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2） 把多项式 15x3y2+5x2y－20x2y3 分解成为因式 5x2y 与 3xy+1－4y2 的乘积的形式,就是把 多项式 15x3y2+5x2y－20x2y3 分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c） 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c） a2－b2=（a+b） （a－b） 2 2 a ±2ab+b =（a±b）2 4.例题讲解 投影片（§2.6 A） ［例 1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由. （1）x2+3x+4=（x+2） （x+1）+2 2 3 2 （2）6x y =3xy?2xy （3） （3x－2） （2x+1）=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c） ［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积 的形式是因式分解，否则不是. ［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法. （2）不是因式分解,因为 6x2y3 不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需 要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解.46投影片（§2.6 B） ［例 2］将下列各式分解因式. （1）8a4b3－4a3b4+2a2b5; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3; （3）1 1 2 － 4 9（4）9（x+y）2－4（x－y）2; （5）x4－25x2y2; （6）4x2－20xy+25y2; （7） （a+b）2+10c（a+b）+25c2. 解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5 =2a2b3（4a2－2ab+b2）; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3 =－（9ab－18a2b2+27a3b3） =－9ab（1－2ab+3a2b2）;1 1 2 1 1 － x =（ ）2－（ x）2 4 9 2 3 1 1 1 1 =（ + x） （ － x）; 2 3 2 3（3） （4）9（x+y）2－4（x－y）2 =［3（x+y） 2－［2（x－y） 2 ］ ］ =［3（x+y）+2（x－y）［3（x+y）－2（x－y） ］ ］ =（3x+3y+2x－2y） （3x+3y－2x+2y） =（5x+y） （x+5y）; 4 （5）x －25x2y2=x2（x2－25y2） =x2（x+5y） （x－5y）; 2 （6）4x －20xy+25y2 =（2x）2－2?2x?5y+（5y）2 =（2x－5y）2; （7） （a+b）2+10c（a+b）+25c2 =（a+b）2+2? （a+b） ?5c+（5c）2 =［ （a+b）+5c］2=（a+b+5c）2 投影片（§2.6 C） ［例 3］把下列各式分解因式: （1）x7y3－x3y3; （2）16x4－72x2y2+81y4; 解:（1）x7y3－x3y3 =x3y3（x4－1） =x3y3（x2+1） 2－1） （x47=x3y3（x2+1） （x+1） （x－1） 4 2 2 （2）16x －72x y +81y4 =（4x2）2－2?4x2?9y2+（9y2）2 =（4x2－9y2）2 =［ （2x+3y） （2x－3y） 2 ］ =（2x+3y）2（2x－3y）2. ［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? ［生］可以. 分解因式的一般步骤为: （1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式. （2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止. Ⅲ.课堂练习 1.把下列各式分解因式 （1）16a2－9b2; （2） 2+4）2－（x+3）2; （x （3）－4a2－9b2+12 （4） （x+y）2+25－10（x+y） 解:（1）16a2－9b2=（4a）2－（3b）2 =（4a+3b） （4a－3b）; 2 （2） +4）2－（x+3）2 （x =［ 2+4）+（x+3）［ 2+4）－（x+3） （x ］（x ］ 2 2 =（x +4+x+3） +4－x－3） （x 2 =（x +x+7） 2－x+1）; （x 2 （3）－4a －9b2+12ab =－（4a2+9b2－12ab） =－［ （2a）2－2?2a?3b+（3b）2］ =－（2a－3b）2; （4） （x+y）2+25－10（x+y） =（x+y）2－2? （x+y） ?5+52 =（x+y－5）2 2.利用因式分解进行计算 （1）9x2+12xy+4y2,其中 x= （2） （4 1 ,y=－ ; 3 2a?b 2 a?b 2 1 ） －（ ） ,其中 a=－ ,b=2. 2 2 8解:（1）9x2+12xy+4y2 =（3x）2+2?3x?2y+（2y）2 =（3x+2y）2484 1 ,y=－ 时 3 2 4 1 原式=［3? +2?（－ ） 2 ］ 3 2当 x= =（4－1）2 =32=9a?b 2 a?b 2 ） －（ ） 2 2 a?b a?b a?b a?b =（ + ） （ － ） 2 2 2 2（2） （ =ab1 ,b=2 时 8 1 1 原式=－ ?2=－ . 8 4当 a=－ Ⅳ.课时小结 1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必 须使每一个因式都不能再进行因式分解. 2.利用因式分解简化某些计算. Ⅴ.课后作业 复习题 A 组 Ⅵ.活动与探究 求满足 4x2－9y2=31 的正整数解. 分析:因为 4x2－9y2 可分解为（2x+3y） （2x－3y） （x、y 为正整数） ，而 31 为质数. 所以有 ??2 x ? 3 y ? 31 ?2 x ? 3 y ? 1 或? ?2 x ? 3 y ? 1 ?2 x ? 3 y ? 31解：∵4x2－9y2=31 ∴（2x+3y） （2x－3y）=1?31 ∴??2 x ? 3 y ? 31 ?2 x ? 3 y ? 1 或? ?2 x ? 3 y ? 1 ?2 x ? 3 y ? 31 ?x ? 8 ?x ? 8 或? ? y ? 5 ? y ? ?5解得 ?因所求 x、y 为正整数，所以只取 x=8,y=5. ●板书设计 §2.6 回顾与思考 一、1.讨论推导本章知识结构图492.重点知识讲解 （1）举例说明什么是因式分解. （2）分解因式与整式乘法有什么关系? （3）分解因式常用的方法有哪些? （4）例题讲解 例 1、例 2、例 3 （5）分解因式的一般步骤 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业503.1 分式 一、教学目标 1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感。 2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别；掌握分式的基本性质，会化简分式。 3.在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。 二、教学重难点 教学重点：了解分式的概念，分式的基本性质； 教学难点：化简分式。 三、教学过程设计 第一课时 1.创设情景，导出问题 读一读：看章首导图引出本章内容。 （章首图的主要意境是一个“代数式的庄园”，其中有整式，也有分式。在教学中，应 利用章前图中提供的信息，让学生感受到分式与整式一样，也是表示现实情景数量关 系的工具，是解决问题的一种模型。 ） 面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期 限内固沙造林 2400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前 4 个月 完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1） 这一问题中有哪些等量关系？ （2） 如果设原计划每月固沙造林 x 公顷， 那么原计划完成一期工程需要____________ 个月，实际完成一期工程用了____________个月； 根据题意，可得方程 ； 2.探索交流，概括概念 （1） 等量关系包括： 实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30 公顷； 原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4 个月；(通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式， 体会分式的意义，发展符号感。) 做一做： 1.正 n 边形的每个内角为 答： 2.一箱苹果售价 a 元，箱子与苹果的总质量为 mkg，箱子的质量为 nkg，则每千克苹51度；果售价是多少元？（进一步丰富分式的实际背景，使学生体 会分式的意义。 ） 议一议： 上 面 问 题 中 出 现 了 代 数 式 ，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？整式 A 除以整式 B，可以表示成的形式。如果除式 B 中含有字母，那么称为分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母 都不能为零。 （这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分 式的异同，从而获得分式的概念。教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背。 ） 3.巩固应用，拓展研究例 1 （课本例题） （1）当 a=1,2 时，求分式的值；（2）当 a 取何值时，分式有意义？答案： （1） （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。由分母 2a=0,得 a=0，所以，当 a 取零以外的任何实数时，分式52有意义。（对与例 1（2） ，可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般） ； 其二，字母 a 本身是可以表示任何数的，但这里 a 作为分母，要求它不能等于零（由一般 到特殊）） 。 4.练习巩固，促进迁移 （1）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？（2）分别求出使下列式子有意义的 x 的值。（3）当 x 取何时，下列分式的值为零。5.回顾联系，形成结构 想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网 络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 6.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P25－P2653第二课时 1.创设情景，导出问题引导学生独立思考、大胆质疑：为什么可以类比？因为字母可以表示任何的数。 1. 探索交流，概括概念 讨论后得出结论分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式 的值不变。 注意：在分式有意义的情况下， （本题实际隐含了 m≠0，n≠0 的条件，故成立） 。 3.巩固应用，拓展研究 例 2（课本例题）（本例承上启下。一方面它是分式基本性质的应用，另一方面由此例引出分式的约分。 教学时注意引导学生找出分子与分母的公因式。 ）例 2 中，，即分子、分母同时约去了整式 ab；54，即分子、分母同时约去了整式 x-1。 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 练习：化简下列分式：注意在约分训练时，应使学生明确如下几点：①对于一个分式来说，约分就是要把分 子分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；②约分的关键是确定分式的分子分 母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式的思考过程相似；③约分是对分子、分 母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式。议一议：在化简时，小颖和小明出现了分歧。你对他们两人的做法有河看法？与同伴交流。 （约分不彻底是学生容易出现的问题。 教学时要根据学生出现的具体问题引导学生进 行交流。 ） 在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。化简分 式时，通常要使结果成为最简分式或整式。 4.练习巩固，促进迁移 1.学校用一笔钱买奖品，若以 1 支钢笔和 2 本日记本为一份奖品，则可买 60 份奖品， 若以 1 支钢笔和 3 本日记本为一份奖品，则可买 50 份奖品，问这笔钱全部用来买笔或日 记本，可买多少？ 答案：设钢笔每支 x 元，日记本每本 y 元，则 60(x+2y)=50(x+3y),则 x=3y，于是，这笔钱全用于买钢笔，可买这笔钱全用于买日记本，可买 2.下列分式的恒等变形是否正确，为什么？55答案： （1）由已知分式中隐含着 a≠0 的条件，所以可以用 a 分别乘以分式的分子与分母， 分式的值不变，固（1）是正确的。 （2）∵ 字母 c 可取任意数，当然包括零，当 c=0 时，分子、分母都乘以 c，就会使分式没 有意义，所以（2）只有在 c≠0 时才是正确的。 3.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。4.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。5.不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和分母中的多项 式按 x 的降幂排列。解法一： 由可知 x≠0，y≠0，故在等式两边同乘以 xy 得 x+y=5xy。56故（∵ xy≠0，∴ 分子、分母同除以 xy）解法二：∵ xy≠0，将所求分式的分子分母除以 xy。 5.回顾联系，形成结构 想一想：分式化简应注意些什么？ （通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网 络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 6.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P26－P28573.2 分式的乘除法 一、教学目标 1. 经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情景说明其合理性。 2. 会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力。 3. 能解决一些与分式有关的简单的实际问题。 二、教学重难点 教学重点：分式的乘除运算法则，进行简单分式的乘除运算。 教学难点：解决一些与分式有关的简单的实际问题。 三、教学过程设计 1. 创设情景，导出问题 观察下列运算：（让学生全面参与、独立思考，并让他们说说自己是怎样想的，为什么可以这样想， 等等。调动学生的学习积极性。 ） 2.探索交流，概括概念 概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现 （在广泛交流的基础上，由学生自己总结出分式的乘除法法则，并用数学的符号语言 加以表示。 ） 3.巩固应用，拓展研究 例 1 计算下列各题：58中 球 半 ）那（ 1 ）西 瓜 瓤 与 整 个 西 瓜 的 体 积 各 是 多 少 ？（这是一个纯运算题目， 应引导学生理解每一步的算理。 加强学生的逻辑推理能力。 ） 例 2 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西 瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是 均匀的，西瓜的皮厚都 d，已知球的体积公式为最简分式的个数是（ ） A．1 个 答案：选 B 3. 计算： B．2 个 C．3 个 D．4 个（ 2 ）西 瓜 瓤 与 整 个 西 瓜 的 体 积 的4. 先化简，再求值。595.回顾联系，形成结构 想一想：分式的乘除法的法则是什么？在做分式的乘除法时应注意些什么？ （过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络， 完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 6.课外作业与拓展 P28－P3060§3.3 分式的加减法 一、教学目标 1.经历探索分式加减运算法则，理解其算理； 2.会进行简单分式的加减运算， 具有一定的代数 化归能力； 3.能解决一些简单的实际问题， 进一步体会分式 的模型思想。 二、教学重难点 教学重点：分式的加减运算； 教学难点：解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型思想。 三、教学过程设计 第一课时 1.创设情景，导出问题 从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3km，其中第一条是平路，第二条有 1km 的上坡 路、 2km 的下坡路， 小丽在上坡路上的骑车速度为 vkm/h， 在平路上的骑车速度为 2vkm/h， 在下坡路上的骑车速度为 3vkm/h，那么 （1） 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？ （2） 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？ （通过行程问题引入分式的加减运算，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从 实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力。培养学生对分式 的建模能力。 ） 答案：生活中到处都有分式的应用。（2）走第一条路花费的时间少，少用了 2.探索交流，发现规律 讨 论： （1）同分母的分数如何加减？（2）你认为应等于什么？（3）猜一猜，同分母的分式应该如何加减？ （让学生相互交流，引导学生通过与分数类比，大胆猜想分式的加减运算法则。并让 学生说明其合理性。培养学生的探索能力。 ） 归 纳： 与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 3.练习巩固，促进迁移 做一做：61想一想： （1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如应该怎样计算？（鼓励学生在同分母分式加减的基础上，思考异分母分式的加减。 ） 类比异分母分数的加减运算，学生容易想到，解决异分母分式的加减问题，其关键是 化异分母分式为同分母分式的过程。 议一议： 小明认为， 只要把异分母的分式化成同分母的分式， 异分母分式的加减问题就变成了 同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。你对这两种做法有何评论？与同伴交流。 （在化成同分母分式的过程中，学生容易出现问题。小明的做法往往是学生容易想到 的， 但比较麻烦。 教学时可比较两人做法， 使学生在比较过程中体会到后一中方法的快捷。 ） 根据分式的基本性质， 异分母的分式可以化为同分母的分式， 这一过程称为分式的通 分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为 它们的共同分母。 （最简公分母的概念在课本上没有进行严格的描述， 学生只要能在具体问题中明确最 简共分母即可，不必对这一概念进行深究。 ） 用一用：请你计算一下本课开始的行程问题中的分式的加减式。62（把所学的知识立即应用与实际问题，增强学生的学习兴趣。 ） 4.练习巩固，促进迁移（后两小题是一组异分母加减的简单题目，只要分子、分母同乘以一个常数即可以化 为同分母分式的加减运算，为下节课一般的异分母加减运算做好准备。 ） 5.回顾联系，形成结构 该如何进行分式的加减运算？在运算时应注意些什么？ （通过提问方式引导学生小结主要知识及学习活动， 养成学习――总结――再学习的 良好习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的语言表达能力） 6.课外作业与拓展 八年级（下）P30－P3163第二课时 1. 探索交流，发现规律 做一做：尝试完成下列各题：（让学生再次经历异分母分式的加减运算，在此基础上归纳出异分母分式的加减法法 则。这种安排容易被学生所接受，符合他们的认知结构。 ）与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法 则进行计算。 2.巩固应用，拓展研究例2例 3 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两 位采购员的购货方式也不同，甲每次购买 1000kg，乙每次用去 800 元，而不管购买多 少饲料。 （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ （2）谁的购货方式更合算？ 答案： （1）设两次购买的饲料单价分别 m 元/kg 和 n 元/kg（m、n 是正数，且 m≠n） 甲两次购买饲料的平均单价为64乙两次购买饲料的平均单价为（2）甲、乙所购饲料的平均单价的差是（让学生充分得思考、讨论、交流。通过实例，提高学生的运算能力、代数推理能 力和“数学化”的能力。 ） 3.课堂练习，促进迁移654.回顾联系，形成结构 异分母分式的加减法法则是什么？这节课你有什么收获？ （让学生自已总结本节所学内容，培养他们善于总结、归纳的能力） 5.课外作业与拓展 八年级（下）P32－P33663.4 分式方程 一、教学目标 1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方 程（方程中分式不超过） ，会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一 元一次方程的联系。 3.经历“实际问题――分式方程模型――求解――解释几解的合理性”的过程，发展 学生分析问题的能力，培养学生的应用意识。 二、教学重难点 教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性。 教学难点：掌握“实际问题――分式方程模型――求解――解释几解的合理性” 的过程。 三、教学过程设计 第一课时 1.创设情景，探索交流 情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分 别收获小麦 9000kg 和 15000kg。已知第一块试验田每公倾的产量比第二块少 3000kg，分 别求这两块试验田每公顷的产量。 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 如果设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那第二块试验田每公顷的产量 是 kg. 根据题意，可行方程。 。 答案：等量关系包括： 第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量。第一块试验田的面积=第二块试验田的面积 第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长 600km 的普通公路，另一条是全长 480km 的高速公路。 某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快 45km/h， 由高速公 路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速 公路从甲地到乙的所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？67如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为 xh， 那么它由普通公路从甲地到乙 地所需的时间为 h。 根据题意，可得方程 。 答案：等量关系包括： 600km=客车在普通公路上行驶的平均速度?客车由普通公路从甲地到乙地的时间。 480km=客车在高速公路上行驶的平均速度?客车由高速公路从甲地到乙地的时间。 客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h 由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2?由普通公路从甲地到乙地所需的时间通过几个实际问题，让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一“数学化” 的过程。 在教学过程中，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问}