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直线l两侧各有点A、B,在直线上求一点P,是|AP-BP|的值最大?
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作点A关于直线l的对称点A',则直线A'B和直线l的交点就是所求的点P.理由如下：A和A'关于直线l的对称,可得：AP = A'P ；若点P不在直线A'B上,则在△PA'B中,|AP-BP| = |A'P-BP| < AB ,当点P在直线A'B上,则 |AP-BP| = |A'P-BP| = AB .
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已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y-2=0，在直线l上求一点P．（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|-|PB|最大．
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（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）．则有1+22+2o1+32-2=0，1-3x1-2o（-）=-1．解得x1=-，y1=-．由两点式求得直线A1B的方程为y=（x-4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，-）．由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．（2）由两点式求得直线AB的方程为y-1=-（x-4），即x+y-5=0．直线AB与l的交点可求得为P（8，-3），它使|PA|-|PB|最大．
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先判断A、B与直线l：x+2y-2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y-2，看符号相同在同侧，相反异侧．（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．（2）使|PA|-|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．
本题考点：
与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程．
考点点评：
本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．
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根据问他()题库系统分析，
试题“（1）如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使P...”，相似的试题还有：
几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小(不必证明)．模型应用：(1)如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______
问题背景: 如图(a)，点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．实践运用： 如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD = 30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，求：PA+ PB的最小值，并写出解答过程．知识拓展：如图(c)，在菱形ABCD中，AB = 10，∠DAB= 60°，P是对角线AC上一动点，E、F分别是线段AB和BC上的动点，则PE +PF的最小值是&&&&&．(直接写出答案)
七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．图2&图1&我们只要作点B关于l的对称点B′，(如图2所示)根据对称性可知，PB=PB＇．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB＇，与直线l的交点，就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：【小题1】如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是________；运用：【小题2】如图4，平面直角坐标系中有三点A(6，4)、B(4，6)、C(0，2)，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是&&&&&&&&；操作：【小题3】如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．(不写作法，保留作图痕迹)&&&&&&&&&&&&&&&&&（1）观察发现如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小。做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小。做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 _______；
（2）实践运用 如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值；（3）拓展延伸如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD，保留作图痕迹，不必写出作法。
解：（1）；
（2）如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，所以∠AEB=15°， 因为B关于CD的对称点E，所以∠BOE=60°，所以△OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以△OAE为等腰直角三角形，所以AE=；
（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可。
试题“（1）观察发现如（a）图，若点A，B在直线l同侧...”；主要考察你对
等知识点的理解。
下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③若点A在y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等时，则点A在第一象限；④半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB的距离为2的点共有四个。正确命题有（　▲　）
阅读材料：若x+2是x2-mx-8的一个因式，我们不难得到x2-mx-8=（x+2）（x-4），易知m=2．现在我们用另一种方法来求m的值：观察上面的等式，可以发现当x=-2时，x2-mx-8=（x+2）（x-4）=（-2+2）（-2-4）=O，也就是说x=-2是方程x2-mx-8=0的一个根，由此可以得到（-2）2-m（-2）-8=0，解得m=2．问题：若x+1是2x3+x2+mx-6的一个因式，请运用上述方法求出m的值．
(满分l2分)“无论多么大的困难除以13亿，都将是一个很小的困难”．在汶川特大地震发生后，某市光明中学全体学生积极参加了“同心协力，抗震救灾”活动，九年级甲班两位同学对本班捐款情况作了统计：全班50人共捐款900元，两位同学分别绘制了两幅不完整的统计图，如图所示．(注：每组含最小值，不含最大值)请你根据图中的信息，解答下列问题：(1)从图①中可以看出捐款金额在15～20元的人数有多少人?(2)从图②中可以看出捐款金额在25～30元的人数占全班人数的百分比是多少?(3)补全条形统计图，并计算扇形统计图a，b的值；(4)全校共有l268名学生，请你估计全校学生捐款的总金额大约是多少元．
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高考英语全年学习规划讲师：李辉
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