f（x）=7x+2在R上增减性
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时间：2017-06-29 04:36
已二次函h（x）=+bx+（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象图，（=lnx+hx）．求函（x）在x=3处的切线斜；函y=-x，x∈0，6]的象总函数=f（x）图象的上，求c的取值范．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
分析：求h′（x）图象可导函数过（0，-8，（4，0）两点则把两点坐标入'（）=2axb中出和b值，把a和b的值hx中求出解，然后把h（x）代入到f（x）中化后求出f（，把x=3代入f′（x）算出′即可得到切线的斜率；数y=-x的图象总在函数=（x）图象的上方到-x大于等于fx），列出不式解c≤-x-6ln+7x恒成立，求出g（x）=-x2-6l+7x的最小方是令导函=0出x的，区间讨论导数负得函数的调区间，根据函数的增减得函数最．根据小于等于g（x）的最值列出不等，求出解集可到的围．
解：由知，'（x=2ax+b，则，解得，，2+x-6x=-(2x-3(-2)x∴
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点评：考查生会利用导过某点切方程斜率会利导数研究函数的单调区间以及根据函的增减性得到函数的值掌握不等式恒成立时所取条件．
江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学高考数学模拟试卷（18）
天津市武清区高二（上）期中数学试卷（文科）
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＞＞＞已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）..
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-7(-x)(-x)2+(-x)+1=7xx2-x+1（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）f(x1)-f(x2)=-7x1x21+x1+1--7x2x22+x2+1=7(x1-x2)(x1x2-1)(x21+x1+1)(x22+x2+1)当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．同理当1＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值函数的奇偶性、周期性
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）..”考查相似的试题有：
826121881367554874829128824451476803高三教学导学案发布日期：访问次数:
]苏自学1011078“指导学生自学策略，提高数学教学有效性”研究材料
学年度& 高三数学导学案
太仓市明德高级中学 王树锋
课后反思指数函数
一.考点解析：
1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
2．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题；
3．知道指数函数是一类重要的函数模型.
函数考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
二.基础过关：
1．根式：(1) 定义：若 ，则 称为 的 次方根;① 当 为奇数时， 次方根记作__________；
② 当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，记作________(a&0).
(2) 性质：① ；② 当 为奇数时， ；
③ 当 为偶数时， _______＝&
2．指数：(1) 规定：① a0＝&&&&&&&&&&&& (a≠0)；② a-p＝&&&&&&&&&&&&&& ；
③ &&&&&&&&&&&&&&&&.
(2) 运算性质：① &&&&&&&&&&(a&0, r、 Q)，② &&&&&&&&&&(a&0, r、 Q)③ &&&&&&&&&&(a&0, r、 Q).注：上述性质对r、 R均适用.
3．指数函数：① 定义：函数&&&&&&&&&&&&&&&&& 称为指数函数，1) 函数的定义域为&&&& ；2) 函数的值域为&&&&& ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数.
② 函数图像：1) 过点&&&&& ，图象在&&&&&&&&&&&& ；2) 指数函数以&&&&& 为渐近线(当 时，图象向&&& 无限接近 轴，当 时，图象向&&& 无限接近x轴)；3) 函数 的图象关于&&&&&& 对称.
③ 函数值的变化特征：
① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
课后反思
课堂反思① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
三.诊断训练：
1. 集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T=&&&&&&&& .
2. 已知 函数 & ，那么 &的值为&&&&&&&& .
象限.
4. 设a＝π0.3，b＝logπ3，c＝30，则a，b，c的大小关系是&&&&&&&& .
5. 函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值为________.
四.例题分析：
例1. 已知a= ,b=9.求：&& （1） &&&&&&& （2） .
变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1） （2）
例2. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：?
（1）&&&&&& f(x)=3 ;?（2）g(x)=-( .
变式训练2：求下列函数的单调递增区间：?（1）y=( ;(2)y=2 .?
课后反思例3．设a＞0,f(x)= 是R上的偶函数.?
（1）&&&&&& 求a的值；?（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.?
变式训练3：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)= . （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；?
（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.?
五.强化训练：
1.方程 的解是__________.
2.函数 在 上的值域为
3.已知函数 &若 ，则 &&&&&& .&
4.设 ，则a，b，c的大小关系是&&&&&&&&& .
5.若函数f(x)=a -x-a(a&0且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是&&&&&&& .
6.定义：区间 的长度为 .已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为_________.
7.给出下列四个命题：①函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同；②函数 与 的值域相同；③函数 与 都是奇函数；④函数 与 在区间 上都是增函数，其中正确命题的序号是_____________.（把你认为正确的命题序号都填上）
课后反思
9.已知定义域为R的函数 是奇函数.（1）求a,b的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求k的取值范围.
课堂反思对数函数
一.考点解析：
1．理解对数的概念及其运算性质，了解对数在简化运算中的作用；
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.
3．了解指数函数 与对数函数 互为反函数.
考试热点：①高考中常以填空题的形式考查对数、对数函数的图象与性质.②含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.③含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
二.基础过关：
1．对数：
(1) 定义：如果 ，那么称&&&& 为&&&&& &&&，记作&&&&&&&&& ，其中 称为对数的底，N称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数， 记作___________．
② 以无理数 为底的对数称为自然对数， 记作_________．
(2) 基本性质：
① 真数N为&&&&&& (负数和零无对数)；② &&&&&；③ &&&&&&；
④ 对数恒等式： &&&&&&& ．
(3) 运算性质：
① loga(MN)＝______________；② loga ＝_______________；
③ logaMn＝&&&&&&&&&&& (n∈R).④ 换底公式：logaN＝&&&&& (a&0，a≠1，m&0，m≠1，N&0).⑤ &&&&&&&&&&.
2．对数函数：
① 定义：函数&&&&&&&&&& 称为对数函数，1) 函数的定义域为(&&&& ；2) 函数的值域为&&&& ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数 与函数&&&&&& 互为反函数.
② 1) 图象经过点(&&&&&& )，图象在&&&&&&&& ；2) 对数函数以&&&&& 为渐近线(当 时，图象向上无限接近y轴；当 时，图象向下无限接近y轴)；4) 函数y＝logax与&&&&&&& 的图象关于x轴对称．
③ 函数值的变化特征：
课堂反思
① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
三.诊断训练：
1.(log32+log92)·(log43+log83)=&&&& .&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=&&& .
2. 已知3a=5b=A,且&&&&&&&&& ,则A的值是____.
3.若函数y=loga(x+b) (a&0,且a≠1)的图象过两点 (-1,0)和(0,1),则a=_____,b=_____.
4. 设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a，b，c的大小关系是&&&&&&&& .
5. 函数f(x)＝log(2＋2x－x2)的值域为________．
6.若f(x)=logax在［2,+∞)上恒有f(x)&1,则实数a的取值范围是______.
四.例题分析：
例1.计算：（1） ；（2）2(lg )2+lg ·lg5+ ;?
（3） lg - lg +lg .??
变式训练1：化简求值.?（1）log2 +log212- log242-1;?
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;?（3）(log32+log92)·(log43+log83).?
例2. 比较下列各组数的大小.?（1）log3 与log5 ;?（2）log1.10.7与log1.20.7;?
（3）已知log b＜log a＜log c,比较2b,2a,2c的大小关系.?
变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga 的大小关系是（&& ）
A.loga &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
课堂反思例3.已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1
成立，试求a的取值范围.?
变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1- ］上是单调递减
函数.求实数a的取值范围.?
变式训练4已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4(a·2x-&& a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求
实数a的取值范围.
五.强化训练：
1 ..&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =__________.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2. 设 ，且 ，则 &&& .&
3. 设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则a，b，c的大小关系是&&&&&& .
4.若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是&&&&&&&&& .
5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log2)的值为&&&&&&& .
x6. 已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系是&&&&&& .(A． ,B． ,
C． ,D． )&
7. 设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为&&&&&&&& .
8. 已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的
x的取值范围是________．
9. 若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，求实数a的值．
课堂反思&
10. 求函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)(a&0，a≠1)的单调区间．
11.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+ f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
12.已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性．
课堂反思第九节&&& 幂函数
一.考点解析：
1.了解幂函数的概念;
2.结合函数 的图象，了解它们的变化情况.
考试热点：高考中以填空题形式考查幂函数的图象与性质,也有与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性较强的解答题.
二.基础过关：
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如&&& 的函数称为幂函数，其中&&&& 是自变量，&
是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点&&&&&&&&&& ；（2）当 时，幂函数在 上&&&& ；当 时，幂函数在 上&&&&&&&&&& ；（3）当 时，幂函数是&&&&&&&&& ；当 时，幂函数是&&&&&&&& &&．
3．幂函数的性质：（1）都过点&&&&&&&& ；（2）任何幂函数都不过&&&&&&&& 象限；
（3）当 时，幂函数的图象过&&&&&&&& ．
4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点 平行于 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从&&&&& 到&&&&&&&& 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在&&&&&& 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于&&&&&& 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于&&&&&&&& 对称．
三.诊断训练：
1. 下列函数中是幂函数的是____.
①y=②&&&&&&&&&&&&& ③&&&&&&&&&&& ④
2.设 ，则使函数 的定义域为 且为奇函数的 的值为&&&& .
3. 若幂函数f(x)的图象经过点&&&&& ,则其定义域为_________. &
4.若&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&,则a的取值范围是_______.
5. 已知函数 是偶函数，且 ，则m= &&&&．
四.例题分析：
例1. 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,& f(x)是:(1)幂函数;(2)幂函数,
且是(0,+∞)上的增函数;(3)正比例函数;(4)反比例函数;(5)二次函数.
变式训练1：已知函数变式训练1：已知函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，
m 为何值时,f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
课堂反思?
例2比较大小：（1） & （2） （3）
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1） &
（2） & （3）
五.强化训练：
1 ..&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =__________.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2. 设 ，且 ，则 &&& .&
3. 设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则a，b，c的大小关系是&&&&&& .
4.若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是&&&&&&&&& .
5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log2)的值为&&&&&&& .
x6. 已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系是&&&&&& .(A． ,B． ,
C． ,D． )&
7. 设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为&&&&&&&& .
8. 已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的
x的取值范围是________．
9. 若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，求实数a的值．
课堂反思&
10. 求函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)(a&0，a≠1)的单调区间．
11.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+ f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
12.已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性．
课堂反思第十节&& 函数与方程
一.考点解析
1．了解函数的零点与方程根的联系；能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.
2．根据具体函数的图象能用二分法求方程的近似解.
考试热点：高考中多以难度较低的填空题为主,结合函数图象,考查图象交点以及方程根的存在性问题.
二.基础过关：
1.函数零点的定义：(1)方程 的实数根又叫 的零点.
(2)方程 有实根 函数 的图像与&&&&&&& 有交点 函数 有&&&&&&&&&&&&&&&&
2.函数零点的判定：如果函数 在区间 上的图像是一条不间断的曲线，且有&&& &&&&&&&&&&，则函数 在区间&&&&&& &&&&&&上有零点,即存在 ,使得&&&& &&&&&&，这个 也就是 的根。我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.
三.诊断训练：
1.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1,1］上存在一个零点,则实数a的取值范围是_______________.
2.已知函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点，& 则该函数的所有零点之和为___.
3. 如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是___________.
4.函数&&&&&&& 的零点个数为___.
5. 若函数 在区间 内有且只有一个零点，那么实数 的取值范围是&&&&&& ．
四.例题分析：
例1. 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.&
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;(2)f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1,3］.
课堂反思变式训练1：求下列函数的零点.&
(1)f(x)=x3+1;(2)
例2.求函数y=ln x+2x-6的零点个数.&&&&&&&&&&
变式训练2：已知函数f(x)=ax+&&&&& (a&1),判断&& f(x)=0的根的个数.&
例3. 已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数
a的取值范围.
变式训练3：若例题中的函数不变，把后面的内容改 为:一个零点在0与1之间,另
一个零点在1与2之间,求实数a的集合.
例4.若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
变式训练4：方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实 数a的取值范围为________.
五.强化训练：
课堂反思1. 如果函数y=x2+mx+(m+3)有 两个不同的零点,则m的取值范围是&&&&&&&&&&&& .&&&&&
2. 如果函数 f(x)=x2+mx+m+2的一个零点在原点,则另一个零点是____.
3. 用二分法求方程x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)
内,则下一步可断定该根所在的区间为_____.
4. 根据表格中的数据,可以判 定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为_____.
5. 已知函数f(x)=3x+x-5的零& 点x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=___.
6. 若函数f(x)=ax-x-a(a&0,且a≠1) 有两个零点,则实数a的取值范围是______.
7. 偶函数f(x)在区间 [0,a](a&0)上是单调函数,且f(0)·f(a)&0,则方程f(x)=0在区间［-a,a］内根的个数是____.
8. 关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间[0,1]上,另一根在区间[1,2]上,
则2a+3b的最大值为____.
9.若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两实根α,β满足0&α&1&β&2,则实数t的取值范围是__________.
10.已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)&0,求实数p的取值范围.
11. 已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)问是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t.(视区间[a,b]的长度为b-a)
课堂反思12. 某公司试销一种成本单价
为500元/件的新产品,规定试销
时销售单价不低于成本单价,又 不高于800元/件.经试销调查,发 现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试用销售单价x表示利润S,并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
13.某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为&&&&&&&&&&&&& （万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂
课堂反思第一节&& 导数概念及运算
一.考点解析：
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
4.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科）
考试热点：高考中主要以填空题的形式考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义;有时也以解答题的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.
二.基础过关：
1．导数的概念：函数y＝ 的导数 ，就是当Δ 0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ 的比 的&&&&&&&& ，即 ＝&&&&&&&& ＝&&&&&&&& ．
2．导函数：函数y＝ 在区间(a, b)内 &&&&&的导数都存在，就说 在区间( a, b )内&&&&&&&& ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做 的&&&&&&&& ，记作 或 ，函数 的导函数 在 时的函数值&&&&&&&& ，就是 在 处的导数.
3．导数的几何意义：设函数y＝ 在点 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 处的&&&&&&&& .
4．求导数的方法：
(1) 八个基本求导公式：
＝&&&&&& ；&&& ＝&&&&&&& ；(n∈Q)
＝&&&&&&& ， ＝&&&&&&&&&
＝&&&&&&&& ，& ＝&&&&&&&&&&&
＝&&&&&&& &， ＝&&&&&&&&&
(2) 导数的四则运算：
＝&&&&&&&&&& && ＝&&&&&&&&&
＝&&&&&&&&&&& &&， ＝&&&&&&&&&&
(3) 复合函数的导数
设 在点x处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点x处可导， 且 ＝&&&&&&&& ，即 .
三.诊断训练：
课堂反思1. 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为 ，那么速度为零的时刻是&&&&&&& .
2. 函数y=xcos x-sin x的导数为________.
3. 若f′(x0)=2,则当k→0时,&&&&&&&&&&&&&&&& =____.
4.（1）已知 ,则 &&&&&& . （2）（理科）设函数 ，则 ′ ＝&&& .
5. 若曲线 在点 处的切线方程是 ，则&&&&&& a=&& ;b=&&& .
四.例题分析：
例1. 例1．求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
变式训练1. 利用导数的定义,求出函数&&&&&&&&&&& 的导数,并据此求函数在x=1处的导数.
例2．下列函数的导数：① &；② ；
③&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ⑤
变式训练2：求下列函数的导数：(1)y=x2(2)y=3xex-2x+e;
(3)&&&&&&&&&&& (4)y=sin32x.
例3. 如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程．
课堂反思变式训练3：直线 &&是曲线y= ln x(x&0)的一条切线,则实数b=_______.
例4.已知曲线 &(1)求曲线在x=2处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)
的切线方程.
变式训练4：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则 k=___________.
五.强化训练：
1. 一物体做直线运动的方程为 ， 的单位是 的单位是 ，该物体在3
秒末的瞬时速度是&&&& .
2. 曲线y=x3-1在x=1处的切线方程为_________.
3. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为&&&&&&& .
4. 已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是&&&&&& ．
5. 已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0) =_____.
6. 设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
,则点P横坐标的取值范围为_______.
7. 曲线y= 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____.
8. 函数 在 处的导数值为&&&&&&&&& .
9. 若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______ __.
10. 已知函数f(x)在R上满足f(x)= 2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是_______.
11. 求下列函数的导数：(1)y=(2x2-1)(3x+1)& (2) &&&&&&& (3) (4) (5) &&&&&& (6)
课堂反思&
12. 已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
13. 设函数f(x)= &(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
课堂反思第二节&& 导数应用
一.考点解析：
1. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；；
2. 掌握求函数单调区间的导数方法;会求函数的极值和最值；;
考试热点：利用导数来解决函数的单调性与最值问题已成为炙手可热的热点.既有填空题,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值;也有解答题,侧重于导数的综合应用,即导数与函数、数列、不等式的综合应用.
二.基础过关：
1． 函数的单调性：
⑴ 函数y＝ 在某个区间内可导，若 ＞0，则 为&&&&&&& ；若 ＜0，则 为&&&&&&& &.（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有 ，则 &&&& .
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数 的&&&&&&& ；
②求 ，令&&&&&&& ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定 在各小开区间内的&&&&&&& ，根据 的符号判定函数 在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值：
⑴ 极值的概念：设函数 在点 附近有定义，且对 附近的所有点都有&&&&&&& （或&&&&&&& ），则称 为函数的一个极大（小）值．称 为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：① 求导数 ；② 求方程 ＝0的&&&&&&& ；
③ 检验 在方程 ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝ 在这个根处取得&&&&&&& ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝ 在这个根处取得&&&&&&& .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝ 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝ 在(a ,b )内有导数，则函数y＝ 在[a ,b ]上&&& 有最大值与最小值；但在开区间内&&&&& 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：① 求y＝ 在(a ,b )内的&&&&&&& 值；② 将y＝ 的各&&&&&&& 值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递增，则 为函数的&&&& &&&， 为函数的&&&&&&& ；若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递减，则 为函数的&&&&&&& ， 为函数的&&&&&&& .
三.诊断训练：
1. 函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为______.
2. 函数y=1+3x-x3的极大值、极小值分别为_______.
3. 函数 的最大值是&& ，最小值是&& .
4.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是_______.
5. 已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是&&&& .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
6.周长为12cm的矩形围成的圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱高的比是&&&& &&.
四.例题分析：
例1．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1） ?0，比较f（0）＋f（2）与2f（1）的大小： &&&&&&&&&.（2） 在区间 上的最大值是&&&& .
变式训练1求下列函数单调区间：（1） &&&&&
（2） &（3） & & （4）
例2. 已知f(x)=ex-ax-1.?（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
变式训练2. 已知函数f(x)=x3-ax-1.?（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.?
例3．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点 x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x= 时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
变式训练3：已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值.
变式训练4：设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围.
例4. 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的 斜率;(2)当a≠ && 时,求函数f(x)的单调区间与极值.
变式训练5：已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点 . (-1,-6),且函数
g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a&0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
五.强化训练：1.函数 则 的单调减区间是&&& &&&&&&.
2.函数 处具有极值，则k的值为&&&&&&& &&&.
3.已知可导函数 的导函数为 ，且满足 ，则 = &&&&.
4.若曲线 处的切线与直线 平行，则实数a=&&& .
5.已知 （ 为常数），在 上有最大值3，那么此函数在 &上的最小值为&&&&& .
6.若函数h(x)=&&&&&&&&&&& 在 (1，+∞)上是增函数，则实数k的取值范围是
__________.
7.若函数 的图像与直线 只有一个公共点，则实数a的取值范围是&&&&&&&& .
8. 设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 则不等式 的解集
为&&&&&& .
9.设函数 ，若对于任意 都有 成立，则实数a的值是&&&&&&& .
10. 已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；&& （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．&&&
11. 求证：方程 在区间 内有且仅有一个实根.
12. 已知函数 (x&0)在x = 1处取得极值 ，其中 &为常数.（1）试确定 的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x&0，不等式 恒成立，求c的取值范围.
13. 已知函数f(x)=x3-ax2-3x.& (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取
值范围;(2)若x= &&& 是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最 大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由.
附：训练及例题简解
三.诊断训练：
1. (0,2). ；2. 3,-1；3. , ；4.
5. D ； 6. 4π
四.例题分析：
例1．解：（1）由题意得：当x?1时，f?（x）?0，所以函数f（x）在（1，＋?）上是增函数；
当x&1时，f?（x）?0，所以f（x）在（－?，1）上是减函数，
故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）?f（1），f（2）?f（1）；
（2）当－1?x&0时， &0，当0&x?1时， &0，
所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数 。
变式训练1 解：（1）∵ & &&& ∴ 时
& & ∴ ， &
（2） && ∴ ，
（3） && ∴ & ，& &
∴ ， && ，
（4） &&& 定义域为
& & &&&&& & &&
例2. 解： =ex-a.?
（1）若a≤0， =ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.?
若a&0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).?
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴ ≥0在R上恒成立.?
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.?
∴a≤（ex）min，又∵ex&0，∴a≤0.?
（3）方法一&& 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.?
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.?
∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.?
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.?
方法二&& 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴ =0,即e0-a=0,∴a=1.
变式训练2. （1）解& 由已知 =3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，?
∴ =3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.?
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时， =3x2≥0,?
故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.?
（2）解& 由 =3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.?
∵-1&x&1,∴3x2&3,∴只需a≥3.当a=3时， =3(x2-1),?
在x∈(-1,1)上， &0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.?
故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.?
（3）证明& ∵f(-1)=a-2&a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.
例3．解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f′(x)=3x2+2ax+b,
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0&&&&&&&&&& ①
当x= &时,y=f(x)有极值,则
可得4a+3b+4=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②
由①②解得a=2,b=-4.
由于切点的横坐标为x=1∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4,
令f′(x)=0,得x=-2,x=
当x变化时,y,y′的取值及变化如下表:
(-3,-2)
单调递增
单调递减
单调递增
∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为 .
变式训练3：已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值.
解& f′(x)=2x(x+a)+x2+1=3x2+2ax+1 ∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2.
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+ )(x+1).由f′(x)&0,得x&-1或x& &
由f′(x)&0,得-1＜x＜
因此,函数f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为
∴f(x)在x=-1处取得极大值为f(-1)=2;
f(x)在x= 处取得极小值为 &
∴f(x)在 &&&&&上的最大值为f(1)=6,
最小值为
变式训练4：设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围.
例4. 解:& (1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,
故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)解:& f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex,
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠ &&知,-2a≠a-2.&&&&&&&&&&&&&&&&&
以上分两种情况讨论&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(1)若a& &&,则-2a&a-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,-2a)
(-2a,a-2)
(a-2,+∞)
f′(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,
在(-2a,a-2)内是减函数.&&&&&&&&&&&&&&&&&
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(2)若a& &&,则-2a&a-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,a-2)
(a-2, -2a)
(-2a,+∞)
f′(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞)
单调减区间为(a-2,-2a).&&&&&&&&&&&&&&&&
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&
变式训练5： 解& (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
g(x)的图象关于y轴对称,所以
所以m=-3,代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)&0得x&2或x&0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
由f′(x)&0,得0&x&2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
(-∞,0)
(2,+∞)
f′(x)
极大值
极小值
由此可得:
当0&a&1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,&&&
无极小值;
当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1&a&3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,
无极大值;
当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
综上所述:当0&a&1时,f(x)有极大值-2,无极小值;
当1&a&3时,f(x)有极小值-6,无极大值;
当a=1或a≥3时,f(x)无极值.
五.强化训练：
1. ；2. ；3. 6；4. ；5. -37；6. 故k≥-2×(-1)2=-2. 7.
8. ；9.
10. 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以 &&&&&
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是 ， 知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 &
故 内是增函数，在 内是减函数，在 内是增函数．
11. 证明：令 ，& 则 &
当 时， ，&&& 所以 在 &&
∴ 在 内与 轴有且仅有一个交点
∴ 方程 &&在 内仅有一解
12. 解：（I）由题意知 ，因此 ，从而 ．
又对 求导得 ．
由题意 ，因此 ，解得 ．
（II）由（I）知 （ ），令 ，解得 ．
当 时， ，此时 为减函数；当 时， ，此时 为增函数．
因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 ．
（III）由（II）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值，
要使 （ ）恒成立，只需 ．
即 ，从而 ，
解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
13. &解& (1)f′(x)=3x2-2ax-3
∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,
即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立
则必有 &≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0.
(2)依题意,
∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x
令f′(x)=3x2-8x-3=0,
得x1= &&& x2=3.则
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
f′(x)
∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.
函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交&
点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根
∴x3-4x2-3x-bx=0,
∴x=0是其中一个根,
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根,
∴b&-7且b≠-3.
∴存在符合条件的实数b,b的范围为b&-7且b≠- 3.
课堂反思函数与导数单元检测
一.填空题：请把正确答案填在题后横线上，每小题5分，满分70分.
1．函数y(0&a&1)的定义域为&&&&&&& .
2. 函数 的值域是&&&&& .
3．下列函数①.y=x &(x∈(0,+∞)) ②y=3x(x∈R)③y=x &(x∈R)④y=lg|x|(x≠0) 在其定义域内既是奇函数又是增函数的是&&&&&&& .
4．若 是方程式 的解，则 属于区间&&&&&&& (区间长度为 ).
5. 若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 ______.
6. 已知函数f(x)= 则f(log23)的值为&&&&&&&&&& .
7. 抛物线y= x2上点M( ， )的切线倾斜角是& &&&.
8. 函数 已知 时取得极值，则 =&&&&&&&& .5
9. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x-1，则f(log212)的值为&&&& &&.
10. 若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为&&&&&& .
11. 如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：?
①f(x）在［-2，-1］上是增函数；?②x=-1是f(x)的极小值点；?
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；?
④x=3是f(x)的极小值点.?其中判断正确的是&&&&&& . ②
12. ,若在 上的最大值为 ，则a的值为
13. 已知定义在R上的函数 满足：对任意x∈R，都有 成立，且当 时， (其中 为 的导数).设 ，则a，b，c三者的大小关系是& &&&&&.
14. 设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，且 ，则称 为 上的 高调函数．如果定义域为 的函数 为 上的 高调函数，那么实数 的取值范围是&&&&& ．如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时， ，且 为 上的4高调函数，那么实数 的取值范围是&&&&& ．
二.解答题：请写出文字说明或解答过程，满分90分.
15. 已知向量 在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
16. 设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，f(x)=x3.（1）证明：f(x)是奇函数；?（2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.
17. 已知 是函数 的一个极值点，其中 ，& （1）求 与 的关系式；& （2）求 的单调区间；
（3）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 ，求 的取值范围.
18. 已知a为实数， .⑴求导数 ；&& ⑵若 ，求 在[－2，2] 上的最大值和最小值；⑶若 在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围.
19. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 万元.（Ⅰ）试写出 关于 的函数关系式；
（Ⅱ）当 =640米时，需新建多少个桥墩才能使 最小？
20. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x&0时，f(x)&1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)&0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)&1，求x的取值范围.
课堂反思第一节&& 不等式解法
一.考点解析：
1.了解不等式性质;2．掌握一元二次不等式解法.
考试热点：以利用不等式的性质去判断不等式以及列出应用题中的不等关系，一元二次不等式结合函数、方程的考查仍是热点.
二.基础过关：
1.不等式的基本性质:(1）对称性：a&b,&&&&&& .（2）传递性：a&b,b&c,&&&&&&& .
（3）加法性质：a&b,a+c& b+c;a&b,c&d,a+c& b+d.
（4）乘法性质：a&b,c&0,ac&a&b,c&0,ac&a&b&0,c&d&0,ac& bd.
（5）倒数法则：a&b,ab&0,& &&? &&&&;ab&0,?&&& , a& b.（同号即可，而不要求a,b均大于0）.（6）乘方性质：a&b&0?an& bn(n∈N,n&1).
（7）开方性质：a&b&0,&&& &&&&&?(n∈N,n&1).
2．关于x的一元一次不等式ax+b&0的解集当a&0时为&&&&&&&&&&&&&&&&&& ;当a&0时为&&&&&&&& .关于x的不等式ax&b解集是R,则实数a,b满足的条件是&&&&&&& .
3．一元二次不等式的解集如下表：
判别式
Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c
（a&0）的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a&0）的根
有两相异实根
x1，x2（x1&x2）
有两相等实根
x1=x2=&&&&& .
没有实
ax2+bx+c&0（a&0）
的解集
&&&&&&
ax2+bx+c&0(a&0)
的解集
三.诊断训练：
1.已知a&0,-1&b&0，那么 a,ab,ab2的大小关系是&&&&&&&&& .
2.下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使 &&&&&成立的充分条件有&&&&&& （填序号）.
3.函数&&&&&&&&&&&&&& 的定义域是&&&&&&&& .
4.已知集合A={x|x2-7x+6≤0，x∈Z},B={x|2x2-x-6&0,x∈Z}，则A∩B的子集个数为____．
5.已知函数&&&& &&&&&&&&&&&则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是&&&&&&&&&& .
6.在R上定义运算?：x※y=x（1-y）.若不等式（x-a）※(x+a)&1对任意实数x成立，则a的取值范围是&&&&&&& .
四.例题分析：
例1.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假.
& （1）若a&b，则ac&（2）若a&b,则ac2&bc2;（3）若a&b&0，则a2&ab&b2;
（4）若a&b&0，则&&&&&&&& ;（5）若a&b&0,则&&&&&
变式训练1.已知a,b,c满足c&b&a且ac&0，则下列不等式中恒成立的是&&&&&& （填序号）.
例2.解下列不等式：（1）2x2+4x+3&0;（2）-3x2-2x+8≥0；（3）12x2-ax&a2(a∈R).
变式训练2.解下列不等式：（1）①-x2+2x-&& &0;②8x-1≤16x2.
(2) 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1&0.
例3.(1)若不等式（1-a）x2-4x+6&0的解集是{x|-3&x&1}，求a的值.(2)已知不等式（m2+4m-5）x2-4(m-1)x+3&0,对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
变式训练3.已知ax2+2x+c&0的解集为:&&&&&&&&&&& 试求a、c的值，并解不等式-cx2+2x-a&0.
例4.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
变式训练4 ：已知-1&a+b&3且2&a-b&4,求2a+3b的取值范围.
五.强化训练：
1.若m&0,n&0且m+n&0，则-n，-m，m，n的大小关系是&&&&&&&&&&& .
2.若1&α&3，-4&β&2，则α-|β|的取值范围是&&&&&&& .
3.不等式组&&&&&&&& 的解集为&&&&&&&& .
4.设A={x|x2-2x-3&0},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3,4］，则a+b=&& .
5.已知a+b&0，则&&&&&&&&&&&&&&& 的大小关系是&&&&&&&&&&&&&&& .
6.若角α、β满足&&&&&&&&&&&&& 则2α-β的取值范围为&&& .
7.若关于x的不等式x2-ax-a&0的解集为R，则实数a的取值范围是&&&&&& ；若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是&&&&&&&&&& .
8．若(m+1)x2-(m-1)x +3(m-1)&0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是&&&&&& .
9.若不等式x2-2ax+a&0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式&&& +2t-3&1的解
集为&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
10.已知三个不等式：ab&0，bc-ad&0,&&&&&&&& (其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为& 个.
11.已知函数f(x)的定义域为（-∞，+∞），f′(x)为f(x)
的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示，且f(-2)=1,
f(3)=1, 则不等式f(x2-6)&1的解集为&&&&&&&&&&&&& .
12.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α,β,γ∈R 且α+β&0,β+γ&0,γ+α&0.试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.
13.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.（1）解关于a的不等式f(1)&0;(2)当不等式f(x)&0的解集为（-1，3）时，求实数a,b的值.
14.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既 增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率.据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值.
课堂反思第二节&& 简单线性规划
一.考点解析：
1. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组;2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
考试热点：从近几年的高考试题看，高考中常常以填空题的形式考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，有时也在解答题中考查线性规划，求函数的最优解等问题.
二.基础过关：
1.二元一次不等式表示的平面区域：(1)一般地，二元一次不等式Ax+By+C&0在平面
& 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的&&&&&&& .我们把直线画成虚线以表示区域&&&&& 边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域应边&&&& 界直线，则把边界直线画成&& . 由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y），把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C所得到实数的符号都&&& ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），由Ax0+By0+C的&&& 即可判断Ax+By+C&0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
2．线性规划相关概念：
名& 称
意&&&&&& 义
约束条件
由变量x,y组成的&&&&&&&&&& .
线性约束条件
由x,y的&&& 不等式（或方程）组成的不等式组.
目标函数
欲求&&&&& 或&&&&& 的函数.
线性目标函数
关于x,y的&&& 解析式.
可行解
满足&&&&& &&&&&&的解.
可行域
所有&&&&& 组成的集合.
最优解
使目标函数取得&&&&& 或的可行解.
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的&&&&& 或&&&&& 问题.
3．应用利用线性规划求最值,一般用图解法求解.
三.诊断训练：
1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，求a的范围为___________.
2.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是&&&&&&&&&&&&& .
3.已知x和y是正整数，且满足约束条件&&&&&&&&&& 则z=2x+3y的最小值是 .
4.已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于&&&&& .
5. 若x、y满足 的取值范围是&&&&&&&&& .
6.若不等式组&&&&&&&&&& 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是&&&&&&&&&&&&&&&& .
四.例题分析：
例1.画出不等式组 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?
变式训练1.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x,y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为&&& .
例2.已知实数x,y满足&&&&&&&&& （1）若z=2x+y,求z的最大值和最小值；（2）若z=x2+y2，求z的最大值和最小值；（3）若&&&&& 求z的最大值和最小值.
变式训练2.已知实数x,y满足下列不等式组
&（1）求z=4x-3y的最大值和最小值；（2）求u=x2+y2的最大值和最小值.
例3.已知变量x,y满足约束条件&&&&&&&&& 若目标函数z=ax+y(其中a&0)仅在点
（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为&&&&& .
变式训练3.已知x、y满足&&&&&&&&& 设z=ax+y(a&0)，若当z取最大值时对应的点有无数多个，求a的值.
例4.某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总
费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
变式训练：4制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
五.强化训练：
1.设变量x，y满足约束条件&&&&&&&&&&& 则目标函数z=5x+y的最大值为&&& .
2.已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式 表示的平面区域内，则b的取值范围是 _________.
3.若实数x、y满足&&&&&&&&&&&&& 的取值范围是&&&&&&& .）
4.若A为不等式组&&&&&&&& 表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a
扫过A中的那部分区域的面积为&&& .
5.设D是不等式组&&&& x+2y≤10,2x+y≥3, 表示的平面区域，则D中的点P（x,y）
0≤x≤4，y≥1&&&& ；到直线x+y=10距离的最大值是&&& .
6.设二元一次不等式组&&& x+2y-19≥0
x-y+8≥0，2x+y-14≤0； y=ax（a&0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是&&&&& .
7.如果实数x，y满足&&& x-4y+3≤0
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&3x+5y-25≤0，x≥1；目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为&& .
8．设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）| }．
若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是_____.
9.设m为实数，若&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&则m的取值范围是&&&&& .
10.设x,y满足约束条件&& 3x-y-6≤0，x-y+2≥0,
x≥0,y≥0&&&&&&&&&&& ； 最大值为12，则&&&& 的最小值为&&& .
11.已知实数x、y满足&&& 2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，
3x-y-3≤0&&&&&&&&&& ；试求&&&&&&& 的最大值和最小值.
12.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
课堂反思第三节&& 不等式应用
一.考点解析：
1.掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式;2．能利用基本不等式求最大（小）值；3. 综合运用不等式的有关知识解决数学问题.
考试热点：从近几年的高考试题看，仍会考查基本不等式的应用，且以考查求函数的最值为主要命题方向；以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考热点.
二.基础过关：
1.算术平均数与几何平均数：对于正数a,b，我们把&&& 称为a,b的算术平均数，&& 称为a,b的几何平均数.
2．基本不等式： &&&&&&&&（1）基本不等式成立的条件：&&&&&&&& .（2）等号成立的条件：当且仅当& &&&&&&&&&时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数&&&&& 其几何平均数.
&3．几个重要的不等式：(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
4.利用基本不等式求最值：设x,y都是正数.（1）如果积xy是定值P，那么当&& 时，和x+y有最小值&&& .（2）如果和x+y是定值S，那么当&& 时积xy有最大值&&&& . 即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.
三.诊断训练：
1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的是& &&.
2.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为& &&.
3.已知&&&&&&&&&&&&&&&& &&&的最小值为& &&.
4.设x,y为正数，则&&&&&&&&&& 的最小值为&& &&&.
5.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在［1，2］上恒成立，则实数a的取值范围为&&&&&&&& .
6.已知点P（x,y）在曲线&&&&& 上运动，作PM垂直于x轴于M，则△OPM（O为坐标原点）的周长的最小值为&&&& &&&.
四.例题分析：
例1.（1）已知x&0,y&0，且&&&&&&& 求x+y 的最小值；（2）已知x&& &,求函数&&&&&&&&&&&&&&& 的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.
变式训练1.解下列问题：（1）已知a&0,b&0，且4a+b=1，求ab的最大值；（2）已知x&2,求&&&&&&& 的最小值.
例2.（1）已知x&0,y&0,lg x+lg y=1，求&&&& 的最小值.（2）设x&-1，求函数&&&&&&&&&&&&&& 的最值.
变式训练2.函数y=loga(x+3)-1(a&0,a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn&0，则 &&&&&&&的最小值为& .8
& 解析& ∵A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，
例3.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格
为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.
变式训练3西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销.在1年内，据测算年销售量S（万双）与广告费x(万元)之间的函数关系为&&&&&& &&&&&
(x&0)，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元.（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）.（1）试将羊皮手套的利润L（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年广告费）.
例4. 设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）·f（1）&0,求证:(1)方程f(x)=0有实根;(2) &&&&&&&&(3)设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则
变式训练：4已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a&0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0&x&c时,f(x)&0.(1)证明:&& 是方程f(x)=0的一个根;(2)试比较&& 与c的大小;(3)证明:-2&b&-1.
五.强化训练：
1.函数y=log2x+logx(2x)（x≠1）的值域是&& &&&&&&&&&&.
2.已知0&x&1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为&&&& .
3.已知x&0,y&0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则&&&&&& 的最小值是&& .
4.设&&&&&&&& 则函数&&&&&&&&&&&&& 的最小值为&&& .
5.设a&0，b&0,若&& &是3a与3b的等比中项，则&&&& &的最小值为&& .
6.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车，投放市场客运.据市场分析，
每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N+)为二次
函数关系，如图则每辆客车营运&&& 年，其营运年平均利润最大.
7.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0 (a&1),则（a+1）(b+2)的最小值为&& .
8．在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是&& &&.
9.已知a&0,b&0，a、b的等差中项是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 的最小值是& .
10.已知关于x的不等式 &&&&&&&&在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数& a的最小值为&&& .
11.若不等式组&&&&&&&&&&&&& 所表示的平面区域被直线y=kx+&& &分为面积相等的
两部分，则k的值是&& .
12.已知正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为&&&&&&&& ，a+b的取值范围是&&&&&&&& .
13.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用
为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=&&&&&&&&&&& ）&
课堂反思滚动训练一
一.填空题：请把正确答案填在题后横线上，每小题5分，满分70分.
1．记函数 的定义域为A， 则 中有&&&&&& 个元素.
2. 已知全集 ，集合 ， ， __&&& .
3．命题“ ”的否定是&&&&&&&& .
4．若 是奇函数，则 ___&&& .
5. 在用二分法求方程 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为___ &&&&．
6. 已知函数
的图象如图所示，则 =&&&&&&&& ．
7．设曲线 处的切线与直线 平行，则实数 的值为&&&&&& ．
8. 在 中，已知BC=1， , 的面积为 ，则AC的长为&&&&&&&&& ．
9. 已知函数 ．若 则 的最大值为&&&&& ．
10. 设 满足约束条件 ， 若目标函数 的最大值为12，则 的最小值为___&&& ．
11. 如图，已知C为 边AB上一点，且
则 =&&&&&&&&&&& ．
12. 等差数列 的前n项和 ， ，则 =& &&.
13. 设 是定义在R上的奇函数，且当 时，
已知 则 的大小关系为&&&&& ．（用“ ”连结）
14. 已知 成等差数列，将其中的两个数交换， 得 到的三数依次成等比数列，则 的值为&&&& ．
二.解答题：请写出文字说明或解答过程，满分90分.
15.p: 已知：
： ．（1）若 ,求实数 的值；（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 其中 ．（1）若 求证： （2）若 求 的值．
17. 某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q
（单位：吨）与销售价格 （单位：万元/吨）的关系可用
下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格
的函数关系；（2）如果该商品的进价为5万元/吨 ，除 去
进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，
问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？
并求月利润的最大值．
18. 设数列 的前 项和为 &已知 ;（1）设 ，证明数列 是等比数列;（2）求数列 的通项公式.
19. 已知函数 且 ，其中 、
（1）求m的值；（2）求函数 的单调增区间．
20. 设函数 是定义域在R上的奇函数．（1）若 的解集；（2）若 上的最小值为—2，求m的值．
课堂反思第一节&& 数列概念
一.考点解析：
1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．
2. 掌握数列通项公式的几种求法.
考试热点：从近几年的高考试题来看，数列的概念、递推公式、通项公式及前n项和公式成为高考热点，在填空题、解答题中都有可能出现.
二.基础过关：
1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第&&&&& 项．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的&&&&&&&& 与&&&&&&&& 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
三.诊断训练：
1.已知数列 的前4项分别是4，8，16，32，则此数列的一个通项公式是__ .
2. 数列&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 是该数列的第&&& 项.
3. 数列{an}中，&&&&&&&&&&&&&&&& Sn=9，则n=&&&& .
4. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an=&&&&& ;若它的第k项满足5&ak&8,则k=&&&& .
5. 在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1)，则该数列的通项公式an=&&&&& .
四.例题分析：
例1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式：
（1）-1，7，-13，19，…
（2）0.8，0.88，0.888，…
（5）0，1，0，1….
变式训练1:根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
；&&&&&&&&&&&& （2）5，55，555，5 555，55 555，…
（3）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… ；&& （4）1，3，7，15，31，…
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
（1）Sn＝3n－2；&&&& （2）Sn＝n2＋3n＋1
变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为&&&&&&&&&&& ．
例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)；&& ⑵ a1＝1，an＝ &(n≥2)
⑶ a1＝1，an＝ &(n≥2)
变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，求该数列的通项公式．
例4. 已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项，60是此数列的
第几项？（2）n为何值时，an=0，an&0,an&0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？
说明理由.
变式训练4:知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．
证明数列{an＋1}是等比数列；
五.强化训练：
1. 数列-1,&&&&&&&&&&&&&& 的一个通项公式是&&&&&&&&&&&&& .
2. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有&&&&& 个点.
3. 已知数列 ， ，那么 是这个数列的第 &&&&项..
4. 已知数列 ， ，它的最小项是第&&& 项.
5.已知&&&&&&&&&&&&&& (n∈N*)，则数列{an}的最大值是第&&&&& 项.
6.在数列{an}中，&& a1=2，an+1=an+ln&&&&&&&& 则an=&&&&&&& .
7.已知函数f(n)=&& n2(当n为奇数时)
&&&&&&&&&&&&-n2(当n为偶数时) ,且an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a100=&&&& .
8.已知数列{an}对任意 的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=& &&&&.
9.已知{an}是递增数列，且an=n2+λn(n∈N*)，则实数λ的取值范围是&&&&&&& .
10. 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(对n≥1恒成立)且a4＝54，则
a1＝________.&&
11. 在数列{an}中，an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3.（1）求a5;(2)127是这个数列的第几项？
12. 已知数列{an}满足：& a1=1,2n-1an=an-1(n∈N*且n≥2).（1）求数列{an}的通项公式.（2）这个数列从第几项开始及其以后各项均小于&&&&&&& ？
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.
课堂反思第二节&& 等差数列
一.考点解析：
1. 理解等差数列的概念；
2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题.
考试热点：从近几年的考题来看，等差数列的基本概念、等差数列的判定、通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质仍然是高考的热点，在解答题中出现的可能性更大一些.
二.基础过关：
1．等差数列的定义：&&&& －&&&& &＝d（d为常数）．
2．等差数列的通项公式：⑴ an＝a1＋&&&& ×d；⑵ an＝am＋&&&& ×d.
3．等差数列的前n项和公式： Sn＝&&&&&&&&&&& ＝&&&&&&&&& ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝&&&&&&& ．
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)；⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则&&&&&&&& ；
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成&&&&&&& 数列；
（3）下标为等差数列的项 仍组成&&&&& 数列；
（4）若数列 为等差数列，则 仍为&&&&&& 数列；
（5） 和 均为等差数列，则 也为等差数列；
（6） 的公差为d,则：① 为递增数列；② 为递减数列；③ 为常数列.
三.诊断训练：
1. 等差数列 中 ， ，则 ___， 的等差中项为___．
2.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10=&& .
3.设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 &&& .
4.已知数列{an}的首项&&&&&&& 且满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 则a6=&& .
5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&为整数的正整数n的个数是&& 个.
四.例题分析：
例1. 在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝&&&&&&&&& ．
例2. 已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项和为Sn，Sk=2 550，求a及k的值.
变式训练2：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
例3.在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大 值，并求出它的最大值.
变式训练3:设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.（1）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；（2）若a1≥6，a11&0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
例4.已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R，且p、q为常数).（1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；（2）求证：对任意实数p和q，数列{an+1-an}是等差数列.
变式训练4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.
五.强化训练：
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则S19=_____．
2.在等差数列 中，若 ，则 &&& __．
3.在等差数列 的前n项和 ，则 =_____．
4.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=&&& .
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.
6.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列{ &&&}的前10项和为& &&&&.
7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为&& .
8.若a≠b，数列a,x1,x2,b和数列a,y1,y2,y3,b都是等差数列，则&&&&&&& 的值为&& .
9.设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 &&&&&&& .
10.已知函数f(x)=2x,等差数列{an}的公差为2.若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则
log2［f (a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)］=&& .
11.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值时n=&& .
12. 已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．（Ⅰ）求 及 ；（Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ．
13.在数列{an}中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).（1）证明：数列{&&&& }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；（3）若&&&&&&&&&&&&& 对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围.
14. 已知函数值不恒为0的单调函数f(x)满足x,y∈R, f(x+y)=f(x)·f(y),&
同时数列{an}满足a1=f(0),f(an+1)=& &&&&&&&&&&&(n∈N*).(1)求数列{an}的前n项和Sn;（2）令&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 求数列{bn}的最小值.&
课堂反思第三节&& 等比数列
一.考点解析：
1. 理解等比数列的概念；
2. 掌握等比数列的通向公式与前n项公式，掌握等比数列的性质；
3. 能在具体问题中识别数列的等比关系，并能应用有关知识加以解决.
考试热点：等比数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的探求，等比数列性质的应用是历年高考的必考内容，考查形式类似于等差数列，考查题型既有基本题，也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识相结合的综合题.
二.基础过关：
1．等比数列的定义： ＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：⑴ an＝a1qn－1& &&&&⑵ an＝amqn－
3．等比数列的前n项和公式：Sn＝&& & ;
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝&&&&&& （或b＝&&&&& ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则&&&&&& ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成&&&&&& 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝&&&&&&&& ．
三.诊断训练：
1.设{an}是公比q≠1的等比数列,且a2=9, a3+a4=18,则q=&&& ．
2.设等比数列{an}的公比q=&&& ，前n项和为Sn，则&&&& =&&&& .
3.若数列{an}是等比数列，下列命题正确的序号是&&&&& .① ， 是等比数列,&&&& ② 成等差数列,③ ， 成等比数列,④ ， 成等比数列.
4. 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_& __ ．
5.等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于&& .
6.若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为&& .
四.例题分析：
例1. 在等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3a5=64. 求{an}的前8项和S8.
变式训练1. 为等比数列，求下列各值：
（1）已知 ，求 及 ；&&&
（2）已知 ，求公比 .．
例2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
变式训练2. 设等比数列{an}的公比为q(q&0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
例3. 函数y=x2(x&0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则 =______.
变式训练3 ：已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．
例4.已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（2）证明：当λ≠-18时，数列{bn}是等比数列.
变式训练4：已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an+Sn=n.(1)设bn=an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2)，求{cn}的通项公式.
五.强化训练：
1.等比数列{an}中， a1+a3=10,a4+a6=& 则数列{an}的通项公式为&&&&&& .
2.等比数列x,2x+2, 3x+3,…的第4项为&&&& .
3.在等比数列{an}中,a1=1, a10=3, 则a2a3a4a5a6a7a8a9=&&& .
4.设 为等比数列 的前 项和， ，则 &&& .
5.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2，S3n=14，则S4n=&&& .
6.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1，若数列{an+c}恰为等比数列，则c的值为&& .
7.已知 是等比数列， ，则 =&& .
8.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时， &&&&&& .
9.等比数列{an}的前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是&&& .
10.设{an}是公比为q的等比数列，|q|&1,令bn=an+1(n=1,2…)，若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23，19，37，82}中，则6q=&&& .
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， (1)证明： 是等比数列；(2)求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 .
13. 设 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 轴的正半轴上，且都与直线 相切，对每一个正整数 ,圆 都与圆 相互外切，以 表示 的半径，已知 为递增数列.(Ⅰ)证明： 为等比数列；（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
课堂反思第四节&& 数列求和
一.考点解析：
掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法.
考试热点：高考中以考查等差、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想，另外对非等差、等比数列求和，主要考查学生的观察能力，分析问题与解决问题的能力及计算能力.
二.基础过关：
1.公式法:(1)等差数列前n项和Sn =____________;(2)等比数列前n项和 && (3)常见数列的前n项和：
（1）1+2+3+……+n=______________;（2）2+4+6+…….+2n=_______________.
（3）1+3+5+……..+(2n-1)=______;（4） =____________.
（5） =_____________.
2．（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
（2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；
（3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和
（4）倒序相加：例如，等差数列前n和公式的推导方法；
3．常见的拆项公式有：
三.诊断训练：
1. 数列 …的前n项和是__________．
2. 若数列 是公差为 的等差数列，其前100项和为145，则 .
3. 数列 的通项公式是 ，若前n项和为10，则项数n为___.
4.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3)，则S100=&&&& .
5. … =________.
四.例题分析：
例1. (1)已知数列：1， ， ， ，…， ，求它的前n项的和Sn.(2) 求Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ．
变式训练1. 求下面各数列的前n项和：(1) …&&&&
例2.设正数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn=&& （an+1）2.(1)求出数列{an}的通项公式；（2）设&&&&&&&&&&& 记数列{bn}的前n项和为Tn， 求Tn.
变式训练2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,an+1=&& Sn& (n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式；（2）当&&&&&&&&&&&&&&&&&& 时，求证：数列
例3.已知数列{an}的前n项和Sn=(n -1)·2n+1, 是否存在等差数列{bn}，使&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 对一切自然数n均成立？
例4.已知数列{an}的首项&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& n=1,2,….(1)证明:数列&&&&&&&&
是等比数列;(2)求数列&&&&&& 的前n项和Sn.
变式训练4：设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0.
&（1）求数列{an}的通项公式；（2）设a= &&&,c= &&&,bn=n(1-an),n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.
五.强化训练：
1. 数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项和为&&&&&& .
2. 若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S17＋S33＋S50等于________.
3.设数列1，（1+2），（1+2+ ），……, 的前n项和为Sn,则Sn=_______.
4. 设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是&&& .
5.数列9，99，999，…的前n项和为&&&&&&&&&&& .
6若数列{an}是正项数列,且
则 &&&&& .
7.等差数列{an}的公差不为零，a4=7,a1,a2,a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn=a2+a4+a8+…+&&& ，则Tn=&&&&&&& .
8.对正整数n，设曲线 y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列&&&&&& 的前n项和的公式是&&&&& .
9.若数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= &&&&&(n∈N*),则an=&&& .
10.设f(x)是定义在R上恒不为0的函数，对任意x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a1=&&& ,an=f(n)(n为常数)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是&&&&& .
11.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=&&& ,n∈N*.(1)求数列{an}的通项；（2）设&&&&&&&&& 求数列&&&&&&&& {bn}的前n项和Sn.
12.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).（1）求数列{an}的通项
（2）求数列{nan}的前n项和Tn.
13.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a2& a3
a4& a5& a6&&
a7& a8& a9& a10
………………………………
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (1)证明：数列&&&&&&& 成等差数列,并求数列{bn}
的通项公式;(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=-& &&&时,求上表中第k (k≥3)行所有项的和.
课堂反思第五节&& 数列综合应用
一.考点解析：
灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题.
考试热点：从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题.
二.基础过关：
1．数列的综合应用一般有四种题型： ①数列与其他章节知识的综合题：它包括数列&
& 知识和指数、对数、不等式、三角函数、几何等知识的综合 ②数列的探索性问题：探索性问题是检验学生探索规律的能力，因此是高考热点，这类问题对学生分析问题，解决问题的能力有较高要求.③等差、等比数列的综合题.④数列的实际应用.
2．等差数列的常用性质：(1) 则有&&&&&&&&&&&&& ；
(2) 构成&&&&&&&&&&&&&&& &&数列.
3．等比数列的常用性质：(1) 则有&&&&&&&&&&&&& ;
(2)若 则 构成&&&&&&&&&&&&&&& &数列.
4．(1)若数列 的通项 为n的一次函数，可推出 成&&&& 数列，反之亦然.
(2)若数列 前n项和 则此数列为&&&&&& 数列.
5.等比数列与指数函数联系密切，注意类比运用.
三.诊断训练：
1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是等比数列{bn}的连续三项，若等比数列{bn}的首项b1=3，则b2=&&& .
2.已知数列{an}中，a1=2,点（an-1,an）（n&1且 n∈N）满足y=2x-1，则a1+a2+…+a10=&& &.
3.在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于
4.在等差数列 中，已知 ， ，则使它的前n项和 取得最大值的自然数n＝____．
5.设等差数列前n项和 ，且则 当 && 时， 最大.
6.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a的值为&& . &
7.有限数列A={a1,a2,…,an}，Sn为其前n项和，定义 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&为A的“凯森和”，如有500项的数列a1,a2,…,a500的“凯森和”为2004，则有501项的数列2，a1,a2,…,a500的“凯森和”为&&&&& .
四.例题分析：
例1.设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且
(1)求数列 和 的通项公式；(2)设 ，且数列 的前n项和
变式训练1.
已知数列 的前n项和为 ，且有 （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前n项和.
例2.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （n∈N*），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn} 满足b1=a1,bn=&& f(bn-1) (n∈N,n≥2),求证：&&&& 为等差数列，并求bn.
变式训练2.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.
例3.假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据： 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
变式训练3 ：甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m,（1）甲、乙开始后几分钟相遇？ （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折回，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇？
例4. 等差数列{an}各项均为正整数，a1=}
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
分析：求h′（x）图象可导函数过（0，-8，（4，0）两点则把两点坐标入'（）=2axb中出和b值，把a和b的值hx中求出解，然后把h（x）代入到f（x）中化后求出f（，把x=3代入f′（x）算出′即可得到切线的斜率；数y=-x的图象总在函数=（x）图象的上方到-x大于等于fx），列出不式解c≤-x-6ln+7x恒成立，求出g（x）=-x2-6l+7x的最小方是令导函=0出x的，区间讨论导数负得函数的调区间，根据函数的增减得函数最．根据小于等于g（x）的最值列出不等，求出解集可到的围．
解：由知，'（x=2ax+b，则，解得，，2+x-6x=-(2x-3(-2)x∴
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点评：考查生会利用导过某点切方程斜率会利导数研究函数的单调区间以及根据函的增减性得到函数的值掌握不等式恒成立时所取条件．
江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学高考数学模拟试卷（18）
天津市武清区高二（上）期中数学试卷（文科）
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＞＞＞已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）..
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-7(-x)(-x)2+(-x)+1=7xx2-x+1（2）设x1，x2是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）f(x1)-f(x2)=-7x1x21+x1+1--7x2x22+x2+1=7(x1-x2)(x1x2-1)(x21+x1+1)(x22+x2+1)当0≤x1＜x2≤1时，x1-x2＜0，x1x2-1＜0而x12+x1+1＞0及x22+x2+1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．同理当1＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值函数的奇偶性、周期性
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）..”考查相似的试题有：
826121881367554874829128824451476803高三教学导学案发布日期：访问次数:
]苏自学1011078“指导学生自学策略，提高数学教学有效性”研究材料
学年度& 高三数学导学案
太仓市明德高级中学 王树锋
课后反思指数函数
一.考点解析：
1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
2．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题；
3．知道指数函数是一类重要的函数模型.
函数考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
二.基础过关：
1．根式：(1) 定义：若 ，则 称为 的 次方根;① 当 为奇数时， 次方根记作__________；
② 当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，记作________(a&0).
(2) 性质：① ；② 当 为奇数时， ；
③ 当 为偶数时， _______＝&
2．指数：(1) 规定：① a0＝&&&&&&&&&&&& (a≠0)；② a-p＝&&&&&&&&&&&&&& ；
③ &&&&&&&&&&&&&&&&.
(2) 运算性质：① &&&&&&&&&&(a&0, r、 Q)，② &&&&&&&&&&(a&0, r、 Q)③ &&&&&&&&&&(a&0, r、 Q).注：上述性质对r、 R均适用.
3．指数函数：① 定义：函数&&&&&&&&&&&&&&&&& 称为指数函数，1) 函数的定义域为&&&& ；2) 函数的值域为&&&&& ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数.
② 函数图像：1) 过点&&&&& ，图象在&&&&&&&&&&&& ；2) 指数函数以&&&&& 为渐近线(当 时，图象向&&& 无限接近 轴，当 时，图象向&&& 无限接近x轴)；3) 函数 的图象关于&&&&&& 对称.
③ 函数值的变化特征：
① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
课后反思
课堂反思① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
三.诊断训练：
1. 集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T=&&&&&&&& .
2. 已知 函数 & ，那么 &的值为&&&&&&&& .
象限.
4. 设a＝π0.3，b＝logπ3，c＝30，则a，b，c的大小关系是&&&&&&&& .
5. 函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值为________.
四.例题分析：
例1. 已知a= ,b=9.求：&& （1） &&&&&&& （2） .
变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1） （2）
例2. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：?
（1）&&&&&& f(x)=3 ;?（2）g(x)=-( .
变式训练2：求下列函数的单调递增区间：?（1）y=( ;(2)y=2 .?
课后反思例3．设a＞0,f(x)= 是R上的偶函数.?
（1）&&&&&& 求a的值；?（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.?
变式训练3：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)= . （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；?
（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.?
五.强化训练：
1.方程 的解是__________.
2.函数 在 上的值域为
3.已知函数 &若 ，则 &&&&&& .&
4.设 ，则a，b，c的大小关系是&&&&&&&&& .
5.若函数f(x)=a -x-a(a&0且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是&&&&&&& .
6.定义：区间 的长度为 .已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为_________.
7.给出下列四个命题：①函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同；②函数 与 的值域相同；③函数 与 都是奇函数；④函数 与 在区间 上都是增函数，其中正确命题的序号是_____________.（把你认为正确的命题序号都填上）
课后反思
9.已知定义域为R的函数 是奇函数.（1）求a,b的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求k的取值范围.
课堂反思对数函数
一.考点解析：
1．理解对数的概念及其运算性质，了解对数在简化运算中的作用；
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.
3．了解指数函数 与对数函数 互为反函数.
考试热点：①高考中常以填空题的形式考查对数、对数函数的图象与性质.②含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.③含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
二.基础过关：
1．对数：
(1) 定义：如果 ，那么称&&&& 为&&&&& &&&，记作&&&&&&&&& ，其中 称为对数的底，N称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数， 记作___________．
② 以无理数 为底的对数称为自然对数， 记作_________．
(2) 基本性质：
① 真数N为&&&&&& (负数和零无对数)；② &&&&&；③ &&&&&&；
④ 对数恒等式： &&&&&&& ．
(3) 运算性质：
① loga(MN)＝______________；② loga ＝_______________；
③ logaMn＝&&&&&&&&&&& (n∈R).④ 换底公式：logaN＝&&&&& (a&0，a≠1，m&0，m≠1，N&0).⑤ &&&&&&&&&&.
2．对数函数：
① 定义：函数&&&&&&&&&& 称为对数函数，1) 函数的定义域为(&&&& ；2) 函数的值域为&&&& ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数 与函数&&&&&& 互为反函数.
② 1) 图象经过点(&&&&&& )，图象在&&&&&&&& ；2) 对数函数以&&&&& 为渐近线(当 时，图象向上无限接近y轴；当 时，图象向下无限接近y轴)；4) 函数y＝logax与&&&&&&& 的图象关于x轴对称．
③ 函数值的变化特征：
课堂反思
① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
① &&&&&&&
② &&&&&&&
③ &&&&&&&
三.诊断训练：
1.(log32+log92)·(log43+log83)=&&&& .&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=&&& .
2. 已知3a=5b=A,且&&&&&&&&& ,则A的值是____.
3.若函数y=loga(x+b) (a&0,且a≠1)的图象过两点 (-1,0)和(0,1),则a=_____,b=_____.
4. 设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a，b，c的大小关系是&&&&&&&& .
5. 函数f(x)＝log(2＋2x－x2)的值域为________．
6.若f(x)=logax在［2,+∞)上恒有f(x)&1,则实数a的取值范围是______.
四.例题分析：
例1.计算：（1） ；（2）2(lg )2+lg ·lg5+ ;?
（3） lg - lg +lg .??
变式训练1：化简求值.?（1）log2 +log212- log242-1;?
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;?（3）(log32+log92)·(log43+log83).?
例2. 比较下列各组数的大小.?（1）log3 与log5 ;?（2）log1.10.7与log1.20.7;?
（3）已知log b＜log a＜log c,比较2b,2a,2c的大小关系.?
变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga 的大小关系是（&& ）
A.loga &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
课堂反思例3.已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1
成立，试求a的取值范围.?
变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1- ］上是单调递减
函数.求实数a的取值范围.?
变式训练4已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4(a·2x-&& a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求
实数a的取值范围.
五.强化训练：
1 ..&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =__________.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2. 设 ，且 ，则 &&& .&
3. 设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则a，b，c的大小关系是&&&&&& .
4.若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是&&&&&&&&& .
5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log2)的值为&&&&&&& .
x6. 已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系是&&&&&& .(A． ,B． ,
C． ,D． )&
7. 设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为&&&&&&&& .
8. 已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的
x的取值范围是________．
9. 若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，求实数a的值．
课堂反思&
10. 求函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)(a&0，a≠1)的单调区间．
11.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+ f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
12.已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性．
课堂反思第九节&&& 幂函数
一.考点解析：
1.了解幂函数的概念;
2.结合函数 的图象，了解它们的变化情况.
考试热点：高考中以填空题形式考查幂函数的图象与性质,也有与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性较强的解答题.
二.基础过关：
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如&&& 的函数称为幂函数，其中&&&& 是自变量，&
是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点&&&&&&&&&& ；（2）当 时，幂函数在 上&&&& ；当 时，幂函数在 上&&&&&&&&&& ；（3）当 时，幂函数是&&&&&&&&& ；当 时，幂函数是&&&&&&&& &&．
3．幂函数的性质：（1）都过点&&&&&&&& ；（2）任何幂函数都不过&&&&&&&& 象限；
（3）当 时，幂函数的图象过&&&&&&&& ．
4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点 平行于 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从&&&&& 到&&&&&&&& 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在&&&&&& 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于&&&&&& 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于&&&&&&&& 对称．
三.诊断训练：
1. 下列函数中是幂函数的是____.
①y=②&&&&&&&&&&&&& ③&&&&&&&&&&& ④
2.设 ，则使函数 的定义域为 且为奇函数的 的值为&&&& .
3. 若幂函数f(x)的图象经过点&&&&& ,则其定义域为_________. &
4.若&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&,则a的取值范围是_______.
5. 已知函数 是偶函数，且 ，则m= &&&&．
四.例题分析：
例1. 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,& f(x)是:(1)幂函数;(2)幂函数,
且是(0,+∞)上的增函数;(3)正比例函数;(4)反比例函数;(5)二次函数.
变式训练1：已知函数变式训练1：已知函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，
m 为何值时,f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
课堂反思?
例2比较大小：（1） & （2） （3）
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1） &
（2） & （3）
五.强化训练：
1 ..&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =__________.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2. 设 ，且 ，则 &&& .&
3. 设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则a，b，c的大小关系是&&&&&& .
4.若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是&&&&&&&&& .
5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log2)的值为&&&&&&& .
x6. 已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系是&&&&&& .(A． ,B． ,
C． ,D． )&
7. 设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为&&&&&&&& .
8. 已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的
x的取值范围是________．
9. 若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，求实数a的值．
课堂反思&
10. 求函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)(a&0，a≠1)的单调区间．
11.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+ f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
12.已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性．
课堂反思第十节&& 函数与方程
一.考点解析
1．了解函数的零点与方程根的联系；能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.
2．根据具体函数的图象能用二分法求方程的近似解.
考试热点：高考中多以难度较低的填空题为主,结合函数图象,考查图象交点以及方程根的存在性问题.
二.基础过关：
1.函数零点的定义：(1)方程 的实数根又叫 的零点.
(2)方程 有实根 函数 的图像与&&&&&&& 有交点 函数 有&&&&&&&&&&&&&&&&
2.函数零点的判定：如果函数 在区间 上的图像是一条不间断的曲线，且有&&& &&&&&&&&&&，则函数 在区间&&&&&& &&&&&&上有零点,即存在 ,使得&&&& &&&&&&，这个 也就是 的根。我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.
三.诊断训练：
1.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1,1］上存在一个零点,则实数a的取值范围是_______________.
2.已知函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点，& 则该函数的所有零点之和为___.
3. 如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是___________.
4.函数&&&&&&& 的零点个数为___.
5. 若函数 在区间 内有且只有一个零点，那么实数 的取值范围是&&&&&& ．
四.例题分析：
例1. 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.&
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;(2)f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1,3］.
课堂反思变式训练1：求下列函数的零点.&
(1)f(x)=x3+1;(2)
例2.求函数y=ln x+2x-6的零点个数.&&&&&&&&&&
变式训练2：已知函数f(x)=ax+&&&&& (a&1),判断&& f(x)=0的根的个数.&
例3. 已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数
a的取值范围.
变式训练3：若例题中的函数不变，把后面的内容改 为:一个零点在0与1之间,另
一个零点在1与2之间,求实数a的集合.
例4.若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
变式训练4：方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实 数a的取值范围为________.
五.强化训练：
课堂反思1. 如果函数y=x2+mx+(m+3)有 两个不同的零点,则m的取值范围是&&&&&&&&&&&& .&&&&&
2. 如果函数 f(x)=x2+mx+m+2的一个零点在原点,则另一个零点是____.
3. 用二分法求方程x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)
内,则下一步可断定该根所在的区间为_____.
4. 根据表格中的数据,可以判 定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为_____.
5. 已知函数f(x)=3x+x-5的零& 点x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=___.
6. 若函数f(x)=ax-x-a(a&0,且a≠1) 有两个零点,则实数a的取值范围是______.
7. 偶函数f(x)在区间 [0,a](a&0)上是单调函数,且f(0)·f(a)&0,则方程f(x)=0在区间［-a,a］内根的个数是____.
8. 关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间[0,1]上,另一根在区间[1,2]上,
则2a+3b的最大值为____.
9.若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两实根α,β满足0&α&1&β&2,则实数t的取值范围是__________.
10.已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)&0,求实数p的取值范围.
11. 已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)问是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t.(视区间[a,b]的长度为b-a)
课堂反思12. 某公司试销一种成本单价
为500元/件的新产品,规定试销
时销售单价不低于成本单价,又 不高于800元/件.经试销调查,发 现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试用销售单价x表示利润S,并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
13.某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为&&&&&&&&&&&&& （万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂
课堂反思第一节&& 导数概念及运算
一.考点解析：
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
4.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科）
考试热点：高考中主要以填空题的形式考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义;有时也以解答题的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.
二.基础过关：
1．导数的概念：函数y＝ 的导数 ，就是当Δ 0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ 的比 的&&&&&&&& ，即 ＝&&&&&&&& ＝&&&&&&&& ．
2．导函数：函数y＝ 在区间(a, b)内 &&&&&的导数都存在，就说 在区间( a, b )内&&&&&&&& ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做 的&&&&&&&& ，记作 或 ，函数 的导函数 在 时的函数值&&&&&&&& ，就是 在 处的导数.
3．导数的几何意义：设函数y＝ 在点 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 处的&&&&&&&& .
4．求导数的方法：
(1) 八个基本求导公式：
＝&&&&&& ；&&& ＝&&&&&&& ；(n∈Q)
＝&&&&&&& ， ＝&&&&&&&&&
＝&&&&&&&& ，& ＝&&&&&&&&&&&
＝&&&&&&& &， ＝&&&&&&&&&
(2) 导数的四则运算：
＝&&&&&&&&&& && ＝&&&&&&&&&
＝&&&&&&&&&&& &&， ＝&&&&&&&&&&
(3) 复合函数的导数
设 在点x处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点x处可导， 且 ＝&&&&&&&& ，即 .
三.诊断训练：
课堂反思1. 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为 ，那么速度为零的时刻是&&&&&&& .
2. 函数y=xcos x-sin x的导数为________.
3. 若f′(x0)=2,则当k→0时,&&&&&&&&&&&&&&&& =____.
4.（1）已知 ,则 &&&&&& . （2）（理科）设函数 ，则 ′ ＝&&& .
5. 若曲线 在点 处的切线方程是 ，则&&&&&& a=&& ;b=&&& .
四.例题分析：
例1. 例1．求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
变式训练1. 利用导数的定义,求出函数&&&&&&&&&&& 的导数,并据此求函数在x=1处的导数.
例2．下列函数的导数：① &；② ；
③&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ⑤
变式训练2：求下列函数的导数：(1)y=x2(2)y=3xex-2x+e;
(3)&&&&&&&&&&& (4)y=sin32x.
例3. 如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程．
课堂反思变式训练3：直线 &&是曲线y= ln x(x&0)的一条切线,则实数b=_______.
例4.已知曲线 &(1)求曲线在x=2处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)
的切线方程.
变式训练4：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则 k=___________.
五.强化训练：
1. 一物体做直线运动的方程为 ， 的单位是 的单位是 ，该物体在3
秒末的瞬时速度是&&&& .
2. 曲线y=x3-1在x=1处的切线方程为_________.
3. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为&&&&&&& .
4. 已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是&&&&&& ．
5. 已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0) =_____.
6. 设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
,则点P横坐标的取值范围为_______.
7. 曲线y= 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____.
8. 函数 在 处的导数值为&&&&&&&&& .
9. 若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______ __.
10. 已知函数f(x)在R上满足f(x)= 2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是_______.
11. 求下列函数的导数：(1)y=(2x2-1)(3x+1)& (2) &&&&&&& (3) (4) (5) &&&&&& (6)
课堂反思&
12. 已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
13. 设函数f(x)= &(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
课堂反思第二节&& 导数应用
一.考点解析：
1. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；；
2. 掌握求函数单调区间的导数方法;会求函数的极值和最值；;
考试热点：利用导数来解决函数的单调性与最值问题已成为炙手可热的热点.既有填空题,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值;也有解答题,侧重于导数的综合应用,即导数与函数、数列、不等式的综合应用.
二.基础过关：
1． 函数的单调性：
⑴ 函数y＝ 在某个区间内可导，若 ＞0，则 为&&&&&&& ；若 ＜0，则 为&&&&&&& &.（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有 ，则 &&&& .
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数 的&&&&&&& ；
②求 ，令&&&&&&& ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定 在各小开区间内的&&&&&&& ，根据 的符号判定函数 在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值：
⑴ 极值的概念：设函数 在点 附近有定义，且对 附近的所有点都有&&&&&&& （或&&&&&&& ），则称 为函数的一个极大（小）值．称 为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：① 求导数 ；② 求方程 ＝0的&&&&&&& ；
③ 检验 在方程 ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝ 在这个根处取得&&&&&&& ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝ 在这个根处取得&&&&&&& .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝ 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝ 在(a ,b )内有导数，则函数y＝ 在[a ,b ]上&&& 有最大值与最小值；但在开区间内&&&&& 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：① 求y＝ 在(a ,b )内的&&&&&&& 值；② 将y＝ 的各&&&&&&& 值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递增，则 为函数的&&&& &&&， 为函数的&&&&&&& ；若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递减，则 为函数的&&&&&&& ， 为函数的&&&&&&& .
三.诊断训练：
1. 函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为______.
2. 函数y=1+3x-x3的极大值、极小值分别为_______.
3. 函数 的最大值是&& ，最小值是&& .
4.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是_______.
5. 已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是&&&& .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
6.周长为12cm的矩形围成的圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱高的比是&&&& &&.
四.例题分析：
例1．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1） ?0，比较f（0）＋f（2）与2f（1）的大小： &&&&&&&&&.（2） 在区间 上的最大值是&&&& .
变式训练1求下列函数单调区间：（1） &&&&&
（2） &（3） & & （4）
例2. 已知f(x)=ex-ax-1.?（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
变式训练2. 已知函数f(x)=x3-ax-1.?（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.?
例3．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点 x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x= 时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
变式训练3：已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值.
变式训练4：设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围.
例4. 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的 斜率;(2)当a≠ && 时,求函数f(x)的单调区间与极值.
变式训练5：已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点 . (-1,-6),且函数
g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a&0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
五.强化训练：1.函数 则 的单调减区间是&&& &&&&&&.
2.函数 处具有极值，则k的值为&&&&&&& &&&.
3.已知可导函数 的导函数为 ，且满足 ，则 = &&&&.
4.若曲线 处的切线与直线 平行，则实数a=&&& .
5.已知 （ 为常数），在 上有最大值3，那么此函数在 &上的最小值为&&&&& .
6.若函数h(x)=&&&&&&&&&&& 在 (1，+∞)上是增函数，则实数k的取值范围是
__________.
7.若函数 的图像与直线 只有一个公共点，则实数a的取值范围是&&&&&&&& .
8. 设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 则不等式 的解集
为&&&&&& .
9.设函数 ，若对于任意 都有 成立，则实数a的值是&&&&&&& .
10. 已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；&& （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．&&&
11. 求证：方程 在区间 内有且仅有一个实根.
12. 已知函数 (x&0)在x = 1处取得极值 ，其中 &为常数.（1）试确定 的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x&0，不等式 恒成立，求c的取值范围.
13. 已知函数f(x)=x3-ax2-3x.& (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取
值范围;(2)若x= &&& 是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最 大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由.
附：训练及例题简解
三.诊断训练：
1. (0,2). ；2. 3,-1；3. , ；4.
5. D ； 6. 4π
四.例题分析：
例1．解：（1）由题意得：当x?1时，f?（x）?0，所以函数f（x）在（1，＋?）上是增函数；
当x&1时，f?（x）?0，所以f（x）在（－?，1）上是减函数，
故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）?f（1），f（2）?f（1）；
（2）当－1?x&0时， &0，当0&x?1时， &0，
所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数 。
变式训练1 解：（1）∵ & &&& ∴ 时
& & ∴ ， &
（2） && ∴ ，
（3） && ∴ & ，& &
∴ ， && ，
（4） &&& 定义域为
& & &&&&& & &&
例2. 解： =ex-a.?
（1）若a≤0， =ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.?
若a&0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).?
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴ ≥0在R上恒成立.?
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.?
∴a≤（ex）min，又∵ex&0，∴a≤0.?
（3）方法一&& 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.?
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.?
∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.?
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.?
方法二&& 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴ =0,即e0-a=0,∴a=1.
变式训练2. （1）解& 由已知 =3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，?
∴ =3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.?
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时， =3x2≥0,?
故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.?
（2）解& 由 =3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.?
∵-1&x&1,∴3x2&3,∴只需a≥3.当a=3时， =3(x2-1),?
在x∈(-1,1)上， &0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.?
故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.?
（3）证明& ∵f(-1)=a-2&a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.
例3．解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f′(x)=3x2+2ax+b,
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0&&&&&&&&&& ①
当x= &时,y=f(x)有极值,则
可得4a+3b+4=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②
由①②解得a=2,b=-4.
由于切点的横坐标为x=1∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4,
令f′(x)=0,得x=-2,x=
当x变化时,y,y′的取值及变化如下表:
(-3,-2)
单调递增
单调递减
单调递增
∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为 .
变式训练3：已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值.
解& f′(x)=2x(x+a)+x2+1=3x2+2ax+1 ∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2.
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+ )(x+1).由f′(x)&0,得x&-1或x& &
由f′(x)&0,得-1＜x＜
因此,函数f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为
∴f(x)在x=-1处取得极大值为f(-1)=2;
f(x)在x= 处取得极小值为 &
∴f(x)在 &&&&&上的最大值为f(1)=6,
最小值为
变式训练4：设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围.
例4. 解:& (1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,
故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)解:& f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex,
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠ &&知,-2a≠a-2.&&&&&&&&&&&&&&&&&
以上分两种情况讨论&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(1)若a& &&,则-2a&a-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,-2a)
(-2a,a-2)
(a-2,+∞)
f′(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,
在(-2a,a-2)内是减函数.&&&&&&&&&&&&&&&&&
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(2)若a& &&,则-2a&a-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,a-2)
(a-2, -2a)
(-2a,+∞)
f′(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞)
单调减区间为(a-2,-2a).&&&&&&&&&&&&&&&&
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&
变式训练5： 解& (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
g(x)的图象关于y轴对称,所以
所以m=-3,代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)&0得x&2或x&0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
由f′(x)&0,得0&x&2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
(-∞,0)
(2,+∞)
f′(x)
极大值
极小值
由此可得:
当0&a&1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,&&&
无极小值;
当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1&a&3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,
无极大值;
当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
综上所述:当0&a&1时,f(x)有极大值-2,无极小值;
当1&a&3时,f(x)有极小值-6,无极大值;
当a=1或a≥3时,f(x)无极值.
五.强化训练：
1. ；2. ；3. 6；4. ；5. -37；6. 故k≥-2×(-1)2=-2. 7.
8. ；9.
10. 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以 &&&&&
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是 ， 知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 &
故 内是增函数，在 内是减函数，在 内是增函数．
11. 证明：令 ，& 则 &
当 时， ，&&& 所以 在 &&
∴ 在 内与 轴有且仅有一个交点
∴ 方程 &&在 内仅有一解
12. 解：（I）由题意知 ，因此 ，从而 ．
又对 求导得 ．
由题意 ，因此 ，解得 ．
（II）由（I）知 （ ），令 ，解得 ．
当 时， ，此时 为减函数；当 时， ，此时 为增函数．
因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 ．
（III）由（II）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值，
要使 （ ）恒成立，只需 ．
即 ，从而 ，
解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
13. &解& (1)f′(x)=3x2-2ax-3
∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,
即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立
则必有 &≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0.
(2)依题意,
∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x
令f′(x)=3x2-8x-3=0,
得x1= &&& x2=3.则
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
f′(x)
∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.
函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交&
点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根
∴x3-4x2-3x-bx=0,
∴x=0是其中一个根,
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根,
∴b&-7且b≠-3.
∴存在符合条件的实数b,b的范围为b&-7且b≠- 3.
课堂反思函数与导数单元检测
一.填空题：请把正确答案填在题后横线上，每小题5分，满分70分.
1．函数y(0&a&1)的定义域为&&&&&&& .
2. 函数 的值域是&&&&& .
3．下列函数①.y=x &(x∈(0,+∞)) ②y=3x(x∈R)③y=x &(x∈R)④y=lg|x|(x≠0) 在其定义域内既是奇函数又是增函数的是&&&&&&& .
4．若 是方程式 的解，则 属于区间&&&&&&& (区间长度为 ).
5. 若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 ______.
6. 已知函数f(x)= 则f(log23)的值为&&&&&&&&&& .
7. 抛物线y= x2上点M( ， )的切线倾斜角是& &&&.
8. 函数 已知 时取得极值，则 =&&&&&&&& .5
9. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x-1，则f(log212)的值为&&&& &&.
10. 若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为&&&&&& .
11. 如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：?
①f(x）在［-2，-1］上是增函数；?②x=-1是f(x)的极小值点；?
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；?
④x=3是f(x)的极小值点.?其中判断正确的是&&&&&& . ②
12. ,若在 上的最大值为 ，则a的值为
13. 已知定义在R上的函数 满足：对任意x∈R，都有 成立，且当 时， (其中 为 的导数).设 ，则a，b，c三者的大小关系是& &&&&&.
14. 设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，且 ，则称 为 上的 高调函数．如果定义域为 的函数 为 上的 高调函数，那么实数 的取值范围是&&&&& ．如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时， ，且 为 上的4高调函数，那么实数 的取值范围是&&&&& ．
二.解答题：请写出文字说明或解答过程，满分90分.
15. 已知向量 在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
16. 设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，f(x)=x3.（1）证明：f(x)是奇函数；?（2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.
17. 已知 是函数 的一个极值点，其中 ，& （1）求 与 的关系式；& （2）求 的单调区间；
（3）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 ，求 的取值范围.
18. 已知a为实数， .⑴求导数 ；&& ⑵若 ，求 在[－2，2] 上的最大值和最小值；⑶若 在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围.
19. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 万元.（Ⅰ）试写出 关于 的函数关系式；
（Ⅱ）当 =640米时，需新建多少个桥墩才能使 最小？
20. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x&0时，f(x)&1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)&0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)&1，求x的取值范围.
课堂反思第一节&& 不等式解法
一.考点解析：
1.了解不等式性质;2．掌握一元二次不等式解法.
考试热点：以利用不等式的性质去判断不等式以及列出应用题中的不等关系，一元二次不等式结合函数、方程的考查仍是热点.
二.基础过关：
1.不等式的基本性质:(1）对称性：a&b,&&&&&& .（2）传递性：a&b,b&c,&&&&&&& .
（3）加法性质：a&b,a+c& b+c;a&b,c&d,a+c& b+d.
（4）乘法性质：a&b,c&0,ac&a&b,c&0,ac&a&b&0,c&d&0,ac& bd.
（5）倒数法则：a&b,ab&0,& &&? &&&&;ab&0,?&&& , a& b.（同号即可，而不要求a,b均大于0）.（6）乘方性质：a&b&0?an& bn(n∈N,n&1).
（7）开方性质：a&b&0,&&& &&&&&?(n∈N,n&1).
2．关于x的一元一次不等式ax+b&0的解集当a&0时为&&&&&&&&&&&&&&&&&& ;当a&0时为&&&&&&&& .关于x的不等式ax&b解集是R,则实数a,b满足的条件是&&&&&&& .
3．一元二次不等式的解集如下表：
判别式
Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c
（a&0）的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a&0）的根
有两相异实根
x1，x2（x1&x2）
有两相等实根
x1=x2=&&&&& .
没有实
ax2+bx+c&0（a&0）
的解集
&&&&&&
ax2+bx+c&0(a&0)
的解集
三.诊断训练：
1.已知a&0,-1&b&0，那么 a,ab,ab2的大小关系是&&&&&&&&& .
2.下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使 &&&&&成立的充分条件有&&&&&& （填序号）.
3.函数&&&&&&&&&&&&&& 的定义域是&&&&&&&& .
4.已知集合A={x|x2-7x+6≤0，x∈Z},B={x|2x2-x-6&0,x∈Z}，则A∩B的子集个数为____．
5.已知函数&&&& &&&&&&&&&&&则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是&&&&&&&&&& .
6.在R上定义运算?：x※y=x（1-y）.若不等式（x-a）※(x+a)&1对任意实数x成立，则a的取值范围是&&&&&&& .
四.例题分析：
例1.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假.
& （1）若a&b，则ac&（2）若a&b,则ac2&bc2;（3）若a&b&0，则a2&ab&b2;
（4）若a&b&0，则&&&&&&&& ;（5）若a&b&0,则&&&&&
变式训练1.已知a,b,c满足c&b&a且ac&0，则下列不等式中恒成立的是&&&&&& （填序号）.
例2.解下列不等式：（1）2x2+4x+3&0;（2）-3x2-2x+8≥0；（3）12x2-ax&a2(a∈R).
变式训练2.解下列不等式：（1）①-x2+2x-&& &0;②8x-1≤16x2.
(2) 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1&0.
例3.(1)若不等式（1-a）x2-4x+6&0的解集是{x|-3&x&1}，求a的值.(2)已知不等式（m2+4m-5）x2-4(m-1)x+3&0,对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
变式训练3.已知ax2+2x+c&0的解集为:&&&&&&&&&&& 试求a、c的值，并解不等式-cx2+2x-a&0.
例4.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
变式训练4 ：已知-1&a+b&3且2&a-b&4,求2a+3b的取值范围.
五.强化训练：
1.若m&0,n&0且m+n&0，则-n，-m，m，n的大小关系是&&&&&&&&&&& .
2.若1&α&3，-4&β&2，则α-|β|的取值范围是&&&&&&& .
3.不等式组&&&&&&&& 的解集为&&&&&&&& .
4.设A={x|x2-2x-3&0},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3,4］，则a+b=&& .
5.已知a+b&0，则&&&&&&&&&&&&&&& 的大小关系是&&&&&&&&&&&&&&& .
6.若角α、β满足&&&&&&&&&&&&& 则2α-β的取值范围为&&& .
7.若关于x的不等式x2-ax-a&0的解集为R，则实数a的取值范围是&&&&&& ；若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是&&&&&&&&&& .
8．若(m+1)x2-(m-1)x +3(m-1)&0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是&&&&&& .
9.若不等式x2-2ax+a&0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式&&& +2t-3&1的解
集为&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
10.已知三个不等式：ab&0，bc-ad&0,&&&&&&&& (其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为& 个.
11.已知函数f(x)的定义域为（-∞，+∞），f′(x)为f(x)
的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示，且f(-2)=1,
f(3)=1, 则不等式f(x2-6)&1的解集为&&&&&&&&&&&&& .
12.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α,β,γ∈R 且α+β&0,β+γ&0,γ+α&0.试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.
13.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.（1）解关于a的不等式f(1)&0;(2)当不等式f(x)&0的解集为（-1，3）时，求实数a,b的值.
14.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既 增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率.据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值.
课堂反思第二节&& 简单线性规划
一.考点解析：
1. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组;2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
考试热点：从近几年的高考试题看，高考中常常以填空题的形式考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，有时也在解答题中考查线性规划，求函数的最优解等问题.
二.基础过关：
1.二元一次不等式表示的平面区域：(1)一般地，二元一次不等式Ax+By+C&0在平面
& 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的&&&&&&& .我们把直线画成虚线以表示区域&&&&& 边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域应边&&&& 界直线，则把边界直线画成&& . 由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y），把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C所得到实数的符号都&&& ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），由Ax0+By0+C的&&& 即可判断Ax+By+C&0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
2．线性规划相关概念：
名& 称
意&&&&&& 义
约束条件
由变量x,y组成的&&&&&&&&&& .
线性约束条件
由x,y的&&& 不等式（或方程）组成的不等式组.
目标函数
欲求&&&&& 或&&&&& 的函数.
线性目标函数
关于x,y的&&& 解析式.
可行解
满足&&&&& &&&&&&的解.
可行域
所有&&&&& 组成的集合.
最优解
使目标函数取得&&&&& 或的可行解.
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的&&&&& 或&&&&& 问题.
3．应用利用线性规划求最值,一般用图解法求解.
三.诊断训练：
1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，求a的范围为___________.
2.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是&&&&&&&&&&&&& .
3.已知x和y是正整数，且满足约束条件&&&&&&&&&& 则z=2x+3y的最小值是 .
4.已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于&&&&& .
5. 若x、y满足 的取值范围是&&&&&&&&& .
6.若不等式组&&&&&&&&&& 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是&&&&&&&&&&&&&&&& .
四.例题分析：
例1.画出不等式组 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?
变式训练1.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x,y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为&&& .
例2.已知实数x,y满足&&&&&&&&& （1）若z=2x+y,求z的最大值和最小值；（2）若z=x2+y2，求z的最大值和最小值；（3）若&&&&& 求z的最大值和最小值.
变式训练2.已知实数x,y满足下列不等式组
&（1）求z=4x-3y的最大值和最小值；（2）求u=x2+y2的最大值和最小值.
例3.已知变量x,y满足约束条件&&&&&&&&& 若目标函数z=ax+y(其中a&0)仅在点
（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为&&&&& .
变式训练3.已知x、y满足&&&&&&&&& 设z=ax+y(a&0)，若当z取最大值时对应的点有无数多个，求a的值.
例4.某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总
费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
变式训练：4制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
五.强化训练：
1.设变量x，y满足约束条件&&&&&&&&&&& 则目标函数z=5x+y的最大值为&&& .
2.已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式 表示的平面区域内，则b的取值范围是 _________.
3.若实数x、y满足&&&&&&&&&&&&& 的取值范围是&&&&&&& .）
4.若A为不等式组&&&&&&&& 表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a
扫过A中的那部分区域的面积为&&& .
5.设D是不等式组&&&& x+2y≤10,2x+y≥3, 表示的平面区域，则D中的点P（x,y）
0≤x≤4，y≥1&&&& ；到直线x+y=10距离的最大值是&&& .
6.设二元一次不等式组&&& x+2y-19≥0
x-y+8≥0，2x+y-14≤0； y=ax（a&0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是&&&&& .
7.如果实数x，y满足&&& x-4y+3≤0
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&3x+5y-25≤0，x≥1；目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为&& .
8．设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）| }．
若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是_____.
9.设m为实数，若&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&则m的取值范围是&&&&& .
10.设x,y满足约束条件&& 3x-y-6≤0，x-y+2≥0,
x≥0,y≥0&&&&&&&&&&& ； 最大值为12，则&&&& 的最小值为&&& .
11.已知实数x、y满足&&& 2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，
3x-y-3≤0&&&&&&&&&& ；试求&&&&&&& 的最大值和最小值.
12.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
课堂反思第三节&& 不等式应用
一.考点解析：
1.掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式;2．能利用基本不等式求最大（小）值；3. 综合运用不等式的有关知识解决数学问题.
考试热点：从近几年的高考试题看，仍会考查基本不等式的应用，且以考查求函数的最值为主要命题方向；以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考热点.
二.基础过关：
1.算术平均数与几何平均数：对于正数a,b，我们把&&& 称为a,b的算术平均数，&& 称为a,b的几何平均数.
2．基本不等式： &&&&&&&&（1）基本不等式成立的条件：&&&&&&&& .（2）等号成立的条件：当且仅当& &&&&&&&&&时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数&&&&& 其几何平均数.
&3．几个重要的不等式：(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
4.利用基本不等式求最值：设x,y都是正数.（1）如果积xy是定值P，那么当&& 时，和x+y有最小值&&& .（2）如果和x+y是定值S，那么当&& 时积xy有最大值&&&& . 即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.
三.诊断训练：
1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的是& &&.
2.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为& &&.
3.已知&&&&&&&&&&&&&&&& &&&的最小值为& &&.
4.设x,y为正数，则&&&&&&&&&& 的最小值为&& &&&.
5.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在［1，2］上恒成立，则实数a的取值范围为&&&&&&&& .
6.已知点P（x,y）在曲线&&&&& 上运动，作PM垂直于x轴于M，则△OPM（O为坐标原点）的周长的最小值为&&&& &&&.
四.例题分析：
例1.（1）已知x&0,y&0，且&&&&&&& 求x+y 的最小值；（2）已知x&& &,求函数&&&&&&&&&&&&&&& 的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.
变式训练1.解下列问题：（1）已知a&0,b&0，且4a+b=1，求ab的最大值；（2）已知x&2,求&&&&&&& 的最小值.
例2.（1）已知x&0,y&0,lg x+lg y=1，求&&&& 的最小值.（2）设x&-1，求函数&&&&&&&&&&&&&& 的最值.
变式训练2.函数y=loga(x+3)-1(a&0,a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn&0，则 &&&&&&&的最小值为& .8
& 解析& ∵A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，
例3.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格
为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.
变式训练3西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销.在1年内，据测算年销售量S（万双）与广告费x(万元)之间的函数关系为&&&&&& &&&&&
(x&0)，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元.（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）.（1）试将羊皮手套的利润L（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年广告费）.
例4. 设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）·f（1）&0,求证:(1)方程f(x)=0有实根;(2) &&&&&&&&(3)设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则
变式训练：4已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a&0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0&x&c时,f(x)&0.(1)证明:&& 是方程f(x)=0的一个根;(2)试比较&& 与c的大小;(3)证明:-2&b&-1.
五.强化训练：
1.函数y=log2x+logx(2x)（x≠1）的值域是&& &&&&&&&&&&.
2.已知0&x&1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为&&&& .
3.已知x&0,y&0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则&&&&&& 的最小值是&& .
4.设&&&&&&&& 则函数&&&&&&&&&&&&& 的最小值为&&& .
5.设a&0，b&0,若&& &是3a与3b的等比中项，则&&&& &的最小值为&& .
6.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车，投放市场客运.据市场分析，
每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N+)为二次
函数关系，如图则每辆客车营运&&& 年，其营运年平均利润最大.
7.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0 (a&1),则（a+1）(b+2)的最小值为&& .
8．在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是&& &&.
9.已知a&0,b&0，a、b的等差中项是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 的最小值是& .
10.已知关于x的不等式 &&&&&&&&在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数& a的最小值为&&& .
11.若不等式组&&&&&&&&&&&&& 所表示的平面区域被直线y=kx+&& &分为面积相等的
两部分，则k的值是&& .
12.已知正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为&&&&&&&& ，a+b的取值范围是&&&&&&&& .
13.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用
为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=&&&&&&&&&&& ）&
课堂反思滚动训练一
一.填空题：请把正确答案填在题后横线上，每小题5分，满分70分.
1．记函数 的定义域为A， 则 中有&&&&&& 个元素.
2. 已知全集 ，集合 ， ， __&&& .
3．命题“ ”的否定是&&&&&&&& .
4．若 是奇函数，则 ___&&& .
5. 在用二分法求方程 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为___ &&&&．
6. 已知函数
的图象如图所示，则 =&&&&&&&& ．
7．设曲线 处的切线与直线 平行，则实数 的值为&&&&&& ．
8. 在 中，已知BC=1， , 的面积为 ，则AC的长为&&&&&&&&& ．
9. 已知函数 ．若 则 的最大值为&&&&& ．
10. 设 满足约束条件 ， 若目标函数 的最大值为12，则 的最小值为___&&& ．
11. 如图，已知C为 边AB上一点，且
则 =&&&&&&&&&&& ．
12. 等差数列 的前n项和 ， ，则 =& &&.
13. 设 是定义在R上的奇函数，且当 时，
已知 则 的大小关系为&&&&& ．（用“ ”连结）
14. 已知 成等差数列，将其中的两个数交换， 得 到的三数依次成等比数列，则 的值为&&&& ．
二.解答题：请写出文字说明或解答过程，满分90分.
15.p: 已知：
： ．（1）若 ,求实数 的值；（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 其中 ．（1）若 求证： （2）若 求 的值．
17. 某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q
（单位：吨）与销售价格 （单位：万元/吨）的关系可用
下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格
的函数关系；（2）如果该商品的进价为5万元/吨 ，除 去
进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，
问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？
并求月利润的最大值．
18. 设数列 的前 项和为 &已知 ;（1）设 ，证明数列 是等比数列;（2）求数列 的通项公式.
19. 已知函数 且 ，其中 、
（1）求m的值；（2）求函数 的单调增区间．
20. 设函数 是定义域在R上的奇函数．（1）若 的解集；（2）若 上的最小值为—2，求m的值．
课堂反思第一节&& 数列概念
一.考点解析：
1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．
2. 掌握数列通项公式的几种求法.
考试热点：从近几年的高考试题来看，数列的概念、递推公式、通项公式及前n项和公式成为高考热点，在填空题、解答题中都有可能出现.
二.基础过关：
1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第&&&&& 项．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的&&&&&&&& 与&&&&&&&& 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
三.诊断训练：
1.已知数列 的前4项分别是4，8，16，32，则此数列的一个通项公式是__ .
2. 数列&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 是该数列的第&&& 项.
3. 数列{an}中，&&&&&&&&&&&&&&&& Sn=9，则n=&&&& .
4. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an=&&&&& ;若它的第k项满足5&ak&8,则k=&&&& .
5. 在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1)，则该数列的通项公式an=&&&&& .
四.例题分析：
例1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式：
（1）-1，7，-13，19，…
（2）0.8，0.88，0.888，…
（5）0，1，0，1….
变式训练1:根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
；&&&&&&&&&&&& （2）5，55，555，5 555，55 555，…
（3）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… ；&& （4）1，3，7，15，31，…
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
（1）Sn＝3n－2；&&&& （2）Sn＝n2＋3n＋1
变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为&&&&&&&&&&& ．
例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)；&& ⑵ a1＝1，an＝ &(n≥2)
⑶ a1＝1，an＝ &(n≥2)
变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，求该数列的通项公式．
例4. 已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项，60是此数列的
第几项？（2）n为何值时，an=0，an&0,an&0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？
说明理由.
变式训练4:知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．
证明数列{an＋1}是等比数列；
五.强化训练：
1. 数列-1,&&&&&&&&&&&&&& 的一个通项公式是&&&&&&&&&&&&& .
2. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有&&&&& 个点.
3. 已知数列 ， ，那么 是这个数列的第 &&&&项..
4. 已知数列 ， ，它的最小项是第&&& 项.
5.已知&&&&&&&&&&&&&& (n∈N*)，则数列{an}的最大值是第&&&&& 项.
6.在数列{an}中，&& a1=2，an+1=an+ln&&&&&&&& 则an=&&&&&&& .
7.已知函数f(n)=&& n2(当n为奇数时)
&&&&&&&&&&&&-n2(当n为偶数时) ,且an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a100=&&&& .
8.已知数列{an}对任意 的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=& &&&&.
9.已知{an}是递增数列，且an=n2+λn(n∈N*)，则实数λ的取值范围是&&&&&&& .
10. 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(对n≥1恒成立)且a4＝54，则
a1＝________.&&
11. 在数列{an}中，an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3.（1）求a5;(2)127是这个数列的第几项？
12. 已知数列{an}满足：& a1=1,2n-1an=an-1(n∈N*且n≥2).（1）求数列{an}的通项公式.（2）这个数列从第几项开始及其以后各项均小于&&&&&&& ？
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.
课堂反思第二节&& 等差数列
一.考点解析：
1. 理解等差数列的概念；
2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题.
考试热点：从近几年的考题来看，等差数列的基本概念、等差数列的判定、通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质仍然是高考的热点，在解答题中出现的可能性更大一些.
二.基础过关：
1．等差数列的定义：&&&& －&&&& &＝d（d为常数）．
2．等差数列的通项公式：⑴ an＝a1＋&&&& ×d；⑵ an＝am＋&&&& ×d.
3．等差数列的前n项和公式： Sn＝&&&&&&&&&&& ＝&&&&&&&&& ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝&&&&&&& ．
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)；⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则&&&&&&&& ；
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成&&&&&&& 数列；
（3）下标为等差数列的项 仍组成&&&&& 数列；
（4）若数列 为等差数列，则 仍为&&&&&& 数列；
（5） 和 均为等差数列，则 也为等差数列；
（6） 的公差为d,则：① 为递增数列；② 为递减数列；③ 为常数列.
三.诊断训练：
1. 等差数列 中 ， ，则 ___， 的等差中项为___．
2.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10=&& .
3.设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 &&& .
4.已知数列{an}的首项&&&&&&& 且满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 则a6=&& .
5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&为整数的正整数n的个数是&& 个.
四.例题分析：
例1. 在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝&&&&&&&&& ．
例2. 已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项和为Sn，Sk=2 550，求a及k的值.
变式训练2：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
例3.在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大 值，并求出它的最大值.
变式训练3:设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.（1）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；（2）若a1≥6，a11&0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
例4.已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R，且p、q为常数).（1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；（2）求证：对任意实数p和q，数列{an+1-an}是等差数列.
变式训练4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.
五.强化训练：
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则S19=_____．
2.在等差数列 中，若 ，则 &&& __．
3.在等差数列 的前n项和 ，则 =_____．
4.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=&&& .
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.
6.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列{ &&&}的前10项和为& &&&&.
7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为&& .
8.若a≠b，数列a,x1,x2,b和数列a,y1,y2,y3,b都是等差数列，则&&&&&&& 的值为&& .
9.设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 &&&&&&& .
10.已知函数f(x)=2x,等差数列{an}的公差为2.若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则
log2［f (a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)］=&& .
11.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值时n=&& .
12. 已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．（Ⅰ）求 及 ；（Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ．
13.在数列{an}中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).（1）证明：数列{&&&& }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；（3）若&&&&&&&&&&&&& 对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围.
14. 已知函数值不恒为0的单调函数f(x)满足x,y∈R, f(x+y)=f(x)·f(y),&
同时数列{an}满足a1=f(0),f(an+1)=& &&&&&&&&&&&(n∈N*).(1)求数列{an}的前n项和Sn;（2）令&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 求数列{bn}的最小值.&
课堂反思第三节&& 等比数列
一.考点解析：
1. 理解等比数列的概念；
2. 掌握等比数列的通向公式与前n项公式，掌握等比数列的性质；
3. 能在具体问题中识别数列的等比关系，并能应用有关知识加以解决.
考试热点：等比数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的探求，等比数列性质的应用是历年高考的必考内容，考查形式类似于等差数列，考查题型既有基本题，也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识相结合的综合题.
二.基础过关：
1．等比数列的定义： ＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：⑴ an＝a1qn－1& &&&&⑵ an＝amqn－
3．等比数列的前n项和公式：Sn＝&& & ;
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝&&&&&& （或b＝&&&&& ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则&&&&&& ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成&&&&&& 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝&&&&&&&& ．
三.诊断训练：
1.设{an}是公比q≠1的等比数列,且a2=9, a3+a4=18,则q=&&& ．
2.设等比数列{an}的公比q=&&& ，前n项和为Sn，则&&&& =&&&& .
3.若数列{an}是等比数列，下列命题正确的序号是&&&&& .① ， 是等比数列,&&&& ② 成等差数列,③ ， 成等比数列,④ ， 成等比数列.
4. 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_& __ ．
5.等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于&& .
6.若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为&& .
四.例题分析：
例1. 在等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3a5=64. 求{an}的前8项和S8.
变式训练1. 为等比数列，求下列各值：
（1）已知 ，求 及 ；&&&
（2）已知 ，求公比 .．
例2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
变式训练2. 设等比数列{an}的公比为q(q&0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
例3. 函数y=x2(x&0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则 =______.
变式训练3 ：已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．
例4.已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（2）证明：当λ≠-18时，数列{bn}是等比数列.
变式训练4：已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an+Sn=n.(1)设bn=an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2)，求{cn}的通项公式.
五.强化训练：
1.等比数列{an}中， a1+a3=10,a4+a6=& 则数列{an}的通项公式为&&&&&& .
2.等比数列x,2x+2, 3x+3,…的第4项为&&&& .
3.在等比数列{an}中,a1=1, a10=3, 则a2a3a4a5a6a7a8a9=&&& .
4.设 为等比数列 的前 项和， ，则 &&& .
5.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2，S3n=14，则S4n=&&& .
6.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1，若数列{an+c}恰为等比数列，则c的值为&& .
7.已知 是等比数列， ，则 =&& .
8.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时， &&&&&& .
9.等比数列{an}的前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是&&& .
10.设{an}是公比为q的等比数列，|q|&1,令bn=an+1(n=1,2…)，若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23，19，37，82}中，则6q=&&& .
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， (1)证明： 是等比数列；(2)求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 .
13. 设 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 轴的正半轴上，且都与直线 相切，对每一个正整数 ,圆 都与圆 相互外切，以 表示 的半径，已知 为递增数列.(Ⅰ)证明： 为等比数列；（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
课堂反思第四节&& 数列求和
一.考点解析：
掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法.
考试热点：高考中以考查等差、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想，另外对非等差、等比数列求和，主要考查学生的观察能力，分析问题与解决问题的能力及计算能力.
二.基础过关：
1.公式法:(1)等差数列前n项和Sn =____________;(2)等比数列前n项和 && (3)常见数列的前n项和：
（1）1+2+3+……+n=______________;（2）2+4+6+…….+2n=_______________.
（3）1+3+5+……..+(2n-1)=______;（4） =____________.
（5） =_____________.
2．（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
（2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；
（3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和
（4）倒序相加：例如，等差数列前n和公式的推导方法；
3．常见的拆项公式有：
三.诊断训练：
1. 数列 …的前n项和是__________．
2. 若数列 是公差为 的等差数列，其前100项和为145，则 .
3. 数列 的通项公式是 ，若前n项和为10，则项数n为___.
4.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3)，则S100=&&&& .
5. … =________.
四.例题分析：
例1. (1)已知数列：1， ， ， ，…， ，求它的前n项的和Sn.(2) 求Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ．
变式训练1. 求下面各数列的前n项和：(1) …&&&&
例2.设正数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn=&& （an+1）2.(1)求出数列{an}的通项公式；（2）设&&&&&&&&&&& 记数列{bn}的前n项和为Tn， 求Tn.
变式训练2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,an+1=&& Sn& (n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式；（2）当&&&&&&&&&&&&&&&&&& 时，求证：数列
例3.已知数列{an}的前n项和Sn=(n -1)·2n+1, 是否存在等差数列{bn}，使&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 对一切自然数n均成立？
例4.已知数列{an}的首项&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& n=1,2,….(1)证明:数列&&&&&&&&
是等比数列;(2)求数列&&&&&& 的前n项和Sn.
变式训练4：设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0.
&（1）求数列{an}的通项公式；（2）设a= &&&,c= &&&,bn=n(1-an),n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.
五.强化训练：
1. 数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项和为&&&&&& .
2. 若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S17＋S33＋S50等于________.
3.设数列1，（1+2），（1+2+ ），……, 的前n项和为Sn,则Sn=_______.
4. 设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是&&& .
5.数列9，99，999，…的前n项和为&&&&&&&&&&& .
6若数列{an}是正项数列,且
则 &&&&& .
7.等差数列{an}的公差不为零，a4=7,a1,a2,a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn=a2+a4+a8+…+&&& ，则Tn=&&&&&&& .
8.对正整数n，设曲线 y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列&&&&&& 的前n项和的公式是&&&&& .
9.若数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= &&&&&(n∈N*),则an=&&& .
10.设f(x)是定义在R上恒不为0的函数，对任意x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a1=&&& ,an=f(n)(n为常数)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是&&&&& .
11.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=&&& ,n∈N*.(1)求数列{an}的通项；（2）设&&&&&&&&& 求数列&&&&&&&& {bn}的前n项和Sn.
12.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).（1）求数列{an}的通项
（2）求数列{nan}的前n项和Tn.
13.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a2& a3
a4& a5& a6&&
a7& a8& a9& a10
………………………………
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (1)证明：数列&&&&&&& 成等差数列,并求数列{bn}
的通项公式;(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=-& &&&时,求上表中第k (k≥3)行所有项的和.
课堂反思第五节&& 数列综合应用
一.考点解析：
灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题.
考试热点：从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题.
二.基础过关：
1．数列的综合应用一般有四种题型： ①数列与其他章节知识的综合题：它包括数列&
& 知识和指数、对数、不等式、三角函数、几何等知识的综合 ②数列的探索性问题：探索性问题是检验学生探索规律的能力，因此是高考热点，这类问题对学生分析问题，解决问题的能力有较高要求.③等差、等比数列的综合题.④数列的实际应用.
2．等差数列的常用性质：(1) 则有&&&&&&&&&&&&& ；
(2) 构成&&&&&&&&&&&&&&& &&数列.
3．等比数列的常用性质：(1) 则有&&&&&&&&&&&&& ;
(2)若 则 构成&&&&&&&&&&&&&&& &数列.
4．(1)若数列 的通项 为n的一次函数，可推出 成&&&& 数列，反之亦然.
(2)若数列 前n项和 则此数列为&&&&&& 数列.
5.等比数列与指数函数联系密切，注意类比运用.
三.诊断训练：
1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是等比数列{bn}的连续三项，若等比数列{bn}的首项b1=3，则b2=&&& .
2.已知数列{an}中，a1=2,点（an-1,an）（n&1且 n∈N）满足y=2x-1，则a1+a2+…+a10=&& &.
3.在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于
4.在等差数列 中，已知 ， ，则使它的前n项和 取得最大值的自然数n＝____．
5.设等差数列前n项和 ，且则 当 && 时， 最大.
6.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a的值为&& . &
7.有限数列A={a1,a2,…,an}，Sn为其前n项和，定义 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&为A的“凯森和”，如有500项的数列a1,a2,…,a500的“凯森和”为2004，则有501项的数列2，a1,a2,…,a500的“凯森和”为&&&&& .
四.例题分析：
例1.设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且
(1)求数列 和 的通项公式；(2)设 ，且数列 的前n项和
变式训练1.
已知数列 的前n项和为 ，且有 （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前n项和.
例2.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （n∈N*），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn} 满足b1=a1,bn=&& f(bn-1) (n∈N,n≥2),求证：&&&& 为等差数列，并求bn.
变式训练2.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.
例3.假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据： 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
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变式训练3 ：甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m,（1）甲、乙开始后几分钟相遇？ （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折回，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇？
例4. 等差数列{an}各项均为正整数，a1=}
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