过程对结果的决定以及结果对过程的反推 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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前天与一个学长讨论一个很基础但也很不甚明白的问题。先看一个例子：两个公司A、B招人，有一堆人到A公司应聘，结果若干人通过了。于是那一堆人又到B公司应聘，通过A的那些人恰好也通过了B，那么人们想当然会思考一个问题：这两个公司的选拔标准是否一样呢？还是巧合？按生活常理，人们会普遍认为是巧合，完全相同实在让人难以相信。但是，如果将条件扩充一下：通过人数的比例较高，而且这堆人的总数很大。那么有个比较“显然”的猜测就是：这两家公司选拔标准的“相似度”非常高，但是是不是一样，仍然不敢说。这个现象成为人作出某些判断的一个标准，类似于一种“总结规律”。A与B在相同的输入下，输出也相同（或者相似），那么A与B就会有很相似的“性质”，以此为依据，就可以在充分了解A的情况下推测B的行为（反之也对）。下面就是一个数学范围内的问题了：在几个初等函数（幂函数，指数函数，对数函数，常值函数，三角函数等等，只考虑它们的表达式属于最简单形式（已经化简到最简程度，并且一些故意的恒等构造视为同一种类型）的情形）的范围内，考虑一个问题：如果有两个单元函数f(x)和g(x)属于上述类型，并且不知道它们的表达式，它们就像两个“黑盒子”，但是告诉你一个事实：无论你输入什么值（当然输入给两个函数的值是相同的），他们的输出总是“严格”相等的（也就是说，不允许无穷级数什么的近似手段）。那么，能否断定它们的表达式是一样的？问题推广到一般单元函数呢？多元函数呢？先考虑一个最简单的情形：对于单元多项式函数f(x)和g(x),可以证明，当有足够多（是有限的）次相同的输入下如果输出相等，那么这两个多项式在降幂排列后一定是对应项完全相同的。可以用线性代数的一些方法证明这个结论。但是对于多元函数其他超越函数等等，我个人暂时没有这种方法。代数书上有这样一个很“显然的”关于单元多项式相等的定义：如果两个多项式，次数相同，并且对应次数变元的系数完全相等，那么就称两个多项式“恒等”。我困惑的问题是，为什么不能这样说：如果两个多项式，无论代入相等的任意值，他们映射出的值总相等，那么就称这两个多项式是“恒等”。我的这个“定义”对吗？这两个定义有本质区别吗？（别整什么表达不同说法不同这些空洞的解释）诚然，表达式（过程）相同，那么对于任意多同样的输入，输出一定是相同的。但这个命题的逆命题是否成立，能否有个确切的证明（或反例）呢？在使用（应用）的角度来看，等效果实际已经足够，但我需要一个严密完整的说明
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科学松鼠会成员，信息学硕士生
问题是，什么叫“最简形式”？又怎么知道你所说的“最简形式”一定能有效计算出来？有一个定理：考虑从有理数、pi、ln 2和变量X出发，经过+，-，×，绝对值，指数函数，sin的运算得出的表达式。这样的表达式是否等于0是不可判定的。
关于你提的问题，说实话我没有确切定义。我自己也意识到那是不好表达出来的。至于那个定理，我由于才大一也没读过多少书，没有见过。还请解释一下那个“等于0”是恒等吗？引用
的回应：问题是，什么叫“最简形式”？又怎么知道你所说的“最简形式”一定能有效计算出来？有一个定理：考虑从有理数、pi、ln 2和变量X出发，经过+，-，×，绝对值，指数函数，sin的运算得出的表达式。这样的表达式是否等于0是不可判定的。
的回应：问题是，什么叫“最简形式”？又怎么知道你所说的“最简形式”一定能有效计算出来？有一个定理：考虑从有理数、pi、ln 2和变量X出发，经过+，-，×，绝对值，指数函数，sin的运算得出的表达式。这样的表达式是否等于0是不可判定的。那先告诉我一个特殊的情况吧，某个多元多项式，输入任意的复数域内的数组算出的结果都是0，能否证明，这个多项式表达出来（经过合并同类项字典排列法什么的达到最简），一定只剩下“0”
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的回应：关于你提的问题，说实话我没有确切定义。我自己也意识到那是不好表达出来的。至于那个定理，我由于才大一也没读过多少书，没有见过。还请解释一下那个“等于0”是恒等吗？是恒等于0
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的回应：那先告诉我一个特殊的情况吧，某个多元多项式，输入任意的复数域内的数组算出的结果都是0，能否证明，这个多项式表达出来（经过合并同类项字典排列法什么的达到最简），一定只剩下“0”多元多项式的话，在复数域上是否恒等于0是可判定的。代入的话，根据多项式的次数，可以得到最多计算次数的一个上界。直接展开的话，也是有限的展开式，所以没有问题。
的回应：多元多项式的话，在复数域上是否恒等于0是可判定的。代入的话，根据多项式的次数，可以得到最多计算次数的一个上界。直接展开的话，也是有限的展开式，所以没有问题。好，谢谢你的帮助。请问那个定理是数学哪个分支出来的，我想去看看
我的那个问题差不多就是：一个表达式恒等于0是不是总可以证明。既然已经有定理说明不总是可以证明，我也就满足了。
觉得嘛还是把表达式的各项看成线性空间中的向量这些向量彼此线性无关，那么对一个线性空间中的函数它在这个线性空间中就只有唯一确定的坐标不管向量组的大小是不是无穷
嗯，大概思路我晓得。只是我才大一，不太能完全明白你确切的意思
对于那个同样输入同样输出的，我似乎记得有个例子说有两个级数可用于表示同一个函数，但是高阶导数的性质就变得不一样了，如果是这样这可能就是不用同样输入有同样输出来作为恒等定义的原因吧
的回应：对于那个同样输入同样输出的，我似乎记得有个例子说有两个级数可用于表示同一个函数，但是高阶导数的性质就变得不一样了，如果是这样这可能就是不用同样输入有同样输出来作为恒等定义的原因吧原来是这样。本来我很疑惑的，两个函数恒等，是表达相同，还是退一步地，只要对同样的输入有同样的输出就行了。。。。。。。。
嗯，其实函数并不总需要一个能写出来的式子来表达，只要有两个数集，我把两个数集当中的数字都建立联系，比如强行规定f(1)=2,f(2)=9,f(3)=4,f(4)=2.8……这样的函数根本无法在自变量与因变量之间找到任何数学关系，只是一种人为的规定。如果用这种观点看待其他函数，f(x)=x这样的函数也完全可以看作把属于两个数集中的数字人为的进行联系，即人为规定f(1)=1,f(2)=2……用这种观点看待函数，函数的本质其实是自变量与因变量之间的一种关系而非表达式。既然你已经定义了同时输入f(x)与g(x)输出完全一样，也就意味着对这两个函数而言自变量与因变量之间的关系完全一样，那么它们必然是同样的函数
的回应：好像是一个函数的泰勒展开的高阶导数和原函数不一样，大概很多微积分教材上都有这个例子吧好的，谢谢你。我想我以后会学到相关的知识的。
的回应：嗯，其实函数并不总需要一个能写出来的式子来表达，只要有两个数集，我把两个数集当中的数字都建立联系，比如强行规定f(1)=2,f(2)=9,f(3)=4,f(4)=2.8……这样的函数根本无法在自变量与因变量之间找到任何数学关系，只是一种人为的规定。如果用这种观点看待其他函数，f(x)=x这样的函数也完全可以看作把属于两个数集中的数字人为的进行联系，即人为规定f(1)=1,f(2)=2……用这种观点看待函数，函数的本质其实是自变量与因变量之间的一种关系而非表达式。既然你已经定义了同时输入f(x)与g(x)输出完全一样，也就意味着对这两个函数而言自变量与因变量之间的关系完全一样，那么它们必然是同样的函数从最最基础的函数的定义来考虑这个问题，这个问题确实一下子就变得很“轻而易举”了。只是我遇到了一些现实的问题，还是需要一些比较“现实”的解决方法
的回应：好的，谢谢你。我想我以后会学到相关的知识的。其实我也不确定，数学书不在手边，搜索了一下没找到这个例子
的回应：其实我也不确定，数学书不在手边，搜索了一下没找到这个例子恩，如果真是有的话可以告诉我。。
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的回应：其实我也不确定，数学书不在手边，搜索了一下没找到这个例子分段函数f(x)=exp(-1/(x^2))当x&0,f(x)=0当x&=0。可以算出0处各阶导数都是0，但整体不是0。
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的回应：好，谢谢你的帮助。请问那个定理是数学哪个分支出来的，我想去看看那个定理来自计算机代数的研究，是Richardson证明的，而它的证明依赖于希尔伯特第十问题。具体怎么证的我没有仔细看过，但既然是用了希尔伯特第十问题，大概是化归为丢番图方程的可解性吧……
科学松鼠会成员，信息学硕士生
不过如果没有绝对值，也没有超越数，只有变量x、代数数、三角函数、指数函数和对数函数（还可以酌情添加一些别的函数）的话，表达式是否为0是可以判定的，因为是D-finite的，也就是说它们的各阶导数张成一个有限维的线性空间。
的回应：分段函数f(x)=exp(-1/(x^2))当x&0,f(x)=0当x&=0。可以算出0处各阶导数都是0，但整体不是0。不是这个，这个是级数不收敛于f(x)的问题，我说的那个是级数的高阶导数性质，级数本身应该是收敛于f(x)的，可能本来是其他的性质，因为我记忆很模糊，看到这个问题就套上去了依稀记得这个级数和三角函数有关——f（x）是三角函数或者级数是三角函数
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的回应：不是这个，这个是级数不收敛于f(x)的问题，我说的那个是级数的高阶导数性质，级数本身应该是收敛于f(x)的，可能本来是其他的性质，因为我记忆很模糊，看到这个问题就套上去了依稀记得这个级数和三角函数有关——f（x）是三角函数或者级数是三角函数类似sin(nx)/n之类的函数是么？的确即使是一致收敛，如果导数不是一致收敛的话，那其实也没啥用……或者你想说的是傅里叶级数那边的定理？那边实在不熟……
如果两个多项式，无论代入相等的任意值，他们映射出的值总相等，那么就称这两个多项式是“恒等”。我的这个“定义”对吗？这两个定义有本质区别吗？-----------------------------------------------------我觉得是对的，没本质区别，只不过你的这个定义更有一般性，而它的定义只针对多项式。
据说 这个研究方向不就是那个 中南大学的本科生（破解数学难题那个所用的基本思想么） 据说全世界研究这个方法的不超过五个人吧
的话：据说 这个研究方向不就是那个 中南大学的本科生（破解数学难题那个所用的基本思想么） 据说全世界研究这个方法的不超过五个人吧看那个百度百科，好像确实有一定的联系吧。当然我才大一，也只能懂一些浅显的东西罢了。
压力容器初级工程师
不知道是否正确理解了你的意思，不过你仿佛走入了一个误区…两个现象的表观相同，我们推测他们，内在是一样的，用同一个模型描述，这就是数学（含物理）。或者限定一点，函数。也就是说，函数这个概念就是用来表达你希望的那个东西的…举个例子的话，一段任意周期波的傅立叶变换是[唯一]的。
的话：不知道是否正确理解了你的意思，不过你仿佛走入了一个误区…两个现象的表观相同，我们推测他们，内在是一样的，用同一个模型描述，这就是数学（含物理）。或者限定一点，函数。也就是说，函数这个概念就是用来表达你希望的那个东西的…举个例子的话，一段任意周期波的傅立叶变换是[唯一]的。我知道可以那样理解。不过如果扯上那个，这个问题就根本不是问题了，也不需要讨论了。就好像物理里面一个原理，试验了一万次是正确的，仍然不能保证一万零一次还是正确的。但对于数学也有这种考虑么
的话：我知道可以那样理解。不过如果扯上那个，这个问题就根本不是问题了，也不需要讨论了。就好像物理里面一个原理，试验了一万次是正确的，仍然不能保证一万零一次还是正确的。但对于数学也有这种考虑么那你就是还没明白什么是数学
的话：那你就是还没明白什么是数学未必如此。关于解释问题的方式并不一定。况且能够知道什么程度也不能定论
压力容器初级工程师
的话：我知道可以那样理解。不过如果扯上那个，这个问题就根本不是问题了，也不需要讨论了。就好像物理里面一个原理，试验了一万次是正确的，仍然不能保证一万零一次还是正确的。但对于数学也有这种考虑么我有点明白了不过数学是抽象哲学，应当和物理实在无关，所以是神射手假说的可能性比物理定理要小，因为物理定律的正确性可能会随着对自然的理解深度而产生变化，数学的正确性则可能会随着对数的理解深度而产生变化虽然不知道如何证明，但是从众多数学家牛掰的态度来看，后者发生变化的可能性比前者要小此外”表达式（过程）相同，那么对于任意多同样的输入，输出一定是相同的“对于混沌不成立。因为你总无法做到绝对精确的完全相同输入（测不准或者微扰动）基于这个理由，逆命题也是不成立的……
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（三年高考）高考数学试题分项版 专题04三角函数与解三角形 理（含解析）.doc 85页
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第四章三角函数与解三角形一、选择题1.【2013高考北京理第3题】“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，一种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以三角函数有关知识为载体，考查了三角函数有关知识和充要条件.2.【2013湖南3】在锐角中，角所对的边长分别为.若A．B．C．D．选D【名师点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解决问题的关键是根据所给条件化边为角，然后利用三角函数公式进行化简计算，结合三角形的性质进行分析计算即可，难度不大.3.【2014湖南9】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是()A.B.C.D.【答案】A【名师点睛】有关定积分的题目主要是根据定积分的有关公式结合定积分的几何性质进行正确求解即可，有关三角函数对称轴的求解主要是根据整体方法求解对称轴，三角函数辅助角公式化简三角函数问题是主要是根据有关辅助角具体形式进行恰当的变换即可.4.【2013山东，理将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)．A．B．C．0D．答案：B解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后变为函数＝的图象，又为偶函数，故，kZ，，kZ.若k＝0，则.故选B.5.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）（A）向左平移个单位??（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位???（D）向右平移个单位【答案】B2013山东，理8函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为(　　)．【答案：D解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(xcosx＋sinx)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，又x，y＞0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D.7.【2014高考陕西版理第2题】函数的最小正周期是（）【答案】【解析】试题分析：由周期公式，又,所以函数的周期，故选.考点：三角函数的最小正周期.最小正周期正周期周期公式【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C时，取得最小值，进而求出的值，当时，取得最大值．9.【2013高考陕西版理第7题】在设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】试题分析：，sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，，故选A．考点：正弦定理.正弦定理sinA＝sin2AsinA＞0sinA＝1，∴，故△ABC为直角三角形，AB=1，BC=，则AC=()A.5B.C.2D.1【答案】B【名师点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，本题属于基础题，解决本题的关健在于公式的准确与熟练，注意题目条件：三角形是钝角三角形.11.【2013四川，理5】函数（，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）（A）
（B），（C） （D），【答案】A【解析】由图知，周期满足，∴，又，∴，故，图象的最高点为，于是由“五点法”作图，知，解得，选A.（1）：一般可由图像上的最高点、最低点来确定；（2）：因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即图像上相邻的最高点与最低点的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为；（3）：一般来说，确定是求此解析式的关键点，以下是确定的几种常见的方，.由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点.利用零点时，通常把“五点法”中的第一个点（初始点）作为突破口，从图像得升降情况找准第一个零点的位置，图像上升时与轴的交点为第一零点，可得等式.而图像下降时与轴的交点为第三零点，可得等式，再由已知条件中的具体范围确定相应的值；由图像变换来确定，有知，“五点法”中的第一个零点就是由原点平移而来的，可从图中读出此点横坐标等于，即可得到的值.12..【2014四川，理3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】试题分析：，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.选A
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