【图文】旋转体的体积_百度文库
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旋转体的体积
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高数题：由y=x? x=2 y=0 所围成的图形 分别绕X轴和Y轴旋转 计算旋转体的体积
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X轴的我直接套公式：V=∫y?dx 算出128π/7 
可是Y轴 我不明白为什么不能直接用公式呢 为什么要用圆柱体体积（减）这个旋转体体积呢 求详细解答绕y轴旋转也有公式：V=2派＊（x|f(x)|的定积分。至于为什么要减去圆柱体积是因为旋转后所求图形是空心的， 热心网友求定积分∫πe^2xdx积分限是(0,1)体积为πe^2/2-π/2答因为V(y)=π∫(0～8)(y^2/3)dy这个体积是由y=x^3,y=8和x=0所围成,所以要减去这个体积.即V=32π-π∫(0～8)(y^2/3)dy
||||点击排行计算旋转体体积的一般积分公式
0引言本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数 ,平面曲线 (图形 )绕一共面直线旋转所得旋转体的体积函数 ,给出了它们的积分表示式 ,进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。关于旋转体体积的计算问题 ,一般标准分析教材 [1,2 ] 中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积的积分公式 ,为了应用上的便利本文将其推广 ,给出平面图形绕任一共面直线旋转所得旋转体体积计算的一般积分公式。一般认为平面曲线是 (开 )直线段到平面内的一一的 ,双方连续的 ,在上映射的象[3] .在直线段a≤ t≤ b上引入坐标 t,在平面上引入笛卡尔直角坐标 ( x,y) ,则平面曲线的参数表示 (方程 )是x =x( t)y =y( t) ( a≤ t≤ b)或 r =r ( t) ( a≤ t≤ b)　　设曲线 ( C) x =x( t)y =y( t) ( a≤ t≤ y)为平面简单光滑曲线段 ,l:Ax +By +C =0为曲线 ( C)...&
(本文共3页)
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一般高等数学、数学分析教材中,只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式,但是,根据几何体体积的积分公式可以推证,平面曲线y=f(x)上介于M,N两点间的曲线段绕同平面直线L:Ax+By+C=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为:V=π(A2+B2)23∫ba[Ax+Bf(x)+C]2|Af'(x)-B|dx.(a)其中a,b分别为M,N两点所对应的x值.依此公式,不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算,同时,坐标轴作为坐标平面直线L的特殊形式,由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式,自然也可作为公式(a)的特殊形式而得到.公式(a)的推导有多种方法,通过坐标变换推导,不失为其中方法之一.一、公式的坐标变换法推导在直线L:Ax+By+C=0的任意一条垂线与曲线y=f(x)至多有一个交点的假定条件下,若B≠0,直线L与y轴的交点为0,-C()B,设直线L在坐标系xOy上的倾斜角为θ,则tanθ=-BA,...&
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许多高等数学教材里，都给出了如下的曲线弧绕X轴旋转时所生成的旋转体体积的计算公式：但都未见有提到曲线弧绕任一直线y—kx＋m旋转时所生成的旋转体体积的计算公式。本文试应用分割、求和、取极限及定积分的概念，导出这种一般情形的计算公式。定理设曲线弧y一f（x）在［a，b」上光滑，它与直线y一kx＋m满足关系：l＋kf’（x）＞0，则该曲线弧绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积为：易得曲线弧上任意点（X，f（X》的旋转半径为：在〔a，日上任取n一五个分点：a＝X。＜XI＜X2＜…＜Xi＜…wtXn＝b，对应得到曲线弧上的点：（Xi，f（X；》，（i＝0，l，2，…，）．设过点（x；，f（x卜）且与旋转轴垂直的平面为al，因为1＋kf‘（x）＞0，故可知al必夹在a；．；与al＋；之间，（i—l，2，…，n－l），这些平面把旋转体分割成n个小旋转体，点（X；，f（X；...&
(本文共2页)
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引言关于旋转体的体积，一般教材犤１犦都是针对平面曲线的曲边梯形绕某坐标轴旋转来进行讨论的，应用起来有时不太方便。因此有必要讨论平面曲线的曲边梯形绕着非坐标轴直线旋转而成的旋转体的体积计算公式。１用曲线积分计算旋转体体积的公式定理：设L１：y＝f（x）（a≤x≤b）为XOY面内的一条光滑曲线弧，且f１（x）连续，L２：Ax＋By＋c＝０为XOY面内的一条直线，将L１所在的曲边梯形绕L２旋转一周，得一旋转体，则该旋转体的体积F＝π·ba∫（Ax＋Bf（x）＋c）２（A２＋B２）３２·B－Af＇（x）dx。证明：划分犤a，b犦，设其分点为a＝x０＜x１＜x２＜…＜xn＝b，记（xi，f（xi））为点Mi，作曲线L１的内接折线Mi－１Mi（i＝１，２…n），记折线Mi－１Mi在L２的射影为M＇i－１M＇i，将直角梯形Mi－１MiM＇i－１M＇i绕L２旋转，得一圆台体，得其体积为△Fi，作和式极限limλ→０ni＝１∑△Fi，其中λ＝ma...&
(本文共2页)
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关于计算旋转体体积的一般公式,有下列定理;设*一fk)在区间卜,u上连续且可导,y0一友X十户为直线Z的方程,则曲边梯形**B/绕直IV。线l旋转一周所成旋转体体积为(见图l):l\Ilw－厂二7了丁…】刁方兀1卜＋户一1()」‘IN\O＋大勺。’‘入“’一”””一“I。;xe\”\门十足尸b)旧xkxkx\丫。·h。。)\,、证明:任取xe{a,门,则点(x,f(x》到(!;ti\/人t直线l的距离广为:r一kx＋P—f(x)/h:－－－－\I”厂AI过点(X,八X》作7的垂线R,设(X,n为垂\【xlrl、】线R上任意一点,则R的方程为:一一一刁十二一一斗一一一卜一一一十一一一、1．．一、．、＿。＿。。、,、I*一f(X)一二\(*一X)(在二0时理解为*二)‘“”一”k”““一”‘“—”‘“’”””‘“一IF:X＋by一址b)一X一0if于是,从原点。到直线。的距离为:卜HX)十XO/人耳在,过点。作。的平行线交。于o。若...&
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旋转体体积计算的一般公式程曹宗（北京工业大学计算机学院１０００４４）关于旋转体体积的计算，这是一个熟知的问题，在高等数学教科书中均有这方面内容介绍，其结论是：若一连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的弧ＡＢ与直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周，产生了一个旋转体，其体积Ｖ等于对ｙ轴旋转亦有类似结果．图１但是，若平面曲线绕任一条直线旋转它所产生的旋转体的体积又如何计算呢？这个问题在数学计算本身以及它对实际问题的应用中都具有一定的意义．也许人们直观感觉只要作一个坐标变换就把这种情形转化为对Ｘ轴（或ｙ轴）旋转的情形而计算出结果．其实不然．在作坐标变换的同时，曲线方程ｙ＝ｆ（ｘ）也改变了．这样一来，有可能使一个简单的函数ｆ（。）变得复杂了，很难计算出有关它的积分．同时对于每个具体问题都必须作它相应的坐标变换．第二届北京市大学生数学竞赛（１９９０年）出过这样一道题：计算：由曲线９—二‘与直线ｐ一一卜＞…在第一象限内所围成的图形绕该直线旋...&
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